2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)專(zhuān)題強(qiáng)化訓(xùn)練1三角函數(shù)含解析北師大版必修4

PAGE7-專(zhuān)題強(qiáng)化訓(xùn)練(一)三角函數(shù)(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1．已知sin(π＋θ)＜0，cos(π－θ)＜0，則角θ所在的象限是()A.第一象限 B．其次象限C.第三象限 D．第四象限A[因?yàn)閟in(π＋θ)＝－sinθ＜0，所以sinθ＞0，又因?yàn)閏os(π－θ)＝－cosθ＜0，所以cosθ＞0，所以角θ所在象限為第一象限．]2．已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)＋α))＝eq\f(1,5)，那么cosα等于()A.－eq\f(2,5) B．－eq\f(1,5)C.eq\f(1,5) D．eq\f(2,5)C[∵sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)＋α))＝cosα＝eq\f(1,5)，∴cosα＝eq\f(1,5).]3．要得到函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x－\f(π,3)))的圖像，只需將函數(shù)y＝sin4x的圖像()A.向左平移eq\f(π,12)個(gè)單位B.向右平移eq\f(π,12)個(gè)單位C.向左平移eq\f(π,3)個(gè)單位D.向右平移eq\f(π,3)個(gè)單位B[y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x－\f(π,3)))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,12)))))，故只需將函數(shù)y＝sin4x的圖像向右平移eq\f(π,12)個(gè)單位即可得到y(tǒng)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x－\f(π,3)))的圖像，故選B.]4．函數(shù)f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分圖像如圖所示，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(1,4)，kπ＋\f(3,4)))，k∈ZB.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(1,4)，2kπ＋\f(3,4)))，k∈ZC.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k－\f(1,4)，k＋\f(3,4)))，k∈ZD.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2k－\f(1,4)，2k＋\f(3,4)))，k∈ZD[由題圖知，周期T＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)－\f(1,4)))＝2，∴eq\f(2π,ω)＝2，∴ω＝π.由π×eq\f(1,4)＋φ＝eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，不妨取φ＝eq\f(π,4)，∴f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(πx＋\f(π,4))).由2kπ<πx＋eq\f(π,4)<2kπ＋π，得2k－eq\f(1,4)<x<2k＋eq\f(3,4)，k∈Z，∴f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2k－\f(1,4)，2k＋\f(3,4)))，k∈Z.故選D.]5．設(shè)函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,5)))(ω＞0)，已知f(x)在[0，2π]有且僅有5個(gè)零點(diǎn)．下述四個(gè)結(jié)論：①f(x)在(0，2π)有且僅有3個(gè)極大值點(diǎn)；②f(x)在(0，2π)有且僅有2個(gè)微小值點(diǎn)；③f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,10)))單調(diào)遞增；④ω的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,5)，\f(29,10))).其中全部正確結(jié)論的編號(hào)是()A.①④ B．②③C.①②③ D．①③④D[如圖，依據(jù)題意知，xA≤2π＜xB，依據(jù)圖像可知函數(shù)f(x)在(0，2π)有且僅有3個(gè)極大值點(diǎn)，所以①正確；但可能會(huì)有3個(gè)微小值點(diǎn)，所以②錯(cuò)誤；依據(jù)xA≤2π＜xB，有eq\f(24π,5ω)≤2π＜eq\f(29π,5ω)，得eq\f(12,5)≤ω＜eq\f(29,10)，所以④正確；當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,10)))時(shí)，eq\f(π,5)＜ωx＋eq\f(π,5)＜eq\f(ωπ,10)＋eq\f(π,5)，因?yàn)閑q\f(12,5)≤ω＜eq\f(29,10)，所以eq\f(ωπ,10)＋eq\f(π,5)＜eq\f(49π,100)＜eq\f(π,2)，所以函數(shù)f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,10)))單調(diào)遞增，所以③正確．]二、填空題6．已知角θ的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸的正半軸．若P(4，y)是角θ終邊上一點(diǎn)，且sinθ＝－eq\f(2\r(5),5)，則y＝________.－8[r＝eq\r(x2＋y2)＝eq\r(16＋y2)，且sinθ＝－eq\f(2\r(5),5)，所以sinθ＝eq\f(y,r)＝eq\f(y,\r(16＋y2))＝－eq\f(2\r(5),5)，所以θ為第四象限角，解得y＝－8.]7．化簡(jiǎn)：eq\r(1－sin2440°)＝________．cos80°[原式＝eq\r(1－sin2（360°＋80°）)＝eq\r(1－sin280°)＝eq\r(cos280°)＝cos80°.]8．若f(x)＝2sinωx(0＜ω＜1)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))上的最大值是eq\r(2)，則ω＝________．eq\f(3,4)[由0≤ωx≤eq\f(π,2)，得0≤x≤eq\f(π,2ω)，所以y＝2sinωx在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2ω)))上是遞增的．又ω∈(0，1)，所以eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))?eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2ω)))，故f(x)＝2sinωx在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))上是遞增的，即2sineq\f(ωπ,3)＝eq\r(2)，所以ω＝eq\f(3,4).]三、解答題9．據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，某種商品一年內(nèi)每件出廠價(jià)在7千元的基礎(chǔ)上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0，ω>0，|φ|<\f(π,2)))的模型波動(dòng)(x為月份)，已知3月份達(dá)到最高價(jià)9千元，9月份價(jià)格最低為5千元．求7月份的出廠價(jià)格為多少元？[解]作出函數(shù)簡(jiǎn)圖如圖．三角函數(shù)模型為y＝Asin(ωx＋φ)＋B，由題意知，A＝2000，B＝7000，T＝2×(9－3)＝12，∴ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(π,6).將(3，9000)看成函數(shù)圖像的其次個(gè)特別點(diǎn)，則有eq\f(π,6)×3＋φ＝eq\f(π,2)，∴φ＝0，故f(x)＝2000sineq\f(π,6)x＋7000(1≤x≤12，x∈N*).∴f(7)＝2000×sineq\f(7π,6)＋7000＝6000.故7月份的出廠價(jià)格為6000元．10．已知函數(shù)y＝f(x)＝sin(2x＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|φ|＜\f(π,2)))的圖像過(guò)點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(\r(3),2))).(1)求φ的值，并求函數(shù)y＝f(x)圖像的對(duì)稱(chēng)中心的坐標(biāo)；(2)當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))時(shí)求f(x)的值域．[解](1)因?yàn)楹瘮?shù)圖像過(guò)點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(\r(3),2)))，所以sinφ＝－eq\f(\r(3),2)，又因?yàn)閨φ|＜eq\f(π,2)，所以φ＝－eq\f(π,3)，所以y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))，令2x－eq\f(π,3)＝kπ(k∈Z)，得x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,6)(k∈Z)，所以函數(shù)f(x)的對(duì)稱(chēng)中心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)＋\f(π,6)，0))(k∈Z).(2)因?yàn)?≤x≤eq\f(π,2)，所以－eq\f(π,3)≤2x－eq\f(π,3)≤eq\f(2π,3)，所以－eq\f(\r(3),2)≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))≤1，所以f(x)的值域?yàn)閑q\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，1)).1．函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋θ)(A>0，ω>0)的部分圖像如圖所示，則f(x)等于()A.eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3))) B．eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))C.eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,3))) D．eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,6)))A[由題圖知A＝eq\r(2)，∵eq\f(5π,12)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＝eq\f(3T,4)，∴T＝π，∴ω＝2.∵2×eq\f(5π,12)＋θ＝eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)，∴可取θ＝－eq\f(π,3)，∴f(x)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3))).]2．函數(shù)f(x)＝2sinωx(ω>0)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))上單調(diào)遞增，且在這個(gè)區(qū)間上的最大值是eq\r(3)，那么ω等于()A.eq\f(2,3) B．eq\f(4,3)C.2 D．4B[由函數(shù)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))上單調(diào)遞增，且在這個(gè)區(qū)間上的最大值是eq\r(3)，可得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝2sineq\f(π,4)ω＝eq\r(3)，代入選項(xiàng)檢驗(yàn)可得ω＝eq\f(4,3)，所以選B.]3．函數(shù)y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－2x))(x∈[0，π])的單調(diào)遞增區(qū)間是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3))) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，\f(7π,12)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(5π,6))) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，π))C[∵y＝－2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))，∴由eq\f(π,2)＋2kπ≤2x－eq\f(π,6)≤eq\f(3π,2)＋2kπ可得eq\f(π,3)＋kπ≤x≤eq\f(5π,6)＋kπ(k∈Z).∵x∈[0，π]，∴單調(diào)遞增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(5π,6))).]4．設(shè)函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)，A>0，ω>0，若f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))上具有單調(diào)性，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))，則f(x)的最小正周期為_(kāi)_______．π[由f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))上具有單調(diào)性，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))知，f(x)有對(duì)稱(chēng)中心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，0))，由feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)))知，f(x)有對(duì)稱(chēng)軸x＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋\f(2π,3)))＝eq\f(7π,12)，記T為最小正周期，則eq\f(T,2)≥eq\f(π,2)－eq\f(π,6)?T≥eq\f(2π,3)，從而eq\f(7π,12)－eq\f(π,3)＝eq\f(π,4)，故T＝π.]5．已知函數(shù)f(x)＝logeq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4))))).(1)求它的定義域和值域、單調(diào)區(qū)間；(2)推斷它的奇偶性、周期性，假如是周期函數(shù)，求出它的最小正周期．[解]令u(x)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))，f(x)＝logeq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))))＝－eq\f(1,2)＋logeq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4))).(1)要使f(x)有意義，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))>0，所以2kπ<x－eq\f(π,4)<(2k＋1)π(k∈Z)，即x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs