2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章推理與證明2.1.2演繹推理學(xué)案含解析新人教A版選修2-2

PAGE1-2．1.2演繹推理[目標(biāo)]1.理解演繹推理的意義.2.駕馭演繹推理的基本模式，并能運用它們進行一些簡潔推理.3.了解合情推理和演繹推理之間的區(qū)分和聯(lián)系．[重點]演繹推理的含義及三段論推理模式的應(yīng)用．[難點]三段論模式及其應(yīng)用．學(xué)問點演繹推理[填一填]1．演繹推理的含義從一般性的原理動身，推出某個特別狀況下的結(jié)論的推理稱為演繹推理．簡言之，演繹推理是由一般到特別的推理．2．演繹推理的一般模式三段論是演繹推理的一般模式，包括：大前提：已知的一般原理；小前提：所探討的特別狀況；結(jié)論：依據(jù)一般原理，對特別狀況做出的推斷．3．“三段論”的常用格式大前提：M是P；小前提：S是M；結(jié)論：S是P.[答一答]1．閱讀下面的材料：(1)自然數(shù)都是整數(shù)，因為3是自然數(shù)，所以3是整數(shù)．(2)一次函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，y＝2x－1是一次函數(shù)，所以y＝2x－1是單調(diào)函數(shù)．回答下列問題：(1)上面推理的共同特點是什么？(2)材料(1)(2)中的推理形式是否滿意“三段論”？(3)演繹推理的結(jié)論確定正確嗎？提示：(1)都是由一般到特別的推理．(2)此推理形式滿意“三段論”．(3)演繹推理的結(jié)論不會超出前提所界定范圍，所以在演繹推理中，只要前提和推理形式正確，其結(jié)論就確定正確．2．如何區(qū)分演繹推理與合情推理？提示：(1)演繹推理是確定的、牢靠的，而合情推理則帶有確定的風(fēng)險性．嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推理以演繹推理為基礎(chǔ)，而數(shù)學(xué)結(jié)論、證明思路等的發(fā)覺主要靠合情推理．(2)合情推理和演繹推理分別在獲得閱歷和辨別真?zhèn)蝺蓚€環(huán)節(jié)中扮演重要角色．因此，我們不僅要學(xué)會證明，也要學(xué)會猜想．1．“三段論”的理解(1)三段論中的大前提供應(yīng)了一個一般性的原理，小前提指出了一種特別狀況，兩個命題結(jié)合起來，揭示了一般原理與特別狀況的內(nèi)在聯(lián)系，從而得到了第三個命題——結(jié)論．(2)三段論推理的結(jié)論正確與否，取決于兩個前提是否正確，推理形式(即S與M的包含關(guān)系)是否正確．留意：運用三段論推理時，?？墒÷源笄疤峄蛐∏疤?，對于困難的證明，也常把前一個三段論的結(jié)論作為下一個三段論的前提．2．合情推理與演繹推理的區(qū)分與聯(lián)系(1)合情推理的特點是從特別到一般，結(jié)論不確定正確；演繹推理的特點是從一般到特別，只要前提和推理形式正確，結(jié)論確定正確．(2)在相識世界的過程中，合情推理的結(jié)論須要演繹推理的驗證，而演繹推理的內(nèi)容一般是通過合情推理獲得的，二者相輔相成，緊密聯(lián)系．類型一把演繹推理寫成三段論【例1】將下列演繹推理寫成三段論的形式．(1)平行四邊形的對角線相互平分，菱形是平行四邊形，所以菱形的對角線相互平分；(2)等腰三角形的兩底角相等，A，B是等腰三角形的底角，則A＝B；(3)通項公式an＝2n＋3的數(shù)列{an}為等差數(shù)列；(4)函數(shù)f(x)＝x3是奇函數(shù)．【思路分析】由題目可獲得以下主要信息：①明確每一個題的大前提、小前提、結(jié)論；②每個題都能用三段論的形式表述．解答本題可先分析出每個題的大前提、小前提及結(jié)論，再利用三段論形式寫出來．【解】(1)平行四邊形的對角線相互平分，(大前提)菱形是平行四邊形，(小前提)菱形的對角線相互平分．(結(jié)論)(2)等腰三角形的兩底角相等，(大前提)A，B是等腰三角形的底角，(小前提)A＝B.(結(jié)論)(3)數(shù)列{an}中，假如當(dāng)n≥2時，an－an－1為常數(shù)，則{an}為等差數(shù)列，(大前提)通項公式an＝2n＋3時，若n≥2，則an－an－1＝2n＋3－[2(n－1)＋3]＝2(常數(shù))，(小前提)通項公式an＝2n＋3表示的數(shù)列{an}為等差數(shù)列．(結(jié)論)(4)對于定義域關(guān)于原點對稱的函數(shù)f(x)，若f(－x)＝－f(x)，則函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，(大前提)函數(shù)f(x)＝x3的定義域關(guān)于原點對稱，f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)，即f(－x)＝－f(x)，(小前提)所以函數(shù)f(x)＝x3是奇函數(shù)．(結(jié)論)用三段論寫推理過程時，關(guān)鍵是明確大、小前提.有時可省略小前提，有時甚至也可大前提與小前提同時省略，在找尋大前提時，可找一個使結(jié)論成立的充分條件作為大前提.將下列演繹推理寫成三段論的形式．(1)三角形內(nèi)角和都為180°，所以等邊三角形的內(nèi)角和為180°；(2)兩直線平行，同位角相等，假如A和B是兩平行直線的同位角，那么A＝B.解：(1)每一個三角形的內(nèi)角和都為180°，(大前提)等邊三角形是三角形，(小前提)所以，等邊三角形內(nèi)角和為180°.(結(jié)論)(2)兩直線平行，同位角相等，(大前提)A和B是兩平行直線的同位角，(小前提)所以，A＝B.(結(jié)論)類型二推斷演繹推理的正確性【例2】指出下面推理中的錯誤：(1)常函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為0，(大前提)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為0，(小前提)f(x)為常函數(shù)．(結(jié)論)(2)中國的高校分布在中國各地，(大前提)北京高校是中國的高校，(小前提)所以，北京高校分布在中國各地.(結(jié)論)【解】(1)結(jié)論是錯誤的，緣由是推理形式錯誤．大前提指出一般性原理中結(jié)論為“導(dǎo)函數(shù)為0”，因此演繹推理的結(jié)論也應(yīng)為“導(dǎo)函數(shù)為0”．(2)推理形式錯誤．大前提中的M是“中國的高校”，它表示中國的各所高校，而在小前提中M雖然也是“中國的高?！保硎局袊囊凰咝?，二者是兩個不同的概念，故推理形式錯誤，得到錯誤的結(jié)論．(1)做此類題目，首先要分清大前提，小前提，然后看其形式是否正確，即M是P，S是M，S是P.(2)三段論的論斷基礎(chǔ)是這樣一個公理：“凡確定(或否定)了某一類對象的全部，也就確定(或否定)了這一類對象的各部分或個體”．簡言之，“全體概括個體”，M、P、S三個概念之間的包含關(guān)系表現(xiàn)為：假如概念P包含了概念M，則必包含了M中的任一概念S(如下圖①)；假如概念P排斥概念M，則必排斥M中的任一概念S(如下圖②)．弄清以上道理，才會使我們在今后的演繹推理中不犯(或少犯)錯誤．因為指數(shù)函數(shù)y＝ax是增函數(shù)，(大前提)而y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x是指數(shù)函數(shù)，(小前提)所以y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x是增函數(shù)．(結(jié)論)(1)上面的推理形式正確嗎？(2)推理的結(jié)論正確嗎？為什么？解：(1)上述推理的形式正確，但大前提是錯誤的；(2)推理的結(jié)論錯誤，這是因為指數(shù)函數(shù)y＝ax(0<a<1)是減函數(shù)，所以所得到的結(jié)論是錯誤的．類型三用三段論證明數(shù)學(xué)問題【例3】梯形的兩腰和一底假如相等，它的對角線必平分另一底上的兩個角．已知：在梯形ABCD中(如右圖)，AB＝DC＝AD，AC和BD是它的對角線．求證：AC平分∠BCD，DB平分∠CBA.【證明】(1)等腰三角形兩底角相等，(大前提)△DAC是等腰三角形，DA、DC是兩腰，(小前提)∠1＝∠2.(結(jié)論)(2)兩條平行線被第三條直線截出的內(nèi)錯角相等，(大前提)∠1和∠3是平行線AD、BC被AC截出的內(nèi)錯角，(小前提)∠1＝∠3.(結(jié)論)(3)等于同一個量的兩個量相等，(大前提)∠2和∠3都等于∠1，(小前提)∠2＝∠3，(結(jié)論)即AC平分∠BCD.(4)同理，DB平分∠CBA.這個證明中假如把(4)也具體地寫出，則一共通過六次三段論的形式．因此一個命題的證明形式，準(zhǔn)確地常叫做復(fù)合三段論的形式，或說命題的推證方法是復(fù)合三段論法，但是事實上，每一次三段論的大前提并不寫出，某一次三段論的小前提假如是它前面某次三段論的結(jié)論，也就不再寫出了．如例3的證明可寫成：∵DA＝DC(省略了大前提)，∴∠1＝∠2.∵AD∥BC，且被AC截得的內(nèi)錯角為∠1和∠3(省略大前提)，∴∠1＝∠3.∴∠2＝∠3，即AC平分∠BCD(省略大前提，小前提)．同理可證DB平分∠CBA.這樣，一般地在推證命題時所采納的這種表達的方法，就叫做簡化的復(fù)合三段論法．用三段論證明函數(shù)f(x)＝－x2＋2x在(－∞，1]上是增函數(shù)．證明：任取x1、x2∈(－∞，1]，且x1<x2，f(x1)－f(x2)＝(－xeq\o\al(2,1)＋2x1)－(－xeq\o\al(2,2)＋2x2)＝(x2－x1)(x2＋x1－2)．因為x1<x2，所以x2－x1>0.因為x1、x2≤1，x1≠x2，所以x2＋x1－2<0.因此f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)．于是依據(jù)“三段論”，得f(x)＝－x2＋2x在(－∞，1]上是增函數(shù)．“三段論”中大(或小)前提用錯演繹推理是一種必定性推理，演繹推理的前提與結(jié)論之間有蘊涵關(guān)系，因而，只要前提是真實的，推理的形式是正確的，那么結(jié)論必定是真實的，但錯誤的前提可能導(dǎo)致錯誤的結(jié)論．【例4】用三段論的形式寫出下列演繹推理．(1)自然數(shù)是整數(shù)，所以6是整數(shù)；(2)y＝sinx(x∈R)是周期函數(shù)．【錯解】(1)自然數(shù)是整數(shù)，(大前提)6是整數(shù)，(小前提)所以6是自然數(shù)．(結(jié)論)(2)函數(shù)是周期函數(shù)，(大前提)y＝sinx(x∈R)是函數(shù)，(小前提)所以y＝sinx(x∈R)是周期函數(shù)．(結(jié)論)【錯因分析】(1)推理形式錯誤．M是“自然數(shù)”，P是“整數(shù)”，S是“6”，故按規(guī)則“6”應(yīng)是自然數(shù)(M)(此時的小前提錯誤)，推理形式不對．(2)推理形式正確，但大前提錯誤，M是函數(shù)改為M為三角函數(shù)即可．【正解】(1)自然數(shù)是整數(shù)，(大前提)6是自然數(shù)，(小前提)所以6是整數(shù)．(結(jié)論)(2)三角函數(shù)是周期函數(shù)，(大前提)y＝sinx(x∈R)是三角函數(shù)，(小前提)所以y＝sinx(x∈R)是周期函數(shù)．(結(jié)論)下列推理是否正確，將有錯誤的指出其錯誤之處．(1)已知eq\r(2)和eq\r(3)是無理數(shù)，試證：eq\r(2)＋eq\r(3)也是無理數(shù)．證明：依題意知eq\r(2)和eq\r(3)都是無理數(shù)，而無理數(shù)與無理數(shù)之和是無理數(shù)，所以eq\r(2)＋eq\r(3)必是無理數(shù)．(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，求證a2＋b2＝c2.證明：∵a＝csinA，b＝ccosA，∴a2＋b2＝c2sin2A＋c2cos2A＝c2(sin2A＋cos2A解：(1)運用的論據(jù)是：“無理數(shù)與無理數(shù)的和是無理數(shù)”，這個論據(jù)是假的，因為兩個無理數(shù)的和不確定是無理數(shù)，因此結(jié)論的真實性仍無法斷定．(2)本題的論題就是我們熟知的勾股定理，證明中用了“sin2A＋cos2A＝1．“因為我們是共青團員，所以我們要在學(xué)習(xí)和工作中起帶頭作用．”它的大前提是(C)A．我們是共青團員B．我們在學(xué)習(xí)和工作中起帶頭作用C．共青團員應(yīng)在學(xué)習(xí)和工作中起帶頭作用D．以上都不是2．正弦函數(shù)是奇函數(shù)，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函數(shù)，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函數(shù)．以上推理(C)A．結(jié)論正確 B．大前提不正確C．小前提不正確 D．全不正確解析：由于函數(shù)f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函數(shù)，故小前提不正確．故選C.3．推理過程“大前提：________，小前提：四邊形ABCD是矩形，結(jié)論：四邊形ABCD的對角線相等．”應(yīng)補充的大前提是矩形的對角線相等．解析：由“三段論”的一般模式，可知應(yīng)補充的大前提是：矩形的對角線相等．4．已知a＝eq\f(\r(5)－1,2)，函數(shù)f(x)＝ax，若實數(shù)m，n滿意f(m)>f(n)，則m，n的大小關(guān)系為m<n.解析：當(dāng)0<a<1時，函數(shù)f(x)＝ax為減函數(shù)，(大前提)a＝eq\f(\r