2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章計數(shù)原理1.2排列與組合1.2.2第2課時組合的應(yīng)用學(xué)案含解析新人教A版選修2-3

PAGE第2課時組合的應(yīng)用[目標(biāo)]1.理解組合的概念，會利用組合數(shù)公式解決組合問題.2.能夠解決組合、排列的綜合問題．[重點]1.求解組合的應(yīng)用問題.2.求解排列與組合的綜合應(yīng)用題．[難點]排列與組合的綜合應(yīng)用．學(xué)問點組合的實際應(yīng)用[填一填]1．無限制條件的組合問題無約束條件的組合問題，只需依據(jù)組合的定義，干脆列出組合數(shù)即可，留意分清元素的總個數(shù)及取出元素的個數(shù)．有時還需分清完成一件事是須要分類還是分步．2．有限制條件的組合問題解答有限制條件的組合應(yīng)用題的基本方法是“干脆法”和“間接法(解除法)”．(1)用干脆法求解時，應(yīng)堅持“特殊元素優(yōu)先選取”“特殊位置優(yōu)先支配”的原則．(2)選擇間接法的原則是“正難則反”，也就是若正面問題分類較多、較困難或計算量較大，不妨從反面問題入手，試試看是否簡捷些，特殊是涉及“至多”“至少”等組合問題時更是如此．此時，正確理解“都不是”“不都是”“至多”“至少”等詞語的準(zhǔn)確含義是解決這些組合問題的關(guān)鍵．[答一答]1．如何解決組合中的“含”與“不含”問題？提示：這類問題的解題思路是將限制條件視為特殊元素和特殊位置，一般來講，特殊要先滿意，其余則“一視同仁”．若正面入手不易，則從反面入手，找尋問題的突破口，即采納間接法．2．如何解決組合中的“至多”或“至少”問題？提示：一般采納干脆法或間接法．若干脆法狀況較困難，則考慮間接法．3．如何處理組合中的幾何問題？提示：在處理幾何問題中的組合應(yīng)用問題時，應(yīng)先明確幾何中的點、線、面及構(gòu)型，明確平面圖形和立體圖形中的點、線、面之間的關(guān)系，將幾何問題抽象成組合問題來解決．排列組合綜合問題求解策略1．區(qū)分排列與組合：在解決排列組合綜合性問題時，必需深刻理解排列與組合的概念，能夠嫻熟確定問題是排列問題還是組合問題，牢記排列數(shù)、組合數(shù)計算公式與組合數(shù)性質(zhì)．簡單產(chǎn)生的錯誤是重復(fù)和遺漏計數(shù)．2．附加條件的排列組合問題的處理策略：①以元素為主，特殊元素優(yōu)先考慮；②以位置為主，特殊位置優(yōu)先考慮；③間接法，暫不考慮附加條件，計算出排列數(shù)或組合數(shù)，再減去不符合要求的部分．3．解答排列組合綜合性問題的整體思路：一般思路方法是先選元素(組合)，后排列．按元素的性質(zhì)“分類”和按事務(wù)發(fā)生的連續(xù)過程“分步”．總的來說是：①整體分類；②局部分步；③辯證地看元素的位置；④一些詳細(xì)問題要把它抽象成組合模型.類型一無限制條件的組合問題【例1】某同學(xué)有同樣的畫冊2本，同樣的集郵冊3本，從中取出4本贈送給4位摯友，每位摯友1本，則不同的贈送方法共有()A．4種 B．10種C．18種 D．20種【解析】從2本同樣的畫冊，3本同樣的集郵冊中取出4本有兩種取法：第一種：從2本畫冊中取出1本，將3本集郵冊全部取出；其次種：將2本畫冊全部取出，從3本集郵冊中取出2本．由于畫冊是相同的，集郵冊也是相同的，因此第一種取法中只需從4位摯友中選出1人贈送畫冊，其余的贈送集郵冊，有Ceq\o\al(1,4)＝4(種)贈送方法；其次種取法中只需從4位摯友中選取2人贈送畫冊，其余的贈送集郵冊，有Ceq\o\al(2,4)＝6(種)贈送方法．因此共有4＋6＝10(種)贈送方法．【答案】B將實際問題合理轉(zhuǎn)化為組合模型，才能應(yīng)用組合數(shù)公式，同時留意分步和分類兩原理的應(yīng)用.若從1,2,3，…，9這9個整數(shù)中同時取4個不同的數(shù)，其和為偶數(shù)，則不同的取法共有(D)A．60種 B．63種C．65種 D．66種解析：分三種狀況：(1)4個都是偶數(shù)；(2)兩個為偶數(shù)，兩個為奇數(shù)；(3)4個都是奇數(shù)．故共有Ceq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(4,5)＝66(種)．故選D.類型二有限制條件的組合問題【例2】某醫(yī)科高校的學(xué)生中，有男生12名、女生8名在某市人民醫(yī)院實習(xí)，現(xiàn)從中選派5名參與青年志愿者醫(yī)療隊．(1)某男生甲與某女生乙必需參與，共有多少種不同的選法？(2)甲、乙均不能參與，有多少種選法？(3)甲、乙二人至少有一人參與，有多少種選法？(4)醫(yī)療隊中男生和女生都至少有一名，有多少種選法？【解】(1)只需從其他18人中選3人即可，共有Ceq\o\al(3,18)＝816(種)．(2)只需從其他18人中選5人即可，共有Ceq\o\al(5,18)＝8568(種)．(3)分兩類：甲、乙中只有一人參與，則有Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(4,18)種選法；甲、乙兩人都參與，則有Ceq\o\al(3,18)種選法．故共有Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(4,18)＋Ceq\o\al(3,18)＝6936(種)．(4)方法1：(干脆法)男生和女生都至少有一名的選法可分為四類：1男4女；2男3女；3男2女；4男1女．所以共有Ceq\o\al(1,12)·Ceq\o\al(4,8)＋Ceq\o\al(2,12)·Ceq\o\al(3,8)＋Ceq\o\al(3,12)·Ceq\o\al(2,8)＋Ceq\o\al(4,12)·Ceq\o\al(1,8)＝14656(種)．方法2：(間接法)由總數(shù)中減去5名都是男生和5名都是女生的選法種數(shù)，得Ceq\o\al(5,20)－(Ceq\o\al(5,8)＋Ceq\o\al(5,12))＝14656(種)．解決“含與不含”問題常用優(yōu)先法來解，“至多至少”問題常采納干脆分類法或間接解除法來求解，在選取元素時留意“搭配原則”，肯定要做到“不重不漏”.課外活動小組共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名隊長．現(xiàn)從中選5人主持某項活動，依下列條件各有多少種選法？(1)只有一名女生當(dāng)選；(2)兩名隊長當(dāng)選；(3)至少有一名隊長當(dāng)選；(4)至多有兩名女生當(dāng)選．解：(1)一名女生，四名男生．故共有Ceq\o\al(1,5)·Ceq\o\al(4,8)＝350(種)．(2)將兩名隊長作為一類，其他11人作為一類，故共有Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(3,11)＝165(種)．(3)至少有一名隊長含有兩類：只有一名隊長和兩名隊長．故共有：Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(4,11)＋Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(3,11)＝825(種)，或采納解除法：Ceq\o\al(5,13)－Ceq\o\al(5,11)＝825(種)．(4)至多有兩名女生含有三類：有兩名女生、只有一名女生、沒有女生．故選法為：Ceq\o\al(2,5)·Ceq\o\al(3,8)＋Ceq\o\al(1,5)·Ceq\o\al(4,8)＋Ceq\o\al(5,8)＝966(種)．類型三幾何組合應(yīng)用題【例3】在∠MON的邊OM上有5個異于O點的點，ON上有4個異于O點的點，以這10個點(含O)為頂點，可以得到多少個三角形？【分析】要想組成三角形需找不在同始終線上的三點．因為O為射線OM與射線ON的公共點，所以對O取與不取需進(jìn)行探討．【解】解法1：(干脆法)分幾種狀況考慮：以O(shè)為頂點的三角形中，另外兩個頂點必需分別在OM、ON上，所以有Ceq\o\al(1,5)·Ceq\o\al(1,4)個；O不為頂點的三角形中，兩個頂點在OM上，一個頂點在ON上的有Ceq\o\al(2,5)·Ceq\o\al(1,4)個；一個頂點在OM上，兩個頂點在ON上的有Ceq\o\al(1,5)·Ceq\o\al(2,4)個．因為這是分類問題，所以用分類加法計數(shù)原理，共有Ceq\o\al(1,5)·Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(2,5)·Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(1,5)·Ceq\o\al(2,4)＝5×4＋10×4＋5×6＝90個．解法2：(間接法)先不考慮共線頂點的問題，從10個不同元素中任取3個點的組合數(shù)是Ceq\o\al(3,10)，但其中OM上的6個點(含O)中任取3個點不能得到三角形，ON上的5個點(含O)中任取3個點也不能得到三角形，所以共可以得到(Ceq\o\al(3,10)－Ceq\o\al(3,6)－Ceq\o\al(3,5))個三角形，即Ceq\o\al(3,10)－Ceq\o\al(3,6)－Ceq\o\al(3,5)＝120－20－10＝90個．解法3：把O看成是OM邊上的點，先從OM上的6個點(含O)中取兩點，ON上的4點(不含O)中取一點，有Ceq\o\al(2,6)·Ceq\o\al(1,4)個三角形，再從OM上的5點(不含O)中取一點，從ON上的4點(不含O)中取兩點，可得Ceq\o\al(1,5)·Ceq\o\al(2,4)個三角形，所以共有Ceq\o\al(2,6)·Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(1,5)·Ceq\o\al(2,4)＝15×4＋5×6＝90個三角形．在四棱錐P-ABCD中，頂點為P，從其他的頂點和各棱的中點中取3個，使它們和點P在同一平面上，不同的取法有(C)A．40種 B．48種C．56種 D．62種解析：滿意要求的點的取法可分為3類：第1類，在四棱錐的每個側(cè)面上除點P外任取3點，有4Ceq\o\al(3,5)種取法；第2類，在兩個對角面上除點P外任取3點，有2Ceq\o\al(3,4)種取法；第3類，過點P的四條棱中，每一條棱上的兩點和與這條棱異面的兩條棱的中點也共面，有4Ceq\o\al(1,2)種取法．所以，滿意題意的不同取法共有4Ceq\o\al(3,5)＋2Ceq\o\al(3,4)＋4Ceq\o\al(1,2)＝56(種)，選C.1．分組安排問題的求解策略【例4】有6本不同的書，按下列安排方式安排，則共有多少種不同的安排方式？(1)分成三組，每組分別有1本，2本，3本；(2)分給甲、乙、丙三人，其中一個人1本，一個人2本，一個人3本；(3)分成三組，每組都是2本；(4)分給甲、乙、丙三人，每人2本．【思路分析】解題的關(guān)鍵是要搞清事務(wù)是否與依次有關(guān)，對于平均分組問題要留意依次，避開計數(shù)的重復(fù)或遺漏．【解】(1)分三步：先選一本有Ceq\o\al(1,6)種選法，再從余下的5本中選兩本有Ceq\o\al(2,5)種選法，最終余下的三本全選有Ceq\o\al(3,3)種選法．由分步乘法計數(shù)原理知，安排方式共有Ceq\o\al(1,6)·Ceq\o\al(2,5)·Ceq\o\al(3,3)＝60種．(2)由于甲、乙、丙是不同的三個人，在(1)問的基礎(chǔ)上，還應(yīng)考慮再安排問題．因此，安排方式共有Ceq\o\al(1,6)·Ceq\o\al(2,5)·Ceq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(3,3)＝360種．(3)先分三組，有Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)種分法，但是這里面出現(xiàn)了重復(fù)，不妨記六本書為A，B，C，D，E，F(xiàn)，若第一組取了A，B，其次組取了C，D，第三組取了E，F(xiàn)，則該種方法記為(AB，CD，EF)，但Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)種分法中還有(AB，EF，CD)，(CD，AB，EF)，(CD，EF，AB)，(EF，CD，AB)，(EF，AB，CD)，共Aeq\o\al(3,3)種狀況，而這Aeq\o\al(3,3)種狀況只能作為一種分法，故安排方式有eq\f(C\o\al(2,6)·C\o\al(2,4)·C\o\al(2,2),A\o\al(3,3))＝15種．(4)在(3)問的基礎(chǔ)上再安排即可，共有安排方式eq\f(C\o\al(2,6)·C\o\al(2,4)·C\o\al(2,2),A\o\al(3,3))·Aeq\o\al(3,3)＝90種．【解后反思】本題是一道非常典型的“分組安排”問題，它的每一個小題都是一種類型，我們要仔細(xì)領(lǐng)悟．計數(shù)時常有下面的結(jié)論：“無對象的勻稱安排”問題，只需按“有對象的勻稱安排”問題列式后，再除以組數(shù)的全排列數(shù)，對于“無對象的非勻稱安排”與“有對象的非勻稱安排”問題，前者只需分步完成，后者先分組，后排列．某校高二年級共有六個班級，現(xiàn)從外地轉(zhuǎn)入4名學(xué)生，要支配到該年級的兩個班級且每班支配2名，則不同的支配方案種數(shù)有(D)A．6種 B．24種C．180種 D．90種解析：先把4名學(xué)生分兩組有eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(2,2))＝3(種)，然后再把這兩組給這6個班中的兩個班有Aeq\o\al(2,6)＝30(種)，依據(jù)分步乘法計數(shù)原理得不同的支配方案種數(shù)有3×30＝90(種)．2．排列與組合的綜合應(yīng)用【例5】某藝校在一天的6節(jié)課中隨機支配語文、數(shù)學(xué)、外語三門文化課和其他三門藝術(shù)課各1節(jié)，則在課表上的相鄰兩節(jié)文化課之間最多間隔1節(jié)藝術(shù)課的概率為_________(用數(shù)字作答)．【思路分析】分別計算課表上相鄰兩節(jié)文化課之間最多間隔1節(jié)藝術(shù)課和6節(jié)課隨機排列的基本領(lǐng)件數(shù)，則概率易求．【解】相鄰兩節(jié)文化課之間分別間隔1節(jié)藝術(shù)課有2Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(3,3)種排法，三節(jié)文化課相鄰有Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(4,4)種排法，三節(jié)文化課中兩節(jié)相鄰，與另一節(jié)之間間隔1節(jié)藝術(shù)課有Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)種排法．故在課表上的相鄰兩節(jié)文化課之間最多間隔1節(jié)藝術(shù)課的概率為eq\f(2A\o\al(3,3)A\o\al(3,3)＋A\o\al(3,3)A\o\al(4,4)＋C\o\al(2,3)A\o\al(2,2)A\o\al(3,3)C\o\al(1,3)A\o\al(2,2),A\o\al(6,6))＝eq\f(3,5).【解后反思】組合與排列的綜合問題是高考重點考查的內(nèi)容之一，題目有肯定的難度，求解時留意分清是組合問題還是排列問題，依據(jù)“先選后排”的原則進(jìn)行．兩人進(jìn)行乒乓球競賽，先贏3局者獲勝，決出輸贏為止，則全部可能出現(xiàn)的情形(各人輸贏局次的不同視為不憐憫形)共有(C)A．10種 B．15種C．20種 D．30種解析：需依據(jù)競賽的局?jǐn)?shù)進(jìn)行分類探討．由題意可分3類：第1類，恰好打3局，共有2種情形；第2類，恰好打4局(一人前3局中贏2局，輸1局，第4局贏)，共有Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)＝6種情形；第3類，恰好打5局(一人前4局中贏2局，輸2局，第5局贏)，共有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(2,2)＝12種情形．故全部可能出現(xiàn)的情形共有2＋6＋12＝20種.1．從6名女生、4名男生中，按性別采納分層抽樣的方法抽取5名學(xué)生組成課外小組，則不同的抽取方法種數(shù)為(A)A．Ceq\o\al(3,6)·Ceq\o\al(2,4) B．Ceq\o\al(2,6)·Ceq\o\al(3,4)C．Ceq\o\al(5,10) D．Aeq\o\al(3,6)·Aeq\o\al(2,4)解析：由已知女生抽取3人，男生抽取2人，則抽取方法有Ceq\o\al(3,6)·Ceq\o\al(2,4)種．2．樓道里有12盞燈，為了節(jié)約用電，需關(guān)掉3盞不相鄰的燈，則關(guān)燈方案有(C)A．72種 B．84種C．120種 D．168種解析：插空法，從9盞不關(guān)閉的燈組成的10個空隙中選3個位置，即需關(guān)閉的3盞燈的位置，有Ceq\o\al(3,10)＝120種．3．從4名男生和3名女生中選出4人擔(dān)當(dāng)奧運志愿者，若選出的4人中既有男生又有女生，則不同的選法共有34種．解析：(間接法)共有Ceq