2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.1.1變化率問(wèn)題1.1.2導(dǎo)數(shù)的概念學(xué)案含解析新人教A版選修2-2

PAGE1-1．1.1變更率問(wèn)題1．1.2導(dǎo)數(shù)的概念[目標(biāo)]1.理解函數(shù)平均變更率、瞬時(shí)變更率的概念.2.駕馭函數(shù)平均變更率的求法.3.駕馭導(dǎo)數(shù)的概念，會(huì)用導(dǎo)數(shù)的定義求簡(jiǎn)潔函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)．[重點(diǎn)]理解導(dǎo)數(shù)的概念．[難點(diǎn)]理解導(dǎo)數(shù)與瞬時(shí)變更率的關(guān)系．學(xué)問(wèn)點(diǎn)一平均變更率[填一填]1．平均變更率的定義對(duì)于函數(shù)f(x)，當(dāng)自變量x從x1變到x2時(shí)，函數(shù)值從f(x1)變到f(x2)，則稱式子eq\f(fx2－fx1,x2－x1)為函數(shù)f(x)從x1到x2的平均變更率．2．符號(hào)表示習(xí)慣上，自變量的變更量用Δx表示，即Δx＝x2－x1，函數(shù)值的變更量用Δy表示，即Δy＝f(x2)－f(x1)，于是平均變更率可以表示為eq\f(Δy,Δx).3．平均變更率的幾何意義如圖所示，函數(shù)f(x)的平均變更率的幾何意義是：直線AB的斜率．事實(shí)上，kAB＝eq\f(yA－yB,xA－xB)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1)＝eq\f(Δy,Δx).依據(jù)平均變更率的幾何意義，可求解有關(guān)曲線割線的斜率．[答一答]1．若函數(shù)在某區(qū)間上的平均變更率為零，能否說(shuō)明此函數(shù)在此區(qū)間上的函數(shù)值都相等？提示：不能．比如，f(x)＝x2在[－2,2]上的平均變更率為0，但其圖象在[－2,2]上先下降后上升，值域是[0,4]．2．一次函數(shù)f(x)＝ax＋b從x1到x2的平均變更率有什么特點(diǎn)？提示：一次函數(shù)的圖象為直線，圖象上隨意兩點(diǎn)間連線的斜率固定不變，故一次函數(shù)定義域內(nèi)的隨意兩個(gè)自變量之間的平均變更率等于常數(shù)a.學(xué)問(wèn)點(diǎn)二導(dǎo)數(shù)的概念[填一填]1．導(dǎo)數(shù)的定義一般地，函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的瞬時(shí)變更率是eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)，稱它為函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)．2．導(dǎo)數(shù)的符號(hào)表示用f′(x0)或y′|x＝x0表示函數(shù)f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)，即f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx).[答一答]3．依據(jù)平均速度與瞬時(shí)速度的定義探究以下問(wèn)題：(1)物體的平均速度能反映它在某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度嗎？(2)如何計(jì)算物體的平均速度和瞬時(shí)速度？提示：(1)不能，物體的瞬時(shí)速度是指某一時(shí)刻的速度，而平均速度是指某一段時(shí)間或一段路程的速度．(2)平均速度：一物體的運(yùn)動(dòng)方程為s＝s(t)，則它在[t1，t2]這個(gè)時(shí)間段內(nèi)的平均速度為eq\f(st2－st1,t2－t1).瞬時(shí)速度：一物體的運(yùn)動(dòng)方程為s＝s(t)，則它在t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度為eq\o(lim,\s\do14(Δt→0))eq\f(st0＋Δt－st0,Δt).4．依據(jù)函數(shù)的瞬時(shí)變更率與在某點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的定義，回答下列問(wèn)題：(1)瞬時(shí)變更率與平均變更率的關(guān)系是什么？它們的物理意義分別是什么？(2)瞬時(shí)變更率與函數(shù)在某點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的關(guān)系是什么？(3)設(shè)函數(shù)f(x)在x＝x0處可導(dǎo)，則導(dǎo)數(shù)值與x0，Δx都有關(guān)嗎？提示：(1)瞬時(shí)變更率是平均變更率在Δx無(wú)限趨近于0時(shí)，eq\f(Δy,Δx)無(wú)限趨近的值，瞬時(shí)變更率的物理意義是指物體運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度，平均變更率的物理意義是指物體運(yùn)動(dòng)的平均速度．(2)函數(shù)在某點(diǎn)處的瞬時(shí)變更率就是函數(shù)在此點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)．(3)導(dǎo)數(shù)是一個(gè)局部性的概念，它與函數(shù)y＝f(x)在x0及旁邊的函數(shù)值有關(guān)，與Δx無(wú)關(guān)．1．對(duì)Δx，Δy的理解(1)Δx，Δy是一個(gè)整體符號(hào)，而不是Δ與x，y相乘．(2)x1，x2是定義域內(nèi)不同的兩點(diǎn)，因此Δx≠0，但Δx可正也可負(fù)；Δy＝f(x2)－f(x1)是Δx＝x2－x1相應(yīng)的變更量，Δy的值可正可負(fù)，也可為零，因此平均變更率可正、可負(fù)、也可為零．2．導(dǎo)數(shù)概念的解讀(1)導(dǎo)數(shù)是一個(gè)局部概念，它只與函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處及其旁邊的函數(shù)值有關(guān)，與Δx無(wú)關(guān)．(2)f′(x0)是一個(gè)常數(shù)，即當(dāng)Δx→0時(shí)，存在一個(gè)常數(shù)與eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)無(wú)限接近．假如當(dāng)Δx→0時(shí)，eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)不存在，則稱函數(shù)f(x)在x＝x0處不行導(dǎo)．類型一求函數(shù)的平均變更率【例1】已知函數(shù)f(x)＝2x2＋1.(1)求函數(shù)f(x)在[2,2.01]上的平均變更率；(2)求函數(shù)f(x)在[x0，x0＋Δx]上的平均變更率．【思路分析】先求Δx，Δy，再利用平均變更率的定義求解．【解】(1)由f(x)＝2x2＋1，得Δy＝f(2.01)－f(2)＝0.0802，Δx＝2.01－2＝0.01，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(0.0802,0.01)＝8.02.(2)∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝2(x0＋Δx)2＋1－2xeq\o\al(2,0)－1＝2Δx(2x0＋Δx)，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(2Δx2x0＋Δx,Δx)＝4x0＋2Δx.eq\a\vs4\al(求函數(shù)平均變更率的步驟,1求自變量的變更量Δx＝x2－x1；,2求函數(shù)值的變更量Δy＝fx2－fx1；,3求平均變更率\f(Δy,Δx)＝\f(fx2－fx1,x2－x1).)分別計(jì)算下列三個(gè)圖象表示的函數(shù)h(t)在區(qū)間[0,3]上的平均變更率．解：對(duì)于(1)，Δh＝h(3)－h(huán)(0)＝10－0＝10，∴eq\f(Δh,Δt)＝eq\f(10,3－0)＝eq\f(10,3)，即平均變更率為eq\f(10,3).同理可以算得(2)(3)中函數(shù)h(t)在區(qū)間[0,3]上的平均變更率均為eq\f(10,3).類型二求瞬時(shí)速度【例2】已知s(t)＝5t2(s單位：m)．(1)求t從3s到3.1s的平均速度；(2)求t從3s到3.01s的平均速度；(3)求t＝3s時(shí)的瞬時(shí)速度．【解】(1)當(dāng)3≤t≤3.1時(shí)，Δt＝0.1，Δs＝s(3.1)－s(3)＝5×(3.1)2－5×32＝5×(3.1－3)×(3.1＋3)，∴eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(5×0.1×6.1,0.1)＝30.5(m/s)．(2)當(dāng)3≤t≤3.01時(shí)，Δt＝0.01，Δs＝s(3.01)－s(3)＝5×(3.01)2－5×32＝5×(3.01－3)×(3.01＋3)，∴eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(5×0.01×6.01,0.01)＝30.05(m/s)．(3)在t＝3旁邊取一個(gè)時(shí)間段Δt，即3≤t≤3＋Δt(Δt>0)，∴Δs＝s(3＋Δt)－s(3)＝5×(3＋Δt)2－5×32＝5·Δt·(6＋Δt)，∴eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(5Δt6＋Δt,Δt)＝30＋5Δt.當(dāng)Δt趨于0時(shí)，eq\f(Δs,Δt)趨于30.∴在t＝3時(shí)的瞬時(shí)速度為30m/s.瞬時(shí)速度即是平均速度\x\to(v)在Δt→0時(shí)的極限值，為此，要求瞬時(shí)速度，應(yīng)先求出平均速度，再求\x\to(v)在Δt→0時(shí)的極限值.甲、乙兩工廠經(jīng)過(guò)排污治理，污水的排放流量(W)與時(shí)間(t)的關(guān)系如圖所示，則治污效率較高的是甲．解析：在t0處，雖然W1(t0)＝W2(t0)，然而W2(t0－Δt)<W1(t0－Δt)(Δt>0)，所以|eq\f(W1t0－W1t0－Δt,Δt)|>|eq\f(W2t0－W2t0－Δt,Δt)|，所以在相同時(shí)間內(nèi)甲比乙的平均治污效率高．類型三求函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)【例3】(1)設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0旁邊有定義，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b為常數(shù))，則()A．f′(x)＝a B．f′(x)＝bC．f′(x0)＝a D．f′(x0)＝b(2)求函數(shù)f(x)＝eq\r(x)在x＝1處的導(dǎo)數(shù)．【思路分析】按導(dǎo)數(shù)的定義：①求Δy與Δx；②求eq\f(Δy,Δx)；③求eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(Δy,Δx).【解析】(1)f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))(a＋b·Δx)＝a.(2)解：由導(dǎo)數(shù)的定義知，函數(shù)在x＝1處的導(dǎo)數(shù)f′(1)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(f1＋Δx－f1,Δx)，而eq\f(f1＋Δx－f1,Δx)＝eq\f(\r(1＋Δx)－1,Δx)＝eq\f(1,\r(1＋Δx)＋1)，又eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(1,\r(1＋Δx)＋1)＝eq\f(1,2)，所以f′(1)＝eq\f(1,2).【答案】(1)C(2)見(jiàn)解析由導(dǎo)數(shù)的定義知，求一個(gè)函數(shù)y＝fx在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)的步驟如下：,1求函數(shù)值的變更量Δy＝fx0＋Δx－fx0；2求平均變更率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)；3取極限，得導(dǎo)數(shù)f′x0＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(Δy,Δx).簡(jiǎn)認(rèn)為：一差，二比，三趨近.求函數(shù)y＝3x2在x＝1處的導(dǎo)數(shù)．解：∵Δy＝3(1＋Δx)2－3×12＝6Δx＋3(Δx)2，∴eq\f(Δy,Δx)＝6＋3Δx，∴y′|x＝1＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))(6＋3Δx)＝6.理解導(dǎo)數(shù)概念不到位導(dǎo)致出錯(cuò)【例4】設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，且f′(x0)已知，求下列各式的極限值．(1)eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(fx0－Δx－fx0,Δx)；(2)eq\o(lim,\s\do14(h→0))eq\f(fx0＋h－fx0－h(huán),2h).【錯(cuò)解】(1)eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(fx0－Δx－fx0,Δx)＝f′(x0)．(2)eq\o(lim,\s\do14(h→0))eq\f(fx0＋h－fx0－h(huán),2h)＝eq\f(1,2)eq\o(lim,\s\do14(h→0))eq\f(fx0＋h－fx0－h(huán),h)＝eq\f(1,2)f′(x0)．【錯(cuò)因分析】在導(dǎo)數(shù)的定義中，增量Δx的形式是多種多樣的，但不論Δx是哪種形式，Δy必需選擇相對(duì)應(yīng)的形式．如(1)中Δx的變更量為Δx＝x0－(x0－Δx)，(2)中Δx的變更量為2h＝(x0＋h)－(x0－h(huán))．【正解】(1)eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(fx0－Δx－fx0,Δx)＝－eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(fx0－fx0－Δx,Δx)＝－f′(x0)．(2)eq\o(lim,\s\do14(h→0))eq\f(fx0＋h－fx0－h(huán),2h)＝f′(x0)．若函數(shù)f(x)在x＝a的導(dǎo)數(shù)為m，那么eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(fa＋2Δx－fa－2Δx,Δx)的值為4m.解析：eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(fa＋2Δx－fa－2Δx,Δx)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(fa＋2Δx－fa＋fa－fa－2Δx,Δx)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(fa＋2Δx－fa,Δx)＋eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(fa－fa－2Δx,Δx)＝2eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(fa＋2Δx－fa,2Δx)＋2eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(fa－2Δx－fa,－2Δx)＝2m＋2m＝4m.

1．一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程是s＝4－2t2，則在時(shí)間段[1,1＋Δt]內(nèi)相應(yīng)的平均速度為(D)A．2Δt＋4 B．－2Δt＋4C．2Δt－4 D．－2Δt－4解析：eq\x\to(v)＝eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(4－21＋Δt2－4＋2×12,Δt)＝eq\f(－4Δt－2Δt2,Δt)＝－2Δt－4.2．物體自由落體運(yùn)動(dòng)的方程為s＝s(t)＝eq\f(1,2)gt2(g＝9.8m/s2)．若v＝eq\o(lim,\s\do14(Δt→0))eq\f(s1＋Δt－s1,Δt)＝9.8m/s，那么說(shuō)法正確的是(C)A．9.8m/s是在0～1s這段時(shí)間內(nèi)的速率B．9.8m/s是從1s到(1＋Δt)s這段時(shí)間內(nèi)的速率C．9.8m/s是物體在t＝1s這一時(shí)刻的速率D．9.8m/s是物體在1s到(1＋Δt)s這段時(shí)間內(nèi)的平均速率解析：v＝eq\o(lim,\s\do14(Δt→0))eq\f(s1＋Δt－s1,Δt)＝s′(1)，即s(t)在t＝1s時(shí)的導(dǎo)數(shù)值．由導(dǎo)數(shù)的物理意義，得9.8m/s是物體在t＝1s這一時(shí)刻的速率．故選C.3．一物體的運(yùn)動(dòng)方程是s(t)＝3＋t2，則在一小段時(shí)間[2,2.1]內(nèi)相應(yīng)的平均速度為4.1.解析：eq\x\to(v)＝eq\f(s2.1－s2,2.1－2)＝eq\f(3＋2.12－3＋22,0.1)＝4.1.4．假如質(zhì)點(diǎn)按規(guī)律s＝3t2運(yùn)動(dòng)，則在t＝3時(shí)的瞬時(shí)速度為18.解析：v＝eq\o(lim,\s\do14(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do1