2023屆高考數學一輪復習-第1講-分類加法計數原理與分步乘法計數原理

第1講分類加法計數原理與分步乘法計數原理考向預測核心素養(yǎng)考查分類加法計數原理和分步乘法計數原理的應用，一般以小題的形式單獨考查或以古典概型為載體進行考查，有時也與概率相交匯以解答題的形式呈現.數學建模、邏輯推理[學生用書P250]一、知識梳理1．分類加法計數原理完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m＋n種不同的方法．[提醒](1)每類方法都能獨立完成這件事，它是獨立的、一次的，且每次得到的是最后結果，只需一種方法就可完成這件事．(2)各類方法之間是互斥的、并列的、獨立的．2．分步乘法計數原理完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m×n種不同的方法．[提醒](1)每一步得到的只是中間結果，任何一步都不能獨立完成這件事，只有各個步驟都完成了才能完成這件事．(2)各步之間是相互依存的，并且既不能重復也不能遺漏．常用結論1．完成一件事可以有n類不同方案，各類方案相互獨立，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法，…，在第n類方案中有mn種不同的方法．那么，完成這件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn種不同的方法．2．完成一件事需要經過n個步驟，缺一不可，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，…，做第n步有mn種不同的方法．那么，完成這件事共有N＝m1×m2×…×mn種不同的方法．二、教材衍化1．(人A選擇性必修第三冊P11練習T3改編)已知某公園有4個門，從一個門進，另一個門出，則不同的走法種數為()A．16 B.13C.12 D.10解析：選C.將4個門編號為1，2，3，4，從1號門進入后，有3種出門的方式，共3種走法，從2，3，4號門進入，同樣各有3種走法，共有不同走法4×3＝12(種)．2．(人A選擇性必修第三冊P26習題6.2T5改編)從4本不同的課外讀物中，買3本送給3名同學，每人各1本，則不同的送法種數是()A．12 B.24C.64 D.81解析：選B.4本不同的課外讀物選3本送給3位同學，每人一本，則不同的送法種數為Aeq\o\al(3,4)＝24.3.(人A選擇性必修第三冊P11習題6.1T2)如圖，從甲地到乙地有2條路，從乙地到丁地有3條路；從甲地到丙地有4條路，從丙地到丁地有2條路．從甲地到丁地共有____________條不同的路線．解析：2×3＋4×2＝14.答案：14一、思考辨析判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)在分類加法計數原理中，每類方案中的方法都能直接完成這件事．()(2)在分步乘法計數原理中，事情是分兩步完成的，其中任何一個單獨的步驟都能完成這件事．()(3)在分步乘法計數原理中，每個步驟中完成這個步驟的方法是各不相同的．()答案：(1)√(2)×(3)√二、易錯糾偏1．(混淆兩個計數原理致誤)已知集合M＝{1，－2，3}，N＝{－4，5，6，－7}，從M，N這兩個集合中各選一個元素分別作為點的橫坐標，縱坐標，則這樣的坐標在直角坐標系中可表示第一、第二象限內不同的點的個數是()A．12 B.8C.6 D.4解析：選C.分兩步：第一步先確定橫坐標，有3種情況，第二步再確定縱坐標，有2種情況，因此第一、二象限內不同的點的個數是3×2＝6，故選C.2．(分類遺漏致誤)從0，2中選一個數字，從1，3，5中選兩個數字，組成無重復數字的三位數，其中奇數的個數為()A．24 B.18C.12 D.6解析：選B.分兩類情況討論：第1類，奇偶奇，個位有3種選擇，十位有2種選擇，百位有2種選擇，共有3×2×2＝12(個)；第2類，偶奇奇，個位有3種選擇，十位有2種選擇，百位有1種選擇，共有3×2×1＝6(個)．根據分類加法計數原理知，共有12＋6＝18(個)．3．(不能正確使用分步乘法計數原理致誤)乘積(a1＋a2＋a3)(b1＋b2＋b3)(c1＋c2＋c3＋c4＋c5)展開后共有____________項．答案：45[學生用書P251])考點一分類加法計數原理(自主練透)復習指導：1.理解分類加法計數原理并能辨析、簡單應用．2．應用時要明確分類標準和原則(不重不漏)．1．(鏈接常用結論1)如圖所示，在A，B間有四個焊接點1，2，3，4，若焊接點脫落導致斷路，則電路不通，今發(fā)現A，B之間電路不通，則焊接點脫落的情況共有()A．9種 B.11種C.13種 D.15種解析：選C.按焊接點脫落的個數分類：脫落1個，有1，4，共2種；脫落2個，有(1，4)，(2，3)，(1，2)，(1，3)，(4，2)，(4，3)，共6種；脫落3個，有(1，2，3)，(1，2，4)，(2，3，4)，(1，3，4)，共4種；脫落4個，有(1，2，3，4)，共1種．由分類加法計數原理知，共有2＋6＋4＋1＝13(種)．故選C.2．在所有的兩位數中，個位數字大于十位數字的兩位數的個數是()A．18 B.36C.72 D.48解析：選B.方法一：按十位上的數字分別是1，2，3，4，5，6，7，8分成八類，在每一類中滿足條件的兩位數分別有8個、7個、6個、5個、4個、3個、2個、1個．由分類加法計數原理知，滿足條件的兩位數共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(個)．方法二：按個位上的數字分別是2，3，4，5，6，7，8，9分成八類，在每一類中滿足條件的兩位數分別有1個、2個、3個、4個、5個、6個、7個、8個．由分類加法計數原理知，滿足條件的兩位數共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(個)．3．(2022·石家莊第六中學檢測)從A地到B地，每天有直達班車4班；從A地到C地，每天有5個班車；從C地到B地，每天有3個班車，則從A地到B地，每天共有____________種不同的乘車方法．解析：分兩類：第一類直接到達，A地到B地，每天有直達班車4班，共有4種方法，第二類間接到達，從A地到C地，每天有5個班車，從C地到B地，每天有3個班車，共有5×3＝15種方法，根據分類加法計數原理可得共有4＋15＝19種方法．答案：194．(2022·保定質檢)甲、乙、丙三人踢毽子，互相傳遞，每人每次只能踢一下，由甲開始踢，經過4次傳遞后，毽子又被踢回給甲，則不同的傳遞方式共有________種．解析：分兩類：甲第一次踢給乙時，滿足條件的有3種傳遞方式(如圖)，同理，甲先傳給丙時，滿足條件的也有3種傳遞方式．由分類加法計數原理可知，共有3＋3＝6(種)傳遞方式．答案：6分類標準的選擇(1)應抓住題目中的關鍵詞、關鍵元素、關鍵位置．根據題目特點恰當選擇一個分類標準．(2)分類時應注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同種類的兩種方法是不同的方法，不能重復，但也不能有遺漏．考點二分步乘法計數原理(思維發(fā)散)(鏈接常用結論2)(1)(2022·泉州科技中學月考)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個正四棱錐，如圖，將一個四棱錐的每一個頂點染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，如果只有5種顏色可供使用，則不同的染色方法種數為()A．180 B.240C.420 D.480(2)有6名同學報名參加三個智力項目，每項限報一人，且每人至多參加一項，則共有____________種不同的報名方法．【解析】(1)分兩步，先將四棱錐一側面三頂點染色，然后再分類考慮另外兩頂點的染色數，用分步乘法計數原理可求解．由題設，四棱錐S-ABCD的頂點S,A,B所染的顏色互不相同，它們共有5×4×3＝60種染色方法；當S，A，B染好時，不妨設所染顏色依次為1,2,3，若C染2，則D可染3或4或5，有3種染法；若C染4，則D可染3或5，有2種染法；若C染5，則D可染3或4，有2種染法，即當S,A,B染好時，C,D還有7種染法．故不同的染色方法有60×7＝420種．故選C.(2)每項限報一個，且每人至多參加一項，因此可由項目選人，第一個項目有6種選法，第二個項目有5種選法，第三個項目有4種選法，根據分步乘法計數原理，可得不同的報名方法共有6×5×4＝120(種)．【答案】(1)C(2)1201．本例(2)中若將條件“每項限報一人，且每人至多參加一項”改為“每人恰好參加一項，每項人數不限”，則有多少種不同的報名方法？解：每人都可以從這三個比賽項目中選報一項，各有3種不同的報名方法，根據分步乘法計數原理，可得不同的報名方法共有36＝729(種)．2．本例(2)中若將條件“每項限報一人，且每人至多參加一項”改為“每項限報一人，但每人參加的項目不限”，則有多少種不同的報名方法？解：每人參加的項目不限，因此每一個項目都可以從這六人中選出一人參賽，根據分步乘法計數原理，可得不同的報名方法共有63＝216(種)．分步乘法計數原理的注意點(1)利用分步乘法計數原理解決問題時要注意按事件發(fā)生的過程來合理分步，即分步是有先后順序的，并且分步必須滿足：完成一件事的各個步驟是相互依存的，只有各個步驟都完成了，才算完成這件事．(2)分步必須滿足的兩個條件：一是各步相互獨立，互不干擾；二是步與步之間確保連續(xù)，逐步完成．|跟蹤訓練|1．從－1，0，1，2這四個數中選三個不同的數作為函數f(x)＝ax2＋bx＋c的系數，則可組成____________個不同的二次函數，其中偶函數有____________個．(用數字作答)解析：一個二次函數對應著a，b，c(a≠0)的一組取值，a的取法有3種，b的取法有3種，c的取法有2種，由分步乘法計數原理知共有3×3×2＝18(個)不同的二次函數．若二次函數為偶函數，則b＝0，同上可知共有3×2＝6(個)偶函數．答案：1862．已知集合A中有4個元素，B中有3個元素，C中有9個元素，則集合{(x，y，z)|x∈A，y∈B，z∈C}中的元素個數為____________．解析：分三個步驟，第一步確定x，有4種方法，第二步確定y，有3種方法，第三步確定z，有9種方法，由分步乘法計數原理得集合{(x，y，z)|x∈A，y∈B，z∈C}中有4×3×9＝108(個)元素．答案：108考點三兩個原理的綜合應用(多維探究)角度1數值問題用0，1，2，3，4，5，6這7個數字可以組成____________個無重復數字的四位偶數．(用數字作答)【解析】要完成的“一件事”為“組成無重復數字的四位偶數”，所以千位數字不能為0，個位數字必須是偶數，且組成的四位數中四個數字不重復，因此應先分類，再分步．①第1類，當千位數字為奇數，即取1，3，5中的任意一個時，個位數字可取0，2，4，6中的任意一個，百位數字不能取與這兩個數字重復的數字，十位數字不能取與這三個數字重復的數字．根據分步乘法計數原理，有3×4×5×4＝240(種)取法．②第2類，當千位數字為偶數，即取2，4，6中的任意一個時，個位數字可以取除首位數字外的任意一個偶數數字，百位數字不能取與這兩個數字重復的數字，十位數字不能取與這三個數字重復的數字．根據分步乘法計數原理，有3×3×5×4＝180(種)取法．所以根據分類加法計數原理，共可以組成240＋180＝420(個)無重復數字的四位偶數．【答案】420角度2涂色問題如圖，現要用5種不同的顏色對某市的4個區(qū)縣地圖進行著色，要求有公共邊的兩個地區(qū)不能用同一種顏色，共有____________種不同的著色方法．【解析】方法一(直接法)：第一步：對Ⅰ著色，不同的選擇有5種，第二步：對Ⅱ著色，不同的選擇有4種，第三步：對Ⅲ著色，不同的選擇有3種，第四步：對Ⅳ著色，因為Ⅳ與Ⅱ，Ⅲ相接，故著色與Ⅱ，Ⅲ都不能同色，不同的選擇有3種．根據分步乘法計數原理，不同的著色方法有5×4×3×3＝180(種)．方法二(根據所用顏色種數分類討論)：由題圖知Ⅰ與Ⅳ不相鄰，故這兩個地區(qū)可以同色，所以需要顏色的種數最少為3種，最多為4種．若使用3種顏色，即Ⅰ與Ⅳ同色，此時不同的著色方法有Aeq\o\al(3,5)＝60(種)；若使用4種顏色，即Ⅰ與Ⅳ不同色，此時不同的著色方法有Aeq\o\al(4,5)＝120(種)，由分類加法計數原理可得，不同的著色方法有60＋120＝180(種)．【答案】180角度3幾何圖形問題如果一條直線與一個平面平行，那么稱此直線與平面構成一個“平行線面組”．在一個長方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構成的“平行線面組”的個數是()A．60 B.48C.36 D.24【解析】長方體的6個表面構成的“平行線面組”的個數為6×6＝36，另含4個頂點的6個面(非表面)構成的“平行線面組”的個數為6×2＝12，故符合條件的“平行線面組”的個數是36＋12＝48.【答案】B兩個計數原理應用要點(1)應用兩個計數原理的難點在于明確分類還是分步．在處理具體的應用問題時，首先必須弄清楚“分類”與“分步”的具體標準是什么．選擇合理的標準處理事情，可以避免計數的重復或遺漏．(2)①分類要做到“不重不漏”．②分步要做到“步驟完整”．③混合問題一般是先分類再分步．(3)解題時可以畫出示意圖或樹狀圖，使問題的分析更直觀、清楚，便于探索規(guī)律．|跟蹤訓練|1．從集合{1，2，3，…，10}中任意選出三個不同的數，使這三個數成等比數列，這樣的等比數列的個數為()A．3 B.4C.6 D.8解析：選D.以1為首項的等比數列為1，2，4和1，3，9；以2為首項的等比數列為2，4，8；以4為首項的等比數列為4，6，9；把這4個數列的順序顛倒，又得到另外的4個數列，所以所求的數列共有2(2＋1＋1)＝8(個)．2.現有5種不同顏色的染料，要對如圖所示的四個不同區(qū)域進行涂色，要求有公共邊的兩個區(qū)域不能使用同一種顏色，則不同的涂色方法的種數是()A．120 B.140C.240 D.260解析：選D.由題意，先涂A處共有5種涂法，再涂B處有4種涂法，然后涂C處，若C處與A處所涂顏色相同，則C處共有1種涂法，D處有4種涂法；若C處與A處所涂顏色不同，則C處有3種涂法，D處有3種涂法，由此可得不同的涂色方法有5×4×(1×4＋3×3)＝260(種)．故選D.[學生用書P439(單獨成冊)])[A基礎達標]1．從3名女同學和2名男同學中選1人主持主題班會，則不同的選法種數為()A．6 B.5C.3 D.2解析：選B.5個人中每一個都可以主持，所以共有5種選法．2．滿足a，b∈{－1，0，1，2}，且關于x的方程ax2＋2x＋b＝0有實數解的有序數對(a，b)的個數為()A．14 B.13C.12 D.10解析：選B.方程ax2＋2x＋b＝0有實數解的情況應分類討論．①當a＝0時，方程為一元一次方程2x＋b＝0，不論b取何值，方程一定有解．此時b的取值有4個，故此時有4個有序數對．②當a≠0時，需要Δ＝4－4ab≥0，即ab≤1.顯然有3個有序數對不滿足題意，分別為(1，2)，(2，1)，(2，2)．a≠0時，(a，b)共有3×4＝12(個)實數對，故a≠0時滿足條件的實數對有12－3＝9(個)，所以答案應為4＋9＝13.3．(2022·青島模擬)中國有十二生肖，又叫十二屬相，每一個人的出生年份對應了十二種動物(鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬)中的一種．現有十二生肖的吉祥物各一個，已知甲同學喜歡牛、馬和猴，乙同學喜歡牛、狗和羊，丙同學所有的吉祥物都喜歡，讓甲、乙、丙三位同學依次從中選一個作為禮物珍藏，若各人所選取的禮物都是自己喜歡的，則不同的選法有()A．50種 B.60種C.80種 D.90種解析：選C.根據題意，按甲的選擇不同分成2種情況討論：若甲選擇牛，此時乙的選法有2種，丙的選法有10種，共有2×10＝20種不同的選法；若甲選擇馬或猴，此時甲的選法有2種，乙的選法有3種，丙的選法有10種，共有2×3×10＝60種不同的選法．綜上共有20＋60＝80種選法．4．為響應國家“節(jié)約糧食”的號召，某同學決定在某食堂提供的2種主食、3種素菜、2種大葷、4種小葷中選取一種主食、一種素菜、一種葷菜作為今日伙食，并在用餐時積極踐行“光盤行動”，則不同的選取方法有()A．48種 B.36種C.24種 D.12種解析：選B.由題意可知，分三步完成：第一步，從2種主食中任選一種有2種選法；第二步，從3種素菜中任選一種有3種選法；第三步，從6種葷菜中任選一種有6種選法，根據分步乘法計數原理，共有2×3×6＝36不同的選取方法，故選B.5．某市汽車牌照號碼可以上網自編，但規(guī)定從左到右第二個號碼只能從字母B，C，D中選擇，其他四個號碼可以從0～9這十個數字中選擇(數字可以重復)，有車主第一個號碼(從左到右)只想在數字3，5，6，8，9中選擇，其他號碼只想在1，3，6，9中選擇，則他的車牌號碼可選的所有可能情況有()A．180種 B.360種C.720種 D.960種解析：選D.按照車主的要求，從左到右第一個號碼有5種選法，第二個號碼有3種選法，其余三個號碼各有4種選法．因此車牌號碼可選的所有可能情況有5×3×4×4×4＝960(種)．6．從集合{1，2，3，4，…，10}中，選出5個數組成子集，使得這5個數中任意兩個數的和都不等于11，則這樣的子集有()A．32個 B.34個C.36個 D.38個解析：選A.將和等于11的數放在一組：1和10，2和9，3和8，4和7，5和6.從每一小組中取一個，有Ceq\o\al(1,2)＝2種，共有2×2×2×2×2＝32個子集．7．如果一條直線與一個平面垂直，那么稱此直線與平面構成一個“正交線面對”．在一個正方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構成的“正交線面對”的個數是()A．48 B.18C.24 D.36解析：選D.第1類，對于每一條棱，都可以與兩個側面構成“正交線面對”，這樣的“正交線面對”有2×12＝24(個)；第2類，對于每一條面對角線，都可以與一個對角面構成“正交線面對”，這樣的“正交線面對”有12個．所以正方體中“正交線面對”共有24＋12＝36(個)．8．如圖，從A到O有________種不同的走法(不重復過一點)．解析：分三類：第一類，直接由A到O，有1種走法；第二類，中間過一個點，有A→B→O和A→C→O，2種不同的走法；第三類，中間過兩個點，有A→B→C→O和A→C→B→O，2種不同的走法．由分類加法計數原理可得共有1＋2＋2＝5(種)不同的走法．答案：59．有10種不同的玩具汽車，9種不同的洋娃娃，8種不同的閃光球，從中任取兩種不同類的玩具，共有________種不同的取法．解析：任取兩種不同類的玩具，有三類，第1類，取玩具汽車、洋娃娃各一種；第2類，取洋娃娃、閃光球各一種；第3類，取玩具汽車、閃光球各一種．第1類中根據分步乘法計數原理知，有10×9＝90(種)不同的取法；第2類中有9×8＝72(種)不同的取法；第3類中有10×8＝80(種)不同的取法．由分類加法計數原理知，共有90＋72＋80＝242(種)不同的取法．答案：24210．在三位正整數中，若十位數字小于個位和百位數字，則稱該數為“駝峰數”．比如“102”“546”為“駝峰數”，由數字1，2，3，4可構成無重復數字的“駝峰數”有________個．解析：十位上的數為1時，有213，214，312，314，412，413，共6個，十位上的數為2時，有324，423，共2個，所以共有6＋2＝8(個)．答案：8[B綜合應用]11．我們把各位數字之和為6的四位數稱為“六合數”(如2013是“六合數”)，則首位為2的“六合數”共有()A．18個 B.15個C.12個 D.9個解析：選B.依題意，這個四位數的百位數、十位數、個位數之和為4.由4，0，0組成3個數分別為400，040，004；由3，1，0組成6個數分別為310，301，130，103，013，031；由2，2，0組成3個數分別為220，202，022；由2，1，1組成3個數分別為211，121，112.共有3＋6＋3＋3＝15(個)．12．(多選)下列各問題正確的是()A．某人從甲地到乙地，可以乘火車，也可以坐輪船，在這一天的不同時間里，火車有4趟，輪船有3次，此人的走法有7種B