2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章三角恒等變換3.2.1-3.2.2兩角差的余弦函數(shù)兩角和與差的正弦余弦函數(shù)課時(shí)分層作業(yè)含解析北師大版必修4

PAGE1-課時(shí)分層作業(yè)(二十三)兩角差的余弦函數(shù)兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1．設(shè)α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，若sinα＝eq\f(3,5)，則eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))等于()A．eq\f(7,5) B．eq\f(1,5)C．－eq\f(7,5) D．－eq\f(1,5)A[eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosαcos\f(π,4)＋sinαsin\f(π,4)))＝cosα＋sinα＝eq\f(4,5)＋eq\f(3,5)＝eq\f(7,5).]2．化簡(jiǎn)sin(x＋y)sin(x－y)－cos(x＋y)cos(x－y)的結(jié)果為()A．sin2x B．cos2xC．－cos2x D．－sin2xC[原式＝－cos[(x＋y)＋(x－y)]＝－cos2x，故選C.]3．若銳角α，β滿意cosα＝eq\f(4,5)，cos(α＋β)＝eq\f(3,5)，則sinβ的值是()A．eq\f(17,25) B．eq\f(3,5)C．eq\f(7,25) D．eq\f(1,5)C[∵cosα＝eq\f(4,5)，cos(α＋β)＝eq\f(3,5)，α、β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴sinα＝eq\f(3,5)，sin(α＋β)＝eq\f(4,5).∴sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝eq\f(4,5)×eq\f(4,5)－eq\f(3,5)×eq\f(3,5)＝eq\f(7,25).]4．在△ABC中，若sinA＝2sinBcosC，那么這個(gè)三角形肯定是()A．銳角三角形 B．鈍角三角形C．直角三角形 D．等腰三角形D[sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，由sinA＝2sinBcosC，得cosBsinC＝sinBcosC，所以cosBsinC－sinBcosC＝0，即sin(C－B)＝0，所以C＝B，故為等腰三角形．]5．已知A(3，0)，B(0，3)，C(cosα，sinα)，若eq\o(AC,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))＝－1，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))等于()A．eq\f(1,3) B．eq\f(\r(2),3)C．eq\f(\r(3),3) D．eq\f(2,3)B[eq\o(AC,\s\up8(→))＝(cosα－3，sinα)，eq\o(BC,\s\up8(→))＝(cosα，sinα－3)，∴eq\o(AC,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))＝(cosα－3)cosα＋sinα(sinα－3)＝cos2α－3cosα＋sin2α－3sinα＝1－3(sinα＋cosα)＝－1，∴3(sinα＋cosα)＝2，∴3eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝2，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),3).]二、填空題6．化簡(jiǎn)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α))的結(jié)果是________．cosα[原式＝sineq\f(π,6)cosα＋coseq\f(π,6)sinα＋coseq\f(π,3)cosα－sineq\f(π,3)sinα＝cosα.]7．若cos(α－β)＝eq\f(1,3)，則(sinα＋sinβ)2＋(cosα＋cosβ)2＝________．eq\f(8,3)[原式＝2＋2(sinαsinβ＋cosαcosβ)＝2＋2cos(α－β)＝eq\f(8,3).]8．若cosα－cosβ＝eq\f(1,2)，sinα－sinβ＝－eq\f(1,3)，則cos(α－β)＝________．eq\f(59,72)[由已知得cosα－cosβ＝eq\f(1,2)， ①sinα－sinβ＝－eq\f(1,3). ②①2＋②2得(cosα－cosβ)2＋(sinα－sinβ)2＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,9)，即2－2cosαcosβ－2sinαsinβ＝eq\f(13,36)，所以cosαcosβ＋sinαsinβ＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(13,36)))＝eq\f(59,72)，所以cos(α－β)＝eq\f(59,72).]三、解答題9．已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，且cos(α－β)＝eq\f(3,5)，sinβ＝－eq\f(\r(2),10)，求sinα.[解]因?yàn)棣痢蔱q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，所以α－β∈(0，π).因?yàn)閏os(α－β)＝eq\f(3,5)，所以sin(α－β)＝eq\f(4,5).因?yàn)棣隆蔱q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，sinβ＝－eq\f(\r(2),10)，所以cosβ＝eq\f(7\r(2),10).所以sinα＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ＝eq\f(4,5)×eq\f(7\r(2),10)＋eq\f(3,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),10)))＝eq\f(\r(2),2).10．已知cosα＝eq\f(1,7)，sin(α＋β)＝eq\f(5\r(3),14)，0＜α＜eq\f(π,2)，0＜β＜eq\f(π,2)，求角β的值．[解]因?yàn)?＜α＜eq\f(π,2)，cosα＝eq\f(1,7)，所以sinα＝eq\f(4\r(3),7)，又因?yàn)?＜β＜eq\f(π,2)，所以0＜α＋β＜π，因?yàn)閟in(α＋β)＝eq\f(5\r(3),14)＜sinα，所以cos(α＋β)＝－eq\f(11,14)，所以sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝eq\f(5\r(3),14)×eq\f(1,7)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11,14)×\f(4\r(3),7)))＝eq\f(\r(3),2)，又因?yàn)?＜β＜eq\f(π,2)，所以β＝eq\f(π,3).1．若x∈[0，π]，sineq\f(x,3)sineq\f(2x,3)＝coseq\f(x,3)coseq\f(2x,3)，則x的值是()A．eq\f(π,6) B．eq\f(π,4)C．eq\f(π,3) D．eq\f(π,2)D[由已知得，coseq\f(x,3)coseq\f(2x,3)－sineq\f(x,3)sineq\f(2x,3)＝cosx＝0.∴x∈[0，π]，∴x＝eq\f(π,2).]2．已知點(diǎn)A(cos80°，sin80°)，B(cos20°，sin20°)，則|eq\o(AB,\s\up8(→))|等于()A．eq\f(1,2) B．eq\f(\r(2),2)C．eq\f(\r(3),2) D．1D[|eq\o(AB,\s\up8(→))|＝eq\r(（cos80°－cos20°）2＋（sin80°－sin20°）2)＝eq\r(2－2（cos80°cos20°＋sin80°sin20°）)＝eq\r(2－2cos60°)＝eq\r(2－2×\f(1,2))＝1.]3．已知sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，則sin(α＋β)＝________．－eq\f(1,2)[∵sinα＋cosβ＝1， ①cosα＋sinβ＝0， ②∴①2＋②2得1＋2(sinαcosβ＋cosαsinβ)＋1＝1，∴sinαcosβ＋cosαsinβ＝－eq\f(1,2)，∴sin(α＋β)＝－eq\f(1,2).]4．若cos(α－β)＝eq\f(\r(5),5)，cos2α＝eq\f(\r(10),10)，并且α，β均為銳角且α<β，則α＋β的值為_(kāi)_______．eq\f(3π,4)[sin(α－β)＝－eq\f(2\r(5),5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)<α－β<0)).sin2α＝eq\f(3\r(10),10)，∴cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]＝cos2αcos(α－β)＋sin2αsin(α－β)＝eq\f(\r(10),10)×eq\f(\r(5),5)＋eq\f(3\r(10),10)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(5),5)))＝－eq\f(\r(2),2)，∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝eq\f(3π,4).]5．已知函數(shù)f(x)＝Asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))，x∈R，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)))＝eq\f(3\r(2),2).(1)求A的值；(2)若f(θ)－f(－θ)＝eq\r(3)，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－θ)).[解](1)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)))＝Asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)＋\f(π,3)))＝Asineq\f(3π,4)＝eq\f(\r(2),2)A＝eq\f(3\r(2),2)，所以A＝3.(2)f(θ)－f(－θ)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,3)))－3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－θ＋\f(π,3)))＝3eq\b\lc\[(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinθcos\f(π,3)＋cosθsin\f(π,3)))))－eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－sinθcos\f(π,3)＋cosθsin\f(π,3)))))＝6sinθcoseq\f(π,3)＝3sinθ＝eq\r(3)，所以sinθ＝eq\f(\r(3),3).又因?yàn)棣取蔱q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\