2024-2025學年高中數(shù)學第三章三角恒等變換3.2.1倍角公式學案新人教B版必修4

PAGEPAGE13．2.1倍角公式1.了解二倍角公式的推導過程．2.理解兩角和的正弦、余弦、正切公式與二倍角的正弦、余弦、正切公式的關系．3．駕馭公式的正用、逆用與變形的應用．[學生用書P66])二倍角公式1．推斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)6α是3α的倍角，3α是eq\f(3α,2)的倍角．()(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式的適用范圍是隨意角．()(3)存在角α，使得sin2α＝2sinα成立．()(4)對于隨意角α，總有tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α).()答案：(1)√(2)×(3)√(4)×2．已知sinα＝eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(4,5)，則sin2α等于()A．eq\f(7,5) B．eq\f(12,5)C．eq\f(12,25) D．eq\f(24,25)答案：D3．計算sin2eq\f(π,8)－cos2eq\f(π,8)的值是()A．eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)C．eq\f(\r(2),2) D．－eq\f(\r(2),2)答案：D4．已知tanα＝eq\f(4,3)，則tan2α＝________．答案：－eq\f(24,7)給角求值[學生用書P67]求下列各式的值；(1)sineq\f(π,12)coseq\f(π,12)；(2)1－2sin2750°；(3)eq\f(2tan150°,1－tan2150°).【解】(1)原式＝eq\f(2sin\f(π,12)cos\f(π,12),2)＝eq\f(sin\f(π,6),2)＝eq\f(1,4).(2)原式＝cos(2×750°)＝cos1500°＝cos(4×360°＋60°)＝cos60°＝eq\f(1,2).(3)原式＝tan(2×150°)＝tan300°＝tan(360°－60°)＝－tan60°＝－eq\r(3).eq\a\vs4\al()應用二倍角公式求值的策略(1)求值關注四個方向：分別從“角”“函數(shù)名”“冪”“形”著手分析，消退差異．(2)公式逆用：主要形式有2sinαcosα＝sin2α，sinαcosα＝eq\f(1,2)sin2α，cosα＝eq\f(sin2α,2sinα)，cos2α－sin2α＝cos2α，eq\f(2tanα,1－tan2α)＝tan2α.求下列各式的值．(1)coseq\f(π,5)coseq\f(2π,5)；(2)eq\f(1,sin10°)－eq\f(\r(3),cos10°).解：(1)原式＝eq\f(2sin\f(π,5)cos\f(π,5)cos\f(2π,5),2sin\f(π,5))＝eq\f(sin\f(2π,5)cos\f(2π,5),2sin\f(π,5))＝eq\f(\f(1,2)sin\f(4π,5),2sin\f(π,5))＝eq\f(1,4).(2)原式＝eq\f(cos10°－\r(3)sin10°,sin10°cos10°)＝eq\f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)cos10°－\f(\r(3),2)sin10°)),sin10°cos10°)＝eq\f(4（sin30°cos10°－cos30°sin10°）,2sin10°cos10°)＝eq\f(4sin20°,sin20°)＝4.給值(式)求值[學生用書P67]已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＝eq\f(5,13)，0＜x＜eq\f(π,4)，求eq\f(cos2x,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x)))的值．【解】因為x∈(0，eq\f(π,4))，所以eq\f(π,4)－x∈(0，eq\f(π,4))，又因為sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＝eq\f(5,13)，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＝eq\f(12,13)，又cos2x＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2x))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＝2×eq\f(5,13)×eq\f(12,13)＝eq\f(120,169).coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x))))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＝eq\f(5,13)，所以原式＝eq\f(\f(120,169),\f(5,13))＝eq\f(24,13).eq\a\vs4\al()三角函數(shù)求值問題的一般思路(1)一是對題設條件變形，將題設條件中的角、函數(shù)名向結論中的角、函數(shù)名靠攏；另一種是對結論變形，將結論中的角、函數(shù)名向題設條件中的角、函數(shù)名靠攏，以便將題設條件代入結論．(2)留意幾種公式的敏捷應用，如：①sin2x＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2x))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))))＝2cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))－1＝1－2sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))；②cos2x＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2x))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x)).1.已知x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，cosx＝eq\f(4,5)，則tan2x＝()A．eq\f(7,24) B．－eq\f(7,24)C．eq\f(24,7) D．－eq\f(24,7)解析：選D.由cosx＝eq\f(4,5)，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，得sinx＝－eq\f(3,5)，所以tanx＝－eq\f(3,4)，所以tan2x＝eq\f(2tanx,1－tan2x)＝eq\f(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4))),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)))\s\up12(2))＝－eq\f(24,7)，故選D.2．已知cosα＝－eq\f(3,4)，sinβ＝eq\f(2,3)，α是第三象限角，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)).(1)求sin2α的值；(2)求cos(2α＋β)的值．解：(1)因為α是第三象限角，cosα＝－eq\f(3,4)，所以sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\f(\r(7),4)，所以sin2α＝2sinαcosα＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(7),4)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)))＝eq\f(3\r(7),8).(2)因為β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，sinβ＝eq\f(2,3)，所以cosβ＝－eq\r(1－sin2β)＝－eq\f(\r(5),3)，cos2α＝2cos2α－1＝2×eq\f(9,16)－1＝eq\f(1,8)，所以cos(2α＋β)＝cos2αcosβ－sin2αsinβ＝eq\f(1,8)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(5),3)))－eq\f(3\r(7),8)×eq\f(2,3)＝－eq\f(\r(5)＋6\r(7),24).倍角公式與三角函數(shù)性質(zhì)的綜合應用[學生用書P68]已知函數(shù)f(x)＝(1＋cotx)sin2x－2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4))).(1)若tanα＝2，求f(α)；(2)若x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，\f(π,2)))，求f(x)的取值范圍．【解】(1)f(x)＝sin2x＋sinxcosx＋cos2x＝eq\f(1－cos2x,2)＋eq\f(1,2)sin2x＋cos2x＝eq\f(1,2)(sin2x＋cos2x)＋eq\f(1,2).由tanα＝2，得sin2α＝eq\f(2sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(2tanα,1＋tan2α)＝eq\f(4,5)，cos2α＝eq\f(cos2α－sin2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(1－tan2α,1＋tan2α)＝－eq\f(3,5).所以f(α)＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)－\f(3,5)))＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,5).(2)由(1)，得f(x)＝eq\f(1,2)(sin2x＋cos2x)＋eq\f(1,2)＝eq\f(\r(2),2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))＋eq\f(1,2).由x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，\f(π,2)))，得2x＋eq\f(π,4)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)，\f(5π,4)))，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，1))，從而f(x)＝eq\f(\r(2),2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))＋eq\f(1,2)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1＋\r(2),2))).即f(x)的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1＋\r(2),2))).eq\a\vs4\al()有關三角函數(shù)性質(zhì)的探究是高考的熱點，一般的思想方法是借助和差角公式、倍角公式等將其化成以正弦型或余弦型函數(shù)為主體，在本題中要留意角范圍的約束對值域的影響．已知函數(shù)f(x)＝1－2sin2(x＋eq\f(π,8))＋2sin(x＋eq\f(π,8))cos(x＋eq\f(π,8))．求：(1)函數(shù)f(x)的最小正周期；(2)函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間．解：(1)因為f(x)＝cos(2x＋eq\f(π,4))＋sin(2x＋eq\f(π,4))＝eq\r(2)sin(2x＋eq\f(π,4)＋eq\f(π,4))＝eq\r(2)sin(2x＋eq\f(π,2))＝eq\r(2)cos2x，所以函數(shù)f(x)的最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π.(2)由(1)得，當2kπ－π≤2x≤2kπ(k∈Z)，即kπ－eq\f(π,2)≤x≤kπ(k∈Z)時，函數(shù)f(x)＝eq\r(2)cos2x是增函數(shù)．所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[kπ－eq\f(π,2)，kπ](k∈Z)．當2kπ≤2x≤2kπ＋π(k∈Z)，即kπ≤x≤kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)時，函數(shù)f(x)＝eq\r(2)cos2x是減函數(shù)．所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是[kπ，kπ＋eq\f(π,2)](k∈Z)．1．公式正用從題設條件動身，順著問題的線索，正用三角公式，通過對信息的感知、加工、轉(zhuǎn)換，運用已知條件和推算手段逐步達到目的.2．公式逆用意向轉(zhuǎn)換，逆用公式，這種在原有基礎上的變通是創(chuàng)新意識的體現(xiàn)，應用時要求對公式特點有一個整體感知．主要形式有2sinαcosα＝sin2α，sinαcosα＝eq\f(1,2)sin2α，cosα＝eq\f(sin2α,2sinα)，cos2α－sin2α＝cos2α，eq\f(2tanα,1－tan2α)＝tan2α.3．公式的變形應用公式之間有著親密的聯(lián)系，這要求我們思索時因勢利導，融會貫穿，有目的地活用公式．主要形式有1±sin2α＝sin2α＋cos2α±2sinαcosα＝(sinα±cosα)2，1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α，cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2).公式的逆用、變形應用非常重要，特殊是1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α，形式相像，簡單出錯，應用時要加強“目標意識”．1．函數(shù)y＝sin2xcos2x的最小正周期是()A．2π B．4πC．eq\f(π,4) D．eq\f(π,2)解析：選D.y＝sin2xcos2x＝eq\f(1,2)sin4x，所以T＝eq\f(2π,4)＝eq\f(π,2).2．cos4eq\f(π,8)－sin4eq\f(π,8)等于()A．0 B．eq\f(\r(2),2)C．1 D．－eq\f(\r(2),2)解析：選B.cos4eq\f(π,4)－sin4eq\f(π,8)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos2\f(π,8)＋sin2\f(π,8)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos2\f(π,8)－sin2\f(π,8)))＝coseq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2).3．若tanα＝eq\f(1,2)，則tan2α＝________．解析：tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(2×\f(1,2),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2))＝eq\f(4,3).答案：eq\f(4,3)4．若α為銳角，且sin2α＝eq\f(6,5)sinα，則cos2α＝________，tanα＝________．解析：由sin2α＝eq\f(6,5)sinα可得，2sinαcosα＝eq\f(6,5)sinα，又因為α為銳角，所以cosα＝eq\f(3,5)，sinα＝eq\f(4,5)，則cos2α＝2cos2α－1＝－eq\f(7,25)，tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(4,3).答案：－eq\f(7,25)eq\f(4,3),[學生用書P131(單獨成冊)])[A基礎達標]1．已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＝eq\f(3,5)，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2x))的值為()A．eq\f(19,25) B．eq\f(16,25)C．eq\f(14,25) D．eq\f(7,25)解析：選D.因為sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＝eq\f(3,5)，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2x))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))))＝1－2sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＝eq\f(7,25).2．若tanθ＋eq\f(1,tanθ)＝4，則sin2θ＝()A．eq\f(1,5) B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,2)解析：選D.由tanθ＋eq\f(1,tanθ)＝4，得eq\f(sinθ,cosθ)＋eq\f(cosθ,sinθ)＝4，即eq\f(sin2θ＋cos2θ,sinθcosθ)＝4，即eq\f(1,\f(1,2)sin2θ)＝4，所以sin2θ＝eq\f(1,2)，故選D.3．已知sin2α＝eq\f(2,3)，則cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝()A．eq\f(1,6) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(2,3)解析：選A.cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,2)))))＝eq\f(1,2)(1－sin2α)＝eq\f(1,6).4．化簡eq\f(tan14°,1－tan214°)·cos28°的結果為()A．eq\f(sin28°,2) B．sin28°C．2sin28° D．sin14°cos28°解析：選A.eq\f(tan14°,1－tan214°)·cos28°＝eq\f(1,2)×eq\f(2tan14°,1－tan214°)·cos28°＝eq\f(1,2)tan28°·cos28°＝eq\f(sin28°,2)，故選A.5．若eq\f(1＋sinαcosα－cos2α,cos2α)＝2，則taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－2α))＝()A．－eq\f(7,17) B．eq\f(7,17)C．eq\f(5,12) D．－eq\f(5,12)解析：選A.因為eq\f(1＋sinαcosα－cos2α,cos2α)＝2，所以eq\f(sin2α＋sinαcosα,cos2α－sin2α)＝2，即eq\f(sinα,cosα－sinα)＝eq\f(tanα,1－tanα)＝2，所以tanα＝eq\f(2,3)，所以tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(2×\f(2,3),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))\s\up12(2))＝eq\f(12,5)，所以taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－2α))＝eq\f(tan\f(π,4)－tan2α,1＋tan\f(π,4)tan2α)＝eq\f(1－\f(12,5),1＋\f(12,5))＝－eq\f(7,17)，故選A.6．已知tanα＝－eq\f(1,3)，則eq\f(sin2α－cos2α,1＋cos2α)＝________．解析：eq\f(sin2α－cos2α,1＋cos2α)＝eq\f(2sinαcosα－cos2α,1＋2cos2α－1)＝eq\f(2sinαcosα－cos2α,2cos2α)＝tanα－eq\f(1,2)＝－eq\f(5,6).答案：－eq\f(5,6)7.eq\f(\r(1－2sin20°cos20°),2cos210°－\r(1－cos2160°)－1)＝________．解析：eq\f(\r(1－2sin20°cos20°),2cos210°－\r(1－cos2160°)－1)＝eq\f(\r(（cos20°－sin20°）2),cos20°－sin20°)＝eq\f(cos20°－sin20°,cos20°－sin20°)＝1.答案：18．已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝eq\f(1,3)，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－2α))＝________．解析：由sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝eq\f(1,3)，得coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))))＝1－2sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝eq\f(7,9)，即coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋2α))＝eq\f(7,9)，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－2α))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋2α))))＝－eq\f(7,9).答案：－eq\f(7,9)9．已知eq\f(π,2)＜α＜π，cosα＝－eq\f(4,5).(1)求tanα的值；(2)求sin2α＋cos2α的值．解：(1)因為cosα＝－eq\f(4,5)，eq\f(π,2)＜α＜π，所以sinα＝eq\f(3,5)，所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(3,4).(2)sin2α＝2sinαcosα＝－eq\f(24,25).cos2α＝2cos2α－1＝eq\f(7,25)，所以sin2α＋cos2α＝－eq\f(24,25)＋eq\f(7,25)＝－eq\f(17,25).10．(1)化簡：eq\f(sin2x,2cosx)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋tanxtan\f(x,2))).(2)求證：eq\f(3－4cos2A＋cos4A,3＋4cos2A＋cos4A)＝tan4A.解：(1)eq\f(sin2x,2cosx)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋tanxtan\f(x,2)))＝eq\f(sin2x,2cosx)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(sinxsin\f(x,2),cosxcos\f(x,2))))＝eq\f(sin2x,2cosx)·eq\f(cosxcos\f(x,2)＋sinxsin\f(x,2),cosxcos\f(x,2))＝eq\f(sin2x,2cosx)·eq\f(cos\f(x,2),cosxcos\f(x,2))＝tanx.(2)證明：因為左邊＝eq\f(3－4cos2A＋2cos22A－1,3＋4cos2A＋2cos22A－1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－cos2A,1＋cos2A)))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2sin2A,2cos2A)))eq\s\up12(2)＝(tan2A)2＝tan4A＝右邊．所以eq\f(3－4cos2A＋cos4A,3＋4cos2A＋cos4A)＝tan4A.[B實力提升]11．已知tanx＝2，則taneq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))))等于()A．eq\f(4,3) B．－eq\f(4,3)C．eq\f(3,4) D．－eq\f(3,4)解析：選C.taneq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))))＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,2)))＝eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,2))),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,2))))＝eq\f(－cos2x,sin2x)＝－eq\f(1,tan2x)＝－eq\f(1－tan2x,2tanx)＝eq\f(4－1,2×2)＝eq\f(3,4).12．已知角α，β均為銳角，且1－cos2α＝sinαcosα，tan(β－α)＝eq\f(1,3)，則β＝________．解析：由1－cos2α＝sinαcosα，得1－(1－2sin2α)＝sinαcosα，即2sin2α＝sinαcosα.因為α為銳角，所以sinα≠0，所以2sinα＝cosα，即tanα＝eq\f(1,2).法一：由tan(β－α)＝eq\f(tanβ－tanα,1＋tanβtanα)＝eq\f