2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章統(tǒng)計(jì)案例3.2獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用練習(xí)含解析新人教A版選修2-3

PAGE第三章3.2請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)完成練案[18]A級(jí)基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．給出下列實(shí)際問(wèn)題：①一種藥物對(duì)某種病的治愈率；②兩種藥物治療同一種病是否有區(qū)分；③吸煙者得肺病的概率；④吸煙是否與性別有關(guān)系；⑤網(wǎng)吧與青少年的犯罪是否有關(guān)系．其中用獨(dú)立性檢驗(yàn)可以解決的問(wèn)題有(B)A．①②③ B．②④⑤C．②③④⑤ D．①②③④⑤[解析]獨(dú)立性檢驗(yàn)是推斷兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系的方法，而①③都是概率問(wèn)題，不能用獨(dú)立性檢驗(yàn)．2．假設(shè)有兩個(gè)分類變量X與Y，它們的可能取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列聯(lián)表為：y1y2x11018x2m26則當(dāng)m取下面何值時(shí)，X與Y的關(guān)系最弱(C)A．8 B．9C．14 D．19[解析]由10×26＝18m，解得m≈14.4，所以當(dāng)m＝14時(shí)，X與Y的關(guān)系最弱．3．推斷兩個(gè)分類變量是彼此相關(guān)還是相互獨(dú)立的常用方法中，最為精確的是(D)A．三維柱形圖 B．二維條形圖C．等高條形圖 D．獨(dú)立性檢驗(yàn)[解析]前三種方法只能直觀地看出兩個(gè)分類變量x與y是否相關(guān)，但看不出相關(guān)的程度．獨(dú)立性檢驗(yàn)通過(guò)計(jì)算得出相關(guān)的可能性，較為精確．4．(2024·天心區(qū)校級(jí)期末)利用獨(dú)立性檢驗(yàn)來(lái)考查兩個(gè)分類變量X，Y是否有關(guān)系，當(dāng)隨機(jī)變量K2的值(A)A．越大，“X與Y有關(guān)系”成立的可能性越大B．越大，“X與Y有關(guān)系”成立的可能性越小C．越小，“X與Y有關(guān)系”成立的可能性越大D．與“X與Y有關(guān)系”成立的可能性無(wú)關(guān)[解析]用獨(dú)立性檢驗(yàn)來(lái)考查兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系時(shí)，算出的隨機(jī)變量K2的值越大，說(shuō)明“x與y有關(guān)系”成立的可能性越大，由此可知A正確．故選A．5．某科研機(jī)構(gòu)為了探討中年人禿發(fā)與心臟病是否有關(guān)，隨機(jī)調(diào)查了一些中年人的狀況，詳細(xì)數(shù)據(jù)如表：心臟病無(wú)心臟病禿發(fā)20300不禿發(fā)5450依據(jù)表中數(shù)據(jù)得到k＝eq\f(775×20×450－5×3002,25×750×320×455)≈15.968，因?yàn)閗>6.635，則斷定禿發(fā)與心臟病有關(guān)系，那么這種推斷出錯(cuò)的可能性不超過(guò)(D)A．0.1 B．0.05C．0.025 D．0.01[解析]因?yàn)閗>6.635，由P(k>6.635)的臨界值為0.01，故這種推斷出錯(cuò)的可能性不超過(guò)0.01，故選D．6．在吸煙與患肺病這兩個(gè)分類變量的計(jì)算中，下列說(shuō)法正確的是(C)①若K2的觀測(cè)值滿足K2≥6.635，我們有99%的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系，那么在100個(gè)吸煙的人中必有99人患有肺??；②從獨(dú)立性檢驗(yàn)可知有99%的把握認(rèn)為吸煙與患病有關(guān)系，我們說(shuō)某人吸煙，那么他有99%的可能患有肺??；③從統(tǒng)計(jì)量中得知有95%的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系，是指有5%的可能性使得推斷出現(xiàn)錯(cuò)誤A．① B．①③C．③ D．②[解析]①推斷在100個(gè)吸煙的人中必有99人患有肺病，說(shuō)法錯(cuò)誤，解除A、B，③正確．解除D，選C．二、填空題7．下表是關(guān)于男嬰與女嬰誕生時(shí)間調(diào)查的列聯(lián)表：晚上白天總計(jì)男嬰45AB女嬰E35C總計(jì)98D180那么，A＝__47__，B＝__92__，C＝__88__，D＝__82__，E＝__53__．[解析]由列聯(lián)表學(xué)問(wèn)得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(45＋E＝98，,98＋D＝180，,A＋35＝D，,E＋35＝C，,B＋C＝180，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A＝47，,B＝92，,C＝88，,D＝82，,E＝53.))8．依據(jù)下表計(jì)算：不看電視看電視男3785女35143K2的觀測(cè)值k≈__4.514__(保留3位小數(shù))，據(jù)此我們所得出的結(jié)論是__在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下，我們認(rèn)為是否看電視與性別有關(guān)__．[解析]K2的觀測(cè)值為k＝eq\f(37＋85＋35＋143×37×143－85×352,85＋37×35＋143×37＋35×85＋143)≈4.514．由4.514>3.841，知在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下認(rèn)為是否看電視與性別有關(guān)．9．下列關(guān)于K2的說(shuō)法中，正確的有__③④__．①K2的值越大，兩個(gè)分類變量的相關(guān)性越大；②K2的計(jì)算公式是K2＝eq\f(nad－bc,a＋bc＋da＋cb＋d)；③若求出K2＝4>3.841，則有95%的把握認(rèn)為兩個(gè)分類變量有關(guān)系，即有5%的可能性使得“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”的推斷出現(xiàn)錯(cuò)誤；④獨(dú)立性檢驗(yàn)就是選取一個(gè)假設(shè)H0條件下的小概率事務(wù)，若在一次試驗(yàn)中該事務(wù)發(fā)生了，這是與實(shí)際推斷相抵觸的“不合理”現(xiàn)象，則作出拒絕H0的推斷．[解析]對(duì)于①，K2的值越大，只能說(shuō)明我們有更大的把握認(rèn)為二者有關(guān)系，卻不能推斷相關(guān)性大小，故①錯(cuò)；對(duì)于②，(ad－bc)應(yīng)為(ad－bc)2，故②錯(cuò)；③④對(duì)．三、解答題10．(2024·山東卷)為加強(qiáng)環(huán)境愛(ài)護(hù)，治理空氣污染，環(huán)境監(jiān)測(cè)部門對(duì)某市空氣質(zhì)量進(jìn)行調(diào)研，隨機(jī)抽查了100天空氣中的PM2.5和SO2濃度(單位：μg/m3)，得下表：SO2PM2.5[0,50](50,150](150,475][0,35]32184(35,75]6812(75,115]3710(1)估計(jì)事務(wù)“該市一天空氣中PM2.5濃度不超過(guò)75，且SO2濃度不超過(guò)150”的概率；(2)依據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表：SO2PM2.5[0,150](150,475](0,75](75,115](3)依據(jù)(2)中的列聯(lián)表，推斷是否有99%的把握認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO2濃度有關(guān)？附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828[解析](1)由表格可知，該市100天中，空氣中的PM2.5濃度不超過(guò)75，且SO2濃度不超過(guò)150的天數(shù)有32＋6＋18＋8＝64天，所以該市一天中，空氣中的PM2.5濃度不超過(guò)75，且SO2濃度不超過(guò)150的概率為eq\f(64,100)＝0.64；(2)由所給數(shù)據(jù)，可得2×2列聯(lián)表為：SO2PM2.5[0,150](150,475]合計(jì)(0,75]641680(75,115]101020合計(jì)7426100(3)依據(jù)2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可得K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)＝eq\f(100×64×10－16×102,80×20×74×26)＝eq\f(3600,481)≈7.4844>6.35，因?yàn)橐罁?jù)臨界值表可知，有99%把握認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO2濃度有關(guān)．B級(jí)素養(yǎng)提升一、選擇題1．(多選題)下列說(shuō)法正確的是(ACD)A．將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都加上或減去同一個(gè)常數(shù)后，方差恒不變B．設(shè)有一條直線的回來(lái)方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝3－5x，變量x增加一個(gè)單位時(shí)，y平均增加5個(gè)單位C．線性回來(lái)直線eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))必過(guò)點(diǎn)(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))D．在一個(gè)2×2列聯(lián)表中，由計(jì)算得K2＝13.079，則有99%的把握確認(rèn)這兩個(gè)變量間有關(guān)系本題可以參考獨(dú)立性檢驗(yàn)臨界值表：P(K2≥k0)0.500.400.250.150.10k00.4550.7081.3232.0722.706P(K2≥k0)0.050.0250.0100.0050.001k03.8415.0246.6357.87910.828[解析]一組數(shù)據(jù)都加上或減去同一個(gè)常數(shù)，數(shù)據(jù)的平均數(shù)有改變，方差不變(方差是反映數(shù)據(jù)的波動(dòng)程度的量)，A正確；回來(lái)方程中x的系數(shù)具備直線斜率的功能，對(duì)于回來(lái)方程eq\o(y,\s\up6(^))＝3－5x，當(dāng)x增加一個(gè)單位時(shí)，y平均削減5個(gè)單位，B錯(cuò)誤；由線性回來(lái)方程的定義知，線性回來(lái)直線eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))必過(guò)點(diǎn)(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))，C正確；因?yàn)镵2＝13.079>10.828，故有99%的把握確認(rèn)這兩個(gè)變量有關(guān)系，D正確，故選ACD．2．某人探討中學(xué)生的性別與成果、視力、智商、閱讀量這4個(gè)變量之間的關(guān)系，隨機(jī)抽查52名中學(xué)生，得到統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表1至表4，則與性別有關(guān)聯(lián)的可能性最大的變量是(D)表1成果性別不及格及格總計(jì)男61420女102232總計(jì)163652表2視力性別好差總計(jì)男41620女122032總計(jì)163652表3智商性別偏高正?？傆?jì)男81220女82432總計(jì)163652表4閱讀豐富不豐富總計(jì)性別量男14620女23032總計(jì)163652A．成果 B．視力C．智商 D．閱讀量[解析]A中，K2＝eq\f(52×6×22－10×142,20×32×16×36)＝eq\f(13,1440)；B中，K2＝eq\f(52×4×20－12×162,20×32×16×36)＝eq\f(637,360)；C中，K2＝eq\f(52×8×24－8×122,20×32×16×36)＝eq\f(13,10)；D中，K2＝eq\f(52×14×30－2×62,20×32×16×36)＝eq\f(3757,160)．因此閱讀量與性別相關(guān)的可能性最大，所以選D．二、填空題3．某高?！督y(tǒng)計(jì)初步》課程的老師隨機(jī)調(diào)查了選該課程的學(xué)生的一些狀況，詳細(xì)數(shù)據(jù)如下：專業(yè)性別非統(tǒng)計(jì)專業(yè)統(tǒng)計(jì)專業(yè)男1310女720為了推斷主修統(tǒng)計(jì)專業(yè)是否與性別有關(guān)系，依據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到K2＝eq\f(50×13×20－10×72,23×27×20×30)≈4.844>3.841，所以斷定主修統(tǒng)計(jì)專業(yè)與性別有關(guān)系，那么這種推斷出錯(cuò)的可能性約是__5%__．[解析]∵P(K2≥3.841)≈0.05，故推斷出錯(cuò)的可能性為5%．4．為了探究電離輻射的劑量與人體的受損程度是否有關(guān)，用兩種不同劑量的電離輻射照耀小白鼠．在照耀后14天內(nèi)的結(jié)果如下表所示：死亡存活合計(jì)第一種劑量141125其次種劑量61925合計(jì)203050進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析時(shí)的統(tǒng)計(jì)假設(shè)是__小白鼠的死亡與電離輻射的劑量無(wú)關(guān)__．[解析]依據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想，可知類似于反證法，即要確認(rèn)“兩個(gè)重量有關(guān)系”這一結(jié)論成立的可信程度，首先假設(shè)該結(jié)論不成立．對(duì)于本題，進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析時(shí)的統(tǒng)計(jì)假設(shè)應(yīng)為“小白鼠的死亡與電離輻射的劑量無(wú)關(guān)”．三、解答題5．(2024·江西模擬)由中心電視臺(tái)綜合頻道(CCTV－1)和唯眾傳媒聯(lián)合制作的《開講啦》是中國(guó)首檔青年電視公開課．每期節(jié)目由一位知名人士講解并描述自己的故事，共享他們對(duì)于生活和生命的感悟，賜予中國(guó)青年現(xiàn)實(shí)的探討和心靈的滋養(yǎng)，探討青年們的人生問(wèn)題，同時(shí)也在探討青春中國(guó)的社會(huì)問(wèn)題，受到青年觀眾的寵愛(ài)，為了了解觀眾對(duì)節(jié)目的寵愛(ài)程度，電視臺(tái)隨機(jī)調(diào)查了A，B兩個(gè)地區(qū)共100名觀眾，得到如下的2×2列聯(lián)表：特別滿足滿足合計(jì)A30y45Bxz55合計(jì)6535100已知在被調(diào)查的100名觀眾中隨機(jī)抽取1名，該觀眾是B地區(qū)當(dāng)中“特別滿足”的觀眾的概率為0.35，且4y＝3z．(1)現(xiàn)從100名觀眾中用分層抽樣的方法抽取20名進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，則應(yīng)抽取“滿足”的A，B地區(qū)的人數(shù)各是多少？(2)在(1)抽取的“滿足”的觀眾中，隨機(jī)選出2人進(jìn)行座談，求至少有1名是B地區(qū)觀眾的概率？(3)完成上述表格，并依據(jù)表格推斷是否有90%的把握認(rèn)為觀眾的滿足程度與所在地區(qū)有關(guān)系？附：參考公式：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)P(K2≥k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828[解析](1)由題意，得eq\f(x,100)＝0.35，解得x＝35，∴y＋z＝35，又4y＝3z，∴y＝15，z＝20，∴應(yīng)抽取A地區(qū)的“滿足”觀眾為eq\f(20,100)×15＝3，抽取B地區(qū)的“滿足”觀眾為eq\f(20,100)×20＝4．(2)所抽取的A地區(qū)的“滿足”觀眾記為A、B、C，所抽取的B地區(qū)的“滿足”觀眾記為d、e、f、g，則隨機(jī)選出2人的不同選法有AB、AC、Ad、Ae、Af、Ag、BC、Bd、Be、Bf、Bg、Cd、Ce、Cf、Cg、de、df、dg、ef、eg、fg共21個(gè)結(jié)果，至少有1名是B地區(qū)的結(jié)果有18個(gè)，其概率為P＝eq\f(18,21)＝eq\f(6,7)．(3)依據(jù)題意，填寫2×2列聯(lián)表如下：特別滿足滿足合計(jì)A301545B352055合計(jì)6535100計(jì)算K2＝eq\f(100×30×20－35×152,65×35×45×55)＝eq\f(100,1007)≈0.1＜3.841，所以沒(méi)有90%的把握認(rèn)為觀眾的滿足程度與所在地區(qū)有關(guān)系．6．(2024·廈門一模)為了解學(xué)生的課外閱讀時(shí)間狀況，某學(xué)校隨機(jī)抽取了50人進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，把這50人每天閱讀的時(shí)間(單位：分鐘)繪制成頻數(shù)分布表，如下表所示：閱讀時(shí)間[0,20)[20,40)[40,60)[60,80)[80,100)[100,1