2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)第十一章計(jì)數(shù)原理隨機(jī)變量及其分布11.4離散型隨機(jī)變量的分布列均值與方差理

PAGEPAGE1考點(diǎn)11.4離散型隨機(jī)變量的分布列、均值與方差考點(diǎn)梳理考點(diǎn)梳理1．離散型隨機(jī)變量的分布列(1)隨著試驗(yàn)結(jié)果改變而改變的變量稱為隨機(jī)變量．全部取值可以一一列出的隨機(jī)變量稱為離散型隨機(jī)變量．(2)一般地，若離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一個(gè)值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，則稱表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn為離散型隨機(jī)變量X的概率分布列，簡稱為X的分布列，具有如下性質(zhì)：①pi≥0，i＝1,2，…，n；②eq\i\su(i＝1,n,p)i＝1.離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率之和．2．兩點(diǎn)分布假如隨機(jī)變量X的分布列為X01P1－pp其中0<p<1，則稱離散型隨機(jī)變量X聽從兩點(diǎn)分布．其中p＝P(X＝1)稱為勝利概率．3．離散型隨機(jī)變量的均值與方差一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn(1)均值稱E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望．它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平．(2)方差稱D(X)＝eq\i\su(i＝1,n,)(xi－E(X))2pi為隨機(jī)變量X的方差，它刻畫了隨機(jī)變量X與其均值E(X)的平均偏離程度，并稱其算術(shù)平方根eq\r(DX)為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差．4．均值與方差的性質(zhì)(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.(2)D(aX＋b)＝a2D(X)．(a，b為常數(shù))5．超幾何分布一般地，在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有x件次品，則P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))(k＝0,1,2，…，m)，即X01…mPeq\f(C\o\al(0,M)C\o\al(n－0,N－M),C\o\al(n,N))eq\f(C\o\al(1,M)C\o\al(n－1,N－M),C\o\al(n,N))…eq\f(C\o\al(m,M)C\o\al(n－m,N－M),C\o\al(n,N))其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.假如一個(gè)隨機(jī)變量X的分布列具有上表的形式，則稱隨機(jī)變量X聽從超幾何分布．真題演練真題演練1．（2024?浙江）設(shè)0＜a＜1．隨機(jī)變量X的分布列是X0a1P111則當(dāng)a在（0，1）內(nèi)增大時(shí)，（）A．D（X）增大 B．D（X）減小 C．D（X）先增大后減小 D．D（X）先減小后增大【答案】D【解析】E（X）＝0×13+a×D（X）＝（a+13）2×13+（a-a+13）2=127[（a+1）2+（2a﹣1）2+（a﹣2）2]=29（a2﹣a+1）=29∵0＜a＜1，∴D（X）先減小后增大故選D．2．（2024?浙江）設(shè)0＜p＜1，隨機(jī)變量ξ的分布列是ξ012P1-p1p則當(dāng)p在（0，1）內(nèi)增大時(shí)，（）A．D（ξ）減小 B．D（ξ）增大 C．D（ξ）先減小后增大 D．D（ξ）先增大后減小【答案】D【解析】設(shè)0＜p＜1，隨機(jī)變量ξ的分布列是E（ξ）＝0×1-p2+1×12方差是D（ξ）=＝﹣p2+p+=-(p-∴p∈（0，12）時(shí)，Dp∈（12，1）時(shí)，D∴D（ξ）先增大后減?。蔬xD．3．（2024?新課標(biāo)Ⅲ）某群體中的每位成員運(yùn)用移動(dòng)支付的概率都為p，各成員的支付方式相互獨(dú)立．設(shè)X為該群體的10位成員中運(yùn)用移動(dòng)支付的人數(shù)，DX＝2.4，P（X＝4）＜P（X＝6），則p＝（）A．0.7 B．0.6C．0.4 D．0.3【答案】B【解析】某群體中的每位成員運(yùn)用移動(dòng)支付的概率都為p，看做是獨(dú)立重復(fù)事務(wù)，滿意X～B（10，p），P（x＝4）＜P（X＝6），可得C104p4(1-p)因?yàn)镈X＝2.4，可得10p（1﹣p）＝2.4，解得p＝0.6或p＝0.4（舍去）．故選B．4．（2024?浙江）已知隨機(jī)變量ξi滿意P（ξi＝1）＝pi，P（ξi＝0）＝1﹣pi，i＝1，2．若0＜p1＜p2＜1A．E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2） B．E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2） C．E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2） D．E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）【答案】A【解析】∵隨機(jī)變量ξi滿意P（ξi＝1）＝pi，P（ξi＝0）＝1﹣pi，i＝1，2，…，0＜p1＜p2＜1∴12＜1﹣p2＜1﹣pE（ξ1）＝1×p1+0×（1﹣p1）＝p1，E（ξ2）＝1×p2+0×（1﹣p2）＝p2，D（ξ1）＝（1﹣p1）2p1+（0﹣p1）2（1﹣p1）=pD（ξ2）＝（1﹣p2）2p2+（0﹣p2）2（1﹣p2）=pD（ξ1）﹣D（ξ2）＝p1﹣p12﹣（p2-p22）＝（p2﹣p1）（p∴E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）．故選A．5．（2024?浙江）盒中有4個(gè)球，其中1個(gè)紅球，1個(gè)綠球，2個(gè)黃球．從盒中隨機(jī)取球，每次取1個(gè)，不放回，直到取出紅球?yàn)橹梗O(shè)此過程中取到黃球的個(gè)數(shù)為ξ，則P（ξ＝0）＝__________，E（ξ）＝__________．【答案】13【解析】由題意知，隨機(jī)變量ξ的可能取值為0，1，2；計(jì)算P（ξ＝0）=CP（ξ＝1）=CP（ξ＝2）=A所以E（ξ）＝0×13+1×故答案為：136．（2024?新課標(biāo)Ⅱ）一批產(chǎn)品的二等品率為0.02，從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件，有放回地抽取100次．X表示抽到的二等品件數(shù)，則DX＝__________．【答案】1.96【解析】由題意可知，該事務(wù)滿意獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，是一個(gè)二項(xiàng)分布模型，其中，p＝0.02，n＝100，則DX＝npq＝np（1﹣p）＝100×0.02×0.98＝1.96．故答案為：1.96．7．（2024?江蘇）甲口袋中裝有2個(gè)黑球和1個(gè)白球，乙口袋中裝有3個(gè)白球．現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個(gè)球交換放入另一口袋，重復(fù)n次這樣的操作，記甲口袋中黑球個(gè)數(shù)為Xn，恰有2個(gè)黑球的概率為pn，恰有1個(gè)黑球的概率為qn．（1）求p1，q1和p2，q2；（2）求2pn+qn與2pn﹣1+qn﹣1的遞推關(guān)系式和Xn的數(shù)學(xué)期望E（Xn）（用n表示）．【解析】（1）由題意可知：p1=13，q1=23，則q2=2（2）由題意可知：pn+1qn+1兩式相加可得2pn+1+qn+1=2則：2pn+qn=1所以，2pn+qn﹣1=1因?yàn)?p1+q1-1=13，數(shù)列{2pn所以2pn+qn﹣1=(1即2pn+qn=(1所以E（Xn）＝2pn+qn+0×（1﹣pn﹣qn）=(18．（2024?天津）設(shè)甲、乙兩位同學(xué)上學(xué)期間，每天7：30之前到校的概率均為23．假定甲、乙兩位同學(xué)到校狀況互不影響，且任一同學(xué)每天到校狀況（Ⅰ）用X表示甲同學(xué)上學(xué)期間的三天中7：30之前到校的天數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（Ⅱ）設(shè)M為事務(wù)“上學(xué)期間的三天中，甲同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)比乙同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)恰好多2”，求事務(wù)M發(fā)生的概率．【解析】（I）甲上學(xué)期間的三天中到校狀況相互獨(dú)立，且每天7：30之前到校的概率均為23故X～B（3，23從而P（X＝k）=C3k所以，隨機(jī)變量X的分布列為：X0123P1248隨機(jī)變量X的期望E（X）＝3×2（II）設(shè)乙同學(xué)上學(xué)期間的三天中7：30到校的天數(shù)為Y，則Y～B（3，23且M＝{X＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0}，由題意知{X＝3，Y＝1}與{X＝2，Y＝0}互斥，且{X＝3}與{Y＝1}，{X＝2}與{Y＝0}相互獨(dú)立，由（I）知，P（M）＝P（{X＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0}＝P（{X＝3，Y＝1}+P{X＝2，Y＝0}＝P（X＝3）P（Y＝1）+P（X＝2）P（Y＝0）=9．（2024?北京）改革開放以來，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變．近年來，移動(dòng)支付已成為主要支付方式之一．為了解某校學(xué)生上個(gè)月A，B兩種移動(dòng)支付方式的運(yùn)用狀況，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人，發(fā)覺樣本中A，B兩種支付方式都不運(yùn)用的有5人，樣本中僅運(yùn)用A和僅運(yùn)用B的學(xué)生的支付金額分布狀況如下：（0，1000]（1000，2000]大于2000僅運(yùn)用A18人9人3人僅運(yùn)用B10人14人1人（Ⅰ）從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)該學(xué)生上個(gè)月A，B兩種支付方式都運(yùn)用的概率；（Ⅱ）從樣本僅運(yùn)用A和僅運(yùn)用B的學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，以X表示這2人中上個(gè)月支付金額大于1000元的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（Ⅲ）已知上個(gè)月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒有改變．現(xiàn)從樣本僅運(yùn)用A的學(xué)生中，隨機(jī)抽查3人，發(fā)覺他們本月的支付金額都大于2000元．依據(jù)抽查結(jié)果，能否認(rèn)為樣本僅運(yùn)用A的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有改變？說明理由．【解析】（Ⅰ）由題意得：從全校全部學(xué)生中隨機(jī)抽取的100人中，A，B兩種支付方式都不運(yùn)用的有5人，僅運(yùn)用A的有30人，僅運(yùn)用B的有25人，∴A，B兩種支付方式都運(yùn)用的人數(shù)有：100﹣5﹣30﹣25＝40，∴從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)該學(xué)生上個(gè)月A，B兩種支付方式都運(yùn)用的概率p=40（Ⅱ）從樣本僅運(yùn)用A和僅運(yùn)用B的學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，以X表示這2人中上個(gè)月支付金額大于1000元的人數(shù)，則X的可能取值為0，1，2，樣本僅運(yùn)用A的學(xué)生有30人，其中支付金額在（0，1000]的有18人，超過1000元的有12人，樣本僅運(yùn)用B的學(xué)生有25人，其中支付金額在（0，1000]的有10人，超過1000元的有15人，P（X＝0）=18P（X＝1）=18P（X＝2）=12∴X的分布列為：X012P6136數(shù)學(xué)期望E（X）=0×6（Ⅲ）不能認(rèn)為樣本僅運(yùn)用A的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有改變，理由如下：從樣本僅運(yùn)用A的學(xué)生有30人，其中27人月支付金額不大于2000元，有3人月支付金額大于2000元，隨機(jī)抽查3人，發(fā)覺他們本月的支付金額都大于2000元的概率為p=C雖然概率較小，但發(fā)生的可能性為14060故不能認(rèn)為認(rèn)為樣本僅運(yùn)用A的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有改變．10．（2024?天津）已知某單位甲、乙、丙三個(gè)部門的員工人數(shù)分別為24，16，16．現(xiàn)采納分層抽樣的方法從中抽取7人，進(jìn)行睡眠時(shí)間的調(diào)查．（Ⅰ）應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)部門的員工中分別抽取多少人？（Ⅱ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠足夠，現(xiàn)從這7人中隨機(jī)抽取3人做進(jìn)一步的身體檢查．（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望；（ii）設(shè)A為事務(wù)“抽取的3人中，既有睡眠足夠的員工，也有睡眠不足的員工”，求事務(wù)A發(fā)生的概率．【解析】（Ⅰ）單位甲、乙、丙三個(gè)部門的員工人數(shù)分別為24，16，16．人數(shù)比為：3：2：2，從中抽取7人現(xiàn)，應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)部門的員工中分別抽取3，2，2人．（Ⅱ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠足夠，現(xiàn)從這7人中隨機(jī)抽取3人做進(jìn)一步的身體檢查．（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù)，隨機(jī)變量X的取值為：0，1，2，3，P(X=k)=C4k所以隨機(jī)變量的分布列為：X0123P112184隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E（X）=0×1（ii）設(shè)A為事務(wù)“抽取的3人中，既有睡眠足夠的員工，也有睡眠不足的員工”，設(shè)事務(wù)B為：抽取的3人中，睡眠足夠的員工有1人，睡眠不足的員工有2人，事務(wù)C為抽取的3人中，睡眠足夠的員工有2人，睡眠不足的員工有1人，則：A＝B∪C，且P（B）＝P（X＝2），P（C）＝P（X＝1），故P（A）＝P（B∪C）＝P（X＝2）+P（X＝1）=6所以事務(wù)A發(fā)生的概率：6711．（2024?北京）電影公司隨機(jī)收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到下表：電影類型第一類其次類第三類第四類第五類第六類電影部數(shù)14050300200800510好評(píng)率0.40.20.150.250.20.1好評(píng)率是指：一類電影中獲得好評(píng)的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值．假設(shè)全部電影是否獲得好評(píng)相互獨(dú)立．（Ⅰ）從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1部，求這部電影是獲得好評(píng)的第四類電影的概率；（Ⅱ）從第四類電影和第五類電影中各隨機(jī)選取1部，估計(jì)恰有1部獲得好評(píng)的概率；（Ⅲ）假設(shè)每類電影得到人們喜愛的概率與表格中該類電影的好評(píng)率相等．用“ξk＝1”表示第k類電影得到人們喜愛．“ξk＝0”表示第k類電影沒有得到人們喜愛（k＝1，2，3，4，5，6）．寫出方差Dξ1，Dξ2，Dξ3，Dξ4，Dξ5，Dξ6的大小關(guān)系．【解析】（Ⅰ）設(shè)事務(wù)A表示“從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1部，求這部電影是獲得好評(píng)的第四類電影”，總的電影部數(shù)為140+50+300+200+800+510＝2000部，第四類電影中獲得好評(píng)的電影有：200×0.25＝50部，∴從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1部，求這部電影是獲得好評(píng)的第四類電影的頻率為：P（A）=50（Ⅱ）設(shè)事務(wù)B表示“從第四類電影和第五類電影中各隨機(jī)選取1部，恰有1部獲得好評(píng)”，第四類獲得好評(píng)的有：200×0.25＝50部，第五類獲得好評(píng)的有：800×0.2＝160部，則從第四類電影和第五類電影中各隨機(jī)選取1部，估計(jì)恰有1部獲得好評(píng)的概率：P（B）=50×(800-160)+(200-50)×160（Ⅲ）由題意知，定義隨機(jī)變量如下：ξk=0，第k類電影沒有得到人們喜歡則ξk聽從兩點(diǎn)分布，則六類電影的分布列及方差計(jì)算如下：第一類電影：ξ110P0.40.6E（ξ1）＝1×0.4+0×0.6＝0.4，D（ξ1）＝（1﹣0.4）2×0.4+（0﹣0.4）2×0.6＝0.24．其次類電影：ξ210P0.20.8E（ξ2）＝1×0.2+0×0.8＝0.2，D（ξ2）＝（1﹣0.2）2×0.2+（0﹣0.2）2×0.8＝0.16．第三類電影：ξ310P0.150.85E（ξ3）＝1×0.15+0×0.85＝0.15，D（ξ3）＝（1﹣0.15）2×0.15+（0﹣0.15）2×0.85＝0.1275．第四類電影：ξ410P0.250.75E（ξ4）＝1×0.25+0×0.75＝0.15，D（ξ4）＝（1﹣0.25）2×0.25+（0﹣0.25）2×0.75＝0.1875．第五類電影：ξ510P0.20.8E（ξ5）＝1×0.2+0×0.8＝0.2，D（ξ5）＝（1﹣0.2）2×0.2+（0﹣0.2）2×0.8＝0.16．第六類電影：ξ610P0.10.9E（ξ6）＝1×0.1+0×0.9＝0.1，D（ξ5）＝（1﹣0.1）2×0.1+（0﹣0.1）2×0.9＝0.09．∴方差Dξ1，Dξ2，Dξ3，Dξ4，Dξ5，Dξ6的大小關(guān)系為：Dξ6＜Dξ3＜Dξ2＝Dξ5＜Dξ4＜Dξ1．12．（2024?天津）從甲地到乙地要經(jīng)過3個(gè)十字路口，設(shè)各路口信號(hào)燈工作相互獨(dú)立，且在各路口遇到紅燈的概率分別為12，13，（Ⅰ）設(shè)X表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（Ⅱ）若有2輛車獨(dú)立地從甲地到乙地，求這2輛車共遇到1個(gè)紅燈的概率．【解析】（Ⅰ）隨機(jī)變量X的全部可能取值為0，1，2，3；則P（X＝0）＝（1-12）×（1-13）（1P（X＝1）=12×（1-13）×（1-14）+（1-12）×P（X＝2）＝（1-12）×13×14+1P（X＝3）=1所以，隨機(jī)變量X的分布列為X0123P11111隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為E（X）＝0×14+1×1124（Ⅱ）設(shè)Y表示第一輛車遇到紅燈的個(gè)數(shù)，Z表示其次輛車遇到紅燈的個(gè)數(shù)，則所求事務(wù)的概率為P（Y+Z＝1）＝P（Y＝0，Z＝1）+P（Y＝1，Z＝0）＝P（Y＝0）?P（Z＝1）+P（Y＝1）?P（Z＝0）==11所以，這2輛車共遇到1個(gè)紅燈的概率為114813．（2024?山東）在心理學(xué)探討中，常采納對(duì)比試驗(yàn)的方法評(píng)價(jià)不同心理示意對(duì)人的影響，詳細(xì)方法如下：將參與試驗(yàn)的志愿者隨機(jī)分成兩組，一組接受甲種心理示意，另一組接受乙種心理示意，通過對(duì)比這兩組志愿者接受心理示意后的結(jié)果來評(píng)價(jià)兩種心理示意的作用，現(xiàn)有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，從中隨機(jī)抽取5人接受甲種心理示意，另5人接受乙種心理示意．（Ⅰ）求接受甲種心理示意的志愿者中包含A1但不包含B1的概率．（Ⅱ）用X表示接受乙種心理示意的女志愿者人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望EX．【解析】（I）記接受甲種心理示意的志愿者中包含A1但不包含B1的事務(wù)為M，則P（M）=C（II）X的可能取值為：0，1，2，3，4，∴P（X＝0）=CP（X＝1）=CP（X＝2）=CP（X＝3）=CP（X＝4）=C∴X的分布列為X01234P151051X的數(shù)學(xué)期望EX＝0×142+1×521+214．（2024?江蘇）已知一個(gè)口袋有m個(gè)白球，n個(gè)黑球（m，n∈N*，n≥2），這些球除顏色外全部相同．現(xiàn)將口袋中的球隨機(jī)的逐個(gè)取出，并放入如圖所示的編號(hào)為1，2，3，…，m+n的抽屜內(nèi)，其中第k次取出的球放入編號(hào)為k的抽屜（k＝1，2，3，…，m+n）．123…m+n（1）試求編號(hào)為2的抽屜內(nèi)放的是黑球的概率p；（2）隨機(jī)變量x表示最終一個(gè)取出的黑球所在抽屜編號(hào)的倒數(shù)，E（X）是X的數(shù)學(xué)期望，證明E（X）＜n【解析】（1）設(shè)事務(wù)Ai表示編號(hào)為i的抽屜里放的是黑球，則p＝p（A2）＝P（A2|A1）P（A1）+P（A2|A1）P（A==n證明：（2）∵X的全部可能取值為1n，1P（x=1k）=Ck-1n-1Cm+nn，k＝n，∴E（X）=k=nn+m（1==1(n-1)C=1∴E（X）＜n15．（2024?新課標(biāo)Ⅲ）某超市安排按月訂購一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價(jià)每瓶6元，未售出的酸奶降價(jià)處理，以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完．依據(jù)往年銷售閱歷，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫（單位：℃）有關(guān)．假如最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；假如最高氣溫位于區(qū)間[20，25），需求量為300瓶；假如最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購安排，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率．（1）求六月份這種酸奶一天的需求量X（單位：瓶）的分布列；（2）設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y（單位：元），當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量n（單位：瓶）為多少時(shí)，Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值？【解析】（1）由題意知X的可能取值為200，300，500，P（X＝200）=2+16P（X＝300）=36P（X＝500）=25+7+4∴X的分布列為：X200300500P0.20.40.4（2）由題意知這種酸奶一天的需求量至多為500瓶，至少為200瓶，∴只需考慮200≤n≤500，當(dāng)300≤n≤500時(shí)，若最高氣溫不低于25，則Y＝6n﹣4n＝2n；若最高氣溫位于區(qū)間[20，25），則Y＝6×300+2（n﹣300）﹣4n＝1200﹣2n；若最高氣溫低于20，則Y＝6×200+2（n﹣200）﹣4n＝800﹣2n，∴EY＝2n×0.4+（1200﹣2n）×0.4+（800﹣2n）×0.2＝640﹣0.4n，當(dāng)200≤n≤300時(shí)，若最高氣溫不低于20，則Y＝6n﹣4n＝2n，若最高氣溫低于20，則Y＝6×200+2（n﹣200）﹣4n＝800﹣2n，∴EY＝2n×（0.4+0.4）+（800﹣2n）×0.2＝160+1.2n．∴n＝300時(shí)，Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值，最大值為520元．強(qiáng)化訓(xùn)練強(qiáng)化訓(xùn)練1．（2024?浙江模擬）設(shè)，隨機(jī)變量的分布列為12則當(dāng)在增大時(shí)，A．增大 B．減小 C．先增大后減小 D．先減小后增大【答案】C【解析】由題意可得，隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，隨機(jī)變量的方差，當(dāng)在增大時(shí)，先增大后減小，故選．2．（2024?下城區(qū)校級(jí)模擬）已知隨機(jī)變量的分布列如表：012則當(dāng)在內(nèi)增大時(shí)A．增大 B．減小 C．先增大后減小 D．先減小后增大【答案】C【解析】由隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)得：，解得，，，，當(dāng)在內(nèi)增大時(shí)，先增大后減?。蔬x．3．（2024?丹東模擬）同時(shí)拋擲2枚質(zhì)地勻稱的硬幣4次，設(shè)2枚硬幣均正面對(duì)上的次數(shù)為，則的數(shù)學(xué)方差是A． B． C．1 D．【答案】B【解析】同時(shí)拋擲2枚質(zhì)地勻稱的硬幣，恰好出現(xiàn)兩枚正面對(duì)上的概率，枚硬幣均正面對(duì)上的次數(shù)，的方差，故選．4．（2024?浙江模擬）已知隨機(jī)變量的分布列如表：01其中，，．若的方差對(duì)全部都成立，則A． B． C． D．【答案】D【解析】依題意，，故，當(dāng)時(shí)，故，，令，則，，故，在時(shí)恒成立，當(dāng)時(shí)有最小值，故，故，即，所以，故選．5．（2024?鎮(zhèn)海區(qū)校級(jí)模擬）某射手射擊所得環(huán)數(shù)的分布列如下：789100.10.3已知的數(shù)學(xué)期望，則的值為A．0.8 B．0.6 C．0.4 D．0.2【答案】C【解析】由表格可知：，解得．故選．6．（2024?柯橋區(qū)二模）已知隨機(jī)變量滿意，，，，2若，則A．， B．， C．， D．，【答案】C【解析】由數(shù)學(xué)期望與方差的性質(zhì)可知：，，則，，因?yàn)?，所以，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，所以，，則，，所以，因?yàn)樗?，，故選．7．（2024?海曙區(qū)校級(jí)模擬）盒中有5個(gè)小球，其中3個(gè)白球，2個(gè)黑球，從中任取個(gè)球，在取出的球中，黑球放回，白球涂黑后放回，此時(shí)盒中黑球的個(gè)數(shù)記為，則A．， B．， C．， D．，【答案】C【解析】表示取出的為一個(gè)黑球，，，，表示取出2個(gè)球?yàn)楹谇?，，表示取?個(gè)球?yàn)橐缓谝话?，，表示取?個(gè)白球，，，，．故選．8．（2024?柯城區(qū)校級(jí)模擬）已知某7個(gè)數(shù)的期望為6，方差為4，現(xiàn)又加入一個(gè)新數(shù)據(jù)6，此時(shí)這8個(gè)數(shù)的期望為記為，方差記為，則A．， B．， C．， D．，【答案】B【解析】，．故選．9．（2024?永康市模擬）隨機(jī)變量的分布列如表，則在增加時(shí)，的改變是1234A．始終增加 B．始終減小 C．先增加后減小 D．先減小后增加【答案】A【解析】由隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)得：，，在增加時(shí)，的改變是遞增的．故選．10．（2024?東陽市模擬）已知隨機(jī)變量，滿意：，，且，則A． B． C． D．【答案】C【解析】隨機(jī)變量滿意：，且，，解得，，，，．故選．11．（2024?浙江模擬）現(xiàn)有4個(gè)人通過擲一枚質(zhì)地勻稱的骰子去參與籃球和乒乓球的體育活動(dòng)，擲出點(diǎn)數(shù)為1或2的人去打籃球，擲出點(diǎn)數(shù)大于2的人去打乒乓球．用，分別表示這4個(gè)人中去打籃球和乒乓球的人數(shù)，記，求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為A． B． C． D．【答案】D【解析】依題意，這4個(gè)人中，每個(gè)人去打籃球的概率為，去打乒乓球的概率為，設(shè)“這4個(gè)人中恰有人去打籃球”為事務(wù)，1，2，3，，則，的全部可能取值為0，2，4．由于與互斥，與互斥，故，，．所以的分布列是224隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望．故選．12．（2024?浙江模擬）設(shè)，隨機(jī)變量的分布列是：12則當(dāng)最大時(shí)的的值是A． B． C． D．【答案】D【解析】由隨機(jī)變量的分布列知：，，，，當(dāng)最大時(shí)的的值是．故選．13．（2024?浙江模擬）隨機(jī)變量的分布列如表：123已知，則當(dāng)在內(nèi)增大時(shí)A．遞減，遞減 B．遞增，遞減 C．遞減，遞增 D．遞增，遞增【答案】B【解析】由題，，即，則，，，，所以當(dāng)在內(nèi)增大時(shí)，遞增，依據(jù)二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，可知遞減．故選．14．（2024?鹿城區(qū)校級(jí)模擬）袋中有3個(gè)白球和個(gè)黑球，有放回的摸取3次，每次摸取一球，設(shè)摸得黑球的個(gè)數(shù)為，其中，2，則A．， B．， C．， D．，【答案】A【解析】袋中有3個(gè)白球和個(gè)黑球，有放回的摸取3次，每次摸取一球，設(shè)摸得黑球的個(gè)數(shù)為，其中，2，則，，，，，，，．故選．15．（2024?平湖市模擬）已知，隨機(jī)變量的分布如表：01當(dāng)在內(nèi)增大時(shí)，A．減小，減小 B．減小，增大 C．增大，減小 D．增大，增大【答案】D【解析】由題意可得：，當(dāng)在內(nèi)增大時(shí)，增大；，在內(nèi)增大時(shí)，增大．故選．16．（2024?武漢模擬）某幾位高校生自主創(chuàng)業(yè)創(chuàng)辦了一個(gè)服務(wù)公司供應(yīng)、兩種民生消費(fèi)產(chǎn)品（人們購買時(shí)每次只買其中一種）服務(wù)，他們經(jīng)過統(tǒng)計(jì)分析發(fā)覺：第一次購買產(chǎn)品的人購買的概率為，購買的概率為，而前一次購買產(chǎn)品的人下一次來購買產(chǎn)品的概率為，購買產(chǎn)品的概率為，前一次購買產(chǎn)品的人下一次來購買產(chǎn)品的概率為、購買產(chǎn)品的概率也是，如此往復(fù)．記某人第次來購買產(chǎn)品的概率為．（1）求，并證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2）記其次次來公司購買產(chǎn)品的3個(gè)人中有個(gè)人購買產(chǎn)品，求的分布列并求；（3）經(jīng)過一段時(shí)間的經(jīng)營每天來購買產(chǎn)品的人穩(wěn)定在800人，假定這800人都已購買過許多次該兩款產(chǎn)品，那么公司每天應(yīng)至少打算、產(chǎn)品各多少份．（干脆寫結(jié)論、不必說明理由）．【解析】（1），由題意可知，，又，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．（2）的可能取值有0，1，2，3，且，故，，，，故的分布列為：0123．（3）由（1）知，故，當(dāng)時(shí)，，故打算產(chǎn)品份，打算產(chǎn)品份．17．（2024?湖北模擬）在賭場(chǎng)內(nèi)，甲乙進(jìn)行一場(chǎng)嬉戲．嬉戲規(guī)則如下：初始時(shí)甲乙各從攜帶的總財(cái)產(chǎn)中押出確定金額并進(jìn)行嬉戲，當(dāng)一方獲勝時(shí)將贏得對(duì)方所押以及贏得的全部財(cái)產(chǎn)，敗方則須要重新押出他失去的等額的押金．如甲先押100元并從乙的身上贏得50元，當(dāng)再次進(jìn)行嬉戲且乙獲勝時(shí)，他將獲得150元，并且甲須要重新押150元．直到一方輸?shù)羧控?cái)產(chǎn)或他的剩余財(cái)產(chǎn)無法支持他接著支付押金時(shí)嬉戲結(jié)束．若甲共有1000元財(cái)產(chǎn)，乙共有300元財(cái)產(chǎn)，甲乙獲勝的概率都是0.5，初始時(shí)甲乙各押100元．（1）求出現(xiàn)決勝局（甲乙均抵押出全部財(cái)產(chǎn)）的概率（結(jié)果保留2位小數(shù)）（2）求乙贏錢的分布列及均值（結(jié)果可用2的冪表示）【解析】（1）由題目意思可知，押金不行半途取出，且當(dāng)甲或乙輸錢后，輸了多少，則要重新押多少，而贏則贏的為增加自己的押金，直到另一個(gè)輸?shù)羧控?cái)產(chǎn)或無法支付排金時(shí)嬉戲結(jié)束．出現(xiàn)決勝局（甲乙均抵押出全部財(cái)產(chǎn)）時(shí)，甲、乙的全部財(cái)產(chǎn)都在嬉戲中，身上無錢，最初甲有1000元財(cái)產(chǎn)，乙有300元財(cái)產(chǎn)，初始甲、乙各押100元，對(duì)于乙來說，乙最終身上無錢的狀況分為兩種，①乙連輸2把，則身上剩下元，②乙贏一把再輸一把，則身上剩元，決勝局確定在①②兩種狀況的基礎(chǔ)上發(fā)生．①乙連輸2把，則第三把起先時(shí)，乙扣金為100元，剩0元，甲押金為元，剩元為整數(shù)，故可出現(xiàn)決勝局，此時(shí)，②乙贏一把再輸一把，則第三把起先時(shí)，乙扣金為元，剩0元，甲押金為元，剩元，不為整數(shù)，故不會(huì)出現(xiàn)決勝局．（2）所求為乙贏錢的分布列和均值，故思索乙贏錢的可能性即可．起先時(shí)乙共有300元財(cái)產(chǎn)，且乙甲100元，乙要贏錢分成三大種狀況：①乙始終贏，②乙輸一把，③乙輸兩把，①乙始終贏，則第一把起先時(shí)，乙押金100元，剩元，甲押金100元，剩元，為整數(shù)，故甲輸光，所以此次乙贏1000元，，②乙輸一把，因乙有300元，所以此狀況分兩小類，乙輸?shù)谝话押鸵逸斊浯伟眩逸數(shù)谝话?，則其次把起先時(shí)，乙押金100元，剩元，甲押金元，剩元，，故甲最終剩100元，所以此次乙贏元，，乙輸?shù)趦砂?，則第三把起先時(shí)，乙押金元，剩元甲押金元，剩元，故甲最終剩200元，所以此次乙贏元，，③乙輸兩把，因乙有300元，且第一次押100元，故此為乙連輸兩把，則第三次起先時(shí)，乙押金100元，剩元，甲押金元，剩元，故甲輸光，所以乙此次贏1000元，，乙贏錢的概率為：，由上述知乙贏錢的可能取值有800，900，1000，，乙贏錢的分布列如下表：8009001000．18．（2024?廬陽區(qū)校級(jí)模擬）某超市在節(jié)日期間進(jìn)行有獎(jiǎng)促銷，凡在該超市購物滿500元的顧客，可以獲得一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，有兩種方案．方案一：在抽獎(jiǎng)的盒子中有除顏色外完全相同的2個(gè)黑球，3個(gè)白球，顧客一次性摸出2個(gè)球，規(guī)定摸到2個(gè)黑球嘉獎(jiǎng)50元，1個(gè)黑球嘉獎(jiǎng)20元，沒有摸到黑球嘉獎(jiǎng)15元．方案二：在抽獎(jiǎng)的盒子中有除顏色外完全相同的2個(gè)黑球，3個(gè)白球，顧客不放回地每次摸出一個(gè)球，直到將全部黑球摸出則停止摸獎(jiǎng)，規(guī)定2次摸出全部黑球嘉獎(jiǎng)50元，3次摸出全部黑球嘉獎(jiǎng)30元，4次摸出全部黑球嘉獎(jiǎng)20元，5次摸出全部黑球嘉獎(jiǎng)10元．（1）記為1名顧客選擇方案一時(shí)摸出黑球的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望；（2）若你為一名要摸獎(jiǎng)的顧客，請(qǐng)問你選擇哪種方案進(jìn)行抽獎(jiǎng)，說明理由．【解析】（1）易知符合超幾何分布，，故．另解：，，，．（2）方案一：記為1名顧客選擇方案一進(jìn)行摸獎(jiǎng)獲得的獎(jiǎng)金數(shù)額，則可取50，20，，，，．方案二：記為1名顧客選擇方案二進(jìn)行摸獎(jiǎng)獲得的獎(jiǎng)金數(shù)額，則可取50，30，20，，，，．．因此，我會(huì)選擇方案一進(jìn)行摸獎(jiǎng)．19．（2024?七星區(qū)校級(jí)模擬）“一帶一路”為世界經(jīng)濟(jì)增長開拓了新空間，為國際貿(mào)易投資搭建了新平臺(tái)，為完善全球經(jīng)濟(jì)治理拓展了新實(shí)踐．某企業(yè)為抓住機(jī)遇，安排在某地建立獼猴桃飲品基地，進(jìn)行飲品，，的開發(fā)．（1）在對(duì)三種飲品市場(chǎng)投放的前期調(diào)研中，對(duì)100名試飲人員進(jìn)行抽樣調(diào)查，得到對(duì)三種飲品選擇狀況的條形圖．若飲品的百件利潤為400元，飲品的百件利潤為300元，飲品的百件利潤為700元，請(qǐng)估計(jì)三種飲品的平均百件利潤；（2）為進(jìn)一步提高企業(yè)利潤，企業(yè)確定對(duì)飲品進(jìn)行加工工藝的改進(jìn)和飲品的研發(fā)．已知工藝改進(jìn)勝利的概率為，開發(fā)新飲品勝利的概率為，且工藝改進(jìn)與飲品研發(fā)相互獨(dú)立；（一求工藝改進(jìn)和新品研發(fā)恰有一項(xiàng)勝利的概率；（二若工藝改進(jìn)勝利則可為企業(yè)獲利80萬元，不勝利則虧損30萬元，若飲品研發(fā)勝利則獲利150萬元，不勝利則虧損70萬元，求該企業(yè)獲利的數(shù)學(xué)期望．【解析】（1）依據(jù)樣本的條形圖可得顧客選擇飲品的頻率為0.35；選擇飲品的頻率為0.45，選擇飲品的頻率為0.20；可用頻率代替概率，則可以得到總體的百件利潤平均值為．（2）（一設(shè)飲品工藝改進(jìn)勝利為事務(wù)，新品研發(fā)勝利為事務(wù)，依題意可知事務(wù)與事務(wù)相互獨(dú)立，事務(wù)為工藝改進(jìn)和新品研發(fā)恰有一項(xiàng)勝利，則．（二由題意知企業(yè)獲利的取值為，10，120，230，所以的分布列為10120230所以．20．（2024?鼓樓區(qū)校級(jí)模擬）已知6名某疾病病毒親密接觸者中有1名感染病毒，其余5名健康，須要通過化驗(yàn)血液來確定感染者．血液化驗(yàn)結(jié)果呈陽性的即為感染者，呈陰性即為健康．（1）若從這6名親密接觸者中隨機(jī)抽取3名，求抽到感染者的概率；（2）血液化驗(yàn)確定感染者的方法有：①逐一化驗(yàn)；②分組混合化驗(yàn)：先將血液分成若干組，對(duì)組內(nèi)血液混合化驗(yàn)，若化驗(yàn)結(jié)果呈陰性，則該組血液不含病毒；若化驗(yàn)結(jié)果呈陽性，則對(duì)該組的備份血液逐一化驗(yàn)，直至確定感染者．實(shí)行逐一化驗(yàn)，求所需檢驗(yàn)次數(shù)的數(shù)學(xué)期望；實(shí)行平均分組混合化驗(yàn)（每組血液份數(shù)相同），依據(jù)所需化驗(yàn)總次數(shù)的期望，選擇合理的平均分組方案．【解析】（1）6名某疾病病毒親密接觸者中有1名感染病毒，其余5名健康，從這6名親密接觸者中隨機(jī)抽取3名，抽到感染者的概率：．（2）的可能取值是1，2，3，4，5，且分布列如下：12345．首先考慮分組，所需化驗(yàn)次數(shù)為，的可能取值是2，3，，，分布列如下：23．再考慮，2，分組，所需化驗(yàn)次數(shù)為，的可能取值是2，3，，，分布列如下：23所以按，2，或分組進(jìn)行化驗(yàn)均可．21．（2024?眉山模擬）一次考試中，五名同學(xué)的數(shù)學(xué)、物理成果如表所示：學(xué)生數(shù)學(xué)分）8991939597物理分）8789899293（Ⅰ）求出這些數(shù)據(jù)的回來直線方程；（Ⅱ）要從4名數(shù)學(xué)成果在90分以上的同學(xué)中選2人參與一項(xiàng)活動(dòng)，以表示選中的同學(xué)的物理成果高于90分的人數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望的值．附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，，，，，，其回來直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，．【解析】（Ⅰ）設(shè)所求的回來直線方程為，，，，，．，故所求回來直線方程為．（Ⅱ）隨機(jī)變量的可能取值為0，1，2．，，，故的分布列為：012．22．（2024?河南模擬）在一次廟會(huì)上，有個(gè)“套圈嬉戲”，規(guī)則如下：每人3個(gè)竹環(huán)，向，兩個(gè)目標(biāo)投擲，先向目標(biāo)擲一次，套中得1分，沒有套中不得分，再向目標(biāo)連續(xù)擲兩次，每套中一次得2分，沒套中不得分，依據(jù)最終得分發(fā)放獎(jiǎng)品．已知小華每投擲一次，套中目標(biāo)的概率為，套中目標(biāo)的概率為，假設(shè)小華每次投擲的結(jié)果相互獨(dú)立．（1）求小華恰好套中一次的概率；（2）求小華總分的分布列及數(shù)學(xué)期望．【解析】（1）設(shè)小華恰好套中一次為事務(wù)，則（D）．（2）的取值可能有0，1，2，3，4，5，且，，，，，，的分布列為：012345．23．（2024?河南模擬）隨著互聯(lián)網(wǎng)金融的發(fā)展，許多平臺(tái)都推出了自己的虛擬信用支付，比較常用的有螞蟻花唄、京東白條．花唄與信用卡有一個(gè)共同點(diǎn)就是可以透支消費(fèi)，對(duì)于許多90后來說，他們更習(xí)慣提前消費(fèi)．某探討機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取了1000名90后，對(duì)他們的信用支付方式進(jìn)行了調(diào)查，得到如下統(tǒng)計(jì)表：信用支付方式銀行信用卡螞蟻花唄京東白條其他人數(shù)30015050每個(gè)人都僅運(yùn)用一種信用支付方式，各人支付方式相互獨(dú)立，以頻率估計(jì)概率．（1）估計(jì)90后運(yùn)用螞蟻花唄的概率；（2）在所抽取的1000人中用分層抽樣的方法在運(yùn)用銀行信用卡和螞蟻花唄的人中隨機(jī)抽取8人，再在這8人中隨機(jī)抽取4人，記為這4人中運(yùn)用螞蟻花唄的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望和方差．【解析】（1），所以運(yùn)用螞蟻花唄的概率為．（2）這8人中運(yùn)用信用卡的人數(shù)為人，運(yùn)用螞蟻花唄的人數(shù)為5人，則隨機(jī)變量的取值為1，2，3，4，所以，，，．所以隨機(jī)變量分布列為：1234故，．24．（2024?東湖區(qū)校級(jí)模擬）某公司選購 了一批零件，為了檢測(cè)這批零件是否合格，從中隨機(jī)抽測(cè)120個(gè)零件的長度（單位：分米），按數(shù)據(jù)分成，，，，，，，，，，，這6組，得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中長度大于或等于1.59分米的零件有20個(gè)，其長度分別為1.59，1.59，1.61，1.61，1.62，1.63，1.63，1.64，1.65，1.65，1.65，1.65，1.66，1.67，1.68，1.69，1.69，1.71，1.72，1.74，以這120個(gè)零件在各組的長度的頻率估計(jì)整批零件在各組長度的概率．（1）求這批零件的長度大于1.60分米的頻率，并求頻率分布直方圖中，，的值；（2）若從這批零件中隨機(jī)選取3個(gè)，記為抽取的零件長度在，的個(gè)數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）若變量滿意且，則稱變量滿意近似于正態(tài)分布的概率分布．假如這批零件的長度（單位：分米）滿意近似于正態(tài)分布的概率分布，則認(rèn)為這批零件是合格的，將順當(dāng)被簽收；否則，公司將拒絕簽收．試問，該批零件能否被簽收？【解析】（1）由題意可知120件樣本零件中長度大于1.6（0分）米的共有18件．則這批零件的長度大于1.6（0分）米的頻率為．記為零件的長度，則．故，，．（2）由（1）可知從這批零件中隨機(jī)選取1件，長度在，的概率．且隨機(jī)變量聽從二項(xiàng)分布．則，，，．故隨機(jī)變量的分布列為01230.0270.1890.4410.343（或．（3）由題意可知，．則；．因?yàn)?，，所以這批零件的長度滿意近似于止態(tài)分布的概率分布，應(yīng)認(rèn)為這批零件是合格的，將順當(dāng)被該公司簽收．25．（2024?沙坪壩區(qū)校級(jí)模擬）在中華人民共和國成立70周年之