【教無憂】2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)同步講義（人教A版2019）3.2.1 單調(diào)性與最大（?。┲担ň糯箢}型）

3.2.1單調(diào)性與最大（?。┲的夸汿OC\o"1-2"\h\z\u【題型歸納目錄】 2【思維導(dǎo)圖】 2【知識點梳理】 2【典型例題】 6題型一：單調(diào)性的概念 6題型二：函數(shù)的單調(diào)性的證明 10題型三：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 13題型四：利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍 15題型五：利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)解不等式 17題型六：利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)比較函數(shù)值的大小關(guān)系 20題型七：求函數(shù)的最值 23題型八：抽象函數(shù)單調(diào)性的證明 26題型九：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題 30

【題型歸納目錄】【思維導(dǎo)圖】【知識點梳理】知識點一、函數(shù)的單調(diào)性1、增函數(shù)、減函數(shù)的概念一般地，設(shè)函數(shù)的定義域為，區(qū)間如果對于內(nèi)的任意兩個自變量的值，當(dāng)時，都有，那么就說在區(qū)間上是增函數(shù)．如果對于內(nèi)的任意兩個自變量的值，當(dāng)時，都有，那么就說在區(qū)間上是減函數(shù)．知識點詮釋：（1）屬于定義域內(nèi)某個區(qū)間上；（2）任意兩個自變量且；（3）都有；（4）圖象特征：在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左向右是上升的，減函數(shù)的圖象從左向右是下降的．上升趨勢下降趨勢2、單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間（1）單調(diào)區(qū)間的定義如果函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)在區(qū)間上具有單調(diào)性，稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在某個區(qū)間上的性質(zhì)．知識點詮釋：①單調(diào)區(qū)間與定義域的關(guān)系單調(diào)區(qū)間可以是整個定義域，也可以是定義域的真子集；②單調(diào)性是通過函數(shù)值變化與自變量的變化方向是否一致來描述函數(shù)性質(zhì)的；③不能隨意合并兩個單調(diào)區(qū)間，單調(diào)區(qū)間之間可用“，”分開，不能用“∪”，可以用“和”來表示；④有的函數(shù)不具有單調(diào)性；⑤遵循最簡原則，單調(diào)區(qū)間應(yīng)盡可能大．3、證明函數(shù)單調(diào)性的步驟（1）取值．設(shè)是定義域內(nèi)一個區(qū)間上的任意兩個量，且；（2）變形．作差變形（變形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商變形；（3）定號．判斷差的正負(fù)或商與1的大小關(guān)系；（4）得出結(jié)論．4、函數(shù)單調(diào)性的判斷方法（1）定義法：根據(jù)增函數(shù)、減函數(shù)的定義，按照“取值—變形—判斷符號—下結(jié)論”進行判斷．（2）圖象法：就是畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象的上升或下降趨勢，判斷函數(shù)的單調(diào)性．（3）直接法：就是對我們所熟悉的函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等，直接寫出它們的單調(diào)區(qū)間．（4）記住幾條常用的結(jié)論①若是增函數(shù)，則為減函數(shù)；若是減函數(shù)，則為增函數(shù)；②若和均為增（或減）函數(shù)，則在和的公共定義域上為增（或減）函數(shù)；③若且為增函數(shù)，則函數(shù)為增函數(shù)，為減函數(shù)；若且為減函數(shù)，則函數(shù)為減函數(shù)，為增函數(shù)．5、單調(diào)性定義的等價形式（1）函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)：任取，且，；任取，且，；任取，且，；任取，且，．（2）函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)：任取，且，；任取，且，；任取，且，；任取，且，．6、復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷討論復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性時要注意：既要把握復(fù)合過程，又要掌握基本函數(shù)的單調(diào)性．一般需要先求定義域，再把復(fù)雜的函數(shù)正確地分解為兩個簡單的初等函數(shù)的復(fù)合，然后分別判斷它們的單調(diào)性，再用復(fù)合法則，復(fù)合法則如下：（1）若在所討論的區(qū)間上都是增函數(shù)或都是減函數(shù)，則為增函數(shù)；（2）若在所討論的區(qū)間上一個是增函數(shù)，另一個是減函數(shù)，則為減函數(shù)．列表如下：增增增增減減減增減減減增復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可簡記為“同增異減”，即內(nèi)外函數(shù)的單性相同時遞增；單性相異時遞減．因此判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可按下列步驟操作：（1）將復(fù)合函數(shù)分解成基本初等函數(shù)：，；（2）分別確定各個函數(shù)的定義域；（3）分別確定分解成的兩個基本初等函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．若兩個基本初等函數(shù)在對應(yīng)的區(qū)間上的單調(diào)性是同增或同減，則為增函數(shù)；若為一增一減或一減一增，則為減函數(shù)．知識點詮釋：（1）單調(diào)區(qū)間必須在定義域內(nèi)；（2）要確定內(nèi)層函數(shù)的值域，否則就無法確定的單調(diào)性．（3）若，且在定義域上是增函數(shù)，則都是增函數(shù)．7、利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值時應(yīng)先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再求最值．常用到下面的結(jié)論：（1）如果函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，則函數(shù)在處有最大值．（2）如果函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，則函數(shù)在處有最小值．若函數(shù)在上是嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)，則函數(shù)在上一定有最大、最小值．（3）若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)，則的最大值是，最小值是．（4）若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)，則的最大值是，最小值是．8、利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的范圍若已知函數(shù)的單調(diào)性，求參數(shù)的取值范圍問題，可利用函數(shù)單調(diào)性，先列出關(guān)于參數(shù)的不等式，利用下面的結(jié)論求解．（1）在上恒成立在上的最大值．（2）在上恒成立在上的最小值．實際上將含參數(shù)問題轉(zhuǎn)化成為恒成立問題，進而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在其定義域上的最大值和最小值問題．知識點二、基本初等函數(shù)的單調(diào)性1、正比例函數(shù)當(dāng)時，函數(shù)在定義域R是增函數(shù)；當(dāng)k<0時，函數(shù)在定義域R是減函數(shù)．2、一次函數(shù)當(dāng)時，函數(shù)在定義域R是增函數(shù)；當(dāng)k<0時，函數(shù)在定義域R是減函數(shù)．3、反比例函數(shù)當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，不存在單調(diào)增區(qū)間；當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，不存在單調(diào)減區(qū)間．4、二次函數(shù)若，在區(qū)間，函數(shù)是減函數(shù)；在區(qū)間，函數(shù)是增函數(shù)；若，在區(qū)間，函數(shù)是增函數(shù)；在區(qū)間，函數(shù)是減函數(shù)．知識點三、函數(shù)的最大（?。┲?、最大值：對于函數(shù)，其定義域為，如果存在，，使得對于任意的，都有，那么，我們稱是函數(shù)的最大值，即當(dāng)時，是函數(shù)的最大值，記作．2、最小值：對于函數(shù)，其定義域為，如果存在，，使得對于任意的，都有，那么，我們稱是函數(shù)的最小值，即當(dāng)時，是函數(shù)的最小值，記作．3、幾何意義：一般地，函數(shù)最大值對應(yīng)圖像中的最高點，最小值對應(yīng)圖像中的最低點，它們不一定只有一個．【典型例題】題型一：單調(diào)性的概念【典例1-1】（2024·高一·上海楊浦·期中）已知函數(shù)的定義域為，“”是“函數(shù)在區(qū)間是嚴(yán)格增函數(shù)”的（

）條件A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要【答案】B【解析】顯然由推不出函數(shù)單調(diào)，個別情況推不出整體的單調(diào)性，不滿足充分性；反之函數(shù)在區(qū)間是嚴(yán)格增函數(shù)，可知，滿足必要性.即“”是“函數(shù)在區(qū)間是嚴(yán)格增函數(shù)”的必要不充分條件.故選:B【典例1-2】（2024·高一·上?！るS堂練習(xí)）下列函數(shù)在定義域上為嚴(yán)格減函數(shù)的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】對于A:當(dāng)，當(dāng)，,在定義域上不是嚴(yán)格減函數(shù)，錯誤；對于B:當(dāng)，當(dāng)，，在定義域上不是嚴(yán)格減函數(shù)，錯誤；對于C:,當(dāng)，，在定義域上不是嚴(yán)格減函數(shù)，錯誤；對于D:因為在定義域內(nèi)為嚴(yán)格減函數(shù),正確.故選：D.【方法技巧與總結(jié)】單調(diào)性定義的等價形式（1）函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)：任取，且，；任取，且，；任取，且，；任取，且，．（2）函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)：任取，且，；任取，且，；任取，且，；任取，且，．【變式1-1】（2024·高一·江西·階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域為，則“”是“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增”的（

）A．充要條件 B．既不充分也不必要條件C．充分不必要條件 D．必要不充分條件【答案】D【解析】由得不到“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增”，如，，顯然滿足，但是函數(shù)在上遞增，在上遞減，故“”不是“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增”的充分條件；而由“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增”可得.則“”是“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增”的必要不充分條件.故選：D.【變式1-2】（2024·高一·全國·課后作業(yè)）下列說法正確的是（

）A．所有的函數(shù)在其定義域上都具有單調(diào)性.B．若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.C．若函數(shù)為R上的減函數(shù)，則.D．若函數(shù)在定義域上有，則函數(shù)是增函數(shù).【答案】C【解析】函數(shù)在其定義域上不具有單調(diào)性，故A錯誤；函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，而的單調(diào)遞減區(qū)間是，故B錯誤；若函數(shù)為R上的減函數(shù)，因為，所以，故C正確；函數(shù)，，滿足，而在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在其定義域R上不是增函數(shù)，故D錯誤.故選：C【變式1-3】（2024·高一·上?！て谀┮阎瘮?shù)的定義域為，給定下列四個語句：①在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，在區(qū)間上也是嚴(yán)格增函數(shù)；②在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，在區(qū)間上也是嚴(yán)格增函數(shù)；③在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，在區(qū)間上也是嚴(yán)格增函數(shù)；④在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，且是奇函數(shù).其中是“函數(shù)在上是嚴(yán)格增函數(shù)”的充分條件的有（

）個.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】對于①，令，滿足在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，在區(qū)間上也是嚴(yán)格增函數(shù)，但是函數(shù)在上不單調(diào)，故①錯誤；對于②：在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，在區(qū)間上也是嚴(yán)格增函數(shù)，即任意的都有，都有，所以，設(shè)任意的且，若，則，若，則，若，，則，所以函數(shù)在上是嚴(yán)格增函數(shù)，故②正確；對于③：在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，在區(qū)間上也是嚴(yán)格增函數(shù)，則在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，在區(qū)間上也是嚴(yán)格增函數(shù)，結(jié)合②可知，函數(shù)在上是嚴(yán)格增函數(shù)，故③正確；對于④：令，滿足在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，且是奇函數(shù)，但是函數(shù)在上不單調(diào)，故④錯誤.故選：B【變式1-4】（2024·高一·上海長寧·期末）已知函數(shù)的定義域為.是上的嚴(yán)格增函數(shù)；任意，都有，且當(dāng)時，恒有；：當(dāng)時，都有；下列關(guān)于的充分條件的判斷中，正確的是（

）A．都是 B．是，不是C．不是，是 D．都不是【答案】B【解析】根據(jù)題意，對于：任意，，都有，令，則有，再令，有，變形可得，則函數(shù)為奇函數(shù)；設(shè)，有，則有，必有，故函數(shù)是上的嚴(yán)格增函數(shù)，則是的充分條件；對于，例如，當(dāng)，滿足時，都有；但不是單調(diào)遞增函數(shù)，故不是的充分條件；故選：B．題型二：函數(shù)的單調(diào)性的證明【典例2-1】（2024·高一·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·期末）已知函數(shù).(1)求的解析式；(2)判斷在上的單調(diào)性，并根據(jù)定義證明.【解析】（1）因為，所以.（2）在上單調(diào)遞減.證明如下：令，則，，即，所以在上單調(diào)遞減.【典例2-2】（2024·高一·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，用單調(diào)性的定義證明在內(nèi)單調(diào)遞增【解析】，且，有，因為，且，所以，，所以，所以在內(nèi)單調(diào)遞增.【方法技巧與總結(jié)】（1）證明函數(shù)單調(diào)性要求使用定義；（2）如何比較兩個量的大??？（作差）（3）如何判斷一個式子的符號？（對差適當(dāng)變形）【變式2-1】（2024·高一·全國·專題練習(xí)）已知定義在上且，，當(dāng)，時，有試判斷函數(shù)在上是增函數(shù)還是減函數(shù)，并證明．【解析】任取，且，則，又，所以，因為當(dāng)，時，有，所以，又，則，即，所以在上是增函數(shù).【變式2-2】（2024·高一·河北邯鄲·期中）已知函數(shù)，圖象經(jīng)過點，且.(1)求的值；(2)用定義法證明函數(shù)y=f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增.【解析】（1）由題意得，解得（2）由（1）可知，，且，，因為，所以，又，所以，所以，即，所以，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.【變式2-3】（2024·高一·上海·課堂例題）判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論．【解析】當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間-1,1上為嚴(yán)格減函數(shù)．證明：設(shè)，則．因為，，所以，，，，所以，所以．所以當(dāng)時，函數(shù)在-1,1上為嚴(yán)格減函數(shù)．【變式2-4】（2024·高一·湖北武漢·階段練習(xí)）已知函數(shù)，，.(1)求的解析式；(2)試判斷函數(shù)在上的單調(diào)性并利用定義給予證明.【解析】（1）由題意得，解得∴.（2）在上單調(diào)遞增；證明：設(shè)，則，由，得，，，∴，∴，即，故在上單調(diào)遞增.題型三：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【典例3-1】（2024·高一·全國·課堂例題）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為【答案】和【解析】，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為和故答案為：和【典例3-2】（2024·高三·江西九江·階段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是．【答案】【解析】的對稱軸為，因為，所以的圖象開口向上，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.故答案為：【方法技巧與總結(jié)】（1）數(shù)形結(jié)合利用圖象判斷函數(shù)單調(diào)區(qū)間；（2）關(guān)于二次函數(shù)單調(diào)區(qū)間問題，單調(diào)性變化的點與對稱軸相關(guān)．（3）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性分析：先求函數(shù)的定義域；再將復(fù)合函數(shù)分解為內(nèi)、外層函數(shù)；利用已知函數(shù)的單調(diào)性解決．關(guān)注：內(nèi)外層函數(shù)同向變化復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)；內(nèi)外層函數(shù)反向變化復(fù)合函數(shù)為減函數(shù)．【變式3-1】（2024·高一·河南新鄉(xiāng)·階段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.【答案】【解析】，由，得，當(dāng)時，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以的單調(diào)增區(qū)間為．故答案為：．【變式3-2】（2024·高一·安徽六安·期中）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為．【答案】【解析】令，解得，設(shè)，，外函數(shù)為增函數(shù)，則復(fù)合函數(shù)的減區(qū)間即為內(nèi)函數(shù)的減區(qū)間，，對稱軸為，其開口向下，故其減區(qū)間為.故答案為：.【變式3-3】（2024·高一·廣東茂名·階段練習(xí)）已知，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.【答案】【解析】，畫出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故答案為：.【變式3-4】（2024·高一·全國·課后作業(yè)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.【答案】【解析】由題意可得，即，解得：，所以函數(shù)的定義域是，是由和復(fù)合而成，因為對稱軸為，開口向下，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，而單調(diào)遞增，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，故答案為：.【變式3-5】（2024·高一·上海浦東新·階段練習(xí)）函數(shù)的遞減區(qū)間是．【答案】和0,+∞【解析】當(dāng)時，為開口向下的拋物線，對稱軸為，此時在期間0,+∞單調(diào)遞減，當(dāng)時，，開口向上的拋物線，對稱軸為，此時在單調(diào)遞減，綜上所述：函數(shù)的遞減區(qū)間是，故答案為：和題型四：利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍【典例4-1】（2024·高一·湖北恩施·階段練習(xí)）已知函數(shù)滿足：對任意，當(dāng)時，都有成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】對任意，當(dāng)時都有成立，所以函數(shù)在上是增函數(shù)，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：C.【典例4-2】（2024·高一·吉林·階段練習(xí)）如果函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.那么實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】開口向上，對稱軸為，要想函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則需，解得，故實數(shù)的取值范圍是故選：A【方法技巧與總結(jié)】（1）解答分類問題時，我們的基本方法和步驟是：首先要確定討論對象以及討論對象的范圍；其次要確定分類標(biāo)準(zhǔn)，即標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一、不重不漏；再對所分類逐步進行討論，分級進行；最后進行歸納小結(jié)，綜合得出結(jié)論．（2）分離參數(shù)法，即把分離出來放到不等式的左邊，不等式的右邊是關(guān)于的函數(shù)，然后轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值問題．【變式4-1】（2024·高一·江西上饒·開學(xué)考試）已知函數(shù)在定義域上是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值可以為（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【解析】由題意可得，解得，故選項中A正確，B、C、D錯誤.故選：A.【變式4-2】（2024·高一·山東日照·階段練習(xí)）函數(shù)在上是減函數(shù)．則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)題意，函數(shù)在上是減函數(shù)，則有，解得，故選：B．【變式4-3】（2024·高一·江蘇常州·期中）已知函數(shù)，若對于任意，都有，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由任意，都有，知在單調(diào)遞減，要使在單調(diào)遞減，則或，即或.故選：A.【變式4-4】（2024·高一·江蘇揚州·期中）若函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】開口向上，對稱軸為，要想在區(qū)間上為單調(diào)增函數(shù)，則.故選：B題型五：利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)解不等式【典例5-1】（2024·高一·全國·課堂例題）已知函數(shù)在其定義域上是減函數(shù)，且，則的取值范圍為.【答案】【解析】因為函數(shù)在定義域上是減函數(shù)，需滿足，解得，即的取值范圍為.故答案為：.【典例5-2】（2024·高二·河北滄州·階段練習(xí)）已知是定義在區(qū)間上的增函數(shù)，且，如果滿足，則的取值范圍為．【答案】【解析】令，則，則，由可得：，因為是定義在區(qū)間上的增函數(shù)，所以，解得：.則的取值范圍為:.故答案為：.【方法技巧與總結(jié)】求字母取值范圍的題目，最終一定要變形成的形式，再依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性把符號脫掉得到關(guān)于字母的不等式再求解．【變式5-1】（2024·高一·山西大同·階段練習(xí)）已知是定義在R上的增函數(shù)，且，則的取值范圍是．【答案】【解析】因是定義在R上的增函數(shù)，故由可得，即，解得.故答案為：.【變式5-2】（2024·高一·四川遂寧·期末）已知函數(shù)在上有定義，且．若對任意給定的實數(shù)，均有恒成立，則不等式的解集是．【答案】【解析】因為對任意給定的實數(shù)，均有恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，又不等式，所以當(dāng)，即時，，則，解得，故；當(dāng)，即時，，則，解得，故；綜上，不等式的解集為.故答案為：.【變式5-3】（2024·高一·重慶云陽·階段練習(xí)）已知函數(shù)，則滿足的的取值范圍是．【答案】【解析】當(dāng)時，，，故，故，不成立；當(dāng)時，，，不成立，當(dāng)時，要使得，有兩種情況：第一種情況，，即，此時由于在上單調(diào)遞增，只需，解得，第二種情況，，即時，只需，解得，與取交集得，綜上，的取值范圍是．故答案為：【變式5-4】（2024·高一·四川成都·階段練習(xí)）定義在上的函數(shù)滿足:對，且，都有成立，且，則不等式的解集為.【答案】【解析】由題意，不等式可化為，令，因為對，且，都有成立,不妨設(shè)，則，故,則，即，所以在上單調(diào)遞增，又因為，所以，故可化為，所以由的單調(diào)性可得，即不等式的解集為.故答案為：.【變式5-5】（2024·高一·廣東佛山·期中）已知函數(shù)，若對任意，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】因為，則有：當(dāng)時，，此時單調(diào)遞增；當(dāng)時，，此時單調(diào)遞增，且，所以為上的連續(xù)函數(shù)且在上單調(diào)遞增.又因為，則，可得，即對任意恒成立，注意到的圖象開口向下，則，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.題型六：利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)比較函數(shù)值的大小關(guān)系【典例6-1】（2024·高一·全國·專題練習(xí)）定義在R上函數(shù)滿足以下條件：①函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱，②對任意，當(dāng)時都有，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】∵函數(shù)圖象關(guān)于對稱，且對任意，當(dāng)時都有，∴在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，∵，∴，∴．故選：B．【典例6-2】（2024·高一·遼寧·期中）已知函數(shù)的圖像關(guān)于對稱，且對任意的，，總有，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為對任意的，有，不妨設(shè)，則有因為，所以，即，所以在上是增函數(shù)，因為的圖像關(guān)于對稱，所以，故A錯誤；，故B錯誤；，故C錯誤，D正確.故選：D【方法技巧與總結(jié)】利用函數(shù)的單調(diào)性進行比較，數(shù)形結(jié)合．【變式6-1】（2024·高一·上?！るS堂練習(xí)）函數(shù)是實數(shù)集上的嚴(yán)格增函數(shù)，且，則（

）．A． B．C． D．【答案】A【解析】因為，所以，，又因為在R上嚴(yán)格增，所以，，所以.故選：A．【變式6-2】（2024·高一·河南新鄉(xiāng)·階段練習(xí)）已知，點都在二次函數(shù)的圖象上，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】二次函數(shù)，其圖象的對稱軸方程為，而，所以，即，當(dāng)時，是單調(diào)增函數(shù)，因為，所以，所以，即，綜上，．故選：D．【變式6-3】（2024·高一·湖南邵陽·期中）函數(shù)為定義在上的減函數(shù)，若，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】是定義在上的減函數(shù)，與的大小關(guān)系不能確定，從而關(guān)系不確定，故A錯誤；，時，；時，，故的關(guān)系不確定，故B錯誤；，，，故C正確．，時，；時，，故關(guān)系不確定，D錯誤，故選：C．【變式6-4】（2024·高一·上海·課后作業(yè)）函數(shù)在上是嚴(yán)格增函數(shù)，且，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由知且，由y=fx在R上是嚴(yán)格增函數(shù)，故，，故．故選：A.題型七：求函數(shù)的最值【典例7-1】（2024·高一·浙江衢州·期末）函數(shù)的最小值為.【答案】【解析】由題意可得函數(shù)的定義域為，，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)為增函數(shù)，所以當(dāng)時，取得最小值，最小值為，故答案為：.【典例7-2】（2024·高一·浙江寧波·開學(xué)考試）函數(shù)的最大值為.【答案】/【解析】，設(shè)，而在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，則.所以函數(shù)的最大值為.故答案為：【方法技巧與總結(jié)】（1）如果函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，則函數(shù)在處有最大值．（2）如果函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，則函數(shù)在處有最小值．若函數(shù)在上是嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)，則函數(shù)在上一定有最大、最小值．（3）若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)，則的最大值是，最小值是．（4）若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)，則的最大值是，最小值是．【變式7-1】（2024·高一·重慶沙坪壩·期中）函數(shù)在的值域是.【答案】【解析】因為在上單調(diào)遞增，故，且，所以函數(shù)的值域為；故答案為：【變式7-2】（2024·高一·陜西寶雞·期中）已知函數(shù)，(1)畫出函數(shù)的圖象；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(3)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值.【解析】（1）圖象如下：（2）當(dāng)時，，對稱軸為，開口向上，可得在時單調(diào)遞減；當(dāng)時，，開口向下，對稱軸為，所以上單調(diào)遞減；在區(qū)間上單調(diào)遞增，綜上，可得函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)遞減；在區(qū)間上單調(diào)遞增.（3）由圖象可得當(dāng)時，最大值為，當(dāng)時，最小值為，所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為4，最小值為.【變式7-3】（2024·高一·浙江杭州·期末）設(shè)函數(shù)．(1)判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并用定義證明結(jié)論；(2)若，求函數(shù)的值域．【解析】（1）函數(shù)在上單調(diào)遞增；證明：任取，且，則，因為，所以，所以，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；（2）因為，則，，所以，由（1）的證明過程知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得，函數(shù)在0,1上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，又，顯然，故，所以函數(shù)的值域為：【變式7-4】（2024·高一·重慶·期末）已知函數(shù)，且．(1)求實數(shù)的值；(2)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；(3)求函數(shù)在上的值域．【解析】（1）∵，且，，.（2）函數(shù)在上單調(diào)遞增．證明：任取，且，則∵，,即,∴函數(shù)在上單調(diào)遞增．（3）由（2）得在上單調(diào)遞增，∴在上單調(diào)遞增，又，∴在上的值域為．題型八：抽象函數(shù)單調(diào)性的證明【典例8-1】（2024·高一·全國·專題練習(xí)）已知定義域為R，對任意都有，且當(dāng)時，.試判斷的單調(diào)性，并證明；【解析】任取，且，因為，，所以，故，因為，所以，又因為當(dāng)時，，所以，所以，所以，即，所以在R上為減函數(shù).【典例8-2】（2024·高一·黑龍江哈爾濱·期中）已知定義在上的函數(shù)滿足、，；，.(1)求的值；(2)證明是上的增函數(shù)；(3)若，求的取值范圍.【解析】（1）令，得到，解得.（2）、，，則，所以，，則，即，所以是上的增函數(shù).（3）因為是上的增函數(shù)，且，所以，解得.因此，實數(shù)的取值范圍是.【方法技巧與總結(jié)】研究抽象函數(shù)的單調(diào)性是依據(jù)定義和題設(shè)來進行論證的．一般地，在高中數(shù)學(xué)中，主要有兩種類型的抽象函數(shù)，一是“”型[即給出所具有的性質(zhì)，如本例，二是“”型．對于型的函數(shù)，只需構(gòu)造，再利用題設(shè)條件將它用與表示出來，然后利用題設(shè)條件確定的范圍，從而確定與的大小關(guān)系；對型的函數(shù)，則只需構(gòu)造即可．【變式8-1】（2024·高一·福建南平·期中）已知定義在區(qū)間上的函數(shù)對于任意的，滿足，且當(dāng)時，.(1)求的值；(2)判斷的單調(diào)性并用單調(diào)性定義加以證明；(3)若，解不等式.【解析】（1）令，代入得，故.（2）任取，且，則，由于當(dāng)時，，所以，即，因此，所以函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù).（3）由題意有，則，而，所以.由于函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)由，得，∴.又因為，因此不等式的解集為或.【變式8-2】（2024·高一·安徽·期末）已知函數(shù)的定義域為，，，總有成立.若時，.(1)判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性；(2)若，求解關(guān)于x的不等式的解集.【解析】（1）在上單調(diào)遞減，證明如下：因為，，總有成立，當(dāng)時，，，且，則，則，即，所以在上單調(diào)遞減.（2）因為因為，，總有成立，所以，則，因為，所以，所以不等式可化為，所以，解得.所以不等式的解集為.【變式8-3】（2024·高三·全國·專題練習(xí)）已知定義在上函數(shù)同時滿足如下三個條件：①對任意都有；②當(dāng)時，；③．(1)計算的值；(2)證明在上為減函數(shù)；(3)有集合，問：是否存在點使？【解析】（1）由，，得．（2）對任意，有．根據(jù)條件②有．所以．所以在0,+∞上為減函數(shù)．（3）聯(lián)立，將，代入上式得，因為在0,+∞上是減函數(shù)，所以消去得．因為，所以無實數(shù)解．所以不存在滿足題設(shè)的點．【變式8-4】（2024·高一·山東德州·期中）已知定義在上的函數(shù)滿足：①對，，；②當(dāng)時，；③.(1)求，判斷并證明的單調(diào)性；(2)若對任意的，關(guān)于的不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）令，得，解得；在上的單調(diào)遞增.證明如下：任取，即，則，因為時，，所以時，，所以在上的單調(diào)遞增.（2）令，得，因為，所以，不等式等價于，即；因為在上單調(diào)遞增，所以恒成立，①時，，解得，不等式并非在上恒成立；②時，只有滿足條件，解得.綜上可得.題型九：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題【典例9-1】（2024·高一·廣東惠州·階段練習(xí)）已知二次函數(shù).(1)當(dāng)時，若在上的值域為，求m的取值范圍；(2)求在上的最小值的解析式.【解析】（1）當(dāng)時，，所以，又因為，，所以在上的值域為0,1時，；（2）由題意可知，的對稱軸為，且圖象開口向上，①當(dāng)時，在0,1上單調(diào)遞增，故；②當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故；③當(dāng)時，在0,1上單調(diào)遞減，故．綜上所述，．【典例9-2】（2024·高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，．(1)求的最大值；(2)當(dāng)時，求的最大值．【解析】（1）；當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞增，；當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，；綜上所述：.（2）由（1）知：當(dāng)時，；當(dāng)時，；綜上所述：當(dāng)時，的最大值為.【方法技巧與總結(jié)】二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題由它的單調(diào)性來確定，而它的單調(diào)性又由二次函數(shù)的開口方向和對稱軸的位置（在區(qū)間上，還是在區(qū)間左邊，還是在區(qū)間右邊）來確定，當(dāng)開口方向和對稱軸