2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第3章指數(shù)運算與指數(shù)函數(shù)1指數(shù)冪的拓展學(xué)案含解析北師大版必修第一冊

PAGE2-§1指數(shù)冪的拓展學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1．理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念，會進(jìn)行分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式的互化．(重點)2．了解無理數(shù)指數(shù)冪的概念，了解無理數(shù)指數(shù)冪可以用有理數(shù)指數(shù)冪靠近的思想方法．(易混點)1．通過指數(shù)冪的拓展的學(xué)習(xí)，培育邏輯推理素養(yǎng)．2．通過分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式的互化，培育數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．1．根式(1)定義：式子eq\r(n,a)叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù)．(2)性質(zhì)：(n＞1，且n∈N*)①eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(n,a)))eq\s\up8(n)＝a．②eq\r(n,an)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，n為奇數(shù)，,|a|，n為偶數(shù)．))2．正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪給定正數(shù)a，和正整數(shù)m，n(n＞1，且m，n互素)，若存在唯一的正數(shù)b，使得bn＝am，則稱b為a的eq\f(m,n)次冪，記作b＝aeq\s\up6(\f(m,n))，這就是正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪．3．分?jǐn)?shù)指數(shù)冪分?jǐn)?shù)指數(shù)冪正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪規(guī)定：aeq\s\up6(\f(m,n))＝eq\r(n,am)(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪規(guī)定：aeq\s\up6(－\f(m,n))＝eq\f(1,a\s\up6(\f(m,n)))＝eq\f(1,\r(n,am))(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)0的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義思索：根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪有什么關(guān)系？提示：eq\r(n,am)＝aeq\s\up6(\f(m,n))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a>0，m，n∈N＋，且n>1)).1．計算243eq\s\up6(\f(1,5))等于()A．9B．3C．±3D．－3B[由35＝243，得243eq\s\up6(\f(1,5))＝3.]2．若b－3n＝5m(m，n∈N＋)，則bA．5eq\s\up6(－eq\f(3n,m))B．5eq\s\up6(－eq\f(m,3n))C．5eq\s\up6(eq\f(3n,m)) D．5eq\s\up6(eq\f(m,3n))[答案]B3．用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示下列各式(式中a>0)，(1)eq\r(a3)＝________；(2)eq\f(1,\r(3,a5))＝________．(1)aeq\s\up6(\f(3,2))(2)aeq\s\up6(－eq\f(5,3))[(1)eq\r(a3)＝aeq\s\up6(\f(3,2)).(2)eq\f(1,\r(3,a5))＝eq\f(1,a\s\up6(\f(5,3)))＝aeq\s\up6(－eq\f(5,3)).]4．若－1<x<2，化簡eq\r(x2－4x＋4)－eq\r(x2＋2x＋1).[解]原式＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－2))\s\up8(2))－eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋1))\s\up8(2))＝|x－2|－|x＋1|.∵－1<x<2，∴x＋1>0，x－2<0，∴原式＝2－x－x－1＝1－2x.根式的化簡與求值【例1】化簡：(1)eq\r(n,（x－π）n)(x＜π，n∈N*)；(2)eq\r(4,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋2))\s\up8(4)).[解](1)∵x＜π，∴x－π＜0.當(dāng)n為偶數(shù)時，eq\r(n,（x－π）n)＝|x－π|＝π－x；當(dāng)n為奇數(shù)時，eq\r(n,（x－π）n)＝x－π.綜上可知，eq\r(n,（x－π）n)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(π－x，n為偶數(shù)，n∈N*，,x－π，n為奇數(shù)，n∈N*.))(2)eq\r(4,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋2))\s\up8(4))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋2))＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2，x≥2,－x－2，x<－2)).正確區(qū)分eq\r(n,an)與eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(n,a)))eq\s\up8(n)(1)eq\r(n,an)表示a的n次方的n次方根，而eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(n,a)))eq\s\up8(n)表示a的n次方根的n次方，因此從運算角度看，運算依次不同．(2)運算結(jié)果不同①eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(n,a)))eq\s\up8(n)＝a.②eq\r(n,an)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，n為奇數(shù)，,|a|，n為偶數(shù)．))eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．若xy≠0，則使eq\r(4x2y2)＝－2xy成立的條件可能是()A．x＞0，y＞0 B．x＞0，y＜0C．x≥0，y≥0 D．x＜0，y＜0B[∵eq\r(4x2y2)＝2|xy|＝－2xy，∴xy≤0.又∵xy≠0，∴xy＜0，故選B.]2．若eq\r(（2a－1）2)＝eq\r(3,（1－2a）3)，則實數(shù)a的取值范圍為________．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))[eq\r(（2a－1）2)＝|2a－1|，eq\r(3,（1－2a）3)＝1－2a.因為|2a－1|＝1－2a，故2a－1≤0，所以a≤eq\f(1,2).]根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化【例2】(1)3eq\s\up6(\f(3,2))可化為()A．eq\r(2) B．eq\r(3,3)C．eq\r(3,27) D．eq\r(27)(2)eq\r(5,a－2)可化為()A．a(chǎn)eq\s\up8(－eq\f(2,5)) B．a(chǎn)eq\s\up6(\f(5,2))C．a(chǎn)eq\s\up6(\f(2,5)) D．－aeq\s\up6(\f(5,2))[思路點撥]嫻熟應(yīng)用eq\r(n,am)＝aeq\s\up6(\f(m,n))是解決該類問題的關(guān)鍵．(1)D(2)A[(1)3eq\s\up6(\f(3,2))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(33))eq\s\up6(\f(1,2))＝eq\r(27).(2)eq\r(5,a－2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－2))eq\s\up6(\f(1,5))＝aeq\s\up8(－eq\f(2,5)).]根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化規(guī)律1．關(guān)于式子eq\r(n,am)＝aeq\s\up8(eq\f(m,n))的兩點說明(1)根指數(shù)n即分?jǐn)?shù)指數(shù)的分母；(2)被開方數(shù)的指數(shù)m即分?jǐn)?shù)指數(shù)的分子．2．通常規(guī)定aeq\s\up6(\f(m,n))中的底數(shù)a>0.eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])3．將下列各根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式：(1)eq\f(1,\r(3,a))；(2)eq\r(4,（a－b）3).[解](1)eq\f(1,\r(3,a))＝eq\f(1,a\s\up10(\f(1,3)))＝aeq\s\up6(－eq\f(1,3)).(2)eq\r(4,（a－b）3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－b))eq\s\up6(\f(3,4)).求指數(shù)冪aeq\s\up6(\f(m,n))的值【例3】求下列各式的值：(1)64eq\s\up6(\f(2,3))；(2)81eq\s\up6(－eq\f(1,4)).[思路點撥]結(jié)合分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的定義，即滿意bn＝am時，aeq\s\up6(\f(m,n))＝b(m，n∈N＋，a，b>0)求解．[解](1)設(shè)64eq\s\up6(\f(2,3))＝x，則x3＝642＝4096，又∵163＝4096，∴64eq\s\up6(\f(2,3))＝16.(2)設(shè)81eq\s\up6(－eq\f(1,4))＝x,則x4＝81－1＝eq\f(1,81)，又∵(eq\f(1,3))4＝eq\f(1,81)，∴81eq\s\up6(－eq\f(1,4))＝eq\f(1,3).解決此類問題時，依據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的定義將分?jǐn)?shù)指數(shù)冪轉(zhuǎn)化為熟識的整數(shù)指數(shù)冪，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為正整數(shù)指數(shù)冪．eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])4．求下列各式的值：(1)125eq\s\up6(\f(1,3))；(2)128eq\s\up6(－eq\f(1,7)).[解](1)設(shè)125eq\s\up6(\f(1,3))＝x，則x3＝125，又∵53＝125，∴x＝5.(2)設(shè)128eq\s\up6(－eq\f(1,7))＝x，則x7＝128－1＝eq\f(1,128)，又∵(eq\f(1,2))7＝eq\f(1,128)，∴128eq\s\up6(－eq\f(1,7))＝eq\f(1,2).正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，規(guī)定：aeq\s\up6(\f(m,n))＝eq\r(n,am)(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)，負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，規(guī)定：aeq\s\up6(－eq\f(m,n))＝eq\f(1,a\s\up6(\f(m,n)))＝eq\f(1,\r(n,am))(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)，零的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義．1．思索辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)2eq\s\up6(\f(2,3))表示eq\f(2,3)個2相乘． ()(2)aeq\s\up6(\f(m,n))＝eq\r(m,an)(a>0，m，n∈N＋，且n>1). ()(3)aeq\s\up6(－eq\f(m,n))＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N＋，且n>1). ()[答案](1)×(2)×(3)√2.eq\r(3,a－2)可化為()A.aeq\s\up6(－eq\f(2,3))B．a(chǎn)eq\s\up6(－eq\f(3,2))C．a(chǎn)eq\s\up6(\f(2,3)) D．－aeq\s\up6(\f(2,3))[答案]A3．25eq\s\up6(\f(3,2))＝()A.5B．15C．25D．125[答案]D4.求值：(1)8eq\s\up6(\f(2,3))；(2)25eq\s\up6(－eq\f(1,2))；(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up8(5)；(4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,81)))eq\s\up6(－eq\f(3,4)).[解](1)設(shè)8eq\s\up6(\f(2,3))＝x，則x3＝82＝64，又∵43＝64，∴8eq\s\up6(\f(2,3))＝4.(2)設(shè)25eq\s\up6(－eq\f(1,2))＝x，則x2＝25－1＝eq\f(1,25)，又∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))eq\s\up8(2)＝eq\f(1,25)，∴25eq\s\up6(－eq\f(1,2))＝eq\f(1,5).(3)(eq\f(1,2))5＝eq\f(1,32).(4)設(shè)eq