高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題27《向量法求空間角》講義及答案

專題27向量法求空間角

一、單選題

1.在正方體ABCO-ABCiA中，E,F，P,。分別為男〃，人。，的中點，則異面直

線E廠與P0所成角的大小是（）

R71冗冗

A.-B.-C.—D.—

4632

2.在長方體ABCO—A4GR中，AB=AD=\^入4=2,設(shè)AC交50于點。，則異面直線4。與8R

所成角的余弦值為（）

A4厲R4至「46n4G

151599

3.如圖在樓長為2的正方體ABCO-AB1G2中.點E是AD的中點.那么異面育線RE和A8所成的

角的余弦值等于（）

4.如圖，己知點E、F、G、”分別是正方體A8CO—44G9中棱A%、AB.BC、的中點,

記二面角￡一陽一。的平面角為a,直線HG與平面A3CQ所成角為夕，直線"G與直線0G所成角為

7,則（）

A.a>P>yB.p>a>YC.p=a>yD.y>a=p

5.如圖，在正四面體48co中，BE=ECyCF=FD,DG=2GA^記平面E尸G與平面BC。、平面AC。

、平面A8D,所成的銳二面角分別為。、夕、了,則（）

A.a>p>yB.a>y>pC.p>a>yD.y>a>/3

6.如圖，在長方體ABC。—ABCA中，AB=2,BC=BB]=1,P是4。的中點，則直線冊與A。

A.-B.逅C.—D.正

3433

7.已知兩條異面直線的方向向量分別是〃=(3,1,-2),v=(3,2,1),則這兩條異面直線所成的角。滿

足()

9191

A.sinO=—B.sin^=—C.cos6=—D.cos0=—

144144

二、解答題

8.如圖，四邊形M48C中，4c是等腰直角三角形，NAC8=90。，△M4C是邊長為2的正三角形，

以AC為折痕，將△MAC向上折疊到△DAC的位置，使。點在平面43C內(nèi)的射影在A8上，再將

△MAC向下折疊到△E4C的位置，使平面叢。_1_平面48。，形成幾何體

(1)點尸在8C上，若OF〃平面E4C，求點尸的位置；

(2)求二面角?！?C—E的余弦值.

9.如期所示，在四棱錐P-ABCO中，PA=AD=CD=2AB=2,CDA,AD,Q4_L底面

ABCD,M為PC的中點.

(1)求證：8M〃平面PA。；

(2)在側(cè)面PAO內(nèi)找一點N,使MN1平面尸3D：

(3)求直線PC與平面P8D所成角的正弦.

10.如圖所示，四棱錐P—A3CO中，側(cè)面PDC是邊長為2的正三角形且與底面垂直，底面A8CO是

NAOC=60'的菱形，M為尸8的中點.

(1)求Q4與底面ABC。所成角的大??；

(2)求證：R4J_平面CZW；

(3)求二面角。-MC-8的余弦值.

H.如圖，三棱柱43。一4石。|中，平面A4CC]平面ABC,AABC和都是正三角形，力是

48的中點.

(1)求證：8G〃平面A,。。；

(2)求二面角A-oc-G的余弦值.

12.如圖，在四棱錐E—A3C。中，底面ABCD中CD//AB,ABA.BC,側(cè)面43EJL平面A5CD,且

AB=AE=BE=2BC=2CD=4，點M在校AE上，且MA=2EM.

E

（I）證明：CE〃平面BDM；

（II）求二面角七一的余弦值

13.如圖，在底面為菱形的四棱錐P—ABC。中，ZBCD=60°,PA=PD=—CD.

2

（1）證明：AD.LPB；

（2）若PB=AD，點。在線段尸8上，且PQ=3QB,求二面角A—CQ-8的余弦值.

14.如圖，在四棱錐P—ABCO中，PQ_L底面A8CD,底面ABC。是邊長為2的正方形，PD=DC,

F，G分別是心，4。的中點.

p

（1）求證：6尸_1_平面。。8；

（2）求平面心6與平面PC3夾角的余弦值；

（3）在AP上是否存在一點“，使得DM與尸。所成角為60。？若存在，求出M點坐標(biāo)，若不存在，請

說明理由.

15.已知如圖①，在菱形ABCD中，4=60。且A4=2，E為4力的中點，將人鉆石沿班:折起使

AD=&得到如圖②所示的四棱錐A—3CDE.

（1）求證：平面A3七_(dá)L平面A8C；

（2）若尸為AC的中點，求二面角P—BQ—A的余弦值.

16.如圖，E為矩形A5CD邊CD的中點，沿把將△C8E向上翻折至△E6E，使得二面角C—8E—尸為

60°,且48=08。，F(xiàn)G=2GC.

B

(1)證明：A產(chǎn)〃平面BGE；

(2)求直線BG與平面45尸夾角的正弦值.

17.如圖，長方體A8CO—AgGA中，AB=2,BC=Cq=l,若在CO上存在點E，使得^EJ■平

面的。

(1)求OE的長；

(2)求平面4與。與平面8片E夾角的余弦值.

18.力圖，三棱柱ABC-O即的側(cè)面應(yīng)戶C是邊長為1的正方形，面BEBJ■面AOEB，AB=4,

/DEB=60"G是OE的中點.

(1)求證：CE//平面AG/7；

(2)求點。到平面AG尸的距離；

(3)在線段8C上是否存在一點夕，使二面角P-GE-8為45。，若存在，求的長；若不存在，說明

19.如圖，在直三棱柱ABC—4用G中，AC±BC,AC=BC=AA,=2

(1)求證：AiCIBC；

(2)求直線AG和A4所成角的大小；

(3)求直線AG和平面A66同所成角的大小.

20.如圖，已知三棱錐P-ABC中，Z4J_平面A8C，AC±BC,PA=AC=BC.DB=2AD,M、E

分別為P8、PC的中點，N為AE的中點.

(I)求證：MNLCD；

(II)求直線08和平面PC。所成角的正弦值.

21.如圖，三棱柱ABC—A,4G中，底面ABC是邊長為2的等邊三角形，側(cè)面8CGM為菱形，且平面

3CGg_L平面ABC,ZCBB1=60°,。為棱A4的中點?

B

(1)證明：BQJL平面DCB「

(2)求二面角片—OC-G的余弦值.

22.在如圖所示的幾何體中，四邊形A8CO為正方形，/%_!_平面ABC。，PA//BE,BE=2,

AB=PA=4.

(1)求證：CE〃平面PA。；

(2)求宜線PD與平面PCE所成角的正弦值；

(3)在棱上是否存在一點尸，使得二面角E—PC—尸的大小為60,？如果存在，確定點尸的位置：

如果不存在，說明理由.

23.右四棱錐P-ABCD中，四邊形ABC。為正方形，平面P45_L平面ABC。，為等腰直角三角

形，PA工PB，AB=2.

(1)求證：平面P8C_L平面以G

(2)設(shè)E為C。的中點，求二面角CP8-E的余弦值.

24.已知長方體中，AD=AB=2,M=1＞七為RG的中點.

(1)證明3。"平面與EC；

(2)求直線AR與平面B|EC所成角的正弦值.

25.如圖，四邊形A3CZ)為菱形，ZABC=120°,四邊形BDFE為矩形，平面瓦用后_1_平面ABC。，點

尸在AD匕EPY.BC.

(1)證明：4)_L平面3EP；

(2)若E尸與平面A5CZ)所成角為60。，求二面角C—正一8的余弦值.

26.如圖，在邊長為8的菱形ABCO中，NABC=12(T，將沿5。折起，使點A到達(dá)A的位置,

且二面角4一3。一。為60。.

(1)求證：\CLBD.

(2)若點E為A。中點，求直線〃石與平面4。。所成角的正弦值.

27.如圖，在直三棱柱ABC-AgG中，ABLAC,AB=AC=2,9=4,點。是BC的中點.

(1)求證：平面J_平面3CG4；

(2)求平面AZ)G與平面484所成的銳二面角(是指不超過90的角)的余弦值.

28.8c中，AB=AC=BBC=2,E,F分別是邊A8，4c上的點，且EF//BC,AHLBC

于H,AHHEF=O^將AAEF沿E/折起，點A到達(dá)4,此時滿足面AEF_L面3c在：.

5

(1)若一二一，求直線48與面8CFE所成角大??；

EB3

(2)若石，產(chǎn)分別為A3,AC中點，求銳二面角4—8E-C的余弦值；

(3)在(2)的條件下，求點8到面Ab的距離.

29.如圖，在梯形43a)中，AB//DC,ZABC=60%產(chǎn)C_L平面48CD,四邊形ACFE為矩形，點

M為線段所的中點，且AO=8=BC=1,CF=—.

2

M

E

(1)求證：平面3cM_L平面AWC；

(2)求平面與平面尸CB所成銳二面角的余弦值.

30.如圖，四棱錐P—A5CD的底面為正方形，側(cè)面PAO1底面43CZX△%￡>為等腰直角三角形,

且Q4_LA￡>.E，尸分別為底邊A6和惻棱/。的中點.

(I)求證：E尸〃平面PAO：

(II)求二面角E-尸。一。的余弦值.

專題27向量法求空間角

一、單選題

1.在正方體ABCO-ABCiA中，E，F(xiàn)，P，。分別為AB,BR,4D,的中點，則異面直

線E尸與尸。所成角的大小是()

A.—兀BC.—兀

46

【答案】C

【分析】

以。為原點，DA，DC,0A所在直線分別為龍軸，》軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長

為2,寫出￡,F，P,。的坐標(biāo)，然后可得用和前的坐標(biāo)，然后可算出答案.

【詳解】

以。為原點，DA，DC,。口所在直線分別為x軸，>軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)正方體的棱長為2,則*1,0,1),2(0,1,1),￡(2,1,1),尸(1,1,2),

則理=(-l,L0)，EF=(-l,0,l).

設(shè)異面直線即與尸Q所成的角為,則cos6==~>所以e=—>

23

2.在長方體A8CO—481GA中，AB=AD=\,M=2,設(shè)AC交3。于點0,則異面直線4。與8烏

所成角的余弦值為()

A4厲R4715「4石n4石

151599

【答案】D

【分析】

首先以。為原點，DA,DC，0A分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，再利用向量法求異面直線

成角艮1可。

【詳解】

以。為原點，DA,DC,。"分別為】，），，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

A__-Ci

,\A：\v

4B

因為AB=AD=1,A4j=2,

所以A（1,0,2）,3（1,1,0）,。（生，0），A（0,0,2）,

麗二（—；,；,—2）,西二（一1,一1,2）,

l_l_4

則cos叫=22-------二好.

生+4.J1+1+4

故選：D

【點睛】

本題主要考查向量法求異面直線成角，屬于簡單題。

3.如圖在棱長為2的正方體ABCO-AqGR中，點￡是的中點,那么異面直線和A8所成的

角的余弦值等于（）

D\

AMBV15c42

5553

【答案】A

【分析】

建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)表示向量，利用向量求出異面直線"E和AB所成角的余弦值.

【詳解】

建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示；

。(0,0,0),E(l,0,0),D,(0.0,2),8(2,2,0),小2,0,2)；

D^E=(1,0,-2),曜=(0,2,-2),扉?即=lx0+0x2-2x(—2)=4,

222

麻卜/+02+52)2=石,I^1B|=7O+24-(-2)=2xf2；

所以8s<研'“>=瑞常4V10

&2應(yīng)—5

所以異面直線RE和所成角的余弦值為乎.

故選：A

【點睛】

方法點睛：求異面直線所成的角常用的兩種方法：

方法一：（幾何法）找（觀察）一H乍（平移法）一證（定義）一>指一求（解三角形）；

方法二：（向量法）利用向量里異面直線所成的角的公式求解.

4.如圖，已知點后、F、G、〃分別是正方體48。。一4片62中棱44、48、BC、的中點,

記二面角七一對一短的平面角為a,直線"G與平面45co所成角為夕，直線HG與直線OG所成角為

/,則（）

A.?>/?>/B.fl>a>yC.P=a>yD.y>a=P

【答案】D

【分析】

建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出線面角、二面角、異面直角所成角，即可比較；

【詳解】

解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，令正方體的棱長為2,則>（2,0,1）,以2,1,0）,G（l,2,0）,“（0,1,2）,

HG=(l,l,-2),茨=(1,2,0),而=(0,1,-1),?U=(-l,l,0),

m-EF=0

顯然面ABCD的法向量為〃=（0,0』），設(shè)面EFG的法向量為加=（x,y,z），則”一，即

inFG=0

y-z=0

,令y=1則z=1X=1,所以m=(1,1,1)

一X+y=0

所以cosa=據(jù)"si物解」所以34=右訴=亙

biJ/n3HG?/z,633

|77g?D5||lxl+lx2+0x(-2)|730

COS/-|HG|.|DG|"瓜乂亞io

因為之回,

即cosa>cosy,所以y>a=/

310

故選：D

X

5.如圖，在正四面體ABC。中，麗二配，麗=麗，方G=2晶，記平面EFG與平面BCO、平面ACO

、平面麗，所成的銳二面角分別為。、乃、/,則()

A.a>p>yB.a>y>pC.p>a>yD.y>a>p

【答案】A

【分析】

過A作AO_L平面BCO,取3。的中點W，連接CM,交CM于點。以。為原點，。。為x軸，ON為

y軸，OA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)向量法先求cosa,cos尸,8sy,再根據(jù)余弦函數(shù)單調(diào)性

比較大小即可.

【詳解】

解：（空間向量法）

因為而=反,#=而，礪=2百，所以反尸分別為BC、。。的中點,G為A。上靠近A的三等分點，

取30的中點M，連接CM,

過4作40_L平面BCD,交CM于點0,在平面5CQ中過。作ON//BD，交CD于N,設(shè)正四面體ABCD

的棱長為2,則。M=#，C0=2，，OA=,AC2_0C2=卜_（竺）=不，

以。為原點，。。為X軸，ON為），軸，04為Z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

二*

A0,0,f,B-f-1,0,C63nf出JV31力1小

3,0,0,D3,1,0，E，0,F6,2，。，

X/\/\7\7\7\7

G19‘3,9)'EF-(0,1,0)，E(中晨‘*‘*伊‘。'-2"

亞呼「外研4if

伍?喬=0

設(shè)平面EFG的一個法向量為%=(x,y,z),則廣一，

[q.EG=O

y=0

即居二嚴(yán)婭不妨令z=1

1869

同理可計算出平面BCD、平面ACD、平面AI3D的一個法向量分別為&=（0,0,D,4=（垃,瓜

元4=(260,-1),

5x/17々q?4_7>/17

則可得cosa=F'8s左

同?同同?同51

所以cosa<cosp<cosy,

又丁二以用工在大￡（0.乃）上遞減，所以

故選：A.

6.如圖，在長方體—中，A5=2，BC=BB1=1,P是A0的中點，則直線BP與AR

所成角的余弦值為（）

137C

A.-B."C.也D.近

3433

【答案】D

【分析】

以。為原點，力4為X軸。。為y軸，OR為Z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線3P

與A"所成角的余弦值.

【詳解】

???在長方體—中，AB=2,BC=BBI=1,尸為4。的中點,

..?以。為原點，DA為x軸，QC為V粕，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

8(1,2,0),Ad，0,1),C(0,2,0),

A(l,0,0),0,(0,0,1),

22

BP—(—，—1，—),AD.=(—1,0,1),

221

設(shè)異面直線BP與AA所成角為。，

11

cI麗國I2+2月

則COS。=-7=---=-7==—.

JIBPIIAD.I形/3

「?異面直線BP與4A所成角的余弦值為且.

3

【點睛】

求異而直線所成的角主要方法有兩種：一是向量法，根據(jù)幾何體的特殊性質(zhì)建立空間直角坐標(biāo)系后，分別

求出兩直線的方向向量，再利用空間向量夾角的余弦公式求解；二是傳統(tǒng)法，利用平行四邊形、三角形中

位線等方法找出兩直.線成的角，再利用平面幾何性質(zhì)求解.

7.已知兩條異面直線的方向向量分別是方二(3,1,-2),爐=(3,2,1),則這兩條異面直線所成的角。滿

足()

9191

A.sin。二一B.sinO=—C.cos^=—D.cos0=—

144144

【答案】C

【分析】

由已知兩條異面直線的方向向量的坐標(biāo)，然后利用數(shù)量積求夾角公式，即可求得答案.

【詳解】

???兩條異面直線的方向向量分別是〃=(3,1,-2),v=(3,2,I),

w-v=3x3+lx2+(-2)xl=9,

同=^32+12+(—2)2=V14?|v|=\/32+22+12=V14,

7E

又兩條異面直線所成的角為。G(0,-J,

9

cos<9=|cos(w,v)|===2.,sin6=^^.

|u|-|v|\/14\/141414

故選：C.

二、解答題

8.如圖，四邊形M48c中，AABC是等提直角三角形，ZACB=90°,AM4C是邊長為2的正三角形,

以HC為折痕，將ZiMAC向上折疊到△DAC的位置，使。點在平面4BC內(nèi)的射影在上，再將

△MAC向下折疊到AEAC的位置，使平面E4C_L平面A8C,形成幾何體D43CE.

(1)點尸在3c上，若OF〃平面以C,求點尸的位置；

(2)求二面角O—8C—E的余弦值.

【答案】(1)尸為8c的中點；(2)&一③近

6

【分析】

(1)設(shè)。點在平面ABC內(nèi)的射影為0,連接?！?,0C,取8C的中點尸，易得。尸〃平面￡4。.取AC

的中點“，連接E”，由平面E4C_L平面ABC，得至UEH_L平面ABC,又OO_L平面ABC,則DOHEH,

則。?！ㄆ矫鍱AC,然后由面面平行的判定定理證明.

(2)連接OH,以。為坐標(biāo)原點，OF,OH,。。所在直線分別為4,丁，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

分別求得平面BDC的一個法向量為m={x9y,z)和平面EBC的一個法向量為3=(。,反。)，由

mn

二產(chǎn)舊求解.

R利?川

【詳解】

(1)如圖,

設(shè)。點在平面48c內(nèi)的射影為。，連接。。，0C,

?：AD=CD,

，3=0C,

???在RlZ\ABC中，。為A8的中點.

取BC的中點/，連接OF,DF,

則O/7/AC,又。尸0平面石4C,ACu平面E4C,

???0產(chǎn)〃平面E4C.

取AC的中點“，連接37，

則易知E”_LAC,又平面E4CJ_平面地。，平面EACCI平面A5C=AC,

???EH_L平面ABC,

又。O_L平面4BC，

/.DO//EH,又。0仁平面E4C,平面E4C,

:.DOU平面EAC.

又DOcOF=O,

，平面OO/〃平面E4C.

又OFu平面。0尸，

???￡)尸〃平面E4C,此時尸為BC的中點.

(2)連接由(1)可知。尸，OH,。。兩兩垂直，以0為坐標(biāo)原點，OF,OH,。。所在直線

分別為工，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則B（1,T,O）,D（0,0,V2）,E（0,『石），C（1,1,O）,

從而髭=(0,2,0),BD=(-1,1,V2),BE=(-1,2,-V3).

設(shè)平面BDC的一個法向量為m=（x,y,z）,

BC/?=0,2y=0,

即《

BD-麗=0,-x+y+>/2z=0,

得y=o,取4=夜，則z=l，而=(3,0,1).

設(shè)平面EBC的一個法向量為3=（a,4c）,

BC-n=0,2b=0,

即〈

BEH=0,-a+2b-\[3c=0,

得力=0,取a=6,則c=—l,〃=卜行,0,-1),

從而cos(“,〃)=3夜-G

-6-

易知二面角。―8C—E為鈍二面角,

所以二面角。一8。一七的余弦值為避二述

6

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：（1）在求解與圖形的翻折有關(guān)的問題時，關(guān)鍵是弄清翻折前后哪些量變了，哪些量沒變，哪

些位置關(guān)系變了，哪些位置關(guān)系沒變；（2）利用向量法求二面角的關(guān)鍵是建立合適的空間直角坐標(biāo)系及準(zhǔn)

確求出相關(guān)平面的法向量.

9.如圖所示，在四棱錐P—ABCD中，PA=AD=CD=2AB=2,ABA.AD,CD±AD,24_1底

面ABC。，M為PC的中點.

（1）求證：3M〃平面PA。；

（2）在側(cè)面PAO內(nèi)找一點N,使MN1平面P8￡＞：

（3）求直線PC與平面尸8D所成角的正弦.

【答案】（1）證明見解析；（2）答案見解析；（3）也.

3

【分析】

（1）取PO的中點E,連接AE、EM，證明出四邊形A3A/E為平行四邊形，可得出8W//AE,再利用

線面平行的判定定理可證得結(jié)論成立;

（2）以A為原點，以A3、40、AP所在直線為1軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點N（O,y,z）,

MNPB=O

由題意得出《________，求出）、z的值，求出點N的坐標(biāo)，可確定點N的位置;

MNDB=0

（3）利用空間向量法可求得直線〃。與平面尸瓦＞所成角的正弦.

【詳解】

?.?M為尸。的中點，E為PD的中點，則EM〃CD且EM=gc。,

在平面ABC。中，ABA.AD,CDIAD,;.AB//CD,由已知條件可得48，

2

:.EM//ABW.EM^AB,所以，四邊形ABME為平行四邊形，必〃AE,

?.?AMu平面尸4。，EAu平面P4O，...8W〃平面PAD；

(2)?.?H_L底面ABC。，ABA.AD,

以4為原點，以A3、A。、AP所在直線為x軸、軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則30,0,0）、C（2,2,0）、￡>（0,2,0）、尸（0,0,2）、

在平面PAD內(nèi)設(shè)N（0,y,z）,

麗二（一Ly-Lz—l）,而=（1,0,-2）,麗=（1,一2,0）,

由麗_L而，可得麗?麗=—l—2z+2=0，,2=\

由麗_L而，可得麗?麗=一1-2y+2=0,「.yug,所以，

所以，當(dāng)N是AE的中點，此時MNJ■平面P8O；

（3）vPC=（2,2,-2）,由（2）可知，平面/）班）的一個法向量為=

-2_V2

cos（定，麗.絲1

|PC|-|M/V|2g?旦3

2

故直線PC與平面PBD所成角的正弦值為—.

3

【點睛】

求直線/與平面。所成的角。，可先求出平面。的法向量7與直線/的方向向量￡的夾角，則

sin^=|cos<n,a>|.

10.如圖所示，四棱錐P—A3CO中，側(cè)面產(chǎn)。。是邊長為2的正三角形且與底面垂直，底面A3CQ是

NAOC=600的菱形，M為尸8的中點.

（1）求FA與底面A8C。所成角的大小;

（2）求證：P4_L平面CQM；

（3）求二面角。一MC-8的余弦值.

【答案】（1）45°;（2）證明見解析；（3）■巫

5

【分析】

（1）根據(jù)題意，由△PDC是正三角形，取DC的中點0,得出POA.DC，再由面面垂直的性質(zhì)得出PO1

平面A8CQ,連結(jié)0A,得出/PAO就是24與底面所成角，根據(jù)題給條件得出NB4O=45，即可得出

PA與底面ABC。所成角的大小；

（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)得出OA_LOC,建立空間直角坐標(biāo)系，通過空間性量法證明出P4_LDW，PA±DC,

再根據(jù)線面垂直的判定定理，即可證出P4_L平面CDM；

（3）通過空間向量求法向量的方法，分別求出平面BMC的法向量：=（_i,石,］）,和平面COM的法向量

—>—>

n-PA

6A=（MO,-B，根據(jù)向量法求空間二面角的公式丁丁，利用向量數(shù)量積和模的運

n?PA

算可得出結(jié)果，經(jīng)觀察二面角。一MC-B的平面角。為鈍角，則cos6=-cos〃，E4,從而得出結(jié)果.

【詳解】

解：（1）取。。的中點。，由△/>￡>€>是正三角形，有PO_LOC，

又???平面PDC_L底面ABCD,APOJ_平面ABCD,

連結(jié)。4,則。4是％在底面上的射影，???/尸4。就是Q4與底面所成角,

,:ZADC=60^由已知△PC。和△4CD是全等的正三角形,

從而求得Q4=OP=百，???NPAO=45'，

???R4與底面A3CQ可成角的大小為45；

(2)證明：由底面A8CO為菱形且NADC=6。'，DC=2,DO=l，

有。4_L￡>C,建立空間直角坐標(biāo)系如圖?

則A(6O，。)、P(O,O，G)、。。一1，0)、8(VJ,2,0)、C(0,l,0),

由M為PB中點，；?M(

工原=(冬2,與)，6A=(6,0,-后)，女=(0,2,0)，

,

:.PAZMf=—x>/3+2x0+—x(->J3)=0，

22

港Z)b=0x6+2x0+0x(—6)=0，

PAIDMPA±DC,且OMr)DC=D，

而。M,OCu平面OMC,

???PA_L平面OMC：

⑶CM=?CB=(6,1,0)，

令平面BMC的法向量〃=(x,y,2)*

則卷=0，從而x+z=O①；;.c5=o，從而JJx+y=0②;

由①?,取工=-1,則丫=百，z=l，，可取;=（_］，Gi）,

由⑵知平面CDM的法向量可取或=（J5,o,_G）,

設(shè)二面角O—MC—3的平面角為。，經(jīng)觀察。為鈍角，

則cod-cos,,叼=一段一.

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：本題考查利用幾何法求線面角，考查利用向量法證明線線垂宜以及線面垂直的判定定理和面

面垂直的性質(zhì)的應(yīng)用，考查利用空間空間向量法求解二面角余弦值，注意向量法的合理運用，向量法解題

時熟練掌握向量的坐標(biāo)以及法向量的計算、向量的數(shù)量積運算、空間二面角的向量公式是解題的關(guān)鍵.

11.如圖，三棱柱ABC-44G中，平面AACC|_L平面ABC,△A3C和△44C都是正三角形，。是

A8的中點.

（1）求證：〃平面A。。；

（2）求二面角A-DC-G的余弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）—.

13

【分析】

（1）首先證明OE//8G，進一步得出結(jié)論.

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求二面角的大小，首先正確求出兩個平面的法向量，進一步求出二

面角.

【詳解】

（1）如圖，連接AG，交AC于點E，連接0E，

B

由于四邊形4ACG是平行四邊形，所以E是AC1的中點.

因為。是A3的中點，所以DE//BC-

因為OEu平面A。。，平面AOC,

所以BG〃平面4。。.

（2）如圖，取AC的中點0,連接A0,B0,

根據(jù)AA3c和都是正三角形，得A0L4C，B01AC.

又平面JL平面A8C,平面AACGc平面AfiC=AC,所以AOJL平面A8C，于是AO_L8O.

以。為坐標(biāo)原點，分別以麗，0C，區(qū)的方向為x軸，y軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)AC=2,則A(0,0,6)，C(O,I,O),D苧，-g，0，G(O,Z⑹.

\/

所以詼=伴,_|,0),麗=惇*同,西=,冬|,6

63n

——x——y=0

m-CD=0

22，令x=3,則y=G，

設(shè)平面A。。的法向量為〃z=（x,y,z）,則<______，即〈心

V31

--X—y-\/3z=0

22,

z=l,所以機=（3,6』）.

-a--b=0

n-CD=0

設(shè)平面OCG的法向量3=(a,Z?,c),則，即《，令。=3,則人=行,

n-DC^=0r

——6?+—Z?+>/3c=0

22

c=-l,所以〃=（3,百,一1卜

設(shè)二面角A-oc-C的大小為e,由圖易知。為銳角,

|巾〃|11

則COS0=HI-HIT=~13?

因此二面角A1-DC-Q的余弦值為.

【點睛】

本題是綜合性題目，屬于課堂學(xué)習(xí)情境和探索創(chuàng)新情境,具體是數(shù)學(xué)推理學(xué)習(xí)情境和數(shù)學(xué)探究情境，本題

考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算求解能力.

解題關(guān)鍵（1）證明線面平行的關(guān)鍵是找到線線平行，而線線平行常常借助三角形的中位線定理來證明.（2）

利用向量法求二面角的大小，關(guān)鍵是建立合適的空間直角坐標(biāo)系，然后正確求出兩個平面的法向量.

12.如圖，在四棱錐E-ABCD中，底面48CZ）中C￡>//A5,AB1BC側(cè)面人8石_1_平面48CZ）,且

AB=AE=BE=2BC=2CD=4,點M在棱AE上，且M4=2￡M.

E

(I)證明：CE〃平面BDM；

(ID求二面角七一的余弦值

【答案】(I)證明見解析；(II)生

35

【分析】

(I)要證明線面平行需證明線線平行，接AC交BD十點N,連接MV,利用線段比例相等，證明

MN//CEx(II)如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求平面BDM和平面3DE1的法向量，利用法向量二

面角的余弦值.

【詳解】

命題意圖本題考查空間關(guān)系的證明以及利用空間向量計算二面角的余弦值

解析

(I)如圖，連接AC交3。于點N,連接

因為CDHAB,AB=2CD，所以==一,

JVAAB2

EM1

由條件得一=-.所以MN"CE,

MA2

又CEu平面BDM，MNu平面BDM，

所以CE〃平面切加.

E

M

(H)如圖，取A5的中點。，連接E。，DO.

由條件可知OO，OA,OK兩兩垂直，以O(shè)D,OA，O石所在直線分別為4,V,z軸，建立如圖所

示的空間直角坐標(biāo)系O-,

則A(0,2,0),80,-2,0),￡>(2,0,0),網(wǎng)0,0,26)，

因為加=2耐,所以M°彳，￥^,

所以防=(2,2,0),BM=0微,華,BE=(0,2,2>/3),

\/

設(shè)平面BDM的法向量為而二(3,y,zj,

(mBD=0內(nèi)+2%=°，_

則:即《84G令則m=(退,一6,2b

mBM=0,-y,+----z1=0,v'

、33

設(shè)平面BDE的法向量為n=(x2,y2,z2),

n-BD=0,2X2+2y2=0,廠-(r-r-\

則〈一即｛r令%=-V5,則=〃=(,

[n-BE=0,[2y2+2V3z2=0,八\)

所以二面角E-BD-M的余弦值為境°.

35

【點睛】

方法點睛?：不管是證明面面平行，還是證明線面平行，都需要證明線線平行，證明線線平行的幾種常見形

式，L利用三角形中位線得到線線平行：2.構(gòu)造平行四邊形；3.構(gòu)造面面平行.

13.力圖，在底面為菱形的四棱錐尸—43CZ）中，ZBCD=60°，PA=PD=—CD.

2

（1）證明：AD±PB；

（2）若P5=AD，點。在線段P3上，且打2二3。8,求二面角A-CQ—B的余弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）-您Z.

29

【分析】

（1）取AD的中點。，連接OP，0B,4。得AO_L8。，AZ）_LPO證得ADJL平面尸8。，從而得證

線線垂直；

（2）設(shè)A8=2,NAPD=90。求得PO=1可得POJ_8O,以以。為坐標(biāo)原點，分別以礪，OB,OP

的方向為x,y,z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。一町z.用空間向量法求二面角.

【詳解】

（1）取AD的中點0,連接。尸，OB,BD,

因為囚邊形ABCQ是菱形，且4CD=60。，

所以的0=60°,且=所以△ABD為正三角形，AO_LBO.

因為R4=P￡）,所以AOJ_PO.

又80np0=0,所以4）_L平面P8。，

因為P8u平面尸8。，所以AZ）_LP3.

加

（2）設(shè)A8=2，則以=尸。=JCD=播，

2

所以PA2+PD2=AP2,所以NAPD=90。.

由（1）知，P0=-AD=i,又B0=2AD=6,PB=AD=2,

2