教學課件-《簡明線性代數(shù)》

§1.3逆矩陣第一章矩陣與行列式§1.1矩陣及其運算§1.2行列式§1.4矩陣分塊法二、矩陣的乘法運算§1.1矩陣及其運算

一、矩陣及其線性運算三、矩陣的轉(zhuǎn)置運算

用粗體大寫字母表示矩陣,以上矩陣記為

A

(aij).m

n

矩陣

aij:矩陣的第i

行第j列的元素,簡稱(i,j)元.一、矩陣及其線性運算

由m

n個數(shù)aij(i

1,2,,m;j1,2,,n)排成的m

行n

列的矩形數(shù)表稱為m

n矩陣,矩陣是一個整體,總是加一括號.

當標明矩陣

A

的行列數(shù)時,表示為Am

n,或(aij)m

n.并稱m

n為矩陣的型.

相等矩陣

設A=(aij)與B=(bij)都是m

n矩陣,如果那么稱矩陣A

與矩陣B

相等,記為

A=B.

零矩陣

所有元素為0的矩陣稱為零矩陣,用

O

記之.注:不同型的零矩陣是不相等的.

只有一行(列)的矩陣稱為行(列)矩陣或行(列)向量.

為避免元素間的混淆,行矩陣A

(a1

a2

an)也記為(2)數(shù)與矩陣的乘積(數(shù)乘運算)

矩陣的加法與數(shù)乘兩種運算統(tǒng)稱為矩陣的線性運算.

線性運算律

設A,B,C

為同型矩陣,k,l為數(shù),則成立

矩陣的線性運算

設A=(aij)和B=(bij)是m

n

矩陣,k

為數(shù).(1)矩陣的加法運算矩陣的減法A

的負矩陣

A(1)A例1設A+2B

-C=O,其中解求x,y,u,v

的值.解得由A+2B

-C=O,得二、矩陣的乘法運算

設有從變元x1,

,xn

到變元

y1,

,ym

的線性變換記稱矩陣A

為線性變換的系數(shù)矩陣.

設有兩個線性變換將(2)代入(1)得線性變換其中推導:

兩矩陣的乘積

設有兩個線性變換將(2)代入(1)得線性變換其中

線性變換(1)-(3)的系數(shù)矩陣依次記為A,B,C,定義C=

AB.

設A=(aik)m

l,B=(bkj)l

n,記稱矩陣C=(cij)m

n為矩陣A

與B

的乘積,記為C=

AB.

兩矩陣的乘積

設A=(aik)m

l,B=(bkj)l

n,記稱矩陣C=(cij)m

n為矩陣A

與B

的乘積,記為C=

AB.

AB

中的(i,j)元為A

的第i

行與B

的第

j

列的乘積.

乘積AB

存在時,要求

A

的列數(shù)與B

的行數(shù)相等.

很可能AB

有意義,而BA

沒有意義.

零矩陣的運算性質(zhì)例2計算解解例3設計算AB,BA.

矩陣的乘法不滿足交換律.

在AB

中,稱用

A

左乘B,或稱用B

右乘A.

由AB=O,不能斷言A=O

或B=O.

乘法運算律

假設以下有關運算可行,則成立(1)(2)(3)

線性變換可寫成矩陣形式利用矩陣乘法,上式記為矩陣形式

y=Ax,其中

線性方程組可記為矩陣形式

Ax=b,其中當b0時,稱方程組為非齊次的.當b=0時,稱方程組為齊次的;稱矩陣A為線性方程組的系數(shù)矩陣.稱矩陣為線性方程組的增廣矩陣.例4已知兩個線性變換解求從x1,x2,x3

到z1,z2,z3

的線性變換.所求為n

階方陣

行數(shù)和列數(shù)都等于n

的矩陣稱為

n

階方陣.

當標明方陣

A

的階數(shù)時,用An

表示.

三角矩陣上三角[矩]陣

上(下)三角陣的乘積也是上(下)三角陣下三角[矩]陣

對角矩陣

單位矩陣(單位矩陣也用I

記之)

單位矩陣的運算性質(zhì)

對角陣的運算性質(zhì)

方陣的冪

設A

是方陣,由k

個

A

組成的乘積

A

A,稱為方陣A

的k

次冪,記為Ak.規(guī)定A0=

E.

方陣冪的性質(zhì)

當方陣A與

B可交換(AB=BA)時,有下列幾個公式:(1)(2)(3)

對角陣的冪解先計算低次冪,觀察特點.例5設求An.假設因此則解1因此例6設

求An.

解2假設則解其中例7設求An.

因aE與B

可交換,于是

>>>

>>>

轉(zhuǎn)置矩陣三、矩陣的轉(zhuǎn)置運算

把矩陣

A

的各行作為相同序號的列,形成矩陣B,稱矩陣B

為矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣,記為AT

或A

.

例如,設矩陣則矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣為試觀察矩陣A有何特點?——3階幻方>>>

轉(zhuǎn)置運算的性質(zhì)(1)(2)(3)(4)(4)的證明設記則于是所以D

=

CT,即(穿脫律)

對稱矩陣

設A

為方陣,若AT

=

A,則稱A

為對稱矩陣.

反對稱矩陣

設A

為方陣,若AT

=

-A,則稱A

為反對稱矩陣.

任一方陣都可表示為一個對稱陣與一個反對稱陣之和.證明設A

為方陣,因為所以B

為對稱陣,而C為反對稱陣,記且有A

=

B

C.作業(yè)

習題1-1例7設求An.

當方陣A與

B可交換(AB=BA)時,有下列幾個公式:(1)(2)(3)5階幻方

§1.2行列式

二、n

階行列式的定義一、二階和三階行列式三、行列式的性質(zhì)四、行列式值的計算五、行列式乘法定理

設有二元線性方程組一、二階和三階行列式①②①

a22-②

a12

消去x2,②

a11-①

a21

消去x1

得

二階行列式記——Cramer法則方程組的解為當系數(shù)行列式

D

0時,②

a32

-③

a22

消去x2,

設有三元線性方程組①②③④⑤①(a22a33-a23a32)-⑤

a12

+

④

a13

消去x2,x3

得

三階行列式②

a33

-③

a23

消去x3

得記

三階行列式當D

0時,

設有三元線性方程組——Cramer法則

三階行列式對角線法則例1

解關于變量

l

的方程解原方程的解為

>>>記方程左邊的行列式為D(l),則

三階行列式按行列展開

行和等于D

觀察:對換D的第1,2行;對換D的第2,3行.結(jié)果:D

的值反號.

列和等于D

三階行列式按行列展開

行和等于D

對

3階矩陣A=(aij),刪去其第i行及第

j

列后得到一個2階行列式,稱此行列式為元素aij

的余子式,記為Mij.

三階行列式按行列展開

稱(-1)i+j

Mij

為元素aij

的代數(shù)余子式,記為

Aij.

對

3階矩陣A=(aij),記其行列式為|A|(=D),則(按第

j列展開)(按第

i行展開)

行和等于D

列和等于D

稱(-1)i+j

Mij

為元素aij

的代數(shù)余子式,記為

Aij.

假設n-1階行列式已定義.對

n

階矩陣A=(aij),刪去其第i行及第

j

列后得到一個n-1階行列式,稱此行列式為元素aij

的余子式,記為Mij.

n

階方陣A

的行列式記為detA(或|A|),定義為

n

階行列式|A|完全展開后是一個代數(shù)和式,共有n!項,每一項由方陣A中不同行不同列的n

個元素的乘積構成,帶有確定的正負號.二、n

階行列式的定義對計算更有好處.

將n

階行列式detA記為

n

階行列式|A|完全展開后是一個代數(shù)和式,共有n!項,每一項由方陣A中不同行不同列的n

個元素的乘積構成,帶有確定的正負號.

對角線法則只適用于二、三階行列式提問:>>>

三階行列式對角線法則提示:Laplace[按行列展開]定理

行列式等于任一行(列)的元素與其對應的代數(shù)余子式乘積之和:>>>例2

計算n階上三角行列式

解

上(下)三角行列式之值等于其對角元素的乘積.例3計算行列式解按第1列展開得三、行列式的性質(zhì)性質(zhì)1

行列式detA

與它的轉(zhuǎn)置行列式

detAT

相等.例如:提示:用數(shù)學歸納法證明.

將|A

|按第1行展開,而|AT|按第1列展開.注:由該性質(zhì)可知,以下對行而言的性質(zhì),對列也成立.性質(zhì)2行列式中某一行的所有元素的公因子可以提到行列式記號的外面.推論1有一行元素全為零的行列式值為零.推論2

設A

為n

階矩陣,則det(kA)=

kndetA.性質(zhì)3若行列式某一行的元素都是兩數(shù)之和,則該行拆開,原行列式可以表為相應的兩個行列式之和.例如:提示:按第2行展開.例如:提示:按第2行展開.性質(zhì)4對換兩行,行列式值反號.例如:

四階行列式對換第2,3行.

對換相鄰兩行,行列式值反號.證明設對換n

階行列式D=det(aij)的第r,r+1行而得D1.記D

的余子式為Mij,則D1

的第r

+1行及其余子式分別為D

的第r行及其余子式.由Laplace定理,D1按第r

+1行展開,而

D按第r

行展開,得性質(zhì)4對換兩行,行列式值反號.

對換相鄰兩行,行列式值反號.

對換任意兩行,行列式值反號.提示:行標變化:k-1次相鄰對換k次相鄰對換對換第r,r+k行推論有兩行全同的行列式,其值為零.性質(zhì)5若有兩行元素對應成比例,則行列式值為零.性質(zhì)6

把行列式某一行的各元素乘以同一數(shù)加到另一行對應的元素上去,行列式的值不變.例如:提示:對換行列式D

全同的兩行得D=-

D.提示:性質(zhì)4對換兩行,行列式值反號.證明

左式例4

證明=

右式四、行列式值的計算(2)利用Laplace定理的降階法.(1)化為上(下)三角形行列式的所謂化三角形法;

行列式值的計算,基本上就是利用行列式的性質(zhì),逐步簡化行列式的結(jié)構.

為了便于檢查,引進以下記號:

用ri

?rj

表示對換第i,j行;

用kri

表示第i行乘以非零數(shù)

k;

用rj

kri

表示把第i

行的k

倍加到第j行.

用

ci

表示第

i

列,有相仿的記號.

主要方法有兩個:>>>解1(化上三角形法)例5

計算行列式解2(降階法)例5

計算行列式注:利用行列式的性質(zhì),想方設法將某一行(列)變出盡可能多的0,再按該行(列)展開,使行列式的階數(shù)降低.

對于整數(shù)為元素的數(shù)字行列式,找出(或變出)1,將其所在行(列)的其它元素化為0,再按該行(列)展開而降階.例6

計算行列式解(特點是行和相等)解例7計算行列式例8

計算

n

階Vandermonde行列式

解按第

n列展開,第

i列提取公因式xi-xn(i=1,…,n-1),得遞推公式:由V2=

x2-x1

及遞推公式,得證明經(jīng)若干次行變換ri+krj

將|A|,|B|化為上三角行列式:在相同的變換下

設A,B都是方陣,則五、行列式乘法定理證明

行列式乘法定理

設A,B

為n

階方陣,則|AB|=|A|

|B|.以2階方陣為例證之.作業(yè)

習題1-2

韋達定理設n

次多項式的n

個根為

x1,x2,,xn,則有下列關系式:提示:例如3次多項式

3

-12

2

+21

-10的整數(shù)根只能是經(jīng)驗證

1

=1是其根.

韋達定理設n

次多項式的n

個根為

x1,x2,,xn,則有下列關系式:多項式除法:

n

階矩陣A

的行列式可定義為其中和式對1,2,

,n

的所有全排列

p1

p2

pn

求和.

其中ti

為pi+1

pn(p1

pi-1)中小(大)于pi

的數(shù)的個數(shù).

逆序數(shù)

三階行列式對角線法則例在四階行列式detA中,含a14a22a31a43的項取___號.解1其逆序數(shù)為a14a22a31a43的列標排列為4213,或+因此含

a14a22a31a43的項取正號.

n

階矩陣A

的行列式可定義為其中和式對1,2,

,n

的所有全排列

p1

p2

pn

求和.

其中ti

為pi+1

pn(p1

pi-1)中小(大)于pi

的數(shù)的個數(shù).

逆序數(shù)>>>解2

含

a14a22a31a43的項為=

a14a22a31a43.

把矩陣A

的第1,,

i行及第p1,,

pi

列刪去后得到一個n-i

階行列式,記此行列式為Di

.

|A

|

展開式中含a1p1

的項為

Di-1

展開式中含ai

pi

的項為

項a1p1a2p2

an

pn

帶有的正負號為

n

階矩陣A

的行列式可定義為其中和式對1,2,

,n

的所有全排列

p1

p2

pn

求和.

其中ti

為pi+1

pn(p1

pi-1)中小(大)于pi

的數(shù)的個數(shù).

逆序數(shù)

M1j

按第k-1列展開(j<k),

Mik

按第1行展開(i>1)n

階行列式按第k

列展開(n=4,k=2)M1j

按第k列展開(j>k).Laplace[按行列展開]定理證明思路圖表分析性質(zhì)2行列式中某一行的所有元素的公因子可以提到行列式記號的外面.

行列式的性質(zhì)性質(zhì)1

行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.性質(zhì)4對換兩行,行列式值反號.性質(zhì)3若行列式某一行的元素都是兩數(shù)之和,則該行拆開,原行列式可以表為相應的兩個行列式之和.性質(zhì)6

把行列式某一行的各元素乘以同一數(shù)加到另一行對應的元素上去,行列式的值不變.Laplace[按行列展開]定理

行列式等于任一行(列)的元素與其對應的代數(shù)余子式乘積之和.性質(zhì)5若有兩行元素對應成比例,則行列式值為零.§1.3逆矩陣

一、伴隨矩陣二、逆矩陣一、伴隨矩陣由Laplace定理知

設A

(aij)為n

階方陣,Aij

為元素aij

的代數(shù)余子式,當i

j

時,取b1

a1i,,bn

ani,則i,j

列相同,于是

代數(shù)余子式的性質(zhì)代數(shù)余子式的性質(zhì)可寫成兩個矩陣等式

代數(shù)余子式的性質(zhì)

伴隨矩陣

稱

A

為方陣A

的[轉(zhuǎn)置]伴隨矩陣.

設Aij為n

階方陣A

的(i,j)元的代數(shù)余子式,記代數(shù)余子式的性質(zhì)可寫成兩個矩陣等式

n階方陣A

的伴隨陣A

具有下列性質(zhì):

伴隨矩陣的性質(zhì)(1)(2)證明由(1)兩邊取行列式,得當|A|

0時,由上式即得(2).注:

當|A|

0時,記則

當|A|

0時,|A

|

0:從而A

O,與|A

|

0矛盾.若不然,則(A

)-1

存在,于是

方陣A可逆時,其逆矩陣唯一,記為

A-1.證明

逆矩陣

如果存在矩陣B,使AB=BA=E那么稱方陣A為可逆的,并稱B

為A

的逆矩陣.二、逆矩陣設C

也為方陣A的逆矩陣,則E

AC,注:

當|A|

0時,記則于是

逆矩陣計算公式

非奇異矩陣A

可逆,且其逆矩陣為

如果|A|

0,那么稱方陣A為非奇異矩陣.

如果|A|=0,那么稱方陣A為奇異矩陣.

可逆方陣A

為非奇異矩陣,且|A-1|=|A|-1.證明由AA-1

=E,得|A|

|A-1|=1.于是|A|

0,方陣A

為非奇異矩陣,且注:

當|A|

0時,記則解

例1

設矩陣求

A-1

.解

例2

設且AX

A

2X,求

X.由AX

A

2X,得(A

2E)X

A,

設A可逆,則矩陣方程AX=B

有唯一解X=A-1

B.

設A可逆,則矩陣方程XA=B

有唯一解X=BA-1

.

設A可逆,則矩陣方程AX=B

有唯一解X=A-1

B.

設A可逆,則矩陣方程XA=B

有唯一解X=BA-1

.注:當|A|

0時,A可逆,方程組Ax=

b

有唯一解因此記

則

——Cramer法則解例3求線性變換的逆變換.線性變換的系數(shù)矩陣所求逆變換為

設A可逆,則線性變換

y=

Ax

的逆變換為x=A-1

y.證明由AB=E,得|A|

|B|=1,

定理1

設A,B為n

階方陣,若AB=E,則A,B

可逆,且因此A,B可逆.于是|A|

0,|B|

0,例4

設A3

=O,證明

證明

因此等式E=AB

兩邊左乘A1

及右乘B1,得提示例5

設方陣

A滿足關系式A2

-2A-4E=O,證明A+2E可逆,并求其逆.證明

因此A+2E可逆,且

定理1

設A,B為n

階方陣,若AB=E,則A,B

可逆,且

逆矩陣的性質(zhì)

設A,B為n

階可逆矩陣,則有下列性質(zhì):(5)的證明

(3)的證明

解例6

已知A

為三階方陣,且|A|=2,求|2A-1|,|A

|和

作業(yè)

習題1-3§1.4矩陣分塊法

用若干條橫、豎線將矩陣劃分成塊,各小塊稱為子矩陣.以子矩陣為元素的[形式上的]矩陣,稱為分塊矩陣.例1

將3

4矩陣分塊,分塊法有多種.例如:試問:

共有多少種分塊法?2

2分塊:2

3分塊:例2

設a,a1,a2,a3,b

均為4維列向量,且解若|A|=a,|C|=c,則|A+2B|=__________.

設m

l

矩陣A

按行分塊為按矩陣的乘法運算l

n

矩陣B

按列分塊為(1)式可寫成下列兩種形式:(1)注意注:

將ai

改為矩陣Ai(列數(shù)l),bj

改為矩陣Bj(行數(shù)l),以上兩式也成立.于是(1)式可推廣為(1)式可寫成下列兩種形式:(1)注意注:

將ai

改為矩陣Ai(列數(shù)l),bj

改為矩陣Bj(行數(shù)l),以上兩式也成立.于是(1)式可推廣為

設ej

為n

階單位陣

E

的第

j列,于是A

的第

j

列可表示為

對于m

n

矩陣A,(2)例3

設記則于是即注:

一般地,我們有(Ai的列數(shù)等于Bi

的行數(shù))推導

記則例4

設Ai1,Ai2

的列數(shù)分別等于B1j,B2j

的行數(shù),試推導注:

一般地,我們有(Ai的列數(shù)等于Bi

的行數(shù))解由已知|A|

0,|B|

0,于是|D|=|A|

|B|

0,設其中方陣X,Y分別與A,B

同階,解得因此則例5設A為n

階可逆方陣,B為

r

階可逆方陣,C為r

n

矩陣,證明可逆,并求D-1.D可逆.因此于是有

矩陣的分塊運算

只要保證子矩陣之間的運算可行,分塊矩陣的運算規(guī)則與普通矩陣的運算規(guī)則相仿.(1)設矩陣A

與B

為同型矩陣,采用相同的分塊形式其中

Aij

與Bij

為同型矩陣,則

矩陣的分塊運算

只要保證子矩陣之間的運算可行,分塊矩陣的運算規(guī)則與普通矩陣的運算規(guī)則相仿.(2)設A為

m

l

矩陣,B

為

l

n

矩陣,分塊成注意:

一定要保證Aik

的列數(shù)等于Bkj

的行數(shù).則其中注:

例3和例4為特殊情形,而一般情形可仿例4推知.

分塊對角陣(3)A可逆的充要條件是Ai(i=1,

,s)都可逆.此時有其中

Ai(i=1,

,s)都是方陣,空白處元素全為零.

性質(zhì)解例6

設求A-1.令則解令則例7

設

求An.作業(yè)

習題1-4

第二章線性方程組與矩陣的初等變換§2.1線性方程組消元法的形式化§2.2初等變換與初等矩陣§2.4線性方程組的解§2.3矩陣的秩一、消元法與矩陣的初等行變換二、矩陣的行最簡形

三、線性方程組的行最簡形解法§2.1線性方程組消元法的形式化消元過程同解方程組的變化例1

解線性方程組用相應的增廣矩陣表示一、消元法與矩陣的初等行變換

下列三種變換稱為矩陣的初等行變換：

矩陣的初等行變換

(3)把矩陣的第i

行的k

倍加到第j行,用rj

kri記之.(2)用非零數(shù)

k乘矩陣的第i行,用kri

記之;(1)對換矩陣的第i,j行,用ri?

rj

記之;

線性方程組的消元過程,同解方程組的變化,用相應的增廣矩陣(行變換)的變化來表示,顯得更加清晰.一、消元法與矩陣的初等行變換

如果矩陣A經(jīng)過有限次初等行變換化為矩陣B

,那么稱矩陣A

與B行等價.

增廣矩陣行等價的兩個線性方程組同解.例2解線性方程組解對方程組的增廣矩陣施行初等行變換:此增廣矩陣相應的方程組第三個方程為0=a

1.當a

1

時,原方程組無解.當a

1

時,原方程組可解,此時同解方程組為求得原方程組的解為其中

x3,x4

可取任意數(shù).行階梯形(a

1)行最簡形

稱滿足下列條件的矩陣為行階梯形矩陣:(1)零行(元素全為零的行)都位于矩陣的下方;(2)各非零行的首非零元(自左至右第一個不為零的元素)的列標隨著行標的增大而嚴格增大.

行階梯形矩陣二、矩陣的行最簡形其中a1

ar

0.左邊的零列、下方的零行可能空缺.

行最簡形矩陣

稱滿足下列條件的行階梯形矩陣為行最簡形矩陣:(1)各非零行的首非零元都是1;(2)每個首非零元所在列的其余元素都是零.解例3化矩陣為行最簡形.對矩陣A

施行初等行變換:

線性方程組的行最簡形解法三、線性方程組的行最簡形解法

對方程組的增廣矩陣施行初等行變換,化增廣矩陣為行最簡形,寫出同解方程組,解便一目了然.

對于齊次線性方程組,增廣矩陣改用系數(shù)矩陣即可.解化增廣矩陣為行最簡形:于是得同解方程組令自由未知元

x2=k1,x4=k2,得原方程組的通解為例4解線性方程組其中

k1,k2

為任意數(shù).提示:

其中

k1,k2

為任意數(shù).于是得同解方程組令自由未知元

x3

k1,x4

k2,得原方程組的通解為解化增廣矩陣為行最簡形:例5解線性方程組于是得同解方程組解化系數(shù)矩陣為行最簡形:例6解線性方程組令自由未知元

x3=k1,x5=k2,得原方程組的通解為其中

k1,k2

為任意數(shù).作業(yè)

習題2-1一、矩陣的初等變換

三、逆矩陣的初等變換求法

§2.2矩陣的初等變換與初等矩陣四、矩陣方程的初等變換解法

五、矩陣的分塊初等變換

二、初等矩陣

下列三種變換稱為矩陣的初等列變換：

矩陣的初等列變換

(3)把矩陣的第i

列的k

倍加到第j列,用cj+kci記之.(2)用非零數(shù)

k乘矩陣的第i列,用kci

記之;(1)對換矩陣的第i,j列,用ci?cj

記之;一、矩陣的初等變換

如果矩陣A經(jīng)過有限次初等(行,列)變換化為矩陣B,就稱矩陣A與B(行,列)等價,記為A～B.

矩陣的(行,列)等價具有以下性質(zhì):(1)反身性

A～A;(2)對稱性如果A～B,則B～A;(3)傳遞性如果A～B,B～C,則A～C.(標準形矩陣)

對矩陣的行最簡形再施行初等列變換,可得到一種結(jié)構最為簡單的形式.

例如,行最簡形矩陣再經(jīng)初等列變換化為

任一m

n矩陣A經(jīng)過有限次初等變換可化為如下的等價標準形:其中下方的零行,右邊的零列可能空缺.

可逆陣的等價標準形(行最簡形)是一個單位陣.

定理1

行列式不為零的方陣,其等價矩陣的行列式也不為零.

可逆陣的等價矩陣也為可逆陣.提示:

可逆的標準形矩陣是一個單位陣.二、初等矩陣

初等矩陣

由單位矩陣經(jīng)一次初等變換而得的矩陣稱為初等矩陣.

相應于矩陣的三種初等變換,初等矩陣有三種:(1)E(i,j):

由單位矩陣交換第i,j行(列)而得的方陣;(2)E(i(k)):

由單位矩陣的第i

行(列)乘非零數(shù)

k而得的方陣;(3)E(j,i(k)):

由單位矩陣的第i行乘以數(shù)k加于第j行而得的方陣,也即由單位矩陣的第j列乘以數(shù)k加于第i列而得的方陣.

定理2

設A為m

n矩陣.對矩陣A

施以某種初等行變換得到的矩陣,等于用同種的m

階初等方陣左乘

A.(2)對矩陣A

施以某種初等列變換得到的矩陣,等于用同種的n

階初等方陣右乘

A.證明以第三種初等列變換為例證之.

將矩陣A

和單位陣E按列分塊,經(jīng)列變換ct+kcs,矩陣A和單位陣E分別變換為和于是

定理2

設A為m

n矩陣.例如:特別地,令A

=E,則有

初等矩陣可逆,其逆陣也為初等矩陣.具體如下:對矩陣A

施以某種初等行變換得到的矩陣,等于用同種的m

階初等方陣左乘

A.(2)對矩陣A

施以某種初等列變換得到的矩陣,等于用同種的n

階初等方陣右乘

A.例1設A

是3階可逆矩陣,A

的第2列乘以4為矩陣B,則解

A-1

的()為B-1

.(A)第二行乘以4;(B)第二列乘以4;(C)第二行乘以(D)第二列乘以C

定理2

設A為m

n矩陣.對矩陣A

施以某種初等行變換得到的矩陣,等于用同種的m

階初等方陣左乘

A.(2)對矩陣A

施以某種初等列變換得到的矩陣,等于用同種的n

階初等方陣右乘

A.

定理3

n

階方陣A

為可逆陣的充要條件是:方陣A

可以表成若干初等方陣的乘積.證明若A

可表成若干初等方陣的乘積,

若A

可逆,則A的行最簡形為單位陣,因此

定理2

設A為m

n矩陣.則由初等方陣可逆,即知A

可逆.于是由定理2知,存在初等方陣P1,

,Pk,使得Pk

P1A=E,對矩陣A

施以某種初等行變換得到的矩陣,等于用同種的m

階初等方陣左乘

A.(2)對矩陣A

施以某種初等列變換得到的矩陣,等于用同種的n

階初等方陣右乘

A.

定理4設A為m

n矩陣.(1)A

與B

行等價的充要條件是:存在m

階可逆方陣

P,使B=PA.(2)A

與B

列等價的充要條件是:存在n

階可逆方陣

Q,使B=AQ.

定理2

設A為m

n矩陣.對矩陣A

施以某種初等行變換得到的矩陣,等于用同種的m

階初等方陣左乘

A.(2)對矩陣A

施以某種初等列變換得到的矩陣,等于用同種的n

階初等方陣右乘

A.

定理3

n

階方陣A

為可逆陣的充要條件是:方陣A

可以表成若干初等方陣的乘積.三、逆矩陣的初等變換求法

設A

可逆,則由定理4知,(A,E)經(jīng)若干次初等行變換可化為(E,A-1).

逆矩陣的初等變換求法

定理4設A為m

n矩陣.(1)A

與B

行等價的充要條件是:存在m

階可逆方陣

P,使B=PA.(2)A

與B

列等價的充要條件是:存在n

階可逆方陣

Q,使B=AQ.逆矩陣的初等變換求法:解例2

已知求A-1.四、矩陣方程的初等變換解法

設A可逆,則矩陣方程AX=B

的解為X=A-1B.提示:

矩陣方程AX=B的初等行變換解法

矩陣方程XA=B的初等列變換解法

設A可逆,則矩陣方程XA=B

的解為X=BA-1

.

(A,B)經(jīng)若干次初等行變換可化為(E,A-1B).

AX=B的初等行變換解法:例3

已知求線性方程組Ax=b1

和Ax=b2的解.解設Ax1=b1,Ax2=b2.記則兩個線性方程組可合成一個矩陣方程AX=B.

AX=B的初等行變換解法:例3

已知求線性方程組Ax=b1

和Ax=b2的解.解設Ax1=b1,Ax2=b2.記則兩個線性方程組可合成一個矩陣方程AX=B.

Ax=b1

和Ax=b2的解依次為

XA=B的初等列變換解法:例4

設求解XA=B.

解五、矩陣的分塊初等變換

下列三種變換稱為分塊矩陣的初等行變換:(1)對換分塊矩陣的兩行;(2)以可逆矩陣

C

左乘分塊矩陣的某一行;注:C

的階數(shù)與該行子矩陣的行數(shù)相等.

以上定義中的行換成列,左乘換成右乘,即得分塊矩陣的初等列變換的定義.(3)以矩陣C

左乘分塊矩陣的第i

行加于第j

行.

分塊矩陣的初等行列變換也稱為矩陣的分塊初等行列變換.注:C的列(行)數(shù)與第i行(第

j行)子矩陣的行數(shù)相等.

對矩陣施行一次分塊初等變換,實際上就是對矩陣施行若干次初等變換：1.一次第一種分塊初等變換相當于若干次第一種初等變換.2.一次第二種分塊初等變換相當于若干次初等變換.3.一次第三種分塊初等變換相當于若干次第三種初等變換.情形3的簡例:設A,B,C

為2階方陣,則相當于例5

設A為m

階可逆矩陣,D為n

階可逆矩陣,求分塊解

的逆矩陣.矩陣作業(yè)

習題2-2§2.3矩陣的秩

行階梯形矩陣行最簡形矩陣←r

行標準形矩陣>>>

矩陣的秩

如果矩陣A

的等價標準形為那么稱F

中單位陣的階數(shù)r為矩陣A

的秩,記為R(A).規(guī)定零矩陣的秩等于0.

定理1

任一矩陣的等價標準形唯一.

矩陣秩的性質(zhì)性質(zhì)1

等價矩陣有相等的秩.

設

P,Q

可逆,則R(PAQ)

R(A).性質(zhì)2R(Am

n)min{m,n}.性質(zhì)3行階梯形矩陣的秩為非零行的行數(shù).>>>

性質(zhì)4n階方陣A

可逆的充分必要條件是R(A)

n.

性質(zhì)5性質(zhì)7矩陣的秩不小于它的子矩陣的秩性質(zhì)6證明性質(zhì)8由矩陣秩的性質(zhì)6,性質(zhì)1和性質(zhì)7得性質(zhì)9證明注意由矩陣秩的性質(zhì)7和性質(zhì)1得類似可證兩式合起來,即為證明于是其中C

為r

l矩陣.存在可逆方陣P,Q,使也即記得C

=O.因此由

定理2若Am

nBn

l

O,則R(A)R(B)n.例1設n

階矩陣

A

滿足A2

=

A,證明證明

由A2

=

A,得由定理2得由矩陣秩的性質(zhì)8得又因由(1),(2)即得所證.(2)(1)即性質(zhì)8推論當R(A)=n

時,矩陣方程Am

nXn

l

=O只有零解.

定理2若Am

nBn

l

O,則R(A)R(B)n.

矩陣的k

階子式

在m

n矩陣A

中,任取

k行與k列(k

m,k

n),位于這些行列交叉處的k2

個元素,不改變它們在A中所處的位置次序而得的k

階行列式,稱為矩陣A的一個k

階子式.

矩陣的最高階非零子式

設在矩陣A中有一個不等于零的

r階子式D,且所有高于

r階的子式(如果存在的話)全等于零,那么稱D為矩陣A

的一個最高階非零子式.

基本子式定理>>>

矩陣的最高階非零子式的階數(shù)等于該矩陣的秩.解化A

為行階梯形矩陣:例2求矩陣A

的秩和一個最高階非零子式,其中解化A

為行階梯形矩陣:例2求矩陣A

的秩和一個最高階非零子式,其中可知解化A

為行階梯形矩陣:例2求矩陣A

的秩和一個最高階非零子式,其中記A=(a1,a2,a3,a4,a5),則B=(a1,a2,a4)的行階梯形矩陣為計算B的前3行構成的子式則這個子式便是A的一個最高階非零子式.作業(yè)

習題2-3

定理1

任一矩陣的等價標準形唯一.證明設m

n矩陣A有兩個等價標準形假設r

s,不妨設r>s.將P,Q

-1

相應分塊其中P1為r

r矩陣,Q1為s

s矩陣.存在可逆方陣P,Q,使由PF1

F2Q1

得因r>s,可知P3=

O或空缺,P1的第r行元素全為0,于是|P1|=0.反證得r=s.由此而得|P|=0,與P可逆矛盾.

基本子式定理

矩陣的最高階非零子式的階數(shù)等于該矩陣的秩.提示:

對換行列,矩陣的最高階非零子式的階數(shù)也不變.證明

不妨設矩陣A有如下分塊形式其中|Pr

|為A的最高階非零子式.

對換行列,矩陣的秩是不變的.

矩陣的最高階非零子式的階數(shù)等于該矩陣的秩.證明

不妨設矩陣A有如下分塊形式其中|Pr

|為A的最高階非零子式.Tj

為T

的第

j列,記Si

為S

的第i行,則于是由Schur公式,矩陣A的r+1階零子式因此所以

基本子式定理

§2.4線性方程組的解

一、線性方程組的可解性二、線性方程組解的結(jié)構一、線性方程組的可解性

不妨設n元線性方程組

Ax=b

系數(shù)矩陣A的行最簡形為

當R(A,b)>R(A)=

r

時,增廣矩陣(A,b)的行最簡形為出現(xiàn)方程0=1,方程組無解.

當R(A,b)=R(A)=

r

時,增廣矩陣的行最簡形為即得同解方程組當r=n時,方程組有唯一解;當r<n

時,方程組有無窮解.

綜上即得可解性定理.>>>推論

n元方程組Ax=0有非零解的充要條件是R(A)<

n.

當方程個數(shù)少于未知元個數(shù)時,方程組Ax

0有非零解.

當A為方陣時,Ax=0有非零解的充要條件是|A|=0.

可解性定理

(1)當R(A,b)>R(A)時,方程組無解;(2)當R(A,b)=R(A)=n

時,方程組有唯一解;(3)當R(A,b)=R(A)

<n

時,方程組有無窮多解.

設n

元線性方程組Ax=b.例1

a

取什么值時,線性方程組(1)有唯一解;(2)無解;(3)有無窮多解.解對方程組的增廣矩陣施行初等行變換(1)當a

1,-2時,R(A,

b)

R(A)3,方程組有唯一解;(2)當a=-2時,R(A,

b)3R(A)2,方程組無解;

(3)當a=1時,R(A,b)

R(A)13,

方程組有無窮多解.

解當l=-1或l=8時,方程組有非零解.例2l

取什么值時,以下齊次線性方程組有非零解：齊次線性方程組的系數(shù)行列式記X

(x1,x2,,xn),B(b1,b2,,bn),例3

證明:矩陣方程AX=B有解的充分必要條件是證明充分性:由矩陣秩的性質(zhì)知因為R(A)

R(A,

B),所以Axi

=

bi

有解(i1,2,,n),因此,由上式即得R(A)

R(A,

bi),也即AX=

B有解.必要性:由矩陣秩的性質(zhì)知設X=K為AX=

B的解,也即AK=

B,于是2.當AX=

B有解,但A不可逆時,如何求出所有解？記X

(x1,x2,,xn),B(b1,b2,,bn),例3

證明:矩陣方程AX=B有解的充分必要條件是證明充分性:由矩陣秩的性質(zhì)知因為R(A)

R(A,

B),所以Axi

=

bi

有解(i1,2,,n),因此,由上式即得R(A)

R(A,

bi),也即AX=

B有解.討論:1.當AX=

B有解,但A不可逆時,解是否唯一？

當R(A)=n

時,n元齊次方程組Ax=0只有零解.

當R(A)=r

<n

時,不妨設

Ax=0

的同解方程組為>>>其中注意:二、線性方程組解的結(jié)構

則

Ax=0的通解可表示為向量形式

齊次通解結(jié)構定理則

Ax=0的通解可表示為向量形式

設x1,

,xn-r

(r=

R(A))為n

元方程組Ax=0的解,且滿足條件

R(x1,

,xn-r)=n-r,則Ax=0的通解為(k1,

,kn-r

為任意數(shù))

稱x1,

,xn-r為方程組Ax=0的一個基礎解系.>>>其中注意:解化系數(shù)矩陣為行最簡形:例4求線性方程組的一個基礎解系.于是得同解方程組分別令

x3=7,x4=0

和x3=0,x4=7,得基礎解系為

非齊次通解結(jié)構定理(k1,

,kn-r

為任意數(shù))

設

x

=h

是n元非齊次線性方程組Ax=

b的一個解(稱特解),x1,

,xn-r

是導出組

Ax=0的一個基礎解系,則

Ax=

b的通解為證明直接驗證知,上式為Ax=

b的解.

設

x

=h

為Ax=

b的任一解,則所以x=h-h

為Ax=0的一個解,由齊次通解結(jié)構定理,存在一組數(shù)k1,

,kn-r,使于是例5

已知四元非齊次線性方程組Ax=b的三個特解且R(A)=2,求Ax=b的通解.解取則

x1,

x2

為

Ax=0的兩個解.易知故x1,

x2

為

Ax

0的基礎解系.于是方程組Ax=b的通解為作業(yè)

習題2-4易知證明為方程組Ax=0的解.設x=x為方程組Ax=0的任一解.記則因此因由(1)式得根據(jù)可解性定理,n-r元線性方程組By=x有唯一解即(1)

齊次通解結(jié)構定理

設x1,

,xn-r

(r=

R(A))為n

元方程組Ax=0的解,且滿足條件

R(x1,

,xn-r)=n-r,則Ax=0的通解為(k1,

,kn-r

為任意數(shù))得通解為令自由未知元若交換原方程組x2,x3的次序例解線性方程組

化方程組的增廣矩陣為行最簡形:則方程組的增廣矩陣為第三章向量空間初步§3.1向量組的線性關系§3.2向量組的秩§3.3向量空間§3.4歐氏空間一、n維向量及其線性運算二、向量組的線性組合三、向量組的線性相關性§3.1向量組的線性關系一、n維向量及其線性運算n維向量空間Rn

Rn

中任一元素稱為一個n維向量.

稱ai為向量a=(a1,

,an)的第i個坐標[分量].以ai(i=1,

,n)為第i個坐標的向量可寫成列形式

坐標全為零的向量稱為零向量,記為0.

坐標完全一樣的兩向量a,b

稱為相等向量,記為a=b.

向量的加法運算

設向量a=(a1,

,an),b=(b1,

,bn),定義稱a+

b

為

a與b的和.

向量的數(shù)乘運算規(guī)定稱ka為數(shù)k

與向量a

的乘積.

稱(-1)a

為向量a

的負向量,記為-a.

設向量a=(a1,

,an),k為實數(shù),定義

向量的加法與數(shù)乘兩種運算統(tǒng)稱為向量的線性運算.例2

設x1,

,xn-r為方程組Ax=0的一個基礎解系,二、向量組的線性組合

Ax=0的任一解向量x,

若干同維向量的集合,稱向量組.

向量組的一部分稱部分組.例1

設稱e1,e2,

,en

為n

維單位坐標向量組.

任一向量a

(a1,a2,

,an)可唯一地表示為

則對存在一組數(shù)k1,

,kn-r

,使>>>

線性組合

給定向量組a1,

,am,對任一數(shù)組k1,

,km,稱向量為向量組a1,

,am

的一個線性組合,稱k1,

,km為這個線性組合的[表示]系數(shù).并稱b可由a1,

,am線性表示.例3

設矩陣A

=(a1,

,am),則方程組Ax=

b有一組解

xi

=

ki(i=1,

,m),也即

線性方程組Ax=

b有解的充分必要條件是:

向量b

可由矩陣

A的列向量組線性表示.

約定:非特別交待時,向量都采用列形式.例4

判斷向量與是否為向量組的線性組合.若是,寫出表示式.解同時解方程組和的解為因此無解,因此

b2

不可由a1,a2

線性表示.三、向量組的線性相關性

線性方程組Ax=

b有解的充分必要條件是:

向量b

可由矩陣

A的列向量組線性表示.

若線性方程組Ax=

b有無窮多解,則向量b

可用矩陣

A的列向量組的無窮多個線性組合來線性表示.

設向量b有兩個線性表示式和則b

的兩個表示式不同,也即存在一組不全為零的數(shù)使成立此時,稱向量組a1,

,am

線性相關.那么稱a1,

,am

線性相關.k1,

,km

,使

線性相關性

設有向量組a1,

,am

,如果存在一組不全為零的數(shù)

基本性質(zhì)

(1)若向量

b

可由向量組a1,

,am

線性表示,

當a1,

,am

線性相關時,表示式不唯一;

當a1,

,am

線性無關時,表示式唯一.(2)若部分組線性相關,則整個向量組也線性相關.(3)若向量組線性無關,則任一部分組也線性無關.則向量組b,a1,

,am

線性相關.否則,稱a1,

,am

線性無關.

a1,

,am

線性無關,也即向量方程只有零解.

定理1

m元方程組Ax=0只有零解的充要條件是R(A)=

m.

線性相關性

那么稱a1,

,am

線性相關.k1,

,km

,使

設有向量組a1,

,am

,如果存在一組不全為零的數(shù)否則,稱a1,

,am

線性無關.

設矩陣

A

(a1,

,am),的充分必要條件是R(A)=

m.

則向量組

a1,

,am

線性無關

設矩陣

A

(a1,

,am),

定理1的充分必要條件是R(A)=

m.

線性相關性

方陣A的列向量組線性相關的充要條件是|A|=0.

齊次線性方程組的基礎解系線性無關.>>>則向量組

a1,

,am

線性無關那么稱a1,

,am

線性相關.k1,

,km

,使

設有向量組a1,

,am

,如果存在一組不全為零的數(shù)否則,稱a1,

,am

線性無關.

a1,

,am

線性無關,也即向量方程只有零解.解1

例5討論向量組

的線性相關性.設方陣化A

為行階梯形:當a

-1,4時,R(A)=3,a1,a2,a3

線性無關;當a=-1或

a

=4時,R(A)