2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第二章一元二次函數(shù)方程和不等式2.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)第2課時(shí)不等式性質(zhì)學(xué)案含解析新人教A版必修第一冊(cè)

PAGE1-第2課時(shí)不等式性質(zhì)必備學(xué)問·探新知基礎(chǔ)學(xué)問學(xué)問點(diǎn)不等式的性質(zhì)性質(zhì)1a>b?__b<a__；(對(duì)稱性)性質(zhì)2a>b，b>c?__a>c__；(傳遞性)性質(zhì)3a>b?__a＋c>b＋c__；(同加保序性)推論：a＋b>c?__a>c－b__；(移項(xiàng)法則)性質(zhì)4a>b，c>0?__ac>bc__，(乘正保序性)a>b，c<0?ac<bc；(乘負(fù)反序性)性質(zhì)5a>b，c>d?__a＋c>b＋d__；(同向相加保序性)性質(zhì)6a>b>0，c>d>0?__ac>bd__；(正數(shù)同向相乘保序性)性質(zhì)7a>b>0?__an>bn__(n∈N，n≥2)．(非負(fù)乘方保序性)思索：(1)性質(zhì)3的推論實(shí)際就是解不等式中的什么法則？(2)性質(zhì)4就是在不等式的兩邊同乘以一個(gè)不為零的數(shù)，不變更不等號(hào)的方向，對(duì)嗎？為什么？(3)運(yùn)用性質(zhì)6,7時(shí)，要留意什么條件？提示：(1)移項(xiàng)法則．(2)不對(duì)．要看兩邊同乘以的數(shù)的符號(hào)，同乘以正數(shù)，不變更不等號(hào)的方向，但是同乘以負(fù)數(shù)時(shí)，要變更不等號(hào)的方向．(3)各個(gè)數(shù)均為正數(shù)．基礎(chǔ)自測(cè)1．推斷正誤(對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”)(1)若a>b，則ac2>bc2.(×)(2)同向不等式相加與相乘的條件是一樣的．(×)(3)設(shè)a，b∈R，且a>b，則a3>b3.(√)(4)若a＋c>b＋d，則a>b，c>d.(×)[解析](1)由不等式的性質(zhì)，ac2>bc2?a>b；反之，c＝0時(shí)，a>bac2>bc2.(2)相乘須要看是否eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>b>0，,c>d>0，))而相加與正、負(fù)和零均無關(guān)系．(3)符合不等式的可乘方性．(4)取a＝4，c＝5，b＝6，d＝2，滿意a＋c>b＋d，但不滿意a>b，故此說法錯(cuò)誤．2．設(shè)b<a，d<c，則下列不等式中肯定成立的是(C)A．a(chǎn)－c>b－d B．a(chǎn)c>bdC．a(chǎn)＋c>b＋d D．a(chǎn)＋d>b＋c3．已知a<0，－1<b<0，那么下列不等式成立的是(D)A．a(chǎn)>ab>ab2 B．a(chǎn)b2>ab>aC．a(chǎn)b>a>ab2 D．a(chǎn)b>ab2>a[解析]由－1<b<0，可得b<b2<1，又a<0，∴ab>ab2>a，故選D．4．用不等號(hào)“>”或“<”填空：(1)假如a>b，c<d，那么a－c__>__b－d；(2)假如a>b>0，c<d<0，那么ac__<__bd；(3)假如a>b>0，那么eq\f(1,a2)__<__eq\f(1,b2)；(4)假如a>b>c>0，那么eq\f(c,a)__<__eq\f(c,b).[解析](1)∵c<d，∴－c>－d，∵a>b，∴a－c>b－d.(2)∵c<d<0，∴－c>－d>0.∵a>b>0，∴－ac>－bd，∴ac<bd.(3)∵a>b>0，∴ab>0，eq\f(1,ab)>0，∴a·eq\f(1,ab)>b·eq\f(1,ab)>0，∴eq\f(1,b)>eq\f(1,a)>0，∴(eq\f(1,b))2>(eq\f(1,a))2，即eq\f(1,a2)<eq\f(1,b2).(4)∵a>b>0，所以ab>0，eq\f(1,ab)>0.于是a·eq\f(1,ab)>b·eq\f(1,ab)，即eq\f(1,b)>eq\f(1,a)，即eq\f(1,a)<eq\f(1,b).∵c>0，∴eq\f(c,a)<eq\f(c,b).關(guān)鍵實(shí)力·攻重難題型探究題型一不等式性質(zhì)的應(yīng)用例1若a<b<0，則下列結(jié)論正確的是(C)A．a(chǎn)2<b2 B．a(chǎn)b<b2C．eq\f(1,a)>eq\f(1,b) D．a(chǎn)c2>bc2[分析]通過賦值可以解除A，D，依據(jù)不等式的性質(zhì)可推斷B，C正誤．[解析]若a<b<0，對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)a＝－2，b＝－1時(shí)，不成立；對(duì)于B選項(xiàng)，等價(jià)于a>b，故不成立；對(duì)于C選項(xiàng)，eq\f(1,b)<eq\f(1,a)<0，故選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)c＝0時(shí)，不正確．[歸納提升]推斷關(guān)于不等式的命題真假的兩種方法(1)干脆運(yùn)用不等式的性質(zhì)：把要推斷的命題和不等式的性質(zhì)聯(lián)系起來考慮，找到與命題相近的性質(zhì)，然后進(jìn)行推理推斷．(2)特別值驗(yàn)證法：給要推斷的幾個(gè)式子中涉及的變量取一些特別值，然后進(jìn)行比較、推斷．【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?設(shè)a，b是非零實(shí)數(shù)，若a<b，則下列不等式成立的是(C)A．a(chǎn)2<b2 B．a(chǎn)b2<a2bC．eq\f(1,ab2)<eq\f(1,a2b) D．eq\f(b,a)<eq\f(a,b)[解析]當(dāng)a<0，b>0時(shí)，a2<b2不肯定成立，故A錯(cuò)．因?yàn)閍b2－a2b＝ab(b－a)，b－a>0，ab符號(hào)不確定，故B錯(cuò).eq\f(1,ab2)－eq\f(1,a2b)＝eq\f(a－b,a2b2)<0，所以eq\f(1,ab2)<eq\f(1,a2b)，故C正確．D中eq\f(b,a)與eq\f(a,b)的大小不能確定．題型二利用不等式的性質(zhì)證明不等式例2設(shè)a>b>c，求證：eq\f(1,a－b)＋eq\f(1,b－c)＋eq\f(1,c－a)>0.[分析]不等式證明，就是利用不等式性質(zhì)或已知條件，推出不等式成立．[證明]因?yàn)閍>b>c，所以－c>－b.所以a－c>a－b>0，所以eq\f(1,a－b)>eq\f(1,a－c)>0.所以eq\f(1,a－b)＋eq\f(1,c－a)>0.又b－c>0，所以eq\f(1,b－c)>0.所以eq\f(1,a－b)＋eq\f(1,b－c)＋eq\f(1,c－a)>0.[歸納提升]利用不等式的性質(zhì)證明不等式留意事項(xiàng)(1)利用不等式的性質(zhì)及其推論可以證明一些不等式．解決此類問題肯定要在理解的基礎(chǔ)上，記準(zhǔn)、記熟不等式的性質(zhì)并留意在解題中敏捷精確地加以應(yīng)用．(2)應(yīng)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)時(shí)，應(yīng)留意緊扣不等式的性質(zhì)成立的條件，且不行省略條件或跳步推導(dǎo)，更不能隨意構(gòu)造性質(zhì)與法則．【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?若a>b>0，c<d<0，e<0，求證：eq\f(e,a－c2)>eq\f(e,b－d2).[證明]因?yàn)閏<d<0，所以－c>－d>0.又因?yàn)閍>b>0，所以a－c>b－d>0.所以(a－c)2>(b－d)2>0.所以0<eq\f(1,a－c2)<eq\f(1,b－d2).又因?yàn)閑<0，所以eq\f(e,a－c2)>eq\f(e,b－d2).題型三利用不等式的性質(zhì)求范圍例3已知－1<x<4,2<y<3.(1)求x－y的取值范圍．(2)求3x＋2y的取值范圍．[解析](1)因?yàn)椋?<x<4,2<y<3，所以－3<－y<－2，所以－4<x－y<2.(2)由－1<x<4,2<y<3，得－3<3x<12,4<2y<6，所以1<3x＋2y<18.[歸納提升]利用不等式的性質(zhì)求取值范圍的策略(1)建立待求范圍的整體與已知范圍的整體的關(guān)系，最終利用一次不等式的性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算，求得待求的范圍．(2)同向(異向)不等式的兩邊可以相加(相減)，這種轉(zhuǎn)化不是等價(jià)變形，假如在解題過程中多次運(yùn)用這種轉(zhuǎn)化，就有可能擴(kuò)大其取值范圍．【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?已知10<m<25，－30<n<－15，求m－n與eq\f(m,n)的取值范圍．[解析]因?yàn)椋?0<n<－15，所以15<－n<30，所以10＋15<m－n<25＋30，即25<m－n<55.因?yàn)椋?0<n<－15，所以－eq\f(1,15)<eq\f(1,n)<－eq\f(1,30)，所以eq\f(1,30)<－eq\f(1,n)<eq\f(1,15)，又10<m<25，所以eq\f(10,30)<－eq\f(m,n)<eq\f(25,15)，即eq\f(1,3)<－eq\f(m,n)<eq\f(5,3).所以－eq\f(5,3)<eq\f(m,n)<－eq\f(1,3).誤區(qū)警示錯(cuò)用同向不等式性質(zhì)例4已知12<a<60,15<b<36，eq\f(a,b)的取值范圍是__eq\f(1,3)<eq\f(a,b)<4__.[錯(cuò)解]∵12<a<60,15<b<36，∴eq\f(12,15)<eq\f(a,b)<eq\f(60,36)，∴eq\f(4,5)<eq\f(a,b)<eq\f(5,3).故填eq\f(4,5)<eq\f(a,b)<eq\f(5,3).[錯(cuò)因分析]把不等式的同向不等式(正項(xiàng))相乘的性質(zhì)用到了除法，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤．[正解]∵15<b<36，∴eq\f(1,36)<eq\f(1,b)<eq\f(1,15)，又12<a<60，∴eq\f(12,36)<eq\f(a,b)<eq\f(60,15)，∴eq\f(1,3)<eq\f(a,b)<4，故填eq\f(1,3)<eq\f(a,b)<4.[方法點(diǎn)撥]若題目中指定代數(shù)式的取值范圍，必需依據(jù)不等式的性質(zhì)進(jìn)行求解，同向不等式具有可加性與可乘性，但是不能相減或相除，解題時(shí)必需利用性質(zhì)，步步有據(jù)，避開變更代數(shù)式的取值范圍．學(xué)科素養(yǎng)不等關(guān)系的實(shí)際應(yīng)用不等關(guān)系是數(shù)學(xué)中最基本的部分關(guān)系之一，在實(shí)際問題中有廣泛應(yīng)用，也是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容．例5有三個(gè)房間須要粉刷，粉刷方案要求：每個(gè)房間只用一種顏色，且三個(gè)房間顏色各不相同．已知三個(gè)房間的粉刷面積(單位：m2)分別為x，y，z，且x<y<z，三種顏色涂料的粉刷費(fèi)用(單位：元/m2)分別為a，b，c，且a<b<c.在不同的方案中，最低的總費(fèi)用(單位：元)是(B)A．a(chǎn)x＋by＋cz B．a(chǎn)z＋by＋cxC．a(chǎn)y＋bz＋cx D．a(chǎn)y＋bx＋cz[分析]本題考查實(shí)際問題中不等關(guān)系的建立及利用不等式的性質(zhì)比較大?。甗解析]方法一：因?yàn)閤<y<z，a<b<c，所以ax＋by＋cz－(az＋by＋cx)＝a(x－z)＋c(z－x)＝(x－z)(a－c)>0，故ax＋by＋cz>az＋by＋cx；同理，ay＋bz＋cx－(ay＋bx＋cz)＝b(z－x)＋c(x－z)＝(x－z)(c－b)<0，故ay＋bz＋cx<ay＋bx＋cz.又az＋by＋cx－(ay＋bz＋cx)＝a(z－y)＋b(y－z)＝(a－b)(z－y)<0，故az＋by＋cx<ay＋bz＋cx.綜上可得，最低的總費(fèi)用為az＋by＋cx.方法二：采納特別值法進(jìn)行求解驗(yàn)證即可，若x＝1，y＝2，z＝3，a＝1，b＝2，c＝3，則ax＋by＋cz＝14，az＋by＋cx＝10，ay＋bz＋cx＝11，ay＋bx＋cz＝13.由此可知最低的總費(fèi)用是az＋by＋cx.[歸納提升]對(duì)于不等關(guān)系推斷問題的求解，一般須要通過作差進(jìn)行推理論證，對(duì)運(yùn)算實(shí)力要求較高，但對(duì)于具有明確不等關(guān)系的式子進(jìn)行推斷時(shí)，特別值法是一種特別值得推廣的簡(jiǎn)便方法．課堂檢測(cè)·固雙基1．(2024·湖北省黃石一中檢測(cè))若a>b>0，c<d<0，則肯定有(B)A．eq\f(a,d)>eq\f(b,c) B．eq\f(a,d)<eq\f(b,c)C．eq\f(a,c)>eq\f(b,d) D．eq\f(a,c)<eq\f(b,d)[解析]因?yàn)閏<d<0，所以－c>－d>0，所以eq\f(1,－d)>eq\f(1,－c)>0.又a>b>0，所以eq\f(a,－d)>eq\f(b,－c)，所以eq\f(a,d)<eq\f(b,c).2．(2024·湖北省宜昌市七校期末聯(lián)考)已知a>b，c>d，且c，d均不為0，那么下列不等式肯定成立的是(D)A．a(chǎn)d>bc B．a(chǎn)c>bdC．a(chǎn)－c>b－d D．a(chǎn)＋c>b＋d[解析]令a＝2，b＝－2，c＝3，d＝－6，可解除A、B，C．由不等式的性質(zhì)5知，D肯定成立．3．給定下列命題：①0>a>b?a2>b2；②a2>b2?a>b>0；③a>b?eq\f(b,a)<1；④a>b?a3>b3.其中真命題的個(gè)數(shù)是(B)A．0 B．1C．2 D．3[解析]對(duì)于①，由0>a>b可知，0<－a<－b，則由性質(zhì)7可知，(－b)2>(－a)2，即b2>a2，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，性質(zhì)