逆向思維在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

【摘要】在初中數(shù)學(xué)解題中，當(dāng)學(xué)生無法運(yùn)用正向思維解決問題時(shí)，教師便可以讓學(xué)生嘗試從逆向角度看待問題，以降低解題的難度。鑒于此，簡(jiǎn)述逆向思維應(yīng)用在初中數(shù)學(xué)解題中的意義，并從創(chuàng)設(shè)情境、重視例題、逆向拓展、專題訓(xùn)練、逆用法則五個(gè)方面入手，探究逆向思維應(yīng)用在初中數(shù)學(xué)解題中的策略，旨在提高學(xué)生解題的正確率?！娟P(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；逆向思維；解題教學(xué)數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)之一，逆向思維的應(yīng)用則是解決數(shù)學(xué)問題的重要方法。初中生正處于從形象思維向抽象思維過渡的關(guān)鍵時(shí)期，逆向思維的培養(yǎng)能助力初中生發(fā)展思維能力，學(xué)會(huì)靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)。因此，在實(shí)際教學(xué)中，教師應(yīng)借助情境、例題等資源，為學(xué)生創(chuàng)造更多鍛煉逆向思維的機(jī)會(huì)，提高學(xué)生解決問題的能力。一、初中數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用逆向思維的意義（一）有助于培養(yǎng)學(xué)生解題思維在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中運(yùn)用逆向思維有助于學(xué)生解題思維的形成。教師通過需要運(yùn)用逆向思維的教學(xué)活動(dòng)，可以讓學(xué)生掌握多種解題方法，拓展解題思路。久而久之，學(xué)生可以養(yǎng)成從不同視角思考問題的習(xí)慣，使逆向思維能力和解題水平得到提升［1］。（二）有助于引導(dǎo)學(xué)生理解概念概念是學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的基礎(chǔ)，也是教師開展具體教學(xué)活動(dòng)的依據(jù)。學(xué)生對(duì)概念的掌握情況會(huì)影響學(xué)生思維的發(fā)散。這就需要教師提高對(duì)概念教學(xué)的重視程度，利用多樣化教學(xué)手段，助力學(xué)生對(duì)概念形成正確的認(rèn)知。當(dāng)前的初中數(shù)學(xué)教學(xué)對(duì)學(xué)生思維的廣度、深度有較高的要求。學(xué)生若僅憑正向思維，且沒有經(jīng)歷辯證、推導(dǎo)的過程，是很難深入理解數(shù)學(xué)概念的［2］。對(duì)此，教師通過設(shè)計(jì)解題教學(xué)活動(dòng)，鍛煉學(xué)生逆向思維，能使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念形成深層次理解，有效拓展知識(shí)面。（三）有助于發(fā)展學(xué)生邏輯思維初中數(shù)學(xué)學(xué)科中有一些知識(shí)點(diǎn)具有互逆性，如勾股定理及其逆定理、平行線的判定與性質(zhì)等等。教師講評(píng)相關(guān)的例題和習(xí)題時(shí)，鼓勵(lì)學(xué)生多維度思考數(shù)學(xué)問題，培養(yǎng)逆向思維能力，并靈活運(yùn)用公式、定理解決問題，能使學(xué)生打破思維定式，促進(jìn)學(xué)生邏輯思維能力的發(fā)展。二、初中數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用逆向思維的策略（一）創(chuàng)設(shè)情境，培養(yǎng)逆向思考意識(shí)許多初中數(shù)學(xué)例題和習(xí)題蘊(yùn)含著豐富的生活元素，這為逆向思維的培養(yǎng)提供了足夠的支持，有效彌補(bǔ)了傳統(tǒng)解題教學(xué)的不足。在教學(xué)中，教師應(yīng)通過創(chuàng)設(shè)情境的方式與學(xué)生展開互動(dòng)，激發(fā)學(xué)生的探究興趣［3］。教師可以立足于情境，引導(dǎo)學(xué)生從相反的角度展開思考。如此一來，學(xué)生能夠在教師的引導(dǎo)下發(fā)散思維，學(xué)會(huì)運(yùn)用逆向思維思考問題、解決問題。以蘇科版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)“9.4矩形、菱形、正方形”教學(xué)為例，為了讓學(xué)生理解矩形、菱形、正方形等特殊的平行四邊形的定義和性質(zhì)，教師在課堂中借助情境，培養(yǎng)學(xué)生逆向思考的意識(shí)。首先，教師在教學(xué)初始利用討論法，讓學(xué)生回答“誰能說一說平行四邊形的定義是什么？平行四邊形有哪些性質(zhì)？”等問題，旨在幫助學(xué)生復(fù)習(xí)舊知，同時(shí)為新知學(xué)習(xí)奠定良好基礎(chǔ)。其次，教師利用課件呈現(xiàn)矩形、菱形、正方形，并提問：“這三種圖形是平行四邊形嗎？它們的特點(diǎn)是什么？如何定義這三種圖形？”對(duì)此，學(xué)生在觀察圖形的基礎(chǔ)上，利用平行四邊形的定義和性質(zhì)逆向驗(yàn)證矩形、菱形、正方形的特點(diǎn)，使用學(xué)過的關(guān)于邊、角的知識(shí)給出矩形、菱形、正方形的定義。最后，教師引導(dǎo)學(xué)生借助逆向思維探究如下問題：有一天，明明小朋友在幼兒園的手工課上看到材料中有一張平行四邊形紙片，就拿起彩筆給紙片的一角涂上了綠色，涂完后因?yàn)閷?duì)自己的作品不滿意，所以想撕去一部分。如果手工課的后續(xù)環(huán)節(jié)還需要用到平行四邊形紙片，那么你認(rèn)為明明如何撕能既使紙片的形狀仍為平行四邊形，又能使自己的作品有創(chuàng)意？學(xué)生便根據(jù)平行四邊形的定義和性質(zhì)，找出解決問題的方法。在上述案例中，教師通過設(shè)置具體的情境，能引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問題進(jìn)行逆向思考，結(jié)合所學(xué)知識(shí)去分析和解決，從而深化對(duì)特殊的平行四邊形的認(rèn)識(shí)。（二）重視例題，逆用數(shù)學(xué)公式解題學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)計(jì)算時(shí)，往往需要代入公式，而這容易使其形成思維定式。為了避免該情況出現(xiàn)，教師應(yīng)通過逆用數(shù)學(xué)公式的方式，讓學(xué)生在解決問題時(shí)理解公式的推導(dǎo)過程。在實(shí)際教學(xué)中，教師可以以教材例題為基礎(chǔ)，在使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化的同時(shí)，指導(dǎo)學(xué)生結(jié)合數(shù)量關(guān)系進(jìn)行逆推，轉(zhuǎn)換解題視角［4］。以蘇科版數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)“2.3絕對(duì)值與相反數(shù)”教學(xué)為例，為了加深學(xué)生對(duì)絕對(duì)值概念的理解，教師在分析教材中的例題后創(chuàng)編如下習(xí)題，旨在鍛煉學(xué)生的逆向思維：若化簡(jiǎn)|1-x|-|x-4|的結(jié)果為2x-5，求x的取值范圍。教師發(fā)現(xiàn)，很多學(xué)生看完該習(xí)題后，第一反應(yīng)是把絕對(duì)值去掉，而化簡(jiǎn)后仍無法求出x的取值范圍。實(shí)際上，該習(xí)題不適合運(yùn)用正向思維解答。對(duì)此，教師指導(dǎo)學(xué)生結(jié)合絕對(duì)值的概念逆向思考，進(jìn)而推測(cè)出“1-x≤0”“x-4≤0”這兩個(gè)條件，得到x的取值范圍是1≤x≤4。這有助于學(xué)生在后續(xù)思考中，學(xué)會(huì)逆用數(shù)學(xué)公式解答題目，掌握類似問題的解法。（三）逆向拓展，幫助學(xué)生理清思路解題思路是學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和技能解決問題的關(guān)鍵，更是學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展?fàn)顩r的具體表現(xiàn)。培養(yǎng)學(xué)生逆向思維能幫助學(xué)生理清解題思路，拓展學(xué)生思維的廣度、深度，提高學(xué)生的解題能力。因此，教師可以從“突破教學(xué)重難點(diǎn)”“求解幾何證明題”兩個(gè)方面入手進(jìn)行逆向拓展。1.突破教學(xué)重難點(diǎn)，深入理解知識(shí)在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用逆向思維，讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的形成過程，能突破教學(xué)重難點(diǎn)，提高學(xué)生的理解能力和創(chuàng)造能力。以蘇科版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)“3.2勾股定理的逆定理”教學(xué)為例，考慮到勾股定理的逆定理是學(xué)生需要學(xué)習(xí)的重難點(diǎn)知識(shí)，因此教師在解題教學(xué)中結(jié)合學(xué)情，設(shè)計(jì)以下關(guān)于三角形的難度適中的問題，旨在讓學(xué)生在用逆向思維解題的過程中，深入理解知識(shí)：有一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)分別是a、b、c，且它的邊長(zhǎng)與實(shí)數(shù)n（n＞0）有著a=2n+1、b=2n2+2n、c=2n2+2n+1的關(guān)系。請(qǐng)?jiān)囍C明這個(gè)三角形是直角三角形。學(xué)生若借助正向思維，圍繞已知條件展開思考，往往在短時(shí)間內(nèi)找不到解題思路；而若運(yùn)用逆向思維，由問題逆推條件，在看到問題中的“直角三角形”后則會(huì)聯(lián)想到勾股定理。對(duì)此，教師指導(dǎo)學(xué)生思考若這個(gè)三角形是直角三角形，則這個(gè)三角形的三邊有怎樣的關(guān)系，進(jìn)而讓學(xué)生找到解題的關(guān)鍵所在，即a2+b2=4n4+8n3+8n2+4n+1=c2，得出這個(gè)三角形是直角三角形。2.求解幾何證明題，簡(jiǎn)化解題過程幾何證明題是初中數(shù)學(xué)學(xué)科中的常見題型。而對(duì)于一些難度較大的幾何證明題，如果利用正向思維解題，所需的步驟往往較多，解題過程較為復(fù)雜，且容易出現(xiàn)錯(cuò)誤。對(duì)此，教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生從證明的結(jié)果入手，逆向分析解題所需的條件，尋找更簡(jiǎn)便的解題方法。以蘇科版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)“2.5等腰三角形的軸對(duì)稱性”教學(xué)為例，教師在講解三線合一的定理時(shí)展示以下這道幾何證明題，旨在引導(dǎo)學(xué)生逆向推導(dǎo)定理，幫助學(xué)生掌握相關(guān)解法：如圖1所示，已知△ABC中，BD=CD，AD⊥BC，求證AB=AC，∠BAD=∠CAD。在求解這一問題時(shí)，教師讓學(xué)生先觀察AD在三角形中的地位，明白AD是三角形的中線，也是三角形的高線，三角形的中線和高線重合；然后根據(jù)三線合一的定理，判斷出AD還是三角形的頂角平分線；最后根據(jù)全等三角形判定定理，得出△ADB≌△ADC，AB=AC，∠BAD=∠CAD。在上述案例中，學(xué)生層層遞進(jìn)地展開逆向思考，發(fā)現(xiàn)了結(jié)論與問題之間的聯(lián)系，得出了對(duì)應(yīng)的結(jié)論，順利解決了問題。（四）專題訓(xùn)練，提供解題新思路在以往的學(xué)習(xí)中，部分學(xué)生在練習(xí)環(huán)節(jié)習(xí)慣根據(jù)條件推導(dǎo)結(jié)論。這部分學(xué)生的思維方式不利于教師取得理想的教學(xué)效果。同時(shí)，也有一些學(xué)生在解答關(guān)于函數(shù)圖像、幾何圖形的題目的過程中，容易遺漏題目中的隱含條件，無法順利解題。對(duì)此，教師應(yīng)設(shè)計(jì)專題訓(xùn)練活動(dòng)，指導(dǎo)學(xué)生按照新的思路解題。以蘇科版數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)“6.4探索三角形相似的條件”教學(xué)為例，為了幫助學(xué)生突破思維定式，教師開展需要運(yùn)用逆向思維的專題訓(xùn)練活動(dòng)。首先，教師利用課件展示以下問題：如圖2所示，已知△ABC中，D為AC上的一點(diǎn)，P為AB上的一點(diǎn)，AB=12，AC=8，AD=6，請(qǐng)問AP長(zhǎng)度為多少時(shí)△ADP和△ABC相似？其次，教師給予學(xué)生充足的時(shí)間去思考和解題，并鼓勵(lì)學(xué)生分享解題思路，從中了解到不少學(xué)生的解題過程很煩瑣。最后，教師結(jié)合學(xué)生在解題中出現(xiàn)的錯(cuò)誤進(jìn)行講評(píng)，在講評(píng)時(shí)應(yīng)用倒推法啟發(fā)學(xué)生思考，若要使△ADP和△ABC相似，需要滿足哪些條件，再讓學(xué)生回顧相似三角形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)本題存在△ADP∽△ABC、△ADP∽△ACB兩種情況，應(yīng)該進(jìn)行分類討論。在上述案例中，教師引導(dǎo)學(xué)生通過逆推形成正確的解題思路，能讓學(xué)生在解題時(shí)明確圖形與文字之間的聯(lián)系，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。（五）逆用法則，學(xué)會(huì)進(jìn)行逆運(yùn)算逆向思維與逆運(yùn)算有著密切的關(guān)系。教師應(yīng)通過教學(xué)活動(dòng)培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)行逆運(yùn)算的能力，并在學(xué)生展開逆向思考時(shí)，給予一定的指導(dǎo)和啟發(fā)。教師可以在學(xué)生解題的過程中引導(dǎo)學(xué)生逆用法則，利用科學(xué)的手段培養(yǎng)學(xué)生逆向思維能力［5］。以蘇科版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)“2.5直線與圓的位置關(guān)系”教學(xué)為例，對(duì)于其中涉及的多個(gè)法則、定理，教師抓住時(shí)機(jī)，為學(xué)生創(chuàng)造鍛煉能力的機(jī)會(huì)。首先，教師在講解知識(shí)點(diǎn)時(shí)，讓學(xué)生思考“直線與圓存在幾種位置關(guān)系？”這一問題，為學(xué)生進(jìn)行逆運(yùn)算奠定良好的基礎(chǔ)。其次，教師借助以下這道考查對(duì)直線與圓的位置關(guān)系的相關(guān)法則的逆用的習(xí)題，旨在讓學(xué)生嘗試運(yùn)用逆向思維：如圖3所示，已知DE是一條與x軸和y軸相交的射線，其中點(diǎn)D坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)E坐標(biāo)為（0，4）?？梢苿?dòng)的點(diǎn)C將從點(diǎn)M出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿著x軸向左做勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒。以點(diǎn)C為圓心、以t個(gè)單位長(zhǎng)度為半徑的⊙C與x軸交于A、B兩點(diǎn)。當(dāng)⊙C與射線DE有公共點(diǎn)時(shí)，求t的取值范圍。在學(xué)生讀懂題意后，教師引導(dǎo)學(xué)生思考在點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的過程中，⊙C的半徑怎樣變化，⊙C什么時(shí)候開始與射線DE有公共點(diǎn)，到什么時(shí)候不再與射線DE有公共點(diǎn)。學(xué)生通過分析圖3蘊(yùn)含的信息，發(fā)現(xiàn)⊙C在A、D兩點(diǎn)重合時(shí)開始與射線DE有公共點(diǎn)，在點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到⊙C與射線DE相切的位置后不再與