2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章計(jì)數(shù)原理1.3組合學(xué)案含解析北師大版選修2-3

PAGE§3組合學(xué)問(wèn)點(diǎn)一組合的定義[填一填]一般地，從n個(gè)不同元素中，任取m(m≤n)個(gè)元素為一組，叫作從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合，我們把有關(guān)求組合的個(gè)數(shù)的問(wèn)題叫作組合問(wèn)題．[答一答]1．如何區(qū)分一個(gè)問(wèn)題是排列問(wèn)題還是組合問(wèn)題？提示：一個(gè)問(wèn)題原委是組合問(wèn)題還是排列問(wèn)題，不能想當(dāng)然地推斷，必須要結(jié)合詳細(xì)的問(wèn)題，依照題目的要求，找尋處理的過(guò)程中是否與依次有關(guān)，假如與依次有關(guān)，就是排列問(wèn)題，否則就是組合問(wèn)題．

學(xué)問(wèn)點(diǎn)二組合[填一填]我們把從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的全部組合的個(gè)數(shù)，叫作從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，用符號(hào)Ceq\o\al(m,n)表示．[答一答]2．如何理解記憶組合數(shù)公式？提示：在記住排列數(shù)公式的基礎(chǔ)上，分母再除以m！就得組合數(shù)公式．學(xué)問(wèn)點(diǎn)三組合數(shù)的性質(zhì)[填一填]性質(zhì)1：Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n).性質(zhì)2：Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n).[答一答]3．如何理解和記憶組合數(shù)的性質(zhì)．提示：從n個(gè)元素中取m個(gè)元素，剩余(n－m)個(gè)元素，故Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n).從n＋1個(gè)元素中取m個(gè)元素記作Ceq\o\al(m,n＋1)，可認(rèn)為分作兩類：第一類為含有某元素a的取法為Ceq\o\al(m－1,n)，其次類不含有此元素a，則為Ceq\o\al(m,n)，依據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理得Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n).1．組合的定義(1)給出的n個(gè)元素是互不相同的，且從n個(gè)元素中抽取m個(gè)元素是沒(méi)有重復(fù)抽取狀況的，因而這m個(gè)元素也是互不相同的，這就確定了m≤n.(2)組合的定義中包含兩個(gè)基本內(nèi)容：一是“取出元素”，二是“并成一組”，“并成一組”即表示與依次無(wú)關(guān)．(3)由定義可知，兩個(gè)組合相同，只需這兩個(gè)組合的元素相同即可．2．組合數(shù)我們可以從集合的角度來(lái)理解，從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素并成一組是一個(gè)組合，任取m個(gè)元素組成的組合的全體構(gòu)成一個(gè)集合，例如：從3個(gè)不同元素a，b，c中任取2個(gè)的全部組合構(gòu)成的集合為：A＝{ab，ac，bc}．所謂組合數(shù)就是求這個(gè)集合的元素的個(gè)數(shù)．從集合中可以清晰地了解組合之間的互異性．3．組合數(shù)公式(1)組合數(shù)公式的推導(dǎo)應(yīng)留意以下兩點(diǎn)：①遵循從特殊到一般的原則，重點(diǎn)探討了從3個(gè)不同元素中取出2個(gè)元素的組合數(shù)．推導(dǎo)過(guò)程中采納了窮舉法．②遵循以退為進(jìn)的原則，先建立了組合與排列之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，依據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，把求從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)的過(guò)程分為兩步完成：求組合數(shù)；求全排列數(shù)．從而利用這種對(duì)應(yīng)關(guān)系和已知的排列數(shù)公式得到組合數(shù)公式．我們應(yīng)理解和駕馭這種分步解決問(wèn)題的思路，它在解決排列組合應(yīng)用題時(shí)特別重要．(2)組合數(shù)公式的應(yīng)用對(duì)于組合數(shù)公式我們強(qiáng)調(diào)：第一個(gè)公式體現(xiàn)了組合數(shù)與相應(yīng)排列數(shù)的關(guān)系，當(dāng)n確定而m改變時(shí)，組合數(shù)與m的一種函數(shù)關(guān)系．其次個(gè)公式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,m！n－m！)的主要作用有：①當(dāng)m，n較大時(shí)，可借助計(jì)算器，利用這個(gè)公式計(jì)算組合數(shù)比較便利．②對(duì)含有字母的組合數(shù)的式子進(jìn)行變形和論證時(shí)，常用此式．4．組合數(shù)的兩特性質(zhì)(1)性質(zhì)1：Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)①?gòu)膎個(gè)元素中取出m個(gè)元素，相當(dāng)于從這n個(gè)元素中留下n－m個(gè)元素，所以Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n).這體現(xiàn)了“取法”與“剩法”是“一一對(duì)應(yīng)”的思想．②性質(zhì)表達(dá)式的特點(diǎn)：等號(hào)兩邊組合數(shù)的下標(biāo)相同，上標(biāo)之和等于下標(biāo)．③性質(zhì)的作用：(Ⅰ)當(dāng)m>eq\f(n,2)時(shí)，計(jì)算Ceq\o\al(m,n)可轉(zhuǎn)化為計(jì)算Ceq\o\al(n－m,n)，簡(jiǎn)化運(yùn)算；(Ⅱ)Ceq\o\al(x,n)＝Ceq\o\al(y,n)?x＝y(tǒng)或x＋y＝n.(2)性質(zhì)2：Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n)①?gòu)暮衋的n＋1個(gè)不同的元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)是Ceq\o\al(m,n＋1)，這些組合可以分為兩類：第一類：取出的m個(gè)元素中含有元素a，相當(dāng)于從不含a的n個(gè)不同的元素中取出m－1個(gè)元素，共有Ceq\o\al(m－1,n)個(gè)．其次類：取出的m個(gè)元素中不含元素a，相當(dāng)于從不含a的n個(gè)不同的元素中取出m個(gè)元素，共有Ceq\o\al(m,n)個(gè)．依據(jù)加法原理，得到Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n).這體現(xiàn)了“含與不含某元素”的分類思想．②性質(zhì)表達(dá)式的特點(diǎn)：下標(biāo)相同而上標(biāo)差1的兩個(gè)組合數(shù)之和，等于下標(biāo)比原下標(biāo)多1而上標(biāo)與較大的相同的一個(gè)組合數(shù)．③性質(zhì)的作用：恒等變形，簡(jiǎn)化運(yùn)算．在今后學(xué)習(xí)“二項(xiàng)式定理”時(shí)，我們會(huì)看到它的詳細(xì)應(yīng)用．題型一組合的概念[例1](1)從甲、乙、丙、丁四位老師中選出兩位去參與學(xué)習(xí)溝通會(huì)，試推斷該問(wèn)題是組合問(wèn)題還是排列問(wèn)題，并寫出全部的可能狀況；(2)從甲、乙、丙、丁四位老師中選出兩位分別到A，B兩個(gè)班級(jí)當(dāng)班主任，試推斷該問(wèn)題是組合問(wèn)題還是排列問(wèn)題，并寫出全部的可能狀況．[思路探究](1)兩位老師參與學(xué)習(xí)溝通會(huì)沒(méi)有依次要求，是組合問(wèn)題；(2)由于班級(jí)不一樣，若選出兩位老師后，支配班級(jí)不同時(shí)，結(jié)果不一樣，所以是排列問(wèn)題．[解](1)該問(wèn)題為組合問(wèn)題，全部狀況為：甲、乙，甲、丙，甲、丁，乙、丙，乙、丁，丙、丁，共6種狀況．(2)該問(wèn)題為排列問(wèn)題，班級(jí)A，B的班主任的全部狀況為：(甲，乙)，(乙，甲)，(甲，丙)，(丙，甲)，(甲，丁)，(丁，甲)，(乙，丙)，(丙，乙)，(乙，丁)，(丁，乙)，(丙，丁)，(丁，丙)，共12種狀況．規(guī)律方法用組合的學(xué)問(wèn)解簡(jiǎn)潔的應(yīng)用題時(shí)，首先要推斷它是不是組合問(wèn)題，組合問(wèn)題與排列問(wèn)題的根本區(qū)分在于：排列問(wèn)題與依次有關(guān)，而組合問(wèn)題與依次無(wú)關(guān)．若依次對(duì)結(jié)果無(wú)影響，則是組合問(wèn)題，若依次對(duì)結(jié)果有影響，則是排列問(wèn)題．推斷下列問(wèn)題是組合問(wèn)題還是排列問(wèn)題．(1)設(shè)集合A＝{a，b，c，d，e}，則集合A的子集中含有3個(gè)元素的有多少個(gè)？(2)某鐵路途上有5個(gè)車站，則這條線上共需準(zhǔn)備多少種車票？多少種票價(jià)？(3)3人去干5種不同的工作，每人干一種，有多少種分工方法？(4)把3本相同的書分給5個(gè)學(xué)生，每人最多分得1本，有幾種安排方法？解：(1)因?yàn)楸締?wèn)題與元素依次無(wú)關(guān)，故是組合問(wèn)題．(2)因?yàn)榧渍镜揭艺镜能嚻迸c乙站到甲站的車票是不同的，故是排列問(wèn)題；但票價(jià)與依次無(wú)關(guān)，甲站到乙站與乙站到甲站是同一種票價(jià)，故是組合問(wèn)題．(3)因?yàn)榉止し椒ㄊ菑?種不同的工作中選出3種，按肯定依次分給3個(gè)人去干，故是排列問(wèn)題．(4)因?yàn)?本書是相同的，無(wú)論把3本書分給哪三人，都不需考慮他們的依次，故是組合問(wèn)題．題型二有關(guān)組合數(shù)的計(jì)算或證明[例2](1)已知eq\f(C\o\al(5,n－1)＋C\o\al(3,n－3),C\o\al(3,n－3))＝3eq\f(4,5)，求n.(2)證明：①Ceq\o\al(n,m)＝eq\f(m,m－n)Ceq\o\al(n,m－1)，②Ceq\o\al(k,n)·Ceq\o\al(m－k,n－k)＝Ceq\o\al(m,n)Ceq\o\al(k,m).[思路探究]充分利用組合數(shù)公式及性質(zhì)解題，并留意有關(guān)限制條件．[解](1)原方程可變形為eq\f(C\o\al(5,n－1),C\o\al(3,n－3))＋1＝eq\f(19,5)，即Ceq\o\al(5,n－1)＝eq\f(14,5)Ceq\o\al(3,n－3)，即eq\f(n－1n－2n－3n－4n－5,5！)＝eq\f(14,5)·eq\f(n－3n－4n－5,3！)，化簡(jiǎn)整理得n2－3n－54＝0.解此二次方程得n＝9或n＝－6(不合題意，舍去)．∴n＝9.(2)證明：①eq\f(m,m－n)Ceq\o\al(n,m－1)＝eq\f(m,m－n)·eq\f(m－1！,n！m－1－n！)＝eq\f(m！,n！m－n！)＝Ceq\o\al(n,m).②∵Ceq\o\al(k,n)·Ceq\o\al(m－k,n－k)＝eq\f(n！,k！n－k！)·eq\f(n－k！,m－k！n－m！)＝eq\f(n！,k！m－k！n－m！).Ceq\o\al(m,n)·Ceq\o\al(k,m)＝eq\f(n！,m！n－m！)·eq\f(m！,k！m－k！)＝eq\f(n！,k！n－m！m－k！)，∴Ceq\o\al(k,n)·Ceq\o\al(m－k,n－k)＝Ceq\o\al(m,n)·Ceq\o\al(k,m).規(guī)律方法解和組合數(shù)有關(guān)的方程、不等式、求值、證明等問(wèn)題時(shí)，要留意組合數(shù)公式及性質(zhì)，同時(shí)留意其成立的條件．計(jì)算：(1)Ceq\o\al(5,8)＋Ceq\o\al(98,100)·Ceq\o\al(7,7)；(2)Ceq\o\al(0,5)＋Ceq\o\al(1,5)＋Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(3,5)＋Ceq\o\al(4,5)＋Ceq\o\al(5,5)；(3)Ceq\o\al(n,n＋1)·Ceq\o\al(n－1,n).解：(1)原式＝Ceq\o\al(3,8)＋Ceq\o\al(2,100)×1＝eq\f(8×7×6,3×2×1)＋eq\f(100×99,2×1)＝56＋4950＝5006.(2)原式＝2(Ceq\o\al(0,5)＋Ceq\o\al(1,5)＋Ceq\o\al(2,5))＝2(Ceq\o\al(1,6)＋Ceq\o\al(2,5))＝2(6＋eq\f(5×4,2×1))＝32.(3)方法一：原式＝Ceq\o\al(n,n＋1)·Ceq\o\al(1,n)＝eq\f(n＋1！,n！)·n＝eq\f(n＋1·n！,n！)·n＝(n＋1)n＝n2＋n.方法二：原式＝(Ceq\o\al(n,n)＋Ceq\o\al(n－1,n))·Ceq\o\al(n－1,n)＝(1＋Ceq\o\al(1,n))·Ceq\o\al(1,n)＝(1＋n)·n＝n2＋n.題型三無(wú)約束條件的組合問(wèn)題[例3]一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小相同的7個(gè)白球和1個(gè)黑球．(1)從口袋內(nèi)取出3個(gè)球，共有多少種取法？(2)從口袋內(nèi)取出3個(gè)球，使其中含有1個(gè)黑球，有多少種取法？(3)從口袋內(nèi)取出3個(gè)球，使其中不含黑球，有多少種取法？[思路探究]先推斷是不是組合問(wèn)題，再用組合數(shù)公式寫出結(jié)果，最終求值．[解](1)從口袋內(nèi)的8個(gè)球中取出3個(gè)球，取法種數(shù)是Ceq\o\al(3,8)＝eq\f(8×7×6,3×2×1)＝56.(2)從口袋內(nèi)取出3個(gè)球有1個(gè)是黑球，于是還要從7個(gè)白球中再取出2個(gè)，取法種數(shù)是Ceq\o\al(1,1)Ceq\o\al(2,7)＝eq\f(7×6,2×1)＝21.(3)由于所取出的3個(gè)球中不含黑球，也就是要從7個(gè)白球中取出3個(gè)球，取法種數(shù)是Ceq\o\al(3,7)＝eq\f(7×6×5,3×2×1)＝35.規(guī)律方法解簡(jiǎn)潔的組合應(yīng)用題，要首先推斷它是不是組合問(wèn)題，即取出的元素是“合成一組”還是“排成一列”其次要看這件事是分類完成還是分步完成．現(xiàn)有10名老師，其中男老師6名，女老師4名．(1)現(xiàn)要從中選2名去參與會(huì)議，有多少種不同的選法？(2)現(xiàn)要從中選出男、女老師各2名去參與會(huì)議，有多少種不同的選法？解：(1)從10名老師中選2名去參與會(huì)議的選法有Ceq\o\al(2,10)＝45種．(2)從6名男老師中選2名有Ceq\o\al(2,6)種選法，從4名女老師中選2名有Ceq\o\al(2,4)種選法．依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有選法Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)＝90種．題型四有約束條件的組合問(wèn)題[例4]要從12人中選出5人去參與一項(xiàng)活動(dòng)，按下列要求，有多少種不同選法？(1)A，B，C三人必需入選；(2)A，B，C三人都不能入選；(3)A，B，C三人只有一人入選；(4)A，B，C三人至少一人入選；(5)A，B，C三人至多兩人入選．[思路探究]推斷是否與依次有關(guān)，確定是否為組合問(wèn)題．[解](1)只需再?gòu)腁，B，C之外的9人中選擇2人，所以有方法Ceq\o\al(2,9)＝36(種)．(2)由于A，B，C三人都不能入選，所以只能從余下的人中選擇5人，即有選法Ceq\o\al(5,9)＝126(種)．(3)可分兩步：先從A，B，C三人中選出一人，有Ceq\o\al(1,3)種選法；再?gòu)钠溆嗟?人中選擇4人，有Ceq\o\al(4,9)種選法．所以共有選法Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(4,9)＝378(種)．(4)(干脆法)可分三類：①A，B，C三人只選一人，則還需從其余9人中選擇4人，有選法Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(4,9)＝378(種)；②A，B，C三人中選擇兩人，則還需從其余9人中選擇3人，有選法Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(3,9)＝252(種)；③A，B，C三人都入選，則只需從余下的9人中選擇2人，有選法Ceq\o\al(3,3)Ceq\o\al(2,9)＝36(種)．由分類加法計(jì)數(shù)原理，共有選法378＋252＋36＝666(種)．(間接法)先從12人中任選5人，再減去A，B，C三人都不入選的狀況，共有選法Ceq\o\al(5,12)－Ceq\o\al(5,9)＝666(種)．(5)(干脆法)可分三類：①A，B，C三人均不入選，有Ceq\o\al(5,9)種選法；②A，B，C三人中選一人，有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(4,9)種選法；③A，B，C三人中選兩人，有Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(3,9)種選法．由分類加法計(jì)數(shù)原理，共有選法Ceq\o\al(5,9)＋Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(4,9)＋Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(3,9)＝756種．(間接法)先從12人中任選5人，再減去A，B，C三人均入選的狀況，即共有選法Ceq\o\al(5,12)－Ceq\o\al(2,9)＝756種．規(guī)律方法解答有限制條件的組合問(wèn)題的基本方法是“干脆法”和“間接法(解除法)”．其中用干脆法求解時(shí)，則應(yīng)堅(jiān)持“特殊元素優(yōu)先選取”的原則，優(yōu)先支配特殊元素的選取，再支配其他元素的選取．而選擇間接法的原則是“正難則反”，也就是若正面問(wèn)題分類較多、較困難或計(jì)算量較大，不妨從反面問(wèn)題入手，試一試看是否簡(jiǎn)捷些，特殊是涉及“至多”、“至少”等組合問(wèn)題時(shí)更是如此．此時(shí)正確理解“都不是”“不都是”“至多”“至少”等詞語(yǔ)的準(zhǔn)確含義是解決這些組合問(wèn)題的關(guān)鍵．(1)四面體的一個(gè)頂點(diǎn)為A，從其他頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)中取3個(gè)點(diǎn)，使它們和點(diǎn)A在同一平面上，有多少種不同的取法？解：(干脆法)如題圖，含頂點(diǎn)A的四面體的3個(gè)面上，除點(diǎn)A外都有5個(gè)點(diǎn)，從中取出3點(diǎn)必與點(diǎn)A共面，共有3Ceq\o\al(3,5)種取法；含頂點(diǎn)A的三條棱上各有三個(gè)點(diǎn)，它們與所對(duì)的棱的中點(diǎn)共面，共有3種取法．依據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，與頂點(diǎn)A共面三點(diǎn)的取法有3Ceq\o\al(3,5)＋3＝33(種)．(2)現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍(lán)色、綠色卡片各4張．從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張，不同取法的種數(shù)為(C)A．232 B．252C．472 D．484解析：本題考查了利用組合學(xué)問(wèn)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題．方法一：Ceq\o\al(3,16)－4Ceq\o\al(3,4)－Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,12)＝eq\f(16×15×14,6)－16－72＝560－88＝472.方法二：Ceq\o\al(0,4)Ceq\o\al(3,12)－3Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,12)＝eq\f(12×11×10,6)－12＋4×eq\f(12×11,2)＝220＋264－12＝472.解題時(shí)要留意干脆求解與反面求解相結(jié)合，做到不漏不重．題型五安排問(wèn)題[例5]有6本不同的書，依據(jù)以下要求處理，各有幾種分法？(1)平均分給甲、乙、丙三人；(2)甲得1本，乙得2本，丙得3本；(3)一人得1本，一人得2本，一人得3本；(4)平均分成三堆(組)；(5)一堆1本，一堆2本，一堆3本．[思路探究](1)、(2)兩題可設(shè)想甲、乙、丙三人依次如數(shù)取書；(3)則在(2)的基礎(chǔ)上甲、乙、丙三人全排列安排；由等概率思想，(4)為(1)的Aeq\o\al(3,3)分之一；(5)為(3)的Aeq\o\al(3,3)分之一．[解](1)每人得2本，可考慮甲先在6本書中任取2本，取法有Ceq\o\al(2,6)種，再由乙在余下的書中取2本，取法有Ceq\o\al(2,4)種，最終由丙取余下的2本書，有Ceq\o\al(2,2)種取法，由分步計(jì)數(shù)原理．所以共有分法數(shù)：N＝Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)＝90.所以一共有90種取法．(2)選取方法同(1)，所以共有分法數(shù)N＝Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)＝60.所以一共有60種取法．(3)在(2)中甲得1本，乙得2本，丙得3本的基礎(chǔ)上，考慮到甲、乙、丙三人的機(jī)會(huì)相等，讓甲、乙、丙三人全排列調(diào)換位置，所以共有分法數(shù)：N＝Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(3,3)＝360.所以一共有360種選法．(4)由于三堆的位置并無(wú)差別，可在(1)的狀況下，得共有分法數(shù)為：N＝eq\f(C\o\al(2,6)·C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(3,3))＝15.所以一共有15種分法．(5)類似(4)與(1)，考慮本題與(3)的差別，所以共有分法數(shù)：N＝Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)＝60(種)．所以一共有60種分法．規(guī)律方法本題利用計(jì)數(shù)原理和組合學(xué)問(wèn)，解決了安排問(wèn)題．解決此類問(wèn)題關(guān)鍵是實(shí)現(xiàn)合理的轉(zhuǎn)化，最基本最簡(jiǎn)潔的情形是分到詳細(xì)的人，并且各人分的數(shù)目確定，其他的都要向這種情形轉(zhuǎn)化．現(xiàn)有5名學(xué)生要進(jìn)入某工廠的四個(gè)車間去實(shí)習(xí)，每個(gè)車間至多去2人，有多少種不同的方法？解：本例要求5個(gè)人去四個(gè)車間，每個(gè)車間至多去2人，但是并沒(méi)有強(qiáng)調(diào)每個(gè)車間必需去幾人，因此，本例可分為如下兩類：有一個(gè)車間去2人，其余三個(gè)車間各去1人，或者，有兩個(gè)車間各去2人，一個(gè)車間去1人，一個(gè)車間不去人．依題意，至少有一個(gè)車間去2人，至多有兩個(gè)車間各去2人，因此，實(shí)習(xí)方案可分為兩類：第一類：有一個(gè)車間去2人，其余三個(gè)車間各去1人，所以，先在5個(gè)人中任選2人去一個(gè)車間，有Ceq\o\al(2,5)種方法；將此2人看做1個(gè)元素，連同其余3個(gè)人，共4個(gè)元素分別到四個(gè)車間，有Aeq\o\al(4,4)種方法，∴共有Ceq\o\al(2,5)·Aeq\o\al(4,4)＝240(種)．其次類：有兩個(gè)車間各去2個(gè)人，一個(gè)車間去1個(gè)人，一個(gè)車間不去人，因此，先在5個(gè)人中確定1個(gè)人去一個(gè)車間，并在四個(gè)車間中選一個(gè)車間插入此人，有Ceq\o\al(1,5)·Ceq\o\al(1,4)種方法；然后在其余4個(gè)人中選2人到一個(gè)車間，另2人則自然到另一車間，并在剩下的三個(gè)車間中選兩個(gè)車間來(lái)支配他們，有Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(2,3)(種)方法，∴共有Ceq\o\al(1,5)·Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(2,3)＝360(種)方法．由分類加法計(jì)數(shù)原理可知，所求方法共有240＋360＝600(種)．題型六排列、組合的綜合應(yīng)用[例6]有4個(gè)不同的球，四個(gè)不同的盒子，把球全部放入盒內(nèi)．(1)共有多少種放法？(2)恰有一個(gè)盒不放球，有多少種放法？(3)恰有一個(gè)盒內(nèi)放2個(gè)球，有多少種放法？(4)恰有兩個(gè)盒內(nèi)不放球，有多少種放法？[思路探究](1)可干脆用分步計(jì)數(shù)原理．(2)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：“4個(gè)球，三個(gè)盒子，每個(gè)盒子都要放球，共有幾種放法？”(3)該問(wèn)題事實(shí)上與問(wèn)題(2)是同一個(gè)問(wèn)題．(4)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：“4個(gè)球，兩個(gè)盒，每個(gè)盒必需放入球，有幾種放法？”[解](1)一個(gè)球一個(gè)球地放到盒子里去，每個(gè)球都可有4種獨(dú)立的放法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，放法共有44＝256(種)．(2)為保證“恰有一個(gè)盒子不放球”，先從四個(gè)盒子中隨意拿出去1個(gè)，即將4個(gè)球分成2,1,1的三組，有Ceq\o\al(2,4)種分法；然后再?gòu)娜齻€(gè)盒子中選一個(gè)放兩個(gè)球，其余兩個(gè)球，兩個(gè)盒子，全排列即可．由分步計(jì)數(shù)原理知，共有放法：Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(2,2)＝144(種)．(3)“恰有一個(gè)盒內(nèi)放2個(gè)球”，即另外的三個(gè)盒子放2個(gè)球，而每個(gè)盒子至多放1個(gè)球，即另外三個(gè)盒子中恰有一個(gè)空盒．因此，“恰有一個(gè)盒子放2個(gè)球”與“恰有1個(gè)盒子不放球”是一回事，故也有144種放法．(4)先從四個(gè)盒子中隨意拿走兩個(gè)有Ceq\o\al(2,4)種拿法，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：“4個(gè)球，兩個(gè)盒子，每盒必放球，有幾種放法？”從放球數(shù)目看，可分為(3,1)，(2,2)兩類．第一類：可從4個(gè)球中先選3個(gè)，然后放入指定的一個(gè)盒子中即可，有Ceq\o\al(3,4)·Ceq\o\al(1,2)種放法；其次類：有Ceq\o\al(2,4)種放法．因此共有Ceq\o\al(3,4)·Ceq\o\al(1,2)＋Ceq\o\al(2,4)＝14(種)．由分步乘法計(jì)數(shù)原理得“恰有兩個(gè)盒子不放球”的放法有：Ceq\o\al(2,4)·14＝84(種)．規(guī)律方法該例的分析過(guò)程比較重要，當(dāng)問(wèn)題從某個(gè)方面入手較困難時(shí)，可從另外一個(gè)角度去思索．該例是用干脆法求解．有幾個(gè)小題也可用間接法．請(qǐng)同學(xué)們?cè)囋嚕?1)我省中學(xué)學(xué)校自實(shí)施素養(yǎng)教化以來(lái)，學(xué)生社團(tuán)得到迅猛發(fā)展．某校高一新生中的五名同學(xué)準(zhǔn)備參與“春暉文學(xué)社”“舞者輪滑俱樂(lè)部”“籃球之家”“圍棋苑”四個(gè)社團(tuán)．若每個(gè)社團(tuán)至少有一名同學(xué)參與，每名同學(xué)至少參與一個(gè)社團(tuán)且只能參與一個(gè)社團(tuán)，且同學(xué)甲不參與“圍棋苑”，則不同的參與方法的種數(shù)為(C)A．72 B．108C．180 D．216解析：甲需從另外3個(gè)選一個(gè)，有Ceq\o\al(1,3)種方法，其余可分兩類，第一類：除同學(xué)甲外的另四名同學(xué)分別參與四個(gè)社團(tuán)，共有Aeq\o\al(4,4)種，其次類：其余四名同學(xué)只參與三個(gè)社團(tuán)，共有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)種，所以一共有Ceq\o\al(1,3)(Aeq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3))＝180(種)．(2)從1到9的九個(gè)數(shù)中取三個(gè)偶數(shù)和四個(gè)奇數(shù)，試問(wèn)：①能組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)？②上述七位數(shù)中三個(gè)偶數(shù)排在一起有幾個(gè)？③在①中的七位數(shù)中，偶數(shù)排在一起，奇數(shù)也排在一起的有幾個(gè)？④在①中隨意兩個(gè)偶數(shù)都不相鄰的七位數(shù)有幾個(gè)？解：①分步完成：第一步在4個(gè)偶數(shù)中取3個(gè)，可有Ceq\o\al(3,4)種狀況；其次步在5個(gè)奇數(shù)中取4個(gè)，可有Ceq\o\al(4,5)種狀況；第三步3個(gè)偶數(shù)，4個(gè)奇數(shù)進(jìn)行排列，可有Aeq\o\al(7,7)種狀況，所以符合題意的七位數(shù)有Ceq\o\al(3,4)·Ceq\o\al(4,5)·Aeq\o\al(7,7)＝100800(個(gè))．②上述七位數(shù)中，三個(gè)偶數(shù)排在一起的有Ceq\o\al(3,4)·Ceq\o\al(4,5)·Aeq\o\al(5,5)·Aeq\o\al(3,3)＝14400(個(gè))．③上述七位數(shù)中，3個(gè)偶數(shù)排在一起，4個(gè)奇數(shù)也排在一起的有Ceq\o\al(3,4)·Ceq\o\al(4,5)·Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(2,2)＝5760(個(gè))．④上述七位數(shù)中，偶數(shù)都不相鄰，可先把4個(gè)奇數(shù)排好，再將3個(gè)偶數(shù)分別插入5個(gè)空當(dāng)，共有Ceq\o\al(3,4)·Ceq\o\al(4,5)·Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(3,5)＝28800(個(gè))．——誤區(qū)警示系列——1．組合數(shù)公式用錯(cuò)致誤[例6]已知eq\f(1,C\o\al(m,5))－eq\f(1,C\o\al(m,6))＝eq\f(7,10C\o\al(m,7))，求m.[錯(cuò)解]由已知得eq\f(m！5－m！,5！)－eq\f(m！6－m！,6！)＝eq\f(77－m！m！,10×7！)，即60－10(6－m)＝(7－m)(6－m)，整理，得m2－23m＋42＝0，解得m＝21或m[正解]依題意知m的取值范圍是{m|0≤m≤5，m∈N}．由已知得eq\f(m！5－m！,5！)－eq\f(m！6－m！,6！)＝eq\f(77－m！m！,10×7！)，整理，得m2－23m＋42＝0，解得m＝21或m∵m∈[0,5]，∴m＝2.

[辨析]這是一個(gè)關(guān)于m的含組合數(shù)的方程．錯(cuò)解中，轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的一元二次方程后，忽視了m的允許值的范圍導(dǎo)致出錯(cuò)．解這類題時(shí)，要將Ceq\o\al(m,n)中m，n的范圍與方程的解綜合考慮，切忌盲目求解．2．概念混淆致誤[例7]有甲、乙、丙3項(xiàng)任務(wù)，任務(wù)甲須要2人擔(dān)當(dāng)，任務(wù)乙、丙各須要1人擔(dān)當(dāng)，從10人中選派4人擔(dān)當(dāng)這3項(xiàng)任務(wù)，不同的選法共有________種(用數(shù)字作答)．[錯(cuò)解一]分3步完成：第一步：從10人中選出4人，有Ceq\o\al(4,10)種方法．其次步：從這4人中選出2人擔(dān)當(dāng)任務(wù)甲，有Aeq\o\al(2,4)種方法．第三步：剩下的2人分別擔(dān)當(dāng)任務(wù)乙、丙，有Aeq\o\al(2,2)種方法．依據(jù)乘法原理，不同的選法共有Ceq\o\al(4,10)Aeq\o\al(2,4)Aeq\o\al(2,2)＝5040種．[錯(cuò)解二]分3步完成，不同的選法共有Ceq\o\al(4,10)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)＝1260種．[正解一]先從10人中選出2人擔(dān)當(dāng)任務(wù)甲；再?gòu)挠嘞?人中選出1人擔(dān)當(dāng)任務(wù)乙；最終從剩下的7人中選出1人去擔(dān)當(dāng)任務(wù)丙．依據(jù)乘法原理，不同的選法共有Ceq\o\al(2,10)Ceq\o\al(1,8)Ceq\o\al(1,7)＝2520(種)．[正解二]先從10人中選出2人擔(dān)當(dāng)任務(wù)甲；再?gòu)挠嘞?人中選出2人分別擔(dān)當(dāng)任務(wù)乙、丙．依據(jù)乘法原理，不同的選法共有Ceq\o\al(2,10)Aeq\o\al(2,8)＝2520(種)．[辨析]錯(cuò)解一的錯(cuò)因是：“排列”“組合”概念混淆不清．擔(dān)當(dāng)任務(wù)甲的兩人與依次無(wú)關(guān)，此處應(yīng)是組合問(wèn)題，即Aeq\o\al(2,4)應(yīng)為Ceq\o\al(2,4).錯(cuò)解二的錯(cuò)因是：剩下的2人去擔(dān)當(dāng)任務(wù)乙、丙，這與依次有關(guān)，此處應(yīng)是排列問(wèn)題，即Ceq\o\al(2,2)應(yīng)為Aeq\o\al(2,2).1．解不等式Ceq\o\al(m－1,8)>3Ceq\o\al(m,8).解：由eq\f(8！,m－1！9－m！)>eq\f(3×8！,m！8－m！)，整理得eq\f(1,9－m)>eq\f(3,m)，所以m>27－3m.所以m>eq\f(27,4)＝7－eq\f(1,4).又因?yàn)?≤m－1≤8，且0≤m≤8，m∈N，所以7≤m≤8，所以m＝7或8.2．上海某區(qū)政府召集5家企業(yè)的負(fù)責(zé)人開年終總結(jié)閱歷溝通會(huì)，其中甲企業(yè)有2人到會(huì)，其余4家企業(yè)各有1人到會(huì)，會(huì)上推選3人發(fā)言，則這3人來(lái)自3家不同企業(yè)的可能狀況的種數(shù)為16.解析：若3人中有一人來(lái)自甲企業(yè)，則共有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,4)種狀況；若3人中沒(méi)有甲企業(yè)的，則共有Ceq\o\al(3,4)種狀況．由分類加法原理可得，這3人來(lái)自3家不同企業(yè)的可能狀況共有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(3,4)＝16(種)．1．以下四個(gè)命題，屬于組合問(wèn)題的是(C)A．從3個(gè)不同的小球中，取出2個(gè)排成一列B．老師在排座次時(shí)將甲、乙兩位同學(xué)支配為同桌C．在電視節(jié)目中，主持人從100位幸運(yùn)觀眾中選出2名幸運(yùn)之星D．從13位司機(jī)中任選出兩位開兩輛車從甲地到乙地解析：A，B，D與依次有關(guān)，是排列問(wèn)題，只有C與依次無(wú)關(guān)，是組合問(wèn)題．2．某校開設(shè)A類選修課3門，B類選修課4門，一位同學(xué)從中共選3門．若要求兩類課程中各至少選一門，則不同的選法共有(A)A．30種 B．35種C．42種 D．48種解析：方法一：可分為以下2種狀