2025年上海青浦區(qū)高三一模高考數(shù)學試卷試題（含答案詳解）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2024學年第一學期高三年級期終學業(yè)質(zhì)量調(diào)研數(shù)學試卷（時間120分鐘，滿分150分）2024.12學生注意:1.本試卷包括試題紙和答題紙兩部分.2.在試題紙上答題無效，必須在答題紙上的規(guī)定位置按照要求答題.3.可使用符合規(guī)定的計算器答題.一.填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6每題4分，第7-12每題5分）考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果.1．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)（其中是虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于第象限.2．已知集合，則.3．不等式的解集為．4．已知直線與直線平行，則.5．兩條漸近線互相垂直的雙曲線的離心率為.6．已知數(shù)列滿足，則.7．在中，已知，若，則的面積為.8．已知圓柱的底面半徑為3，高為，圓錐的底面直徑和母線長相等.若圓柱和圓錐的體積相同，則圓錐的底面半徑為.9．的展開式中，項的系數(shù)為.10．已知函數(shù)的定義域為，值域為，則滿足條件的函數(shù)最多有個.11．若函數(shù)在區(qū)間上嚴格遞增，則實數(shù)取值范圍是12．已知是單位圓上任意不同三點，則的取值范圍是.二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13-14每題4分，第15-16每題5分）每題有且只有一個正確選項，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項的小方格涂黑.13．已知且滿足，則下列關(guān)系式恒成立的是（

）.A． B．C． D．14．若點關(guān)于xOy的對稱點為A，關(guān)于z軸的對稱點為B，則A、B兩點的對稱是（

）．A．關(guān)于xOz平面對稱 B．關(guān)于x軸對稱C．關(guān)于y軸對稱 D．關(guān)于坐標原點對稱15．已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且當時，，則關(guān)于函數(shù)在R上的零點的說法正確的是（

）.A．有4個零點，其中只有一個零點在區(qū)間上B．有4個零點，其中兩個零點在區(qū)間上，另外兩個零點在區(qū)間上C．有5個零點，兩個正零點中一個在區(qū)間上，一個在區(qū)間上D．有5個零點，都不在上16．對于數(shù)列，設(shè)數(shù)列的前項和為，給出下列兩個命題:①存在函數(shù)，使得;②存在函數(shù)，使得.則①是②的（

）.A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件二、解答題（本大題共有5題，滿分78分），解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)位置寫出必要的17．已知函數(shù)（Ⅰ）求的最小正周期及最大值；（Ⅱ）若，且，求的值.18．如圖，在三棱錐中，平面平面、分別為線段、上的點，且.(1)求證：平面；(2)求證：平面；19．第七屆中國國際進口博覽會于2024年11月5日至10日在上海舉辦，某公司生產(chǎn)的、三款產(chǎn)品在博覽會上亮相，每一種產(chǎn)品均有普通裝和精品裝兩種款式，該公司每天產(chǎn)量如下表:（單位:個）產(chǎn)品產(chǎn)品產(chǎn)品普通裝

180400精品裝300420600現(xiàn)采用分層抽樣的方法在某一天生產(chǎn)的產(chǎn)品中抽取100個，其中款產(chǎn)品有30個.(1)求的值；(2)用分層抽樣的方法在款產(chǎn)品中抽取一個容量為5的樣本，從樣本中任取2個產(chǎn)品，求其中至少有一個精品裝產(chǎn)品的概率;(3)對抽取到的款產(chǎn)品樣本中某種指標進行統(tǒng)計，普通裝產(chǎn)品的平均數(shù)為10，方差為2，精品裝產(chǎn)品的平均數(shù)為12，方差為1.8，試估計這天生產(chǎn)的款產(chǎn)品的某種指標的總體方差（精確到0.01）.20．已知橢圓為橢圓的右焦點，過點的直線交橢圓于、兩點.

(1)若直線垂直于軸，求橢圓的弦的長度；(2)設(shè)點，當時，求點的坐標；(3)設(shè)點，記、的斜率分別為和，求的取值范圍.21．已知函數(shù)，其中.(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)函數(shù)，問:函數(shù)的圖像上是否存在三點，使得它們的橫坐標成等差數(shù)列，且直線的斜率等于在點處的切線的斜率?若存在，求出所有滿足條件的點的坐標;若不存在，說明理由;(3)證明:函數(shù)圖像上任意一點都不落在函數(shù)圖像的下方答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．四【分析】求出復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)即可得解.【詳解】因為，所以，所以復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在第四象限.故答案為：四2．【分析】利用交集的定義求解.【詳解】因為，所以，故答案為:.3．【分析】化不等式一邊為0，再轉(zhuǎn)化成一元二次不等式求解即得.【詳解】不等式化為：，即，則，解得，所以不等式的解集為.故答案為：4．1【分析】根據(jù)平行關(guān)系列出等式求解的值并檢驗即可.【詳解】因為與平行，所以，解得或.當時，直線，直線，兩直線平行.當時，直線，直線，化簡為，此時兩直線重合，不符合要求，舍去.故答案為：1.5．【分析】求出兩漸近線方程，得到，從而得到離心率.【詳解】兩條漸近線互相垂直，由對稱性可知，兩漸近線的傾斜角分別為，漸近線方程為，故，所以漸近線的離心率為.故答案為：6．【分析】由所給等式得，兩式相減可求得的通項公式，代入通項即可得解.【詳解】因為①，當時，②，①②得，所以，所以.故答案為：7．【分析】根據(jù)給定條件，利用余弦定理求出，再利用三角形面積公式計算即得.【詳解】在中，，，由余弦定理得，解得，所以的面積為.故答案為：8．3【分析】求出圓柱的體積，設(shè)圓錐的底面半徑為，求出圓錐的高為，從而得到圓錐的體積，得到方程，求出答案.【詳解】圓柱的體積為，設(shè)圓錐的底面半徑為，則母線長為，故圓錐的高為，則，故，解得，故圓錐的底面半徑為3.故答案為：39．【分析】寫出展開式的通項，利用通項求出項的系數(shù).【詳解】展開式的通項為，，所以含的項為，即項的系數(shù)為.故答案為：10．14【分析】由函數(shù)的概念及分類加法計數(shù)原理、組合數(shù)計算得解.【詳解】由函數(shù)定義，轉(zhuǎn)化為給安排對應(yīng)的自變量，每一種對應(yīng)方式，即為一個函數(shù)，給取3個自變量，則對應(yīng)1個自變量，有種，給取2個自變量，則對應(yīng)2個自變量，有種，給取1個自變量，則對應(yīng)3個自變量，有種，所以由分類加法計數(shù)原理知，共有種不同的對應(yīng)方式，故答案為：1411．【分析】由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)在區(qū)間上嚴格遞減，在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，求出在區(qū)間上的范圍結(jié)合可得答案.【詳解】令，則，函數(shù)在區(qū)間上嚴格遞增，由函數(shù)在區(qū)間上嚴格遞減，則在區(qū)間上嚴格遞減，且，則由在區(qū)間上恒成立，得在區(qū)間上恒成立，因為時，，所以.且由，得，則實數(shù)取值范圍是.故答案為：.12．【分析】由等價于在上的投影，故可結(jié)合投影性質(zhì)，得到當與反向共線時，在上的投影取最小，當與同向共線時，在上的投影取最大，再結(jié)合的范圍，即可得到相應(yīng)投影的最小、最大值，即可得解.【詳解】等價于在上的投影，如圖1，在單位圓圓上任取兩點、，則對任意的，當與反向共線時，在上的投影取最小，作于點，設(shè)，取中點，有，則，，則，由，故；如圖2，在單位圓圓上任取兩點、，則對任意的，當與同向共線時，在上的投影取最大，作于點，設(shè)，取中點，有，則，，則，由，故；綜上所述，.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵點在于得到表示在上的投影，從而數(shù)形結(jié)合，借助投影性質(zhì)解題.13．D【分析】利用不等式的性質(zhì)，以及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、冪函數(shù)的性質(zhì)、正弦函數(shù)的圖象性質(zhì)求解.【詳解】對A，取，則，A錯誤；對B，取，則，即，B錯誤；對C，取，滿足，但，C錯誤；對D，因為冪函數(shù)在定義域R上單調(diào)遞增，且，所以，D正確；故選：D.14．D【分析】運用空間向量坐標表示以及對稱中的坐標特點可解.【詳解】點關(guān)于xOy的對稱點為A，則A坐標；點關(guān)于z軸的對稱點為B，則B坐標；則根據(jù)坐標特點知道A、B兩點關(guān)于原點對稱.故選：D．15．D【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)零點的定義可判斷時，函數(shù)有兩個零點，然后結(jié)合函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，即可得到時的零點，從而得到結(jié)果.【詳解】由于函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，故，即0是函數(shù)的一個零點；當時，，此時函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，即此時函數(shù)在和內(nèi)各有一個零點，在上無零點，又函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，故函數(shù)在和也內(nèi)各有一個零點，綜合上述可知函數(shù)有5個零點，都不在上故選：D16．B【分析】取特例可知①推不出②，根據(jù)反函數(shù)可知滿足②能推出①，結(jié)合充分條件、必要條件的概念得解.【詳解】取，存在，使得成立，此時由函數(shù)定義知，不存在函數(shù)，使得，當存在函數(shù)，使得成立時，由于與為一一對應(yīng)關(guān)系，所以就可以寫成的反函數(shù)，即可以用表示，即存在函數(shù)，所以存在，綜上可知，①是②的必要不充分條件.故選：B【點睛】關(guān)鍵點點睛：對于新概念問題需要去理解，本題理解了之后，可以根據(jù)函數(shù)的概念去判斷①②之間的推出關(guān)系得解.17．（Ⅰ）（Ⅱ）【詳解】第（Ⅰ）題，化簡函數(shù)解析式為最簡形式，利用公式求出周期和最值．第（Ⅱ）題，是給值求角問題，要先限定范圍．（Ⅰ），因為所以的最小正周期為，最大值為.因為，所以.因為，所以，即.所以，故.【考點定位】本題考查了二倍角公式、兩角和的正弦公式、三角函數(shù)的性質(zhì).考查了三角函數(shù)式的化簡、求值，故考查了運算求解能力.18．(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）利用三角形等比例性質(zhì)，根據(jù)線面平行的判定推理即得.（2）連接，根據(jù)給定條件，根據(jù)勾股定理及余弦定理求得，根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理平面，從而利用線面垂直的性質(zhì)定理得，最后利用線面垂直的判定定理證明即可.【詳解】（1）因為、分別為線段、上的點，且，所以，又平面，平面，所以平面.（2）因為，所以，所以，，連接，又，所以，所以，又，所以，所以，因為平面平面，交線為，平面，所以平面，平面，所以，因為，，平面，所以平面.19．(1)100；(2)；(3).【分析】（1）由分層隨機抽樣的抽樣比直接計算即可；（2）由古典概型結(jié)合組合數(shù)公式即可求解；（3）根據(jù)分層抽樣總體的方差公式求解即可.【詳解】（1）由題意可知，該工廠一天所生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)為現(xiàn)采用分層抽樣的方法在這一天生產(chǎn)的產(chǎn)品中抽取100個，其中B款產(chǎn)品有30個，則，解得.（2）設(shè)所抽取的樣本中有個精品裝產(chǎn)品，則，解得所以容量為5的樣本中，有3個精品裝產(chǎn)品，2個普通裝產(chǎn)品.因此從樣本中任取2個產(chǎn)品，至少有1個精品裝產(chǎn)品的概率為（3）由題意，某項指標總體的平均數(shù)為，所以由分層抽樣的總體方差公式可得20．(1)(2)或(3)【分析】（1）可根據(jù)橢圓定義和弦長公式求解；（2）利用點P和點F的中點為可知中點坐標為左焦點坐標，之后利用橢圓的定義求得點A坐標；（3）第三問需分類討論，當斜率不存在時，直接求坐標和斜率，當斜率不存在時，設(shè)斜率為，設(shè)點A,B坐標，寫出直線方程，最終將轉(zhuǎn)化為與斜率的關(guān)系，可通過直線方程和橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理和基本不等式最終解決該題?！驹斀狻浚?）由題意可知，，∴F1,0,又∵當直線垂直于軸時，直線的方程為，由得，，∴弦AB的長為.（2）∵，且直線過點F，∴，在中，，∴斜邊PF的中點，恰為橢圓的左焦點,∴,又由橢圓的定義可得，∴點在線段的垂直平分線上，又在橢圓上，∴為橢圓的上頂點或下頂點，∴或.（3）當直線AB的斜率不存在時，不妨設(shè)，∴，故；當直線AB的斜率存在時，設(shè)斜率為，則直線AB：y=kx?1，設(shè)Ax由得，，∴，∴，化簡得，①當，，當且僅當時等式成立；②當，，當且僅當時等式成立；③當，；綜上所述可得，的取值范圍為.21．(1)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為(2)不存在，理由見解析(3)證明見解析【分析】（1）求出函數(shù)導數(shù)，利用導數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）利用反證法，先假設(shè)存在，化簡后得出矛盾即可證明；（3）構(gòu)造新函數(shù)，原題轉(zhuǎn)化為求證新函數(shù)的最小值不小0即可.【詳解】（1）定義域為，，顯然在上嚴格增，且.所以當時，；當時，.的單調(diào)遞減區(qū)