2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章常用邏輯用語1.2充分條件與必要條件課時(shí)作業(yè)含解析北師大版選修2-1

PAGEPAGE4課時(shí)作業(yè)2充分條件與必要條件時(shí)間：45分鐘——基礎(chǔ)鞏固類——一、選擇題1．“1<x<2”是“x<2”成立的(A)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件解析：當(dāng)1<x<2時(shí)，必有x<2；而x<2時(shí)，如x＝0，推不出1<x<2，所以“1<x<2”是“x<2”的充分不必要條件．2．函數(shù)f(x)＝x2＋mx＋1的圖像關(guān)于直線x＝1對(duì)稱的充要條件是(A)A．m＝－2 B．m＝2C．m＝－1 D．m＝1解析：函數(shù)f(x)＝x2＋mx＋1的圖像關(guān)于x＝1對(duì)稱?－eq\f(m,2)＝1?m＝－2.3．下面四個(gè)條件中，使a>b成立的充分而不必要的條件是(A)A．a(chǎn)>b＋1 B．a(chǎn)>b－1C．a(chǎn)2>b2 D．a(chǎn)3>b3解析：由a>b＋1得a>b＋1>b，即a>b；且由a>b不能得出a>b＋1.因此，使a>b成立的充分不必要條件是a>b＋1，故選A.4．一次函數(shù)y＝－eq\f(m,n)x＋eq\f(1,n)的圖像同時(shí)經(jīng)過第一、三、四象限的必要不充分條件是(B)A．m>1，且n<1 B．mn<0C．m>0，且n<0 D．m<0，且n<0解析：因?yàn)閥＝－eq\f(m,n)x＋eq\f(1,n)經(jīng)過第一、三、四象限，故－eq\f(m,n)>0，eq\f(1,n)<0，即m>0，n<0，但此為充要條件，因此，其必要不充分條件為mn<0，故選B.5．已知直線l⊥平面α，直線m平面β，則“α∥β”是“l(fā)⊥m”的(C)A．充要條件 B．必要不充分條件C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件解析：∵α∥β，l⊥平面α，∴l(xiāng)⊥平面β，又直線m平面β，∴l(xiāng)⊥m.而l⊥m，m平面β，不能得出l⊥平面β，又直線l⊥平面α，故得不出α∥β，選C.6．直線l：y＝kx＋1與圓O：x2＋y2＝1相交于A，B兩點(diǎn)，則“k＝1”是“△OAB的面積為eq\f(1,2)”的(A)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件解析：圓心O(0,0)到直線l：kx－y＋1＝0的距離d＝eq\f(1,\r(1＋k2))，弦長(zhǎng)為|AB|＝2eq\r(1－d2)＝eq\f(2|k|,\r(1＋k2))，∴S△OAB＝eq\f(1,2)×|AB|·d＝eq\f(|k|,k2＋1)＝eq\f(1,2)，∴k＝±1，因此當(dāng)“k＝1”時(shí)，“S△OAB＝eq\f(1,2)”，故充分性成立．“S△OAB＝eq\f(1,2)”時(shí)，k也有可能為－1，∴必要性不成立，故選A.7．“a>3”是“函數(shù)f(x)＝ax＋2在區(qū)間[－1,2]上存在零點(diǎn)”的(A)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：當(dāng)a>3時(shí)，f(－1)f(2)＝(－a＋2)(2a＋2)<0，即函數(shù)f(x)＝ax＋2在區(qū)間[－1,2]上存在零點(diǎn)；但當(dāng)函數(shù)f(x)＝ax＋2在區(qū)間[－1,2]上存在零點(diǎn)，不肯定是a>3，如當(dāng)a＝－3時(shí)，函數(shù)f(x)＝ax＋2＝－3x＋2在區(qū)間[－1，2]上存在零點(diǎn)．所以“a>3”是“函數(shù)f(x)＝ax＋2在區(qū)間[－1,2]上存在零點(diǎn)”的充分不必要條件，故選A.8．b>0是函數(shù)f(x)＝x2＋bx＋c在[0，＋∞)上單調(diào)的(A)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件解析：函數(shù)f(x)＝x2＋bx＋c＝(x＋eq\f(b,2))2＋c－eq\f(b2,4).由函數(shù)在[0，＋∞)上單調(diào)，知－eq\f(b,2)≤0，即b的取值范圍是N＝{b|b≥0}，記M＝{b|b>0}，從而知MN，從而b>0是函數(shù)f(x)＝x2＋bx＋c在[0，＋∞)上單調(diào)的充分不必要條件．二、填空題9．“a＝1”是“y＝cos2ax－sin2ax的最小正周期為π”的充分不必要條件．解析：由a＝1，得y＝cos2x－sin2x＝cos2x，T＝eq\f(2π,2)＝π；反之，y＝cos2ax－sin2ax＝cos2ax，由T＝eq\f(2π,|2a|)＝π，得a＝±1.10．命題p：x1、x2是方程x2＋5x－6＝0的兩根，命題q：x1＋x2＝－5，那么命題p是命題q的充分不必要條件．解析：∵x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的兩根，∴x1＋x2＝－5.當(dāng)x1＝－1，x2＝－4時(shí)，x1＋x2＝－5，而－1，－4不是方程x2＋5x－6＝0的兩根．11．已知集合A＝{x|logeq\s\do8(\f(1,2))(x＋2)<0}，集合B＝{x|(x－a)(x－b)<0}，若“a＝－3”是“A∩B≠?”的充分條件，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是b>－1.解析：由題意知，A＝{x|x>－1}，當(dāng)a＝－3時(shí)，B＝{x|(x＋3)(x－b)<0}，由A∩B≠?，得b>－1.三、解答題12．指出下列各組命題中，p是q的什么條件(充分不必要條件，必要不充分條件，充要條件，既不充分也不必要條件)?(1)p：△ABC中，b2>a2＋c2，q：△ABC為鈍角三角形；(2)p：△ABC有兩個(gè)角相等，q：△ABC是正三角形；(3)若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；(4)p：△ABC中，A≠30°，q：sinA≠eq\f(1,2).解：(1)△ABC中，∵b2>a2＋c2，∴cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)<0，∴B為鈍角，即△ABC為鈍角三角形，反之若△ABC為鈍角三角形，B可能為銳角，這時(shí)b2<a2＋c2.∴p?q，q?p，故p是q的充分不必要條件．(2)有兩個(gè)角相等不肯定是等邊三角形，反之肯定成立，∴p?q，q?p，故p是q的必要不充分條件．(3)若a2＋b2＝0，則a＝b＝0，故p?q；若a＝b＝0，則a2＋b2＝0，即q?p，所以p是q的充要條件．(4)轉(zhuǎn)化為△ABC中sinA＝eq\f(1,2)是A＝30°的什么條件．∵A＝30°?sinA＝eq\f(1,2)，但是sinA＝eq\f(1,2)?A＝30°，∴△ABC中sinA＝eq\f(1,2)是A＝30°的必要不充分條件．即p是q的必要不充分條件．13．已知M＝{x|(x－a)2<1}，N＝{x|x2－5x－24<0}，若M是N的充分條件，求a的取值范圍．解：由(x－a)2<1得，x2－2ax＋(a－1)(a＋1)<0，∴a－1<x<a＋1.又由x2－5x－24<0得－3<x<8.∵M(jìn)是N的充分條件，∴M?N，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1≥－3,a＋1≤8))，解得－2≤a≤7.故a的取值范圍是－2≤a≤7.——實(shí)力提升類——14．祖暅原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異”．它是中國古代一個(gè)涉及幾何體體積的問題，意思是假如兩個(gè)等高的幾何體在同高處截得兩幾何體的截面面積恒等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等．設(shè)A，B為兩個(gè)等高的幾何體，p：A，B的體積不相等，q：A，B在同高處的截面面積不恒相等，依據(jù)祖暅原理可知，p是q的(A)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：因?yàn)锳，B兩個(gè)幾何體等高，所以由祖暅原理得，若A，B的體積不相等，則等高處的截面面積不恒相等，若恒相等，則A，B的體積相等，所以p?q；當(dāng)?shù)雀咛幗孛婷娣e不恒相等時(shí)，A，B的體積有可能相等，例如，A，B為兩個(gè)一模一樣的棱臺(tái)，一個(gè)上底面對(duì)上放置，一個(gè)下底面對(duì)上放置，則在等高處的截面面積不恒相等，但它們體積相等，故q?p，因此p是q的充分不必要條件．15．設(shè)a，b，c為△ABC的三邊，求證：方程x2＋2ax＋b2＝0與x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要條件是∠A＝90°.證明：(1)必要性：設(shè)方程x2＋2ax＋b2＝0與x2＋2cx－b2＝0有公共根x0，則xeq\o\al(2,0)＋2ax0＋b2＝0，xeq\o\al(2,0)＋2cx0－b2＝0，兩式相減可得x0＝eq\f(b2,c－a)，將此式代入xeq\o\al(2,0)＋2ax0＋b2＝0，可得b2＋c2＝a2，故∠A＝90°.(2)充分性：∵∠A＝90°，∴b2＋c2＝a2