2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第二章平面解析幾何2.1坐標(biāo)法課后提升訓(xùn)練含解析新人教B版選擇性必修第一冊

其次章平面解析幾何2.1坐標(biāo)法課后篇鞏固提升基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練1.數(shù)軸上的三點(diǎn)M,N,P的坐標(biāo)分別為3,-1,-5,則MP+PN等于(A.-4 B.4 C.12 D.-12解析MP+PN=MN=-1-答案A2.數(shù)軸上點(diǎn)P(x),A(-8),B(-4),若|PA|=2|PB|,則x等于()A.0 B.-163 C.163 D.0或解析因為|PA|=2|PB|,所以|x+8|=2|x+4|,解得x=0或-163答案D3.P(1,-2)關(guān)于A(-1,1)的對稱點(diǎn)P'的坐標(biāo)為()A.(3,4)B.(-3,4)C.(3,-4)D.(-3,-4)解析設(shè)P'點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),因為A為PP'的中點(diǎn),所以1+x2故P'的坐標(biāo)為(-3,4).答案B4.已知平行四邊形的三個頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,-2),(5,2),(-1,4),則第四個頂點(diǎn)不是()A.(9,-4) B.(1,8)C.(-3,0) D.(1,-3)解析設(shè)第四個頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y),然后分狀況探討.(1)若點(diǎn)(3,-2),(5,2)為平行四邊形的對頂點(diǎn),則有3+52=-1+x2,(2)若(5,2),(-1,4)為對頂點(diǎn),同理可求第四個頂點(diǎn)為(1,8);(3)若(3,-2),(-1,4)為對頂點(diǎn),同理可求第四個頂點(diǎn)為(-3,0).故選D.答案D5.在數(shù)軸上有點(diǎn)A(1),若點(diǎn)A負(fù)向移動3個單位長度到達(dá)點(diǎn)B,則AB=.向量AB與以B為起點(diǎn),終點(diǎn)坐標(biāo)為的向量是相等向量.

解析由于A(1)負(fù)向移動3個單位長度到達(dá)B點(diǎn),所以B點(diǎn)坐標(biāo)為-2,則向量AB的坐標(biāo)為-3,若以B為起點(diǎn)的向量為-3,則終點(diǎn)坐標(biāo)應(yīng)為-5.答案-3-56.已知?ABCD的三個頂點(diǎn)A(0,0),B(x1,y1),D(x2,y2),則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為.

解析由于?ABCD的各頂點(diǎn)的依次已經(jīng)確定,因此點(diǎn)C的坐標(biāo)是唯一確定的.依據(jù)平行四邊形的性質(zhì)——對角線相互平分,再依據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式,即可求出點(diǎn)C的坐標(biāo).設(shè)頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(m,n),AC與BD的交點(diǎn)為O,則O為AC和BD的中點(diǎn),依據(jù)題意得點(diǎn)O的坐標(biāo)為x2+x12所以m+0解得m=x2+x1,n=y2+y1,所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x1+x2,y1+y2).答案(x1+x2,y1+y2)7.已知四邊形ABCD的頂點(diǎn)A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0),E,F分別為邊AB,BC的中點(diǎn),求CE,DE,AF,DF的長度.解設(shè)線段AB的中點(diǎn)為E(x,y),則x=-4+22=-1,y=3+5則|CE|=(-1-6)|DE|=[-1-(-3)即CE,DE的長度分別為52,25.設(shè)線段BC的中點(diǎn)為F(m,n),則m=2+62=4,n=5+32則|AF|=[4|DF|=[4即AF,DF的長度都為65.8.如圖所示,△ABD和△BCE是在直線AC同一側(cè)的兩個等邊三角形,求證:|AE|=|CD|.證明以B為原點(diǎn),以直線AC為x軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,設(shè)△ABD和△BCE的邊長分別為a,c,則有A(-a,0),C(c,0),D-a2,3于是|AE|=c=c2|CD|=c=c2所以|AE|=|CD|.實力提升練1.當(dāng)數(shù)軸上的三個點(diǎn)A,B,O互不重合時,它們的位置關(guān)系共有六種狀況,其中使AB=OB-OA和|AB|=|OB|-|OA|同時成立的A.1種 B.2種 C.3種 D.4種解析AB=OB-OA恒成立,而要使|AB|=|OB|-|OA|成立,則點(diǎn)A應(yīng)在點(diǎn)O答案B2.某縣位于山區(qū),居民的居住區(qū)域大致呈如圖所示的五邊形,近似由一個正方形和兩個等腰直角三角形組成,若AB=60km,AE=CD=30km,為了解決當(dāng)?shù)厝嗣窨措娨曤y的問題,打算建一個電視轉(zhuǎn)播臺,志向方案是轉(zhuǎn)播臺距五邊形各頂點(diǎn)距離的平方和最小,圖中P1,P2,P3,P4是AC的五等分點(diǎn),則轉(zhuǎn)播臺應(yīng)建在()A.P1處 B.P2處 C.P3處 D.P4處解析以A為原點(diǎn),建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則P4(6,6),P3(12,12),P2(18,18),P1(24,24).設(shè)轉(zhuǎn)播臺的坐標(biāo)為P(x,y),則|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2+|PE|2=x2+y2+(x-60)2+y2+(x-30)2+(y-30)2+(x-30)2+(y-60)2+x2+(y-30)2=5x2-(120+120)x+5y2-(120+120)y+2×602+4×302,故當(dāng)x=24,且y=24時,|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2+|PE|2最小,故P應(yīng)在P1處.答案A3.使得|x-3|+|x+1|≥a恒成立的a的取值范圍為.

解析設(shè)函數(shù)y=|x-3|+|x+1|,因為函數(shù)y=|x-3|+|x+1|的最小值為4,即y≥4,所以使|x-3|+|x+1|≥a恒成立a的取值范圍為(-∞,4].答案(-∞,4]4.已知x,y∈(0,1),則x2+y2解析∵x,y∈(0,1),∴x2+y2+x2+(y-1)2+(答案225.已知一平行四邊形三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-1,-2),(3,1),(0,2),求這個平行四邊形第四個頂點(diǎn)的坐標(biāo).解設(shè)A(-1,-2),B(3,1),C(0,2),第四個頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x,y),(1)若四邊形ABCD是平行四邊形,則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得x解得x∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-4,-1);(2)若四邊形ABDC是平行四邊形,則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得x解得x=4,y=5(3)若四邊形ACBD是平行四邊形,則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得-解得x∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,-3).綜上所述,滿意條件的平行四邊形第四個頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(-4,-1)或(4,5)或(2,-3).6.用坐標(biāo)法證明:三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半.證明以線段BC的中點(diǎn)為原點(diǎn),BC所在直線為x軸,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.設(shè)A(a,b),C(c,0)(c>0),則B(-c,0).線段AB的中點(diǎn)E的坐標(biāo)是a-線段AC的中點(diǎn)F的坐標(biāo)是a+則|EF|=a-c因為|BC|=2c,所以|EF|=12|BC|又E,F的縱坐標(biāo)相同,所以EF∥BC.綜上所述,三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半.7.河流的一側(cè)有A,B兩個村莊,如圖所示,安排在河上共建一座水電站給兩村供電.已知A,B兩村到河邊的垂直距離分別為300m和600m,且兩村相距500m.為了使水電站到兩村的距離之和最小,水電站P應(yīng)建在什么位置?解如圖所示,以河邊所在直線為x軸,以AC為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,則A(0,300),B(400,600).設(shè)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為A',則A'(0,-300),連接A'B交OD于點(diǎn)P,此時|PA|+|PB|最小.設(shè)|OP|=x,則由△OA'P∽△DBP,得x400解得x=4003,故水電站P應(yīng)建在C,D之間距離點(diǎn)C4003素養(yǎng)培優(yōu)練1.已知點(diǎn)A(-1,2),B(1,3),在直線y=2x上求一點(diǎn)P,使|PA|2+|PB|2取得最小值,并寫出P點(diǎn)坐標(biāo).解設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y),由于點(diǎn)P在直線y=2x上,所以y=2x.|PA|=(=(=x=5x|PB|=(=(=x=5x所以|PA|2+|PB|2=5x2-6x+5+5x2-14x+10=10x2-20x+15=10(x-1)2+5,因此,當(dāng)x=1時,|PA|2+|PB|2取得最小值為5,y=2×1=2,所以所求P點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,2).2.如圖所示,在△ABC中,∠C=90°,P為三角形內(nèi)一點(diǎn),且S△PAB=S△PBC=S△PCA.求證:|PA|2+|PB|2=5|PC|2.證明如圖所示,以CA所在的直線為x軸,點(diǎn)C為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)C(0,0),A(3a,0),B(0,3b),P(x,y).∵S△PCA=S△PCB=S△PAB,∴S△PCA=13S△ABC