【教無憂】高中數(shù)學同步講義（人教B版2019選擇性必修二）第04講 3.3 二項式定理與楊輝三角

④當n是奇數(shù)時，中間的兩項的二項式系數(shù)相等且最大.3.各二項式系數(shù)的和：已知.令，則.也就是說，的展開式的各個二項式系數(shù)的和為2n.4.奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和，即.知識點四．求二項展開式的特定項的常見題型①求第r項，Tr=Ceq\o\al(r－1,n)an－r＋1br－1；②求含xr的項(或xpyq的項)；③求常數(shù)項；④求有理項．知識點五．求二項展開式的特定項的常用方法①對于常數(shù)項，隱含條件是字母的指數(shù)為0(即0次項)；②對于有理項，一般是先寫出通項公式，其所有的字母的指數(shù)恰好都是整數(shù)的項．解這類問題必須合并通項公式中同一字母的指數(shù)，根據(jù)具體要求，令其屬于整數(shù)，再根據(jù)數(shù)的整除性來求解；③對于二項展開式中的整式項，其通項公式中同一字母的指數(shù)應是非負整數(shù)，求解方式與求有理項一致。題型1二項式定理的基本運用【方法總結(jié)】二項式定理：，【例題1】（2022·吉林通化·高二期中）二項式a+A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】由二項展開式的性質(zhì)可得答案.【詳解】二項式a+bn的展開式的項數(shù)為n+1，本題【變式1-1】1．（2022·湖南·模擬預測）下列不屬于x?2A．x3 B．6x2 C．12【答案】B【分析】按照二項式定理直接展開判斷即可.【詳解】由二項式定理可知，(x?2)3【變式1-1】2．（2022·全國·高二課時練習）用二項式定理展開x+2【答案】x【分析】利用二項式定理展開即可.【詳解】x+24【變式1-1】3．（2022·全國·高二課時練習）求x?2【答案】x【分析】直接利用二項式定理展開即可.【詳解】x【變式1-1】4．（2022·全國·高二課時練習）用二項式定理展開下列各式：(1)3x(2)x3【答案】(1)81x2+108【分析】（1）直接利用二項式定理求解；（2）先化簡原式為x?(1)解：3x+1(2)解：x3?1【變式1-1】5．（2021·全國·高二課時練習）化簡：(1)1+x(2)1+x(3)x+【答案】(1)12x+40x3【分析】（1）根據(jù)二項式定理展開化簡，計算即可得答案.（2）根據(jù)二項式定理展開化簡，計算即可得答案.（3）根據(jù)二項式定理展開化簡，計算即可得答案.（1）1+x6（2）1+x5（3）x+1【變式1-1】6．（2022·全國·高二課時練習）化簡：x?1【答案】x【分析】根據(jù)式子結(jié)構(gòu)，逆用二項式定理即可求解.【詳解】∵1=C40=C44題型2求指定項的系數(shù)【方法總結(jié)】通項公式：Tr=Ceq\o\al(r－1,n)an－r＋1br－1【例題2】（2020·天津外國語大學附屬外國語學校高三階段練習）在x?2xA．35 B．?35 C．560 D．?560【答案】C【分析】利用二項式展開式的通項公式，求得展開式中1x【詳解】二項式x?2x令7?2r=?1?r=4，所以x?【變式2-1】1．（2022·廣東·珠海市第三中學二模）1?2x5的展開式中，x3A．?160 B．?80 C．80 D．160【答案】B【分析】使用二項展開式的通項進行計算即可.【詳解】1?2x5的展開式的通項是C5由題意，k=3，因此，x3的系數(shù)是【變式2-1】2．（2022·陜西·寶雞市陳倉高級中學高三開學考試（理））在3x?25【答案】1080【分析】根據(jù)二項式展開式的通項公式求得正確答案.【詳解】3x?25令5?r=3，得r=2，所以含x3題型3求指定項的二項式系數(shù)【方法總結(jié)】通項公式：Tr=Ceq\o\al(r－1,n)an－r＋1br－1【例題3】（2022·四川達州·高二期末（理））5xA．?250 B．10 C．20 D．250【答案】B【分析】求出通項公式，利用x的次數(shù)求得k的值，然后代入進行求解即可．【詳解】解：∵展開式的通項公式為Tk由5?k2=1得k【變式3-1】1．（2022·全國·高二）x?1xA．?10 B．10 C．?5 D．5【答案】D【分析】求出二項式展開式的通項，令x的指數(shù)位置等于3求得k的值，即可求解.【詳解】x?1x令5?2k=3可得k=1，所以含x【變式3-1】2．（2020·山東·高考真題）在x2?1A．56 B．?56 C．70 D．?70【答案】A【分析】本題可通過二項式系數(shù)的定義得出結(jié)果.【詳解】第4項的二項式系數(shù)為C8【變式3-1】3．（2023·全國·高三專題練習）二項式1+2x2+A．84 B．56 C．35 D．21【答案】B【分析】易知展開式中，含x2項的二項式系數(shù)為C【詳解】解：因為二項式為1+2x所以其展開式中，含x2項的二項式系數(shù)為：C22=C53+C52+【變式3-1】4.（2022·全國·高二課時練習）在1+x2+A．-165 B．165 C．-55 D．55【答案】B【分析】分別將各多項式含x2【詳解】在1+x2+1+x題型4指定項【方法總結(jié)】通項公式：Tr=Ceq\o\al(r－1,n)an－r＋1br－1【例題4】（2022·全國·高二課時練習）(2?xA．10x2 B．40x3 C．【答案】D【分析】根據(jù)展開式通項公式寫出第三項即可.【詳解】由題設，展開式通項為Tr第三項有r=2，則T【變式4-1】（2022·上海市市北中學高二期末）(1+x【答案】20【分析】根據(jù)二項式展開式的通項公式，即可求解.【詳解】解：展開式的通項為：TkT4=C題型5常數(shù)項【方法總結(jié)】通項公式：Tr=Ceq\o\al(r－1,n)an－r＋1br－1【例題5】（2023·全國·高三專題練習）在2xA．-60 B．60 C．-240 D．240【答案】D【分析】根據(jù)二項展開式通項公式指數(shù)等于0求解可得.【詳解】由題知，展開式中第r+1項T令3r?6=0，得r=2【變式5-1】1．（2022·山東臨沂·高二期末）二項式x3A．?80 B．?40 C．40 D．80【答案】D【分析】根據(jù)二項式的通項公式即可得出結(jié)論.【詳解】由二項式展開式的通項公式Tr+1=Cnran?【變式5-1】2．（2022·上海市延安中學高三階段練習）3x【答案】7【分析】由二項式通項公式即可求得常數(shù)項.【詳解】二項式3x+1令8?4r3=0，解得r【變式5-1】3．（2022·全國·高三專題練習）二項式3x【答案】5005【分析】寫出二項式展開式的通項公式并化簡整理，令30?5k【詳解】二項式3x?1令30?5k6=0，則k=6，∴常數(shù)項為【變式5-1】4．（2022·全國·高三專題練習）x+【答案】135【分析】利用二項式定理的通項公式求解.【詳解】(x+3令6?3r=0，解得r=2題型6含有三項的二項展開式問題【例題6】（2022·安徽·高二期中）x?y?2A．－120 B．120 C．－60 D．60【答案】A【分析】根據(jù)二項式展開式的通項公式計算可得.【詳解】由題意得，x?y?26的展開式中含故選：A．【變式6-1】1．（2022·全國·高三專題練習）在(2+x?xA．-120 B．-40 C．-30 D．200【答案】C【分析】將(2+x?x2)5整理為【詳解】(2+x?根據(jù)題意可得：r當r=0時，則T1=(2+∴k=4，則x4當r=1時，則T2=C∴k=2，則x4當k=2時，則T3=C∴k=0，則x4綜上所述：含x4的項的系數(shù)為10?120+80=?30【變式6-1】2．（2023·全國·高三專題練習）1+1x?A．5 B．-5 C．15 D．-15【答案】B【分析】根據(jù)1+1x?x5【詳解】1+1x?x5展開式中出現(xiàn)x3有兩種情況，第一種是1+x?1第二種是1+x?1?x5所以展開式中含有x3項有C53所以x3項的系數(shù)為?10+5=?5【變式6-1】3．（2021·江西南昌·高三階段練習）4x+1A．?1 B．180 C．?11520 D．11520【答案】B【分析】分情況討論，要得到含x?3的項，4x+1x+45【詳解】根據(jù)題意，要得到含x?3的項，則4x+1x+45中有3項1x與2項4相乘，或者有4項1x即4x+1【變式6-1】4．（2021·全國·高二課時練習）9x【答案】120【分析】已知的式子變形為9x【詳解】解：因為9x+4x題型7兩個二項式乘積的展開式【例題7】（2022·四川省內(nèi)江市第六中學高三開學考試（理））x3A．40 B．60 C．80 D．120【答案】A【分析】先確定x?2x【詳解】解：x?2x而x3?1xx?2x5所以x3?1【變式7-1】1．（2022·全國·高三專題練習）x3A．240 B．?240 C．400 D．80【答案】D【分析】根據(jù)二項式定理求解2x?1x2【詳解】2x?1令6?3r=0，得r=2，則2令6?3r=?3，得r=3，則2x?1x26【變式7-1】2.（2023·全國·高三專題練習）x+2y5A．?120 B．?40 C．80 D．200【答案】B【分析】先利用二項式定理求出x+2【詳解】x+2y5因為x+2在xTk+1=C在yTk+1=C所以展開式中x3y3【變式7-1】3．（2022·浙江邵外高三階段練習）x+yx【答案】?5【分析】首先分析出存在x3【詳解】根據(jù)題意,x3y4分別為：x?C64x2(?則x3y4的系數(shù)為：15?20=?5【變式7-1】4．（2022·河南省上蔡第一高級中學高三階段練習（文））1+2xy【答案】?25【分析】根據(jù)二項式定理展開式通項的特征即可求解.【詳解】展開式中含x4y2項的系數(shù)是【變式7-1】5．（2023·全國·高三專題練習）(2x+1)(【答案】?260【分析】利用x?26的展開式的通項【詳解】x?26的展開式的通項令6?r=3，得r=3令6?r=4，得r=2則2x+1x?26的展開式中題型8有理項與無理項問題【例題8】（2023·全國·高三專題練習）二項式4xA．3 B．4 C．5 D．7【答案】D【分析】求出展開式的通項，令x的指數(shù)部分為整數(shù)即可得結(jié)果.【詳解】二項式4x通項為Tr+1=C24rx24?r【變式8-1】1．（2022·山西大同·高二期中）(2x【答案】3【分析】求出二項式展開式的通項公式，再分析通項公式中x的冪指數(shù)為整數(shù)的項即可作答.【詳解】(2x?13x)8展開式的通項公式為：T所以展開式中有理項共有3項.故答案為：3【變式8-1】2．（2022·全國·高二課時練習）x?【答案】2【分析】利用二項展開式的通項公式即可求得.【詳解】x?3x要求有理項，只需使27?r6=3?r所以x?【變式8-1】3．（2023·全國·高三專題練習）(x【答案】17【分析】先寫出通項公式，然后讓50?r【詳解】通項公式Tr+1=C100r2【變式8-1】4．（2022·全國·高二專題練習）如果x+【答案】2【分析】利用二項式系數(shù)的性質(zhì)可得Cn2=4Cn1，從而可求得n的值，再寫出展開式的通項，由x的冪指數(shù)【詳解】解：依題意可得Cn2=4Cn1，即所以二項式x+13x9展開式的通項為Tr+1根據(jù)題意27?5r6∈Z，解得r=3或9，∴展開式里所有x的有理項為T4故答案為：2【變式8-1】5．（2023·全國·高三專題練習）二項式x+A．27項 B．24項 C．26項 D．25項【答案】D【分析】根據(jù)題意，可考慮求有理項，根據(jù)二項展開式的通項公式，由x的指數(shù)值為整數(shù)，即可解出有理項的項數(shù)，進而得到無理項的項數(shù)即可【詳解】二項式x+130≤r≤30，∴r題型9二項式定理含參問題【例題9】（2022·廣東東莞·高二期中）若x?【答案】7【分析】根據(jù)二項式的性質(zhì)計算可得；【詳解】解：二項式x?1xn展開式中一共有n+1項，所以【變式9-1】1．（2022·全國·高二專題練習）已知在3x?3【答案】405【分析】利用二項展開式的通項公式求解.【詳解】解：通項公式為Tr+1=Cnr?xn?r3?所以含x2項的系數(shù)為?3【變式9-1】2．（2022·全國·高三專題練習）二項式(x?2ax【答案】1【分析】由已知及二項式展開式通項列方程，即可求參數(shù)值.【詳解】由題設，展開式通項為C8所以x6的系數(shù)為(?2a)【變式9-1】3．（2022·全國·高二專題練習）已知x2+2【答案】7【分析】利用二項式的通項公式求解.【詳解】解：由題意得Cm3?23【變式9-1】4．（2022·全國·高三專題練習）已知x?mx【答案】?1【分析】寫出x+【詳解】由題意可得x+1x故當5?2r=?1時，即r=3時，T4=10x?1故x?mxx+1【變式9-1】5．（2022·山西·高三階段練習）二項式(x+ay)4【答案】±2【分析】寫出二項式展開式的通項公式，根據(jù)已知項系數(shù)求參數(shù)a即可.【詳解】由二項式展開式通項為Tr+1=所以a2C42【變式9-1】6．（2022·浙江·高二階段練習）（多選）在(3x+A．8 B．12 C．13 D．15【答案】AC【分析】利用二項式定理的通項公式得到滿足題意的項【詳解】(3x+對于A，展開式通項為Tr+1=C8對于B，展開式通項為Tr+1=C12對于C，展開式通項為Tr+1=C13對于D，展開式通項為Tr+1=C15【變式9-1】7．（2022·全國·高二單元測試）如果a1?a4+a21+2【答案】8【分析】利用二項式定理依次得到每個部分的展開式中含a4的項，由展開式含a【詳解】∵1?a4展開式通項為：C4r??1rar，1+2ak展開式通項為Ckm?2mam，1+3∴?4+2kk?1+6=114，又題型10二項式系數(shù)和問題【方法總結(jié)】二項展開式中系數(shù)和的求法：（1）對形如(ax＋b)n,(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈N*)的式子求其展開式的各項系數(shù)之和，常用賦值法，只需令x＝1即可；對(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N*)的式子求其展開式各項系數(shù)之和，只需令x＝y(tǒng)＝1即可；（2）一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，則f(x)展開式中各項系數(shù)之和為f(1)奇數(shù)項系數(shù)之和為a偶數(shù)項系數(shù)之和為a【例題10】（2022·浙江·高三開學考試）(1+x【答案】1024【分析】根據(jù)二項式定理的二項式系數(shù)和性質(zhì)即可求解.【詳解】由于n=10，所以二項式系數(shù)的和為2【變式10-1】1．（2022·全國·高三專題練習）2x【答案】512【分析】由二項式系數(shù)的性質(zhì)計算．【詳解】2x?3y【變式10-1】2．（2022·貴州遵義·高二期末（理））x?A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】利用二項式定理的性質(zhì)與通項求解即可.【詳解】解：二項系數(shù)和為2n=64，則n=6，所以x?13x6的通項為：故選：D.【變式10-1】3．（2022·吉林·長春吉大附中實驗學校高二階段練習）在3x2?A．6 B．7 C．8 D．9【答案】A【分析】由二項式系數(shù)和的特征即可求解.【詳解】由題意可知：2n題型11各項系數(shù)和問題【例題11】（2022·上海市洋涇中學高三階段練習）如果x+1xn展開式中各項系數(shù)的和等于32【答案】10【分析】利用各項系數(shù)和可得出n的值，然后利用二項展開式通項可求得結(jié)果.【詳解】因為x+1xn展開式中各項系數(shù)的和為所以，展開式中第三項為T3=C【變式11-1】1．（2022·浙江·高二期中）1+1【答案】0【分析】令x=1【詳解】令x=1有1+11【變式11-1】2.（2022·全國·高二課時練習）x2+x【答案】51【分析】令x=1可得所有項的系數(shù)和，求出n，再利用組合的知識確定含x【詳解】令x=1，則(12由組合知識可得，x2+x+15的展開式中含x5的項為C55x【變式11-1】3．（2022·全國·高三專題練習）在1?2A．?365 B．?364 C．364 D．365【答案】D【分析】寫出展開式通項，即可求得展開式中所有奇數(shù)項的系數(shù)之和.【詳解】1?2x6因此，展開式中所有奇數(shù)項的系數(shù)和為C6【變式11-1】4．（2022·全國·高三專題練習）x?2y3【答案】128【分析】對每一個括號利用二項展開式的通項公式進行展開，展開后對每一項進行合并，合并后使得z項冪次為0，確定項數(shù)后即可得到答案.【詳解】x?2y3y?2z5z?2x7利用二項展開式的通項公式進行展開，設x展開后得C3kx3?k?2yk·C5ny5?n?2z代入展開式得C3kC50C7故答案為：128【變式11-1】5．（2022·四川·成都七中萬達學校高三階段練習（理））5?3x【答案】15625【分析】根據(jù)題意，令y的系數(shù)為0，得5?3xn，再令x=1，得5?3【詳解】5?3x+2y再令x=1，得5?3x+2yn求5?3x+2y所以展開式中的常數(shù)項為C6題型12各項系數(shù)絕對值和問題【例題12】（2022·全國·高三專題練習）在2x【答案】243【分析】2x?y【詳解】解：由2x?y所以令x=y=1【變式12-1】1．（2022·全國·高三專題練習）已知2?x6=【答案】729【分析】由二項式定理確定各項的符號，則原式可化為a0【詳解】由二項式定理可知，a0、a可得a0故答案為：729【變式12-1】2．（2022·陜西·寶雞市金臺區(qū)教育體育局教研室高二期末（理））已知(1?2x)5【答案】210【分析】根據(jù)二項展開式的通項可知展開式中奇次項的系數(shù)為負，偶次項的系數(shù)為正，可得a1+a【詳解】解：因為(1?2x)5(1?2x)5展開式的通項公式為Tr+1在二項展開式中，令x=?1，可得aa1+a題型13賦值法解決項的系數(shù)和問題【例題13】（2022·全國·高三專題練習）已知1?2x5＝【答案】243【分析】根據(jù)題意，利用賦值法，令x=?1【詳解】解：因為1?2x所以令x=?1，則1+25＝【變式13-1】1．（2022·陜西·延安市第一中學高二階段練習（理））若(3x?1)7A．?1 B．127 C．128 D．129【答案】D【分析】利用賦值法計算可得.【詳解】解：因為(3x?1)7=a令x=1，可得a7+故選：D【變式13-1】2．（2022·全國·高三專題練習）已知多項式x?23+【答案】70【分析】利用賦值法令x=1求出a1+a2+a【詳解】令x=1，可得?1+81=1+a1根據(jù)x?23+x+24可得x3故答案為：70.【變式13-1】3．（2023·全國·高三專題練習）在2x(1)二項式系數(shù)的和；(2)各項系數(shù)的和；(3)奇數(shù)項的二項式系數(shù)和與偶數(shù)項的二項式系數(shù)和；(4)奇數(shù)項系數(shù)和與偶數(shù)項系數(shù)和；(5)x的奇次項系數(shù)和與x的偶次項系數(shù)和．【答案】(1)210；(2)1；(3)29；29；(4)1?5102；【分析】（1）（3）根據(jù)二項式系數(shù)的和公式即得；（2）（4）（5）設2x（1）二項式系數(shù)的和為C10（2）令x=y=1（3）奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為C100+（4）設2x令x=y=1，得到a0+所以2a0+所以2a1+（5）x的奇次項系數(shù)和為a1+a3+【變式13-1】4．（2022·全國·高二課時練習）已知x2+12A．10935 B．5546 C．5467 D．5465【答案】D【分析】令x?1=t得【詳解】解：令x?1=t，則令t=0，則a令t=1，則a令t=?1，則a所以a0所以a2【變式13-1】5．（2022·陜西渭南·高二期末（理））若1+2x1?xA．1 B．2 C．1?3102【答案】C【分析】利用賦值法可求出結(jié)果.【詳解】在1+2x令x=0，得a0=1，令x令x=?1，得a0?a1所以a2題型14二項式系數(shù)最值問題【方法總結(jié)】二項式系數(shù)的最大項的求法：求二項式系數(shù)的最大項，根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)對(a＋b)n中的n進行討論：（1）當n為奇數(shù)時，中間兩項的二項式系數(shù)最大；（2）當n為偶數(shù)時，中間一項的二項式系數(shù)最大【例題14】（2022·江蘇省響水中學高二期中）已知二項式x+(1)求展開式的有理項；(2)求展開式的系數(shù)最大項.【答案】(1)x8、7x4、716【分析】（1）由題意利用二項展開式的通項公式，求得展開式中的有理項．（2）令第r+1項的系數(shù)最大，即可得到不等式組求出r(1)解：二項式x+123x8展開式的通項為Tr+1=C8rx8?r123xr=C8rx(2)解：令第r+1項的系數(shù)最大，則C8r12r≥C8r+112r+1C8r12r【變式14-1】1．（2022·全國·高三專題練習）在二項式(2x(1)求展開式中二項式系數(shù)最大的項.(2)求(1?1【答案】(1)1120x4；(2)【分析】（1）由二項式系數(shù)關系及組合數(shù)性質(zhì)得n=8（2）由（1）知二項式為(2x（1）依題意Cn1=所以二項式(2x?1)8（2）由（1）知，(1?1因為二項式(2x?1)8所以(2x?1)8的常數(shù)項為T9=所以(1?1x)【變式14-1】2．（2022·廣東·鹽田高中高二階段練習）已知2x(1)求展開式中第三項系數(shù)；(2)求出展開式中所有有理項(即x的指數(shù)為整數(shù)的項).【答案】(1)240；(2)64x12，160x【分析】（1）根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)可知n＝6，求出展開式通項Tr（2）根據(jù)展開式通項，當r＝0，3，6時為有理項，代入計算即可.(1)由題可知，n=6，則二項展開式通項為T展開式中第三項系數(shù)為：C6(2)展開式中有理項為r=0,3,6時，即T1=T7題型15系數(shù)最值問題【方法總結(jié)】二項式系數(shù)最大的項與系數(shù)最大的項不同，二項式系數(shù)最大的項即中間一項或兩項；展開始終系數(shù)最大的項的求法用解不等式組Tr+1項系數(shù)≥【例題15】（2022·全國·高三專題練習）x?1【答案】6【分析】由二項展開式可得出系數(shù)最小的項系數(shù)一定為負，再結(jié)合組合數(shù)的性質(zhì)即可判斷出系數(shù)最小的項【詳解】x?19的展開式的通項公式為又第5項與第6項的二項式系數(shù)最大，第6項系數(shù)為負，則第6項系數(shù)最小.故答案為：5.【變式15-1】1．（2022·全國·高二課時練習）若二項式3x【答案】9【分析】利用二項展開式的通項公式求出展開式的第五項，令x的指數(shù)為0，求出n的值，再利用二項式系數(shù)的性質(zhì)即得．【詳解】由題可得項展開式的通項公式為Tr+1=得n?16=0，即n=16．由題知二項式系數(shù)與對應項的系數(shù)的絕對值相等，二項式系數(shù)最大的項為T所以第9項系數(shù)最大．故答案為：9.【變式15-1】2.（2022·全國·高二課時練習）在二項式x?1【答案】

462x5【分析】寫出二項式x?111的展開式的通項為Tr【詳解】x?111的展開式的通項為第r+1項的系數(shù)為ar+1根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)得C11T6=?15C115【變式15-1】3．（2022·河南安陽·高三階段練習（理））已知x?A．?448 B．?1024 C．?1792 D．?5376【答案】C【分析】先根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)可得n=8，再結(jié)合二項展開式的通項求各項系數(shù)ar=【詳解】∵展開式中只有第5項是二項式系數(shù)最大，則n∴展開式的通項為Tr+1=C8rx8?r?2xr【變式15-1】4．（2022·江蘇·揚州中學高二期中）若(2a【答案】(【分析】根據(jù)給定條件，求出冪指數(shù)n的值，再求出第r+1項的系數(shù)，列出不等式并求解作答.【詳解】因(2a?x)n(2a?x)n而a>0由僅有展開式的第5項的系數(shù)最大得：(2a)4C8所以a的取值范圍為(1010【點睛】關鍵點睛：二項式定理的核心是通項公式，求解二項式問題先正確求出通項公式，再結(jié)合具體條件推理計算作答．【變式15-1】5．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·高三開學考試）已知n為正偶數(shù)，在x+(1)求展開式中的一次項；(2)求展開式中系數(shù)最大的項．【答案】(1)T5=358【分析】(1)由第5項的二項式系數(shù)最大，可求得n=8(2)令ar為展開式中系數(shù)，根據(jù)ar≥ar（1）解：因n為正偶數(shù)，在展開式中的第5項的二項式系數(shù)最大，則n2+1=5，設Tr令4?3r4=1，得（2）解：令ar=C令ar≥ar?1?1r≥29?r2題型16二項式定理與楊輝三角【例題16】如圖，在“楊輝三角”中，斜線AB的上方，從1開始箭頭所指的數(shù)組成一個鋸齒形數(shù)列：1,2,3,3,6,4,10,5，···，記其前n項和為Sn，求S19的值.【解析】由圖知，數(shù)列的首項是Ceq\o\al(2,2)，第2項是Ceq\o\al(1,2)，第3項是Ceq\o\al(2,3)，第4項是Ceq\o\al(1,3)，…，第18項是Ceq\o\al(1,10)，第19項是Ceq\o\al(2,11)，∴S19=Ceq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(1,2)＋Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(1,3)＋···＋Ceq\o\al(2,10)＋Ceq\o\al(1,10)＋Ceq\o\al(2,11)=(Ceq\o\al(1,2)＋Ceq\o\al(1,3)＋Ceq\o\al(1,4)＋···＋Ceq\o\al(1,10))＋(Ceq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,4)＋···＋Ceq\o\al(2,11))=(2＋3＋4＋···＋10)＋(Ceq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(2,3)＋···＋Ceq\o\al(2,11))=（2+10）×92＋Ceq\o\al(3,12)=54＋eq\f(12×11×10,1×2×3)=274.【名師點睛】觀察數(shù)列的各項在楊輝三角中的位置，聯(lián)系二項式系數(shù)的性質(zhì)，直接對數(shù)列求和即可．【變式16-1】1.如圖是一個類似楊輝三角的遞推式，則第n行的首尾兩個數(shù)均為________．【答案】2n－1【解析】由1,3,5,7,9…，可知它們成等差數(shù)列，所以an＝2n－1.【變式16-1】2．（2022·全國·高三專題練習）楊輝是我國南宋末年的一位杰出的數(shù)學家．他在《詳解九章算法》一書中，畫了一個由二項式a+bnn=1,2,3,???展開式的系數(shù)構(gòu)成的三角形數(shù)陣，稱作“開方作法本源”，這就是著名的“楊輝三角”．在“楊輝三角”中，從第2行開始，除1以外，其他每一個數(shù)值都是它上面的兩個數(shù)值之和，每一行第kk≤n,A．1009 B．1010 C．1011 D．1012【答案】C【分析】根據(jù)題意可得第k斜列各項之和為C2023k，第k+1【詳解】當k≥2時，第k斜列各項之和為Ck?1k?1+C所以第k斜列與第k+1斜列各項之和最大時，k+1=1012，則【變式16-1】3．（2022·廣東廣州·高二期末）（多選）我國南宋數(shù)學家楊輝1261年所著的《詳解九章算術》就給出了著名的楊輝三角，由此可見我國古代數(shù)學的成就是非常值得中華民族自豪的，以下關于楊輝三角的敘述證確的是（

）A．第9行中從左到右第6個數(shù)是126B．CC．CD．C【答案】ABD【分析】根據(jù)楊輝三角，利用組合數(shù)的計算判斷ABD，利用二項式系數(shù)的性質(zhì)判斷C.【詳解】對于A，第9行中從左到右第6個數(shù)是C9對于B，Cn對于C，由二項式系數(shù)的性質(zhì)知Cn對于D，C3【變式16-1】4．（2022·全國·高二課時練習）如圖，在由二項式系數(shù)所構(gòu)成的“楊輝三角”中，記第2行的第3個數(shù)字為a1，第3行的第3個數(shù)字為a2，…，第n＋1行的第3個數(shù)字為an第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14641第5行15101051…………【答案】220【分析】根據(jù)題目的規(guī)律可得數(shù)列的通項公式，代入求和即可.【詳解】由題意，得an=Cn+1【變式16-1】5．（2022·全國·高三專題練習）如圖所示的楊輝三角中，從第2行開始，每一行除兩端的數(shù)字是1以外，其他每一個數(shù)字都是它肩上兩個數(shù)字之和在此數(shù)陣中，若對于正整數(shù)n，第2n行中最大的數(shù)為x，第2n+1行中最大的數(shù)為y，且13【答案】6【分析】根據(jù)二項式系數(shù)的最大值滿足的條件求出x，y，代入13x【詳解】由題意知x=C2∴13=7×2n+1n+1，∴13(【變式16-1】6．（2022·北京師大附中高二期中）當n∈N時，將三項式x若在1+axx2+x+15A．1 B．?1 C．2 D．?2【答案】C【分析】根據(jù)廣義楊輝三角形可得出x2+x+15的展開式，可得出1+【詳解】由廣義楊輝三角形可得x2+x+15=x10+5故選：C.題型17整除問題【方法總結(jié)】利用二項式定理解決整除問題時，關鍵是要巧妙地構(gòu)造二項式，其基本思路是：要證明一個式子能被另一個式子整除，只要證明這個式子按二項式定理展開后的各項均能被另一個式子整除即可.因此，一般要將被除式化為含相關除式的二項式，然后再展開.【例題17】利用二項式定理證明2n+2·3n+5n－4()能被25整除.【解析】因為2n+2·3n＝4×(1＋5)n=4(1＋Cn15＋Cn252+?+Cnn?15n?1+Cn＝1時，2n+2·3n＋5n－4＝25.所以，當n∈N+時，2n+2·3n＋5n【變式17-1】求證：（1）5151－1能被7整除；（2）32n＋3－24n＋37能被64整除．【證明】(1)5151－1＝(49＋2)51－1＝Ceq\o\al(0,51)·4951＋Ceq\o\al(1,51)·4950·2＋…＋Ceq\o\al(50,51)·49·250＋Ceq\o\al(51,51)·251－1，易知除Ceq\o\al(51,51)·251－1以外各項都能被7整除．又251－1＝(23)17－1＝(7＋1)17－1＝Ceq\o\al(0,17)·717＋Ceq\o\al(1,17)·716＋…＋Ceq\o\al(16,17)·7＋Ceq\o\al(17,17)－1＝7·(Ceq\o\al(0,17)·716＋Ceq\o\al(1,17)·715＋…＋Ceq\o\al(16,17))．顯然能被7整除，所以5151－1能被7整除．(2)32n＋3－24n＋37＝3×9n＋1－24n＋37＝3(8＋1)n＋1－24n＋37＝3(Ceq\o\al(0,n＋1)8n＋1＋Ceq\o\al(1,n＋1)8n＋…＋Ceq\o\al(n,n＋1)8＋1)－24n＋