2024-2025學(xué)年四川天府新區(qū)高一上冊期中考試數(shù)學(xué)檢測試題（含解析）

2024-2025學(xué)年四川天府新區(qū)高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測試題一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.全稱量詞命題“，”的否定是（）A.， B.， C.， D.，2已知集合，，則等于（）A. B. C. D.3.下列各組函數(shù)表示同一函數(shù)的是（）A.， B.，C.， D.，4.函數(shù)，的值域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.5.已知函數(shù)的圖象如圖所示，則該函數(shù)的減區(qū)間為（）A. B.C. D.6.若不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（）A. B.C. D.7.已知，，滿足，則下列結(jié)論正確的是（）A.有最小值4 B.有最大值5C.有最小值4 D.有最大值48.定義一種新的運(yùn)算符號(hào)“”：，已知，，且的最小值是.則的所有取值是（）A. B. C.1 D.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.（在每小題給出的選項(xiàng)中，至少有一項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分）9.下列命題是真命題的為（）A.若，則B.若，則C.若且，則D.若且，則10.已知集合，，若，則a的取值可以是（）A.1 B.0 C.2 D.-211.下列說法正確的有（）A.的最小值為B.已知，則的最小值為C.函數(shù)最小值為2D.若正數(shù)x，y滿足，則的最小值為3三、填空題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分.12.函數(shù)的定義域?yàn)開__________.13.設(shè)，記，則函數(shù)的最小值為_______．14.已知函數(shù)f(x)=ax2?x+5,x≤12x,x>1滿足對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有四、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.設(shè)全集，集合，集合.（1），求集合和集合；（2）若“”是“”充分不必要條件，求m的取值范圍.16.已知函數(shù).（1）判斷并證明函數(shù)的奇偶性；（2）判斷函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)性，并用定義法證明.17.已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.（1）求函數(shù)解析式，并畫出具體函數(shù)圖象；（2）若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.18.某公司注重技術(shù)創(chuàng)新，今年加大了對(duì)產(chǎn)品研發(fā)的投入.通過市場分析，該公司生產(chǎn)的一款產(chǎn)品全年需投入固定成本100萬元，每生產(chǎn)千件該產(chǎn)品，需另投入成本萬元，且滿足：，由市場調(diào)研知，每件產(chǎn)品售價(jià)0.6萬元，且全年內(nèi)該產(chǎn)品能全部銷售完.（1）求出今年該產(chǎn)品的利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（千件）的函數(shù)關(guān)系式（利潤銷售額-成本）；（2）今年產(chǎn)量為多少千件時(shí)，企業(yè)所獲利潤最大？最大利潤是多少？19.“函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱”的充要條件是“對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意x，都有”．若函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且當(dāng)時(shí)，．（1）求的值；（2）設(shè)函數(shù)．（?。┳C明：函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；（ⅱ）若對(duì)任意，總存在，使得成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．2024-2025學(xué)年四川天府新區(qū)高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測試題一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.全稱量詞命題“，”的否定是（）A.， B.， C.， D.，【正確答案】B【分析】由全稱命題的否定是特稱直接求出即可；【詳解】全稱量詞命題“，”的否定是，，故選：B.2.已知集合，，則等于（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】求出集合,再進(jìn)行交集運(yùn)算即可.【詳解】結(jié)合題意可知，因?yàn)?，所?故選：D.3.下列各組函數(shù)表示同一函數(shù)的是（）A.， B.，C.， D.，【正確答案】C【分析】利用同一函數(shù)的定義逐個(gè)選項(xiàng)分析求解即可.【詳解】對(duì)于A，的定義域?yàn)椋亩x域?yàn)?，兩個(gè)函數(shù)定義域不一致，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，的定義域?yàn)椋亩x域?yàn)?，兩個(gè)函數(shù)定義域不一致，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，滿足同一函數(shù)的所有條件，故C正確，對(duì)于D，和的解析式不同，所以它們不是同一函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：C4.函數(shù)，的值域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.【正確答案】D【分析】由反比例函數(shù)的單調(diào)性求值域即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)fx=1x是反比例函數(shù)，在所以值域?yàn)椋蔬x：D5.已知函數(shù)的圖象如圖所示，則該函數(shù)的減區(qū)間為（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】由圖象上升下降的情況判斷即可.【詳解】函數(shù)的圖象在區(qū)間和是下降的，在區(qū)間和是上升的，故該函數(shù)的減區(qū)間為．故選：C.6.若不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】利用一元二次不等式的性質(zhì)建立不等式，求解參數(shù)范圍即可.【詳解】因?yàn)椴坏仁綄?duì)一切實(shí)數(shù)都成立，所以，解得，故B正確.故選：B7.已知，，滿足，則下列結(jié)論正確的是（）A有最小值4 B.有最大值5C.有最小值4 D.有最大值4【正確答案】AC【分析】利用基本不等式的乘“1”法即可求解的最值，直接利用基本不等式即可求解的最值.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故有最小值4，，故，進(jìn)而可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故有最小值4，故選：AC8.定義一種新的運(yùn)算符號(hào)“”：，已知，，且的最小值是.則的所有取值是（）A. B. C.1 D.【正確答案】D【分析】利用題中的定義得到，再結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】由定義知，，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)時(shí)，取得最小值為，又的最小值是，則，解得，故選：D.關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是讀懂定義，求出.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.（在每小題給出的選項(xiàng)中，至少有一項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分）9.下列命題是真命題的為（）A.若，則B.若，則C.若且，則D.若且，則【正確答案】BCD【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對(duì)于A：當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：由可知，即，所以由可得，故B正確；對(duì)于C：因?yàn)?，所以，即，由不等式的性質(zhì)可得，又，所以，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)?，所以，由不等式的性質(zhì)可得，故D正確；故選：BCD.10.已知集合，，若，則a的取值可以是（）A.1 B.0 C.2 D.-2【正確答案】BC【分析】由可得，結(jié)合條件列方程求，結(jié)合元素互異性檢驗(yàn)所得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，又，，所以或，解得或或，?dāng)時(shí)，，，滿足要求，當(dāng)時(shí)，，，滿足要求，當(dāng)時(shí)，，與元素互異性矛盾，故選：BC.11.下列說法正確的有（）A.的最小值為B.已知，則的最小值為C.函數(shù)的最小值為2D.若正數(shù)x，y滿足，則的最小值為3【正確答案】ABD【分析】利用基本不等式即可判斷A；變形后利用基本不等式判斷B；結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可判斷C；將化為，結(jié)合“1”的巧用，即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，由，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即是等號(hào)成立，則時(shí)，取得最小值為，因此A正確；對(duì)于B，時(shí)，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，則時(shí)，取得最小值為，因此B正確；對(duì)于C，，令，則在上單調(diào)遞增，故的最小值為，因此C錯(cuò)誤；對(duì)于D，正數(shù)滿足，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則當(dāng)時(shí)，取得最小值為，因此D正確，故選：ABD.易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方三、填空題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分.12.函數(shù)的定義域?yàn)開__________.【正確答案】【分析】根據(jù)分母不為0，直接列不等式求解即可.詳解】函數(shù)有意義則解得所以函數(shù)的定義域?yàn)楣时绢}考查了具體函數(shù)的定義域，是基礎(chǔ)題.13.設(shè)，記，則函數(shù)的最小值為_______．【正確答案】0【分析】根據(jù)題意，由所給的定義化簡函數(shù)，再結(jié)合分段函數(shù)的性質(zhì)，代入計(jì)算，即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，解得，當(dāng)時(shí)，解得，則，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以時(shí)，有最小值，且.故014.已知函數(shù)滿足對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.【正確答案】【分析】根據(jù)條件得到在定義域上單調(diào)遞減，再利用分段函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)及反比例函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】因?yàn)?，且，不妨設(shè)，則，，所以在定義域上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，又，所以滿足題意，當(dāng)時(shí)，由題有a>012a≥1a+4≥2綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是，故答案為.四、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.設(shè)為全集，集合，集合.（1），求集合和集合；（2）若“”是“”的充分不必要條件，求m的取值范圍.【正確答案】（1），；（2）【分析】（1）將代入集合B求解，利用集合的并集和補(bǔ)集、交集運(yùn)算求解即可；（2）利用充分不必要條件的定義，根據(jù)真子集關(guān)系列不等式可求實(shí)數(shù)的取值范圍．【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，又，所以或，所以，；【小問2詳解】因?yàn)椤啊笔恰啊钡某浞植槐匾獥l件，所以是的真子集，又，，所以，所以．16.已知函數(shù).（1）判斷并證明函數(shù)的奇偶性；（2）判斷函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)性，并用定義法證明.【正確答案】（1）奇函數(shù)，證明見解析（2）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，證明見解析【分析】（1）根據(jù)條件，利用奇偶函數(shù)的判斷方法，即可求解；（2）根據(jù)條件，利用函數(shù)單調(diào)性的定義，通過作差，變形化簡得到，即可求解.【小問1詳解】奇函數(shù)，證明如下，易知，函數(shù)的定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又，所以函數(shù)的奇函數(shù).【小問2詳解】函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，證明如下，任取，且，則，因?yàn)?，且，所以，得到，即，所以函?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.17.已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.（1）求函數(shù)的解析式，并畫出具體函數(shù)圖象；（2）若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【正確答案】（1），圖象見解析；（2）.【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合偶函數(shù)的定義，求出時(shí)，函數(shù)的解析式，結(jié)合二次函數(shù)及偶函數(shù)的性質(zhì)畫出圖象即可；（2）根據(jù)函數(shù)的圖象以及奇偶性分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性和對(duì)稱性可得，運(yùn)算求解即可.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，則，由題意可得：，因?yàn)楹瘮?shù)是上的偶函數(shù),所以f?x=fx所以，所以函數(shù)的解析式為fx=結(jié)合二次函數(shù)知識(shí)易畫出圖象如圖所示：【小問2詳解】結(jié)合該函數(shù)的圖象可知：在上單調(diào)遞減,在0,+∞上單調(diào)遞增.又因?yàn)楹瘮?shù)是上的偶函數(shù)，且，所以，整理可得:，解得.故實(shí)數(shù)m的取值范圍為0,2.18.某公司注重技術(shù)創(chuàng)新，今年加大了對(duì)產(chǎn)品研發(fā)的投入.通過市場分析，該公司生產(chǎn)的一款產(chǎn)品全年需投入固定成本100萬元，每生產(chǎn)千件該產(chǎn)品，需另投入成本萬元，且滿足：，由市場調(diào)研知，每件產(chǎn)品售價(jià)0.6萬元，且全年內(nèi)該產(chǎn)品能全部銷售完.（1）求出今年該產(chǎn)品的利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（千件）的函數(shù)關(guān)系式（利潤銷售額-成本）；（2）今年產(chǎn)量為多少千件時(shí)，企業(yè)所獲利潤最大？最大利潤是多少？【正確答案】（1）;（2）產(chǎn)量為50千件時(shí)，獲得的利潤最大，最大利潤為2200萬元.【分析】（1）利用分段函數(shù)即可求得全年的利潤萬元關(guān)于年產(chǎn)量千件的函數(shù)關(guān)系式；（2）利用二次函數(shù)求值域和均值定理求值域即可求得該企業(yè)全年產(chǎn)量為50千件時(shí)，所獲利潤最大為2200萬元.【小問1詳解】，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)時(shí)，，所以該公司今年該產(chǎn)品的產(chǎn)量為50千件時(shí)，獲得的利潤最大，最大利潤為2200萬元.19.“函數(shù)圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱”的充要條件是“對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意x，都有”．若函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且當(dāng)時(shí)，．（1）求的值；（2）設(shè)函數(shù)．（ⅰ）證明：函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；（ⅱ）若對(duì)任意，總存在，使得成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【正確答案】（1）（2）（?。┳C明見解析；（ⅱ）．【分析】（1）由函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，可得；（2）（?。┳C明即可；（ⅱ）由在值域?yàn)?，設(shè)在上的值域?yàn)锳，問題轉(zhuǎn)化為，先求解，分類討論軸與區(qū)間的關(guān)系，研究二次函數(shù)的值域即可.【小問1詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則，令，可得．【小問2詳解】（?。┳C明：由，得，所以函數(shù)的圖像關(guān)于對(duì)稱．