2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第四章指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)4.4冪函數(shù)學(xué)案含解析新人教B版必修第二冊

4.4冪函數(shù)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過詳細(xì)問題,了解冪函數(shù)的概念.2.從描點作圖入手,畫出y=x,y=x2,y=x3,y=x12,y=x-13.理解和駕馭冪函數(shù)在第一象限的分類特征,能運用數(shù)形結(jié)合的方法處理冪函數(shù)的有關(guān)問題.自主預(yù)習(xí)1.一般地,冪函數(shù)的表達(dá)式為,其特征是以冪的為自變量,為常數(shù).

2.冪函數(shù)的圖像及性質(zhì)(1)在同一坐標(biāo)系中,冪函數(shù)y=x,y=x2,y=x3,y=x12,y=x-1的圖像如圖.結(jié)合圖像,填空.(1)全部的冪函數(shù)圖像都過點,在(0,+∞(2)當(dāng)α>0時,冪函數(shù)圖像過點,且在第一象限內(nèi)單調(diào);當(dāng)0<α<1時,圖像上凸,當(dāng)α>1時,圖像.

(3)若α<0,則冪函數(shù)圖像過點,并且在第一象限內(nèi)單調(diào),在第一象限內(nèi),當(dāng)x從+∞趨向于原點時,函數(shù)在y軸右方無限地靠近于y軸,當(dāng)x趨于+∞時,圖像在x軸上方無限靠近x軸.

(4)當(dāng)α為奇數(shù)時,冪函數(shù)圖像關(guān)于對稱;當(dāng)α為偶數(shù)時,冪函數(shù)圖像關(guān)于對稱.

(5)冪函數(shù)在第象限無圖像.

課堂探究例1(1)下列函數(shù):①y=x3;②y=12x;③y=4x2;④y=x5+1;⑤y=(x-1)2;⑥y=x;⑦y=ax(a>1).其中冪函數(shù)的個數(shù)為(A.1 B.2 C.3 D.4(2)已知y=(m2+2m-2)xm

2-2+2n-3是冪函數(shù),求跟蹤訓(xùn)練1(1)已知冪函數(shù)f(x)=k·xα的圖像過點12,22,則A.12 B.1 C.3(2)已知f(x)=ax2a+1-b+1是冪函數(shù),則a+b等于()A.2 B.1 C.12例2比較下列各題中兩個值的大小.(1)2.31.1和2.51.1;(2)a2+2-跟蹤訓(xùn)練2比較下列各組數(shù)的大小.(1)250.(2)-23-例3探討函數(shù)y=x23的定義域、奇偶性,通過描點作出它的圖像,并依據(jù)核心素養(yǎng)專練1.以下結(jié)論正確的是()A.當(dāng)α=0時,函數(shù)y=xα的圖像是一條直線B.冪函數(shù)的圖像都經(jīng)過(0,0),(1,1)兩點C.若冪函數(shù)y=xα的圖像關(guān)于原點對稱,則y=xα在定義域內(nèi)y隨x的增大而增大D.冪函數(shù)的圖像不行能在第四象限,但可能在其次象限2.下列不等式成立的是()A.13-B.342C.232D.8-73.函數(shù)y=x-3在區(qū)間[-4,-2]上的最小值是.

4.若冪函數(shù)fx=(m2-m-1)xm2-2m-參考答案自主預(yù)習(xí)1.y=xα底數(shù)指數(shù)2.(1)(1,1)(2)(0,0),(1,1)遞增下凸(3)(1,1)遞減(4)原點(0,0)y軸(5)四課堂探究例1(1)B解析:冪函數(shù)有①⑥兩個.(2)由冪函數(shù)定義求參數(shù)值.解:由題意得m2+2m-所以m=-3或1,n=32跟蹤訓(xùn)練1(1)C解析:由冪函數(shù)的定義知k=1.又f12=22,所以12α=22,解得α=(2)A解析:因為fx=ax2a+1-b+1是冪函數(shù),所以a=1,-b+1=0,即a=1,b=1,則a+b=2.例2(1)考查冪函數(shù)y=x1.1,因為在其區(qū)間[0,+∞)上是增函數(shù),而且2.3<2.5,所以2.31.1<2.51.1.(2)考查冪函數(shù)y=x-13,因為其在區(qū)間(0,+∞)上是減函數(shù),而且a2+2≥2,所以(a2+2)跟蹤訓(xùn)練2解:(1)因為冪函數(shù)y=x0.5在(0,+∞)上是單調(diào)遞增的,又25>13,所以25(2)因為冪函數(shù)y=x-1在(-∞,0)上是單調(diào)遞減的,又-23<-35,所以-2例3因為y=x23=3記fx=x23,則f(-x)=(-x)23=3(-x)2=3x2=x通過列表描點,可以先作出y=x23在x∈[0,+∞)時的函數(shù)圖像,再依據(jù)對稱性,可作出它在x∈(-∞由圖像可以看出,函數(shù)在區(qū)間(-∞,0]上單調(diào)遞減,在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)遞增.核心素養(yǎng)專練1.D2.A3.-18解析:因為函數(shù)y=x-3=1x3所以當(dāng)x=-2時,ymin=(-2)-3=-184.2解析:由題意,得m2-m-1=1,得m=2或m=-1.當(dāng)m=2時,m2-2m-3=-3,符合要求.當(dāng)m=-1時,m2-2m-3=0不符合要求.故m=2.學(xué)習(xí)目標(biāo)1.駕馭冪函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì).2.熟識α=1,2,3,12,-1時的五類冪函數(shù)的圖像、性質(zhì)及其特點3.能利用冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)解決綜合問題.自主預(yù)習(xí)1.在關(guān)系式N=ab(a>0,a≠1)中.①假如把b作為自變量,N作為因變量,這是什么函數(shù)?②假如把N作為自變量,b作為因變量,這是什么函數(shù)?③假如把a作為自變量,N作為因變量,這是什么函數(shù)?2.視察函數(shù)y=x,y=x2,y=x12,y=x-3冪函數(shù)的定義:3.給出下列函數(shù),其中是冪函數(shù)的有.

①y=3x2②y=x2-1③y=-1x④y=⑤y=x-13課堂探究1.問題①:給出下列函數(shù):y=x,y=x12,y=x2,y=x-1,y=x問題②:依據(jù)問題①,假如讓我們起一個名字的話,你將會給它們起個什么名字呢?請給出一個一般性的結(jié)論.2.問題③:我們前面學(xué)習(xí)指對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)時,用了什么樣的思路?探討冪函數(shù)的性質(zhì)呢?問題④:依據(jù)函數(shù)y=x12,y=x3問題⑤:畫出y=x,y=x12,y=x2,y=x-1,y=x3五個函數(shù)圖像,通過對以上五個函數(shù)圖像的3.例題講解例1已知y=(m2+2m-2)xm2-1+2n-3是定義域為R的冪函數(shù),求m例2比較下列各題中兩個值的大小.(1)2.31.1,2.51.1;(2)(a2+2)-13變式訓(xùn)練1比較下列各組的大小.(1)-8-78和-1978;(2)(-2)-3和(-(3)(1.1)-0.1和(1.2)-0.1;(4)(4.1)25,(3.8)-例3探討函數(shù)y=x23的定義域、奇偶性,通過描點作出它的圖像,并依據(jù)變式訓(xùn)練2求下列冪函數(shù)的定義域,并指出其奇偶性、單調(diào)性.(1)y=x25;(2)y=x-34核心素養(yǎng)專練1.(多選題)給出下列說法,其中正確的是()A.冪函數(shù)的圖像均過點(1,1)B.冪函數(shù)的圖像都在第一象限內(nèi)出現(xiàn)C.冪函數(shù)在第四象限內(nèi)可以有圖像D.隨意兩個冪函數(shù)的圖像最多有兩個交點2.已知冪函數(shù)f(x)的圖像經(jīng)過點(8,4),則f127的值為(A.19 B.9 C.13.已知a=243,b=425,c=2A.b<a<c B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b4.若冪函數(shù)y=(m2-3m+3)xm-2的圖像不過原點,則()A.1≤m≤2 B.m=1或m=2C.m=2 D.m=15.(開放性題)(1)已知函數(shù)f(x)=xα的定義域為[0,+∞),則滿意條件的α可以是.(寫出兩個滿意條件的α值)

(2)已知冪函數(shù)f(x)=xα的圖像經(jīng)過點(0,0),(1,1),(-1,1),(4,2)中的三個點,則滿意條件的α可以是.

6.如圖所示是6個函數(shù)的圖像,則圖中的a,b,c,d從大到小排列為.

7.已知冪函數(shù)f(x)=xα的圖像經(jīng)過點2,18,則α=,若f(a+1)<f(3-2a),實數(shù)a8.求出下列函數(shù)的定義域,并推斷函數(shù)的奇偶性.(1)f(x)=x2+x-2;(2)f(x)=x+3x(3)f(x)=x3+x13;(4)f(x)=2x4+9.在同一個直角坐標(biāo)系中,作出下列函數(shù)的圖像,并總結(jié)出一般規(guī)律.(1)y=x-3,y=x-13,(2)y=x9參考答案自主預(yù)習(xí)略課堂探究1.略2.略3.例1m=-3,n=3例2(1)2.31.1<2.51.1(2)(a2+2)-1變式訓(xùn)練1(1)-8-78<-1978(2)(-2)-3<((3)(1.1)-0.1>(1.2)-0.1(4)(-1.9)34<(3.8例3通過列表描點,可以先作出y=x23在x∈[0,+∞)時的函數(shù)圖像,再依據(jù)對稱性,可作出它在x∈(-∞,0]時的圖像.作圖略.由圖像可以看出,函數(shù)y=x23在區(qū)間(-∞變式訓(xùn)練2(1)定義域為R,是偶函數(shù),在[0,+∞)單調(diào)遞增,在(-∞,0]上單調(diào)遞減.(2)定義域為(0,+∞),非奇非偶函數(shù),在(0,+∞)上單調(diào)遞減.(3)定義域為(-∞,0)∪(0,+∞),是偶函數(shù),在(-∞,0)上單調(diào)遞增,在(0,+∞)上單調(diào)遞減.核心素養(yǎng)專練1.AB2.D3.A4.B5.(1)α=12或α=34(2)2或127.-3