教學(xué)課件-工程力學(xué)(第二版)皮智謀

第1章靜力學(xué)基本概念與

物體的受力圖1.1基本概念1.2力矩與力偶1.3約束與約束反力1.4物體的受力圖1.1基本概念

1.1.1力的概念

力是一個(gè)既有大小又有方向的量，為矢量。矢量可用一具有方向的線段來(lái)表示，如圖1.1所示。線段AB的起點(diǎn)（或終點(diǎn)）表示力的作用點(diǎn)，線段AB的方位和箭頭指向表示力的方向，沿力的方向畫出的直線稱為力的作用線，而線段AB的長(zhǎng)度則按一定的比例表示力的大小。本書中用黑體字母表示矢量，如F，用普通字母表示力的大小，如F。圖1.1如圖1.2所示，由力F的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B分別作x軸的垂線，垂足分別為a、b，線段ab冠以適當(dāng)?shù)恼?fù)號(hào)稱為力F在x軸上的投影，用Fx表示，即

Fx=±ab

（1.1）

圖1.2投影的正負(fù)號(hào)規(guī)定如下:若從a到b的方向與x軸的正向一致，則取正號(hào)；反之，則取負(fù)號(hào)。同樣，力F在y軸上的投影為

Fy=±a′b′（1.2）

如圖1.2所示，力F在x軸和y軸的投影分別為Fx=Fcosα

Fy=-Fsinα

（1.3）由此可見，力在坐標(biāo)軸上的投影是代數(shù)量。若已知力F在平面直角坐標(biāo)軸上的投影Fx和Fy，則該力的大小和方向?yàn)椋?.4）式中，α表示力F與x軸所夾的銳角，F(xiàn)的指向由Fx和Fy的正負(fù)來(lái)確定。作用于一個(gè)物體上的若干個(gè)力稱為力系。若兩個(gè)力系對(duì)物體的作用效應(yīng)完全相同，則這兩個(gè)力系稱為等效力系。如果一個(gè)力與一個(gè)力系等效，則稱此力為該力系的合力，而該力系中的各力稱為合力的分力。把各分力等效代換成合力的過(guò)程稱為力系的合成，把合力等效代換成各分力的過(guò)程稱為力的分解。1.1.2力的基本性質(zhì)人們?cè)陂L(zhǎng)期的生活和生產(chǎn)活動(dòng)中，經(jīng)過(guò)實(shí)踐-認(rèn)識(shí)-再實(shí)踐-再認(rèn)識(shí)的過(guò)程，總結(jié)出了許多力所遵循的規(guī)律，其中最基本的性質(zhì)有以下幾條。這些性質(zhì)的正確性已被實(shí)踐所驗(yàn)證，為大家所公認(rèn)，所以也稱為靜力學(xué)公理。性質(zhì)一二力平衡公理作用于剛體上的兩個(gè)力使剛體處于平衡狀態(tài)的充要條件是:這兩個(gè)力大小相等，方向相反，且作用在同一條直線上，如圖1.3所示,用矢量表示，即為

FA=-FB(1.5)對(duì)于變形體，這個(gè)條件是必要的，但不是充分的。圖1.3工程上常遇到只受兩個(gè)力作用而平衡的構(gòu)件，這種構(gòu)件稱為二力構(gòu)件或二力桿。根據(jù)性質(zhì)一，二力構(gòu)件上的兩個(gè)力必沿兩力作用點(diǎn)的連線，且等值、反向，如圖1.4所示。圖1.4性質(zhì)二加減平衡力系公理在作用于剛體的任意力系上，加上或者減去一個(gè)平衡力系，都不會(huì)改變?cè)ο祵?duì)剛體的作用效應(yīng)。由此可得如下推論:推論1

力的可傳性剛體上的力可沿其作用線移到該剛體上的任意位置，這樣做并不改變?cè)摿?duì)該剛體的作用效應(yīng)。如圖1.5所示，作用于小車A點(diǎn)的推力F沿其作用線移到B點(diǎn)，得拉力F′，雖然推力變?yōu)槔?，但?duì)小車的作用效應(yīng)是相同的。由此可見，力的作用點(diǎn)對(duì)剛體來(lái)說(shuō)已不是決定力的作用效應(yīng)的要素。因此，作用于剛體上的力的三要素是力的大小、方向和作用線。圖1.5性質(zhì)三力的平行四邊形法則作用于物體上同一點(diǎn)的兩個(gè)力可以合成為一個(gè)合力，合力的作用點(diǎn)仍在該點(diǎn)，合力的大小和方向由以這兩個(gè)力為鄰邊所構(gòu)成的平行四邊形的對(duì)角線來(lái)確定，如圖1.6(a)所示，其矢量表達(dá)式為

FR=F1+F2

（1.6）為方便起見，在利用矢量加法求合力時(shí)，可不必畫出整個(gè)平行四邊形，而是從A點(diǎn)作矢量F1，再由F1的末端B作矢量F2，則矢量即為合力FR，如圖1.6(b)所示。這種求合力的方法稱為力的三角形法則。顯然，若改變F1、F2的順序，其結(jié)果不變，如圖1.6(c)所示。力的平行四邊形法則既是力系合成的法則，也是力系分解的法則。該法則表明了共點(diǎn)力系簡(jiǎn)化的規(guī)律，它也是復(fù)雜力系簡(jiǎn)化的基礎(chǔ)。圖1.6由此可推出n個(gè)力作用的情況。設(shè)一剛體上有F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n共n個(gè)力作用，力系中各力的作用線共面且匯交于同一點(diǎn)（稱為平面匯交力系），根據(jù)性質(zhì)三和式（1.6）將此力系合成為一個(gè)合力FR，此合力應(yīng)為可見，平面匯交力系的合力矢量等于力系各分力的矢量和（1.7）將式（1.7）分別向x、y軸投影可得式（1.8）表明，力系的合力在某一直角坐標(biāo)軸上的投影等于力系中各分力在同一軸上投影的代數(shù)和，此即為合力投影定理。(1.8)合力的大小和方向?yàn)椋?.9）式中，α表示力FR與x軸所夾的銳角，F(xiàn)R的指向由∑Fx和∑Fy的正負(fù)來(lái)確定。

推論2

三力平衡匯交定理剛體受三個(gè)共面但互不平行的力作用而平衡時(shí)，此三力必匯交于一點(diǎn)。此定理說(shuō)明了不平行的三力平衡的必要條件，而且當(dāng)兩個(gè)力的作用線相交時(shí)，可用來(lái)確定第三個(gè)力的作用線方位。證明剛體上A、B、C三點(diǎn)分別作用著使該剛體平衡的三個(gè)力F1、F2、F3，它們的作用線都在一個(gè)平面內(nèi)但不平行，F(xiàn)1、F2的作用線交于O點(diǎn)。根據(jù)力的可傳性推論，將這兩個(gè)力分別移至O點(diǎn)，則這兩個(gè)力的合力FR必定在此平面內(nèi)且通過(guò)O點(diǎn)，而FR必和F3平衡，由二力平衡的條件可知，F(xiàn)3與FR必共線，所以F3的作用線亦必過(guò)F1、F2的交點(diǎn)O，即三個(gè)力的作用線匯交于一點(diǎn)，如圖1.7所示。圖1.7性質(zhì)四作用與反作用定律兩物體間的作用力與反作用力總是大小相等，方向相反，沿同一條直線，分別作用在這兩個(gè)物體上。此定律概括了自然界中物體間的相互作用關(guān)系，表明一切力總是成對(duì)出現(xiàn)的，揭示了力的存在形式和力在物體間的傳遞方式。特別要注意的是，必須把作用與反作用定律、二力平衡公理嚴(yán)格地區(qū)分開來(lái)。作用與反作用定律表明兩個(gè)物體相互作用的力學(xué)性質(zhì)，而二力平衡公理則說(shuō)明一個(gè)剛體在兩個(gè)力的作用下處于平衡時(shí)兩力滿足的條件。1.2力矩與力偶

1.2.1力矩人們從生產(chǎn)實(shí)踐活動(dòng)中得知，力不僅能夠使物體沿某方向移動(dòng)，還能夠使物體繞某點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)。例如，人用扳手?jǐn)Q緊螺母時(shí)，施于扳手的力F使扳手與螺母一起繞轉(zhuǎn)動(dòng)中心O轉(zhuǎn)動(dòng)。由經(jīng)驗(yàn)可知，轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的大小不僅與F大小和方向有關(guān)，而且與轉(zhuǎn)動(dòng)中心點(diǎn)O到F作用線的垂直距離有關(guān)。因此，在F作用線和轉(zhuǎn)動(dòng)中心點(diǎn)O所在的同一平面內(nèi)(如圖1.8所示)，我們將點(diǎn)O稱為矩心，將點(diǎn)O到F作用線的垂直距離d稱為力臂，力使物體繞轉(zhuǎn)動(dòng)中心的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)，就用力F的大小與力臂d的乘積并冠以適當(dāng)?shù)恼?fù)號(hào)來(lái)度量,該量稱為力對(duì)O點(diǎn)之矩，簡(jiǎn)稱力矩，記為MO(F)，即MO(F)=±Fd（1.10）平面內(nèi)的力矩是一個(gè)代數(shù)量，其正負(fù)號(hào)規(guī)定為:若力使物體繞矩心逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)，則力矩為正；反之，力矩為負(fù)。力矩的常用單位為N·m或kN·m。圖1.8由力矩的定義可知，力矩有以下性質(zhì):

(1)力矩的大小不僅取決于力的大小,還與矩心的位置有關(guān)。

(2)力對(duì)任意點(diǎn)之矩的大小，不因該力的作用點(diǎn)沿其作用線移動(dòng)而改變。

(3)力的大小為零或力的作用線通過(guò)矩心時(shí)，力矩為零。

(4)互成平衡的二力對(duì)同一點(diǎn)之矩的代數(shù)和為零。設(shè)物體上作用有一個(gè)平面匯交力系F1,F2,…,Fn,其合力為FR。由于合力與力系等效，因此合力對(duì)平面內(nèi)任意點(diǎn)之矩等于力系中所有分力對(duì)同一點(diǎn)之矩的代數(shù)和，即

MO(FR)=MO(F1)+MO(F2)+…+MO(Fn)=∑MO(F)(1.11)這就是合力矩定理。對(duì)于有合力的其他力系，合力矩定理同樣成立。當(dāng)力矩的力臂不易求出時(shí)，常將力正交分解為兩個(gè)易確定力臂的分力，然后應(yīng)用合力矩定理計(jì)算力矩。

【例1.1】如圖1.9所示，力F=150N,作用在錘柄上，柄長(zhǎng)l=320mm，試求圖(a)、(b)所示的兩種情況下力F對(duì)支點(diǎn)O的力矩。圖1.9解在圖(a)所示的情況下，支點(diǎn)O到力F作用線的垂直距離h=l，力F使錘柄繞O點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，則力F對(duì)O點(diǎn)的力矩為

MＯ(F)=Fh=150×320=48000N·mm=48N·m在圖(b)所示的情況下，支點(diǎn)O到力F作用線的垂直距離h=lcos30°，力F使錘柄繞O點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，則力F對(duì)O點(diǎn)的力矩為

MＯ(F)=-Fh=-150×320×cos30°=-41569N·mm=-41.569N·m

【例1.2】一齒輪受到與它相嚙合的另一齒輪的法向壓力Fn=1400N的作用，如圖1.10所示，已知壓力角(作用在嚙合點(diǎn)的力與嚙合點(diǎn)的絕對(duì)速度之間所夾的銳角）α=20°,節(jié)圓直徑D=0.12m，求法向壓力Fn對(duì)齒輪軸心O之矩。

解用兩種方法計(jì)算。

(1)用力矩定義求解，如圖1.10(a)所示，則

(2)用合力矩定理求解，如圖1.10(b)所示。將力Fn在嚙合點(diǎn)處分解為圓周力Ft=Fncosα和徑向力Fr=Fnsinα，由合力矩定理，得圖1.101.2.2力偶在日常生活和生產(chǎn)實(shí)踐中，經(jīng)常會(huì)遇到物體受大小相等、方向相反、作用線互相平行的兩個(gè)力作用的情形。例如，人用手?jǐn)Q水龍頭開關(guān)，如圖1.11(a)所示；司機(jī)用雙手轉(zhuǎn)動(dòng)方向盤，如圖1.11(b)所示；鉗工用絲錐攻螺紋，如圖1.11(c)所示。實(shí)踐證明，這樣的兩個(gè)力(F,F′)對(duì)物體只產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)，而不產(chǎn)生移動(dòng)效應(yīng)。圖1.11我們把這一對(duì)等值、反向、不共線的平行力組成的特殊力系稱為力偶，用(F,F′)表示。力偶兩力作用線之間的垂直距離d稱為力偶臂，如圖1.11(d)所示，力偶中的兩力所在的平面稱為力偶作用面，力偶使物體轉(zhuǎn)動(dòng)的方向稱為力偶的轉(zhuǎn)向。力偶對(duì)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)，可用力偶中的力與力偶臂的乘積再冠以適當(dāng)?shù)恼?fù)號(hào)來(lái)確定，稱為力偶矩，記為M(F,F′)或簡(jiǎn)寫為M，即

M(F,F′)=M=±Fd(1.12)力偶矩與平面內(nèi)的力矩一樣，是一個(gè)代數(shù)量。式(1.12)中的正負(fù)號(hào)由力偶的轉(zhuǎn)向決定。通常規(guī)定，力偶的轉(zhuǎn)向?yàn)槟鏁r(shí)針時(shí)取正，反之取負(fù)。力偶矩的單位是N·m或kN·m。力偶矩的大小、力偶轉(zhuǎn)向和力偶作用面稱為力偶的三要素。凡三要素相同的力偶彼此等效。根據(jù)力偶的定義，力偶具有以下性質(zhì)。

性質(zhì)一力偶在任意軸上投影的代數(shù)和為零，故不能合成為一個(gè)力，也不能與一個(gè)力等效。力偶的這一性質(zhì)說(shuō)明力偶不能與一個(gè)力相互平衡，只能與一個(gè)力偶相互平衡。可見，力與力偶是靜力學(xué)的兩個(gè)基本要素。

性質(zhì)二力偶對(duì)其作用面內(nèi)任意點(diǎn)之矩恒等于其力偶矩，而與矩心的位置無(wú)關(guān)。如圖1.12所示，已知力偶(F,F′)的力偶矩M(F,F′)=Fd，在力偶作用平面內(nèi)任取一點(diǎn)O為矩心，設(shè)O點(diǎn)到力F的垂直距離為x，則(F,F′)對(duì)O之矩的代數(shù)和為MO(F)+MO(F′)=-Fx+F′(x+d)=Fd=M(F,F′)(1.13)顯然,力偶矩M(F,F)與x無(wú)關(guān),即與矩心無(wú)關(guān)。

圖1.12性質(zhì)三只要保持力偶的轉(zhuǎn)向和力偶矩的大小不變，力偶可以在其作用面內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)和移動(dòng)，而不改變它對(duì)剛體的作用效應(yīng)。這一性質(zhì)說(shuō)明力偶對(duì)物體的作用與力偶在作用面內(nèi)的位置無(wú)關(guān)。性質(zhì)四只要保持力偶矩的大小和力偶的轉(zhuǎn)向不變，就可以同時(shí)改變力偶中力的大小和力偶臂的長(zhǎng)短，而不會(huì)改變力偶對(duì)剛體的作用效應(yīng)。這一性質(zhì)說(shuō)明力偶中的力或力偶臂都不是力偶的特征量，只有力偶矩才是力偶作用的度量參數(shù)。因此，力偶常用一帶箭頭的折線或弧線來(lái)表示(其中折線或弧線所在的平面代表力偶的作用面，箭頭的指向表示力偶的轉(zhuǎn)向)，再標(biāo)注力偶矩的大小，如圖1.13所示。圖1.13作用在同一平面內(nèi)的一群力偶稱為平面力偶系。由上面的力偶性質(zhì)可知，力偶對(duì)剛體只產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)，且轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的大小完全取決于力偶矩的大小和力偶的轉(zhuǎn)向，那么，平面力偶系可以簡(jiǎn)化，簡(jiǎn)化所得到的結(jié)果稱為平面力偶系的合力偶。可以證明，合力偶矩的大小等于各個(gè)分力偶矩的代數(shù)和，即

M合=M1+M2+…+Mn=∑M(1.14)1.3約束與約束反力

1.3.1柔索約束

由繩索、鏈條、膠帶等柔性物體所構(gòu)成的約束稱為柔索約束。柔索約束只能限制物體沿柔索伸長(zhǎng)的方向運(yùn)動(dòng)，而不能限制其他方向的運(yùn)動(dòng)，所以柔索約束反力的方向總是沿柔索中心線且背離被約束物體，即為拉力，通常用符號(hào)FT表示，如圖1.14所示。圖1.141.3.2光滑接觸面約束當(dāng)兩物體接觸面之間的摩擦很小，可以忽略不計(jì)時(shí)，構(gòu)成光滑接觸面約束。光滑接觸面對(duì)被約束物體在過(guò)接觸點(diǎn)處的公切面內(nèi)任意方向的運(yùn)動(dòng)不加限制，同時(shí)也不限制物體沿接觸面處的公法線脫離接觸面，但阻礙物體沿該公法線方向進(jìn)入約束內(nèi)部，因此，光滑接觸面約束的約束反力必沿接觸面處的公法線指向被約束物體，即為壓力，用符號(hào)FN表示，如圖1.15所示。圖1.151.3.3

光滑圓柱鉸鏈約束光滑圓柱鉸鏈由兩個(gè)帶有圓孔的構(gòu)件用光滑圓柱銷釘連接而成。如果銷釘和圓孔是光滑的，那么銷釘只限制兩構(gòu)件在垂直于銷釘軸線的平面內(nèi)相對(duì)移動(dòng)，而不限制兩構(gòu)件繞銷釘軸線的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。這樣的約束稱為光滑圓柱鉸鏈約束。這種約束在工程實(shí)際中有以下幾種應(yīng)用形式。

1.中間鉸約束如圖1.16(a)、(b)所示，用圓柱銷釘穿入兩個(gè)帶有圓孔的構(gòu)件1和2的圓孔中，即構(gòu)成中間鉸，通常用簡(jiǎn)圖1.16(c)表示。中間鉸所連接的兩構(gòu)件互為其中一個(gè)的約束。當(dāng)兩個(gè)構(gòu)件有沿銷釘徑向相對(duì)移動(dòng)的趨勢(shì)時(shí)，銷釘與構(gòu)件以光滑圓柱面接觸，本質(zhì)上相當(dāng)于光滑面接觸，但接觸點(diǎn)不能確定，所以中間鉸約束反力的特點(diǎn)是:在垂直于銷釘軸線的平面內(nèi)，通過(guò)鉸鏈中心，方向待定，通常用兩個(gè)正交分力Fx和Fy來(lái)表示，兩分力的指向是假定的，如圖1.16(d)所示。

圖1.16

2.固定鉸鏈支座約束若構(gòu)成圓柱鉸鏈約束的一個(gè)構(gòu)件固定在地面或機(jī)架上作為支座，則稱此約束為固定鉸鏈支座約束，如圖1.17(a)所示，通常用簡(jiǎn)圖1.17(b)表示，其約束反力的特點(diǎn)與中間鉸相同，如圖1.17(c)所示。圖1.17

3.活動(dòng)鉸鏈支座約束

在固定鉸鏈支座的底部裝有幾個(gè)可滾動(dòng)的輥軸，并與光滑支承面相接觸，這樣即構(gòu)成活動(dòng)鉸鏈支座，如圖1.18(a)所示，通常用簡(jiǎn)圖1.18(b)、(c)、(d)表示。這種約束只限制所支承的物體沿垂直于支承面方向的移動(dòng)，而不限制物體沿支承面方向的移動(dòng)和繞鉸鏈銷釘?shù)霓D(zhuǎn)動(dòng)。因此，其約束反力過(guò)鉸鏈中心，垂直于光滑支承面，指向待定，用符號(hào)FN表示，如圖1.18(e)所示。圖1.181.3.4固定端約束固定端約束又稱為插入端約束，是工程實(shí)際中常見的一種約束類型，如插入墻體的外伸涼臺(tái)、固定在車床刀架上的車刀、立于路邊的電線桿等，如圖1.19(a)、(b)、(c)所示。它們有一個(gè)共同的特點(diǎn)：構(gòu)件一端被固定，既不允許構(gòu)件任意移動(dòng)，也不允許構(gòu)件隨意轉(zhuǎn)動(dòng)，這種約束就是固定端約束。平面問(wèn)題中，固定端約束通常用圖1.19(d)、(e)所示的簡(jiǎn)圖表示，其約束反力在外力作用面內(nèi)可用簡(jiǎn)化了的兩個(gè)正交分力Fx、Fy和力偶矩M來(lái)表示，如圖1.19(f)所示。圖1.191.4物體的受力圖

在求解靜力學(xué)平衡問(wèn)題時(shí)，首先必須明確研究對(duì)象，然后分析其受力情況，再用相應(yīng)的平衡條件進(jìn)行計(jì)算。工程實(shí)際中的結(jié)構(gòu)往往非常復(fù)雜，為了比較清晰地表達(dá)出每個(gè)物體的受力情況，就必須把它從與它有聯(lián)系的周圍物體中分離出來(lái)，即解除其所受的約束而代之以相應(yīng)的約束反力，這一過(guò)程稱為解除約束。被解除約束的物體稱為分離體。在分離體上畫出所受的全部主動(dòng)力和全部約束反力，即為物體的受力圖。畫受力圖的步驟一般如下：

(1)明確研究對(duì)象，取分離體。根據(jù)題目要求，確定研究對(duì)象(它可以是一個(gè)物體，也可以是幾個(gè)物體的組合或整個(gè)物體系統(tǒng))，把它從與之相聯(lián)系的周圍物體中分離出來(lái)，單獨(dú)畫出，切記與原圖保持一致。

(2)畫出全部主動(dòng)力。在分離體上畫出全部主動(dòng)力。

(3)畫出全部約束反力。在每一個(gè)解除約束的位置，根據(jù)約束的類型，畫出相應(yīng)的約束反力。在畫約束反力時(shí)，應(yīng)特別注意以下幾點(diǎn)：①將每一種約束按照它們的特點(diǎn)歸入典型約束類型，如1.3節(jié)介紹的柔索約束、光滑接觸面約束、光滑圓柱鉸鏈約束(中間鉸、固定鉸鏈支座、活動(dòng)鉸鏈支座)和固定端約束，再根據(jù)典型約束的約束反力的表示方法畫出約束反力。②在畫每一個(gè)約束反力時(shí)，一定要明確是哪個(gè)物體施加的，不要多畫力、少畫力或隨意移動(dòng)力。③要熟練使用規(guī)定的字母和符號(hào)，標(biāo)記各個(gè)約束反力，對(duì)作用力和反作用力一般用相同的字母，反作用力加一個(gè)上標(biāo)“′”,如FAB與FAB′互為作用力與反作用力。

④在畫相鄰兩物體間作用力與反作用力的方向時(shí)，若其中一個(gè)力的方向已經(jīng)明確或假定，則另一個(gè)力的方向應(yīng)隨之而定。⑤運(yùn)用二力平衡條件或三力平衡匯交定理確定某些約束反力。凡是二力構(gòu)件，必須按二力平衡條件來(lái)畫約束反力；當(dāng)物體受三個(gè)共面但不平行的力作用而處于平衡時(shí)，已知其中兩力作用線的交點(diǎn)，第三個(gè)力為未知的約束反力，則此約束反力的作用線必通過(guò)此交點(diǎn)。⑥當(dāng)所取分離體是由某幾個(gè)物體組成的物體系統(tǒng)時(shí)，通常將物體系統(tǒng)內(nèi)部各物體之間的相互作用力稱為內(nèi)力，而將物體系統(tǒng)外的周圍物體對(duì)系統(tǒng)內(nèi)每個(gè)物體作用的力稱為外力。在畫物體系統(tǒng)的受力圖時(shí)，約定只畫外力，不畫內(nèi)力。

【例1.3】簡(jiǎn)支梁AB兩端用固定鉸鏈支座和活動(dòng)鉸鏈支座支撐，如圖1.20(a)所示，C處作用一集中載荷P。若梁自重不計(jì)，試對(duì)梁AB進(jìn)行受力分析。圖1.20解

(1)選取梁AB為研究對(duì)象，畫出其分離體圖。

(2)畫出主動(dòng)力。在梁的C點(diǎn)處畫主動(dòng)力P。

(3)畫出約束反力。

A處為固定鉸鏈支座約束，約束反力為通過(guò)A點(diǎn)的兩個(gè)正交分力FAx、FAy；B端為活動(dòng)鉸鏈支座，只有一個(gè)垂直于支撐面的約束反力FB，如圖1.20(b)所示。另外，AB的受力圖可以根據(jù)三力平衡匯交定理畫出，力P和FB相交于D點(diǎn)，則A點(diǎn)的約束反力FA(A點(diǎn)的合力)也交于D點(diǎn)，由此確定約束反力FA的方向?yàn)檠谹、D兩點(diǎn)的連線，如圖1.20(c)所示。圖1.21

解(1)選取梁AB為研究對(duì)象，畫出其分離體圖。

(2)畫主動(dòng)力。畫出作用在C點(diǎn)的力〖WTHX〗F〖WTBX〗和D處的力偶M。

(3)畫約束反力。梁AB在A處受到固定端約束，在B處受到活動(dòng)鉸鏈支座約束。在解除約束的A處,約束反力可用兩個(gè)正交力FAx、FAy和力偶MA來(lái)表示，指向和轉(zhuǎn)向是假定的。在解除約束的B處,約束反力為垂直于支承面的FNB，指向是假定的。梁AB的受力圖如圖1.21(b)所示。

【例1.5】圖1.22(a)所示的結(jié)構(gòu)由桿AC、CD與滑輪B鉸接而成。物體重為G，用繩子掛在滑輪上。如桿、滑輪及繩子的自重不計(jì)，并忽略各處的摩擦，試分別畫出滑輪B、桿AC、桿CD及整個(gè)系統(tǒng)的受力圖。圖1.22解(1)畫出滑輪的受力圖。①取滑輪為研究對(duì)象，畫出分離體圖。②畫主動(dòng)力：無(wú)。③畫約束反力：在B處受中間鉸鏈支座約束，在E處受柔索約束，在H處受柔索約束。在解除約束的B處，可用兩個(gè)正交分力FBx、FBy來(lái)表示，在E處畫上沿繩索中心線背離滑輪的拉力FTE，在H處畫上沿繩索中心線背離滑輪的拉力FTH?；喪芰D如圖1.22(b)所示。

(2)畫出桿CD的受力圖。①取桿CD為研究對(duì)象，畫出分離體圖。②畫主動(dòng)力：無(wú)。③畫約束反力：CD桿為一個(gè)二力構(gòu)件，據(jù)前面內(nèi)容可知，二力構(gòu)件上的兩個(gè)力必沿兩力作用點(diǎn)的連線，且等值、反向。假設(shè)CD桿受拉力影響，在C、D處畫上拉力FCD、FDC，且FCD=-FDC，桿CD的受力圖如圖1.22(c)所示。

(3)畫出桿AC的受力圖。①取桿AC為研究對(duì)象，畫出分離體圖。②畫主動(dòng)力：無(wú)。③畫約束反力：桿AC在A處受固定鉸鏈支座約束，在B、C處受中間鉸約束。在解除約束的A處可用兩個(gè)正交分力FAx、FAy來(lái)表示；在B處畫上、，它們分別與FBx、FBy

互為作用力與反作用力；在C處畫上，它與FCD互為作用力與反作用力。桿AC的受力圖如圖1.22(d)所示。第2章平面力系的平衡2.1平面力系概述2.2平面任意力系的平衡方程與應(yīng)用2.3幾種特殊平面力系的平衡問(wèn)題2.4物系的平衡2.5考慮摩擦?xí)r物體的平衡問(wèn)題2.1平面力系概述

如果作用于物體上各力的作用線都在同一平面內(nèi)，則稱這種力系為平面力系。工程實(shí)際中很多構(gòu)件所受的力系都可以看成為平面力系。例如，圖2.1(a)所示的支架式起吊機(jī)受到主動(dòng)力G1、G2以及約束反力FBx、FBy、FNA的作用，這些力的作用線在同一平面內(nèi)，組成一個(gè)平面力系。又如，圖2.1(b)所示的曲柄連桿機(jī)構(gòu)受到轉(zhuǎn)矩M、阻力F以及約束反力FAx、FAy、FN的作用，顯然這些力也構(gòu)成了平面力系。平面力系根據(jù)其中各力的作用線分布不同又可分為平面匯交力系(各力的作用線匯交于一點(diǎn))、平面力偶系(全部由力偶組成)、平面平行力系(各力的作用線互相平行)和平面任意力系(各力的作用線在平面內(nèi)任意分布)。圖2.12.1.1力的平移定理設(shè)在剛體上A點(diǎn)有一個(gè)力F，現(xiàn)要將它平行移動(dòng)到剛體內(nèi)的任意指定點(diǎn)B，而不改變它對(duì)剛體的作用效應(yīng)。為此，可在B點(diǎn)加上一對(duì)平衡力F′、F″，如圖2.2所示，并使它們的作用線與力F的作用線平行，且F=F′=F″。根據(jù)加減平衡力系公理，三個(gè)力與原力F對(duì)剛體的作用效應(yīng)相同。力F、F″組成一個(gè)力偶M，其力偶矩的大小等于原力F對(duì)B點(diǎn)之矩，即

M=MB(F)=Fd(2.1)這樣就把作用在A點(diǎn)的力平行移動(dòng)到了任意點(diǎn)B，但必須同時(shí)在該力與指定點(diǎn)B所決定的平面內(nèi)加上一個(gè)相應(yīng)的力偶M，通常將其稱為附加力偶。由此可得力的平移定理:作用于剛體上的力可以平行移動(dòng)到剛體上的任意指定點(diǎn)，但必須同時(shí)在該力與指定點(diǎn)所決定的平面內(nèi)附加一力偶，其力偶矩的大小等于原力對(duì)指定點(diǎn)之矩。圖2.2根據(jù)力的平移定理，可以將一個(gè)力分解為一個(gè)力和一個(gè)力偶，也可以將同一平面內(nèi)的一個(gè)力和一個(gè)力偶合成為一個(gè)力。力的平移定理揭示了力與力偶在對(duì)物體作用效應(yīng)之間的區(qū)別和聯(lián)系：一個(gè)力不能與一個(gè)力偶等效，但一個(gè)力可以與另一個(gè)同它平行的力和一個(gè)力偶的聯(lián)合作用等效。2.1.2平面任意力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化

設(shè)在剛體上作用有一平面任意力系F1,F2,…,Fn，各力的作用點(diǎn)分別為A1，A2，…，An,如圖2.3(a)所示，在平面內(nèi)任選一點(diǎn)O，稱為簡(jiǎn)化中心，利用力的平移定理，將力系中的各力分別平移到O點(diǎn)，得到一個(gè)作用于O點(diǎn)的平面匯交力系，…,和一個(gè)附加的平面力偶系M1=MO(F1),M2=MO(F2)，…，Mn=MO(Fn),如圖2.3(b)所示。根據(jù)式(1.7)，平面匯交力系，，…，可以合成為一個(gè)力，根據(jù)式(1.14)，平面力偶系Ｍ1=MO(F1)，M2=MO(F2),…,Mn=MO(Fn)可以合成為一力偶MO，如圖2.3(c)所示。圖2.3

1.力系的主矢平移力,…,組成的平面匯交力系的合力,稱為原平面任意力系的主矢。的作用點(diǎn)在簡(jiǎn)化中心O點(diǎn)，大小等于各分力的矢量和，即（2.2）在平面直角坐標(biāo)系中，則有（2.3）（2.4）式中，分別為主矢和各力在x、y軸上的投影；為主矢的大小；α為與x軸所夾的銳角，的指向由∑Fx和∑Fy的正負(fù)來(lái)確定。

2.力系的主矩附加的平面力偶系M1=MO(F1)，M2=MO(F2),…,Mn=MO(Fn）的合力偶矩的大小為MO，稱為原平面任意力系對(duì)簡(jiǎn)化中心O點(diǎn)的主矩。MO等于力系中各力對(duì)簡(jiǎn)化中心O點(diǎn)之矩的代數(shù)和，即

MO=M1+M2+…+Mn=∑MO(F)=∑M

（2.5）值得注意的是，選取不同的簡(jiǎn)化中心，主矢不會(huì)改變，因?yàn)橹魇缚偸堑扔谠ο抵懈髁Φ氖噶亢?。也就是說(shuō)，主矢與簡(jiǎn)化中心的位置無(wú)關(guān)，而主矩等于原力系中各力對(duì)簡(jiǎn)化中心之矩的代數(shù)和。一般來(lái)說(shuō)，主矩與簡(jiǎn)化中心有關(guān)，提到主矩時(shí)一定要指明是對(duì)哪一點(diǎn)的主矩。主矢與主矩的共同作用才與原力系等效。2.1.3簡(jiǎn)化結(jié)果的討論

平面任意力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化，一般可得到一個(gè)主矢和一個(gè)主矩，但這不是簡(jiǎn)化的最終結(jié)果，因此，有必要對(duì)簡(jiǎn)化的結(jié)果進(jìn)行以下幾個(gè)方面的討論。

(1)。根據(jù)力的平移定理的逆過(guò)程，可將主矢與主矩MO簡(jiǎn)化為一個(gè)合力FR，合力FR的大小、方向與主矢相同，F(xiàn)R的作用線與主矢的作用線平行，但相距，如圖2.3(e)所示。此合力FR與原力系等效，即平面任意力系可簡(jiǎn)化為一個(gè)合力。

(2)。原力系與一個(gè)力等效，即原力系可簡(jiǎn)化為一個(gè)合力。合力等于主矢，合力的作用線通過(guò)簡(jiǎn)化中心。

(3)。原力系與一個(gè)力偶等效，即原力系可簡(jiǎn)化為一個(gè)合力偶。合力偶矩等于主矩，此時(shí)，主矩與簡(jiǎn)化中心的位置無(wú)關(guān)。

(4)。原力系處于平衡狀態(tài)，即原力系為一平衡力系。

【例2.1】如圖2.4(a)所示，正方形平面板的邊長(zhǎng)為4a，在板上A、O、B、C處分別作用有力F1，F(xiàn)2，Ｆ3，F(xiàn)4，其中，F(xiàn)3=2F

，F(xiàn)4=3F。求作用在板上此力系的合力。圖2.4

解

(1)選O點(diǎn)為簡(jiǎn)化中心，建立如圖2.4(a)所示的直角坐標(biāo)系，求力系的主矢和主矩。由式（2.2）~式（2.5）可得：主矢的大小為主矢的方向?yàn)橛捎凇疲苮和∑Fy都為正，因此主矢指向第一象限。

主矩的大小為主矩的轉(zhuǎn)向?yàn)槟鏁r(shí)針方向。力系向O點(diǎn)簡(jiǎn)化的結(jié)果如圖2.4(b)所示。

(2)由于，MO≠0，根據(jù)力的平移定理的逆過(guò)程，可將主矢與主矩MO簡(jiǎn)化為一個(gè)合力FR。合力FR的大小、方向與主矢相同，F(xiàn)R的作用線與主矢的作用線平行，但相距力系合力的作用線通過(guò)D點(diǎn)，如圖2.4(c)所示2.2平面任意力系的平衡方程與應(yīng)用

由2.1節(jié)的討論結(jié)果可知，如果平面任意力系向任一點(diǎn)簡(jiǎn)化后的主矢和主矩同時(shí)為零，則該力系處于平衡。反之，要使平面任意力系處于平衡，主矢和主矩都必須等于零。因此，平面任意力系平衡的必要與充分條件為：，MO=0,即由此可得平面任意力系的平衡方程為（2.6）式（2.6）是平面任意力系平衡方程的基本形式，也稱為一力矩式方程。它說(shuō)明平面任意力系平衡的解析條件是:力系中各力在平面內(nèi)任選兩個(gè)坐標(biāo)軸上的投影的代數(shù)和分別為零，并且各力對(duì)平面內(nèi)任意一點(diǎn)之矩的代數(shù)和也等于零。這三個(gè)方程是各自獨(dú)立的三個(gè)平衡方程，只能求解三個(gè)未知量。

【例2.2】圖2.5(a)所示為簡(jiǎn)易起吊機(jī)的平面力系簡(jiǎn)圖。已知橫梁AB的自重G1=4kN，起吊總量G2=20kN，AB的長(zhǎng)度l=2m，斜拉桿CD的傾角α=30°，自重不計(jì)，當(dāng)電葫蘆距A端距離a=1.5m時(shí)，處于平衡狀態(tài)。試求拉桿CD的拉力和A端固定鉸鏈支座的約束反力。圖2.5解(1)以橫梁AB為研究對(duì)象，取分離體畫受力圖。作用在橫梁上的主動(dòng)力：在橫梁中點(diǎn)的自重G1、起吊重量G2。作用在橫梁上的約束反力：拉桿CD的拉力FCD、鉸鏈A點(diǎn)的約束反力FAx、FAy，如圖2.5(b)所示。

(2)建立直角坐標(biāo)系，列平衡方程。(a)(b)(c)

(3)求解未知量。由式(a)得

將FCD代入式(b)得FAx=FCDcosα=29.44kＮ將FCD代入式(c)得FAy=G1+G2-FCDsinα=7kN

FCD、FAx、FAy都為正值，表示力的實(shí)際方向與假設(shè)方向相同；若為負(fù)值，則表示力的實(shí)際方向與假設(shè)方向相反。

(4)討論。本題若寫出對(duì)A、B兩點(diǎn)的力矩方程和對(duì)x軸的投影方程，則同樣可求解,即由解得若寫出對(duì)A、B、C三點(diǎn)的力矩方程則也可得出同樣的結(jié)果。由例2.2的討論可知，平面任意力系的平衡方程除了式（2.6）所示的基本形式以外，還有二力矩形式和三力矩形式，其形式如下：(2.7)其中，A、B兩點(diǎn)的連線不能與x軸(或y軸)垂直。其中，A、B、C三點(diǎn)不能共線。在應(yīng)用二力矩形式或三力矩形式時(shí)，必須滿足其限制條件，否則所列三個(gè)平衡方程將不都是獨(dú)立的。(2.8)2.3幾種特殊平面力系的平衡問(wèn)題2.3.1平面匯交力系的平衡

1.平面匯交力系的平衡方程由于平面匯交力系中各力的作用線匯交于一點(diǎn)，∑MO(F)=0自然滿足，因此其平衡的必要且充分條件為：力系中各力在兩個(gè)相互垂直的坐標(biāo)軸上的投影的代數(shù)和分別為零，即（2.9）

2.平面匯交力系的平衡方程的應(yīng)用

【例2.3】如圖2.6(a)所示，圓球重G=100Ｎ，放在傾角α=30°的光滑斜面上，并用繩子AB系住，繩子AB與斜面平行。試求繩子AB的拉力和斜面對(duì)球的約束力。圖2.6解(1)選圓球?yàn)檠芯繉?duì)象，取分離體畫受力圖。主動(dòng)力：重力G。約束反力：繩子AB的拉力FT、斜面對(duì)球的約束力FN。受力圖如圖2.6(b)所示。

(2)建立直角坐標(biāo)系Oxy，列平衡方程并求解?！艶x=0FT-Gsin30°=0FT=50N(方向如圖所示）∑Fy=0FN-Gcos30°=0FN=86.6N(方向如圖所示)

(3)若選取如圖2.6(c)所示的直角坐標(biāo)系，列平衡方程得:∑Fx=0FTcos30°-FNcos60°=0∑Fy=0FTsin30°+FNsin60°-G=0聯(lián)立求解方程組得:FT=50N(方向如圖所示)ＦN=86.6N(方向如圖所示)由此可見，建立直角坐標(biāo)系時(shí)，坐標(biāo)軸應(yīng)盡量選在與未知力垂直的方向上，這樣可以簡(jiǎn)化計(jì)算。

【例2.4】圖2.7(a)所示的三角支架由桿AB、BC組成，A、B、C處均為光滑鉸鏈，在銷釘B上懸掛一重物，已知重物的重量G=10kN，桿件自重不計(jì)。試求桿件AB、BC所受的力。圖2.7解(1)取銷釘B為研究對(duì)象，畫受力圖。主動(dòng)力：重力G。約束反力：由于桿件AB、BC的自重不計(jì)，且桿兩端均為鉸鏈約束，因此AB、BC均為二力桿件，桿件兩端受力必沿桿件的軸線，根據(jù)作用與反作用力關(guān)系，兩桿的B端對(duì)于銷釘有反作用力F1、F2，受力圖如圖2.7(b)所示。

(2)建立直角坐標(biāo)系Bxy，列平衡方程并求解?！艶y=0F2sin30°-G=0Ｆ2=20kN∑Fx=0F2cos30°-F1=0

F1=17.32kN根據(jù)作用力與反作用力定律，桿件AB所受的力為17.32kN，且為拉力；BC所受的力為20kN，且為壓力。2.3.2平面力偶系的平衡根據(jù)式(1.14)，平面力偶系可簡(jiǎn)化為一個(gè)合力偶，故平面力偶系平衡的必要和充分條件為：力偶系中各力偶矩的代數(shù)和等于零,即∑M=0(2.10)式(2.10)稱為平面力偶系的平衡方程。一個(gè)力偶系平衡方程只能解一個(gè)未知數(shù)。

【例2.5】用多軸鉆床在一水平放置的工件上加工四個(gè)直徑相同的孔，鉆孔時(shí)每個(gè)鉆頭的主切削力組成一力偶，各力偶矩的大小M1=M2=M3=M4=15N·m,兩個(gè)固定螺栓A、B之間的距離為200mm，如圖2.8所示。試求加工時(shí)兩個(gè)固定螺栓A、B所受的力。圖2.8解(1)取工件為研究對(duì)象，畫受力圖。

主動(dòng)力：四個(gè)已知的力偶。

約束反力：固定螺栓A、B所給的約束反力FA、FB，由于力偶只能與力偶平衡，因此B處約束反力FB必和A處約束反力FA組成一力偶，即兩力平行、等值、反向，力偶臂長(zhǎng)為200mm，受力圖如圖2.8(b)所示。

(2)列平衡方程并求解。

∑M=0-4M1+M(FA,ＦB)=0

FA=FB=300N(方向如圖所示)

根據(jù)作用與反作用定律，兩個(gè)固定螺栓A、B所受的力分別為FＡ=FB=300N，方向與圖示方向相反。2.3.3平面平行力系的平衡

在平面平行力系中，若選擇直角坐標(biāo)軸的y(或x)軸與力系各力作用線平行，則每個(gè)力在x(或y)軸上的投影均為零，即∑Fx≡0(或∑Fy≡0)，于是平行力系只有兩個(gè)獨(dú)立的平衡方程，即（2.11）式(2.11)為平面平行力系的平衡方程，它表明平面平行力系平衡的必要和充分條件是：力系中各力在與力平行的坐標(biāo)軸上的投影的代數(shù)和為零，各力對(duì)任意點(diǎn)之矩的代數(shù)和也

為零或二力矩形式，即(2.12)平面平行力系只有兩個(gè)獨(dú)立的平衡方程，只能求解兩個(gè)未知數(shù)。

【例2.6】塔式起重機(jī)如圖2.9(a)所示，已知軌距為4m，機(jī)身重G=500kN，其作用線至機(jī)架中心線的距離為4m，起重機(jī)最大起吊載荷G1=260kN，其作用線至機(jī)架中心線的距離為12m,平衡塊G2至機(jī)架中心線的距離為6m。欲使起重機(jī)滿載時(shí)不向右傾倒，空載時(shí)不向左傾倒，試確定

平衡塊重G2；當(dāng)平衡塊重G2=600kN時(shí)，試求滿載時(shí)軌道對(duì)輪子的約束反力。圖2.9

解

(1)取起重機(jī)為研究對(duì)象，畫受力圖。

主動(dòng)力：機(jī)身重力G、起吊載荷G1、平衡塊重G2。

約束反力：軌道對(duì)輪子的約束反力FA、FB。

受力圖如圖2.9(b)所示。

(2)列平衡方程，求平衡塊重。

①滿載時(shí)的情況。

滿載時(shí)，若平衡塊太輕，則起重機(jī)將會(huì)繞B點(diǎn)向右翻倒，在平衡的臨界狀態(tài)時(shí)，F(xiàn)A等于零，平衡塊重達(dá)到允許的最小值Ｇ2min。

∑MB(F)=0G2min×(6+2)-G×(4-2)-G1×(12-2)=0

G2min=450kN②空載時(shí)的情況。

空載時(shí)，起重機(jī)在平衡塊的作用下，將會(huì)繞A點(diǎn)向左翻倒，在平衡的臨界狀態(tài)時(shí)，F(xiàn)B等于零，平衡塊重達(dá)到允許的最大值G2max。

∑ＭA(F)=0

G2max×(6-2)-G×(4+2)=0

G2max=750kN

因此，要保證起重機(jī)在滿載和空載時(shí)均不致翻倒，平衡塊重應(yīng)滿足如下條件:

450kN≤G2≤750kN

(3)列平衡方程，求G2=600kN滿載時(shí)輪軌對(duì)機(jī)輪的約束反力。

∑MB(F)=0

G2×(6+2)-FA×4-G×(4-2)-G1×(12-2)=0

FA=300kN(方向如圖)

∑MA(F)=0

G2×(6-2)+FB×4-G×(4+2)-G1×(12+2)=0

FB=1060kN(方向如圖)

【例2.7】一端固定的懸臂梁AB如圖2.10(a)所示。已知q=10kN/m，F(xiàn)=20kN，M=10kN·m，l=2m,試求梁支座A的約束反力。圖2.10

解

(1)取懸臂梁AB為研究對(duì)象，畫受力圖。

主動(dòng)力：集中力F、分布載荷q、力偶M。物體所受的力如果是沿著一條線連續(xù)分布且相互平行的力系，則稱為線分布載荷。圖2.10(a)中，載荷q稱為載荷集度，表示單位長(zhǎng)度上所受的力，其單位為N/m或kN/m。如果分布載荷為一常量，則該分布載荷稱為均布力或均布載荷

。列平衡方程時(shí)，常將均布載荷簡(jiǎn)化為一個(gè)集中力，其大小為FＱ=ql(l為載荷作用長(zhǎng)度)，作用線通過(guò)作用長(zhǎng)度的中點(diǎn)。

約束反力：A端受一固定端約束，其約束反力為FAx、FAy、MA。受力圖如圖2.10(b)所示。

(2)建立坐標(biāo)系A(chǔ)xy，列平衡方程并求解。

∑Fx=0FAx=0

∑Fy=0FAy-FQ-F=0

其中：ＦQ=ql=10×2=20kN，作用在AB段中點(diǎn)位置。

FAy=FQ+F=20+20=40kN(方向如圖)2.4物系的平衡

2.4.1靜定與靜不定問(wèn)題的概念由前面介紹的平衡計(jì)算可知，每一種力系的獨(dú)立平衡方程的數(shù)目都是一定的。例如，平面力偶系只有一個(gè)，平面匯交力系和平面平行力系各有兩個(gè)，平面任意力系有三個(gè)。因此，對(duì)每一種力系來(lái)說(shuō)，所能解出的未知數(shù)也是一定的。如果所研究的平衡問(wèn)題的未知量數(shù)目少于或等于獨(dú)立平衡方程的數(shù)目，則所有未知量可全部由平衡方程求出，這類問(wèn)題稱為靜定問(wèn)題，如圖2.11(a)、(b)所示。2.4〓物系的平衡圖2.11如果未知量的數(shù)目超過(guò)了獨(dú)立平衡方程的數(shù)目，則單靠平衡方程無(wú)法求出全部未知數(shù)，這類問(wèn)題稱為超靜定或靜不定問(wèn)題，如圖2.12(a)、(b)所示。總未知量數(shù)目與總獨(dú)立

平衡方程數(shù)目之差稱為靜不定次數(shù)。圖2.12靜力學(xué)只研究靜定平衡問(wèn)題，至于靜不定問(wèn)題，需考慮物體受力后的變形情況，找出變形與作用力之間的關(guān)系，并建立相應(yīng)的補(bǔ)充方程才能求解。2.4.2物系平衡問(wèn)題的處理

所謂物系，就是指由若干個(gè)物體按一定方式連接而成的系統(tǒng)。當(dāng)整個(gè)物系處于平衡時(shí)，系統(tǒng)中每一個(gè)物體或某一個(gè)局部一定平衡，因此，可取整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象，也可取

單個(gè)物體或系統(tǒng)中部分物體的組合為研究對(duì)象。作用于研究對(duì)象上的力系都滿足平衡方程，所有未知量也均可通過(guò)平衡方程求出。在研究物系的平衡問(wèn)題時(shí)，不僅要分析外界物體對(duì)于整個(gè)系統(tǒng)作用的外力，同時(shí)還應(yīng)研究系統(tǒng)內(nèi)各物體間相互作用的內(nèi)力。由于內(nèi)力總是成對(duì)出現(xiàn)的，因此當(dāng)取整體為研究對(duì)象時(shí)，可不考慮內(nèi)力，但內(nèi)力與外力的概念又是相對(duì)的，當(dāng)研究物系中某一個(gè)物體或某一部分的平衡時(shí)，物系中其他物體或其他部分對(duì)所研究物體或部分的作用力就成為外力，必須考慮?，F(xiàn)舉例說(shuō)明物系平衡問(wèn)題的解法。

【例2.8】多跨靜定梁由AC和CE用中間鉸C連接而成，支承和載荷情況如圖2.13(a)所示。已知F=10kN,q=5kN/m,M=10kN·m,l=8m。試求支座A、B、E及中間鉸C的約束反力。圖2.13

解對(duì)整體進(jìn)行受力分析，共有四個(gè)未知力，而獨(dú)立的平衡方程只有三個(gè)，這表明以整體為研究對(duì)象不能求得全部約束反力。為此可將整體從中間鉸處分開，分成左、右

兩個(gè)單體，取研究對(duì)象進(jìn)行分析。

(1)取梁CE為研究對(duì)象，畫受力圖，建立坐標(biāo)系，列平衡方程并求解。

受力圖如圖2.13(b)所示。其中，，作用在CD段的中點(diǎn)。

(2)取梁AC為研究對(duì)象，畫受力圖，建立坐標(biāo)系，列平衡方程并求解。

受力圖如圖2.13(c)所示。其中，，作用在BC段的中點(diǎn)；，方向如圖2.13(c)所示。

【例2.9】三鉸拱每半拱重G=300kN，跨長(zhǎng)l=32m，拱高h(yuǎn)=10m，如圖2.14(a)所示，試求鉸鏈支座A、B、C的約束反力。圖2.14

解第一種解法:先取三鉸拱整體為研究對(duì)象，再取半拱AC(或BC)為研究對(duì)象進(jìn)行求解。第二種解法：分別取半拱AC、BC為研究對(duì)象進(jìn)行求解。第一種解題方法比較簡(jiǎn)單，下面就介紹第一種。

(1)先取三鉸拱整體為研究對(duì)象，畫出受力圖。

主動(dòng)力：兩個(gè)半拱重力G。

約束反力：鉸鏈支座A、B處的約束反力FAx、FAy、FＢx、FBy。受力圖如2.14(b)所示。

(2)建立坐標(biāo)系Oxy，列平衡方程。

(3)取半拱AC為研究對(duì)象，畫出受力圖。

半拱AC上作用有主動(dòng)力G，約束反力有FAx、FＡy、FCx、FCy，受力圖如圖2.14(c)所示。

【例2.10】圖2.15(a)所示為一曲柄連桿機(jī)構(gòu)，它由活塞、連桿、曲柄及飛輪組成，設(shè)曲柄處于圖示鉛垂位置時(shí)系統(tǒng)平衡，已知飛輪重G，曲柄OA長(zhǎng)為r，連桿AB長(zhǎng)為l，作用于活塞B上的總壓力為F，不計(jì)各構(gòu)件自重及摩擦。試求阻力偶矩M和軸承O的約束反力。圖2.15

解本題是物系平衡的另一類問(wèn)題，屬于運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)，一般可以按照力的傳遞順序，依次取研究對(duì)象。

(1)以活塞為研究對(duì)象，畫受力圖，建立坐標(biāo)系，列平衡方程并求解。

受力圖如圖2.15(b)所示。

∑Fx=0FAB×cosα+F=0

(2)以飛輪連同曲柄一起為研究對(duì)象，畫受力圖，建立坐標(biāo)系，列平衡方程并求解,其中，它們互為作用力與反作用力，受力圖如圖2.15(c)所示。2.5考慮摩擦?xí)r物體的平衡問(wèn)題

2.5.1滑動(dòng)摩擦當(dāng)兩物體接觸面間有相對(duì)滑動(dòng)的趨勢(shì)時(shí)，物體接觸表面產(chǎn)生的摩擦力稱為靜滑動(dòng)摩擦力，簡(jiǎn)稱靜摩擦力。當(dāng)兩物體接觸面間產(chǎn)生相對(duì)滑動(dòng)時(shí)，物體接觸表面產(chǎn)生的摩擦力稱為動(dòng)滑動(dòng)摩擦力，簡(jiǎn)稱動(dòng)摩擦力。由于摩擦對(duì)物體的運(yùn)動(dòng)起阻礙作用，因此摩擦力總是作用在接觸面(點(diǎn))，沿接觸處的公切線，與物體相對(duì)滑動(dòng)或相對(duì)滑動(dòng)趨勢(shì)的方向相反摩擦力的計(jì)算方法一般根據(jù)物體的運(yùn)動(dòng)情況而定，通過(guò)實(shí)驗(yàn)可得如下結(jié)論：

(1)靜滑動(dòng)摩擦定律(或庫(kù)侖定律)：當(dāng)促使物體產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)的主動(dòng)力增到某一數(shù)值時(shí)，物體處于將動(dòng)而未動(dòng)的臨

界平衡狀態(tài)，這時(shí)的靜摩擦力達(dá)到最大值，稱為最大靜摩擦力，用F

fmax表示，其大小與接觸面間的正壓力(即法向反力)FN的大小成正比，即

Ffmax=fFN(2.13)

式中，比例系數(shù)f稱為靜摩擦因數(shù)，其大小與接觸面的材料、粗糙度、濕度、溫度等情況有關(guān)，而與接觸面積的大小無(wú)關(guān)。各種材料在不同情況下的靜摩擦因數(shù)是由實(shí)驗(yàn)測(cè)定的。常見材料的靜摩擦因數(shù)如表2.1所示。

(2)一般靜止?fàn)顟B(tài)下的靜摩擦力Ff隨主動(dòng)力的變化而變化，其大小由平衡方程確定，介于零和最大靜摩擦力之間，即

0≤Ff≤Ffmax(2.14)

(3)動(dòng)滑動(dòng)摩擦定律：當(dāng)促使物體產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)的主動(dòng)力增加到略大于Ffmax時(shí)，物體處于滑動(dòng)狀態(tài)，在接觸面上產(chǎn)生動(dòng)滑動(dòng)摩擦力。通過(guò)實(shí)驗(yàn)也可得與靜滑動(dòng)摩擦定律相似的動(dòng)滑動(dòng)摩擦定律,即(2.15)式中，比例系數(shù)f′稱為動(dòng)摩擦因數(shù)，其大小與接觸面的材料、粗糙度、濕度、溫度等情況有關(guān)，而與接觸面積的大小無(wú)關(guān)。一般f＞f′，這說(shuō)明推動(dòng)物體從靜止開始滑動(dòng)比較費(fèi)力，一旦滑動(dòng)起來(lái)，要維持滑動(dòng)就省力些。各種材料在不同情況下的動(dòng)摩擦因數(shù)是由實(shí)驗(yàn)測(cè)定的。常見材料的動(dòng)摩擦因數(shù)如表2.1所示。表2.1常見材料的滑動(dòng)摩擦因數(shù)

2.5.2摩擦角與自鎖現(xiàn)象存在摩擦?xí)r，平衡物體受到的約束反力包括法向反力FN和切向反力(即靜摩擦力)Ff，兩者的合力稱為全約束反力，簡(jiǎn)稱全反力，用符號(hào)FR表示。全反力與接觸面法線之間的夾角為j，如圖2.16(a)所示。全反力FR和夾角j的大小隨靜摩擦力Ff的增大而增大，當(dāng)物體處于臨界平衡狀態(tài)時(shí)，靜摩擦力達(dá)到最大值Ff=Ffmax，夾角φ也達(dá)到最大值j=jm，這時(shí)的全反力與接觸面法線夾角的最大值jm稱為摩擦角，如圖2.16(b)所示。由此可得即摩擦角的正切值等于靜摩擦因數(shù)。摩擦角和靜摩擦因數(shù)是兩接觸物體同一摩擦性能的兩種不同度量方式。(2.16)物體平衡時(shí)，靜摩擦力總是小于或等于最大靜摩擦力，因此，全反力FR與接觸面法線間的夾角j也總是小于或等于摩擦角j

m，即全反力的作用線不可能超出摩擦角的范圍。若物體與支承面的靜摩擦因數(shù)在各個(gè)方向都相同，則這個(gè)范圍在空間就形成一個(gè)錐體，稱為摩擦錐，如圖2.16(c)所示。若主動(dòng)力的合力FQ的作用線在摩擦錐范圍內(nèi)，約束面必產(chǎn)生一個(gè)與之等值、共線、反向的全反力FR相平衡，不論FQ怎樣增大，物體總能處于靜止平衡狀態(tài)。這種只需主動(dòng)力的合力其作用線在摩擦錐范圍內(nèi)，物體依靠摩擦總能靜止而與主動(dòng)力大小無(wú)關(guān)的力學(xué)現(xiàn)象稱為自鎖現(xiàn)象。自鎖的條件為α≤jm(2.17)圖2.16自鎖現(xiàn)象在工程實(shí)際中有很重要的應(yīng)用，如工人用螺旋千斤頂頂起重物，為保證螺旋千斤頂在被升起的重物的重力G作用下不會(huì)自動(dòng)下降，則千斤頂?shù)穆菪铅痢躩m，如圖2.17所示；工廠生產(chǎn)線上用傳送帶輸送物料，就是通過(guò)自鎖來(lái)阻止物料相對(duì)于傳送帶的滑動(dòng)的；等等。相反，在工程實(shí)際中有時(shí)又要設(shè)法避免自鎖現(xiàn)象的發(fā)生。例如，自卸貨車的車斗能升起的仰角必須大于摩擦角jm，卸貨時(shí)才能處于非自鎖狀態(tài)；機(jī)器正常運(yùn)行時(shí)的運(yùn)動(dòng)零部件不能因自鎖而造成零部件相對(duì)卡住等。圖〓2.17圖2.172.5.3考慮摩擦?xí)r物體平衡問(wèn)題的處理

考慮摩擦?xí)r物體的平衡問(wèn)題其解題方法、步驟與不考慮摩擦?xí)r基本相同，所不同的是：在畫物體受力圖時(shí)，一定要畫出摩擦力，并要注意摩擦力總是沿著接觸面的公切線并與物體相對(duì)滑動(dòng)或相對(duì)滑動(dòng)趨勢(shì)的方向相反，其方向要正確畫出，不能隨意假定；除列出物體的平衡方程外，還應(yīng)附加靜摩擦力的求解條件作為補(bǔ)充方程，因靜摩擦力有一個(gè)變化范圍，故所得結(jié)果也是一個(gè)范圍值，稱為平衡范圍，在臨界平衡狀態(tài)時(shí)，補(bǔ)充方程為Ff=Ffmax=fFN，所得的結(jié)果也是平衡范圍的極限值。

一般考慮有摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題可分為下述三種類型:

(1)已知作用于物體上的主動(dòng)力，需判斷物體是否處于平衡狀態(tài)，并計(jì)算所受的摩擦力。

(2)已知物體處于臨界的平衡狀態(tài)，需求主動(dòng)力的大小或物體平衡時(shí)的位置(距離或角度)。

(3)求物體的平衡范圍。由于靜摩擦力的值可以隨主動(dòng)力變化而變化，因此物體平衡時(shí)，主動(dòng)力的大小或平衡位置允許在一定范圍內(nèi)變化。

【例2.11】一重為G=200Ｎ的梯子AB一端靠在鉛垂的墻壁上，另一端擱置在水平地面上，q=arctan(4/3)，梯子長(zhǎng)為l，如圖2.18(a)所示。假設(shè)梯子與墻壁間為光滑約束，而與地面之間存在摩擦，靜摩擦因數(shù)f=0.5。梯子是處于靜止還是會(huì)滑倒？此時(shí)摩擦力的大小為多少？圖2.18解解這類問(wèn)題時(shí)，可先假設(shè)物體靜止，求出此時(shí)物體所受的約束反力與靜摩擦力Ff，把所求得的Ff與可能達(dá)到的最大靜摩擦力Ffmax進(jìn)行比較，判斷物體的狀態(tài)。

(1)取梯子為研究對(duì)象，畫受力圖，如圖2.18(b)所示。

(2)建立坐標(biāo)系，列平衡方程。解得

(3)補(bǔ)充方程。

FfmaxA=fFNA=0.5×200=100N

(4)比較。FfA＜FfmaxA，梯子處于靜止?fàn)顟B(tài)。此時(shí)，摩擦力的大小為75N，方向如圖所示。

【例2.12】一重為G的物體放在傾角為α的斜面上，如圖2.19(a)所示。物體與斜面間的靜摩擦因數(shù)為f，摩擦角為jm，且α＞jm。試求使物體保持靜止時(shí)水平推力F的大小。圖2.19

解因?yàn)棣粒緅m，所以物體處于非自鎖狀態(tài)，當(dāng)物體上沒有力作用時(shí)物體將沿斜面下滑。要使物體在斜面上保持靜止，作用于物體上的水平推力F不能太小，也不能太大。當(dāng)作用于物體上的水平推力F太小時(shí)，物體有可能沿斜面下滑；當(dāng)F太大時(shí)，物體有可能沿斜面向上滑動(dòng)。因此，F(xiàn)的

大小應(yīng)在某一個(gè)范圍內(nèi)，即

Fmin≤F≤Fmax

(1)求Fmin。

當(dāng)物體處于下滑趨勢(shì)的臨界狀態(tài)時(shí)，F(xiàn)為最小值Fmin

，受力圖如圖2.19(b)所示。因?yàn)槲矬w有向下的滑動(dòng)趨勢(shì)，所以摩擦力Ffmax應(yīng)沿斜面向上。沿斜面方向建立直角坐標(biāo)

系，列出平衡方程

∑Fx=0Fmincosα-Gsinα+Ffmax=0

∑Fy=0FN-Fminsinα-Gcosα=0列補(bǔ)充方程

Ffmax=fFN=FNtanjm

解得

(2)求Fmax。

當(dāng)物體處于上滑趨勢(shì)的臨界狀態(tài)時(shí)，F(xiàn)為最大值Fmax，受力圖如圖2.19(c)所示。因?yàn)槲矬w有向上的滑動(dòng)趨勢(shì)，所以摩擦力Ffmax應(yīng)沿斜面向下。沿斜面方向建立直角坐標(biāo)系，列出平衡方程列補(bǔ)充方程

Ffmax=fFN=FNtanjm

解得

綜合以上結(jié)果可知，使物體保持靜止時(shí)水平推力F的取值范圍為

Gtan(α-jm)≤F≤Gtan(α+jm)

【例2.13】摩擦制動(dòng)器的構(gòu)造和主要尺寸如圖2.20(a)所示，已知摩擦塊與輪之間的靜摩擦因數(shù)為f，作用于輪上的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩為M，輪半徑為R。在制動(dòng)桿B處作用一力F，制動(dòng)桿尺寸為a、l，摩擦塊的厚度為δ。求制動(dòng)輪子所需的最小力Fmin。圖2.20

解當(dāng)輪子剛能停止轉(zhuǎn)動(dòng)，摩擦塊與輪子處于臨界平衡狀態(tài)時(shí)，制動(dòng)輪子所需的F的大小為Fmin。

分別取輪子、制動(dòng)桿為研究對(duì)象，畫受力圖，如圖2.20(b)、(c)所示。

對(duì)于輪子，列平衡方程

∑MO(F)=0

M-FfmaxＲ=0

列補(bǔ)充方程

Ffmax=fFN

對(duì)于制動(dòng)桿，列平衡方程又有解得2.5.4滾動(dòng)摩擦簡(jiǎn)介

當(dāng)搬運(yùn)機(jī)器等重物時(shí)，在重物底下墊上輥軸，比直接放在地面上推或拉要省力得多，這說(shuō)明用輥軸的滾動(dòng)來(lái)代替箱底的滑動(dòng)所受到的阻力要小得多。車廂采用車輪，機(jī)器中采用滾動(dòng)軸承，如圖2.21所示，也都是這個(gè)道理。圖2.21滾動(dòng)阻力小于滑動(dòng)阻力的原因，可以用車輪在地面上的滾動(dòng)來(lái)分析。如圖2.22(a)所示，將一重為G的輪子放在地面上并在輪心施加一微小的水平力F，這時(shí)在輪子與地面的接觸處就會(huì)產(chǎn)生一摩擦阻力Ff以阻止輪子朝前滾動(dòng)，F(xiàn)f與F等值、反向，組成一個(gè)力偶，其力偶矩大小為Fr，它將驅(qū)使

輪子產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)。當(dāng)力F不大時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)并沒有發(fā)生而是保持平衡，這說(shuō)明還存在一個(gè)阻礙轉(zhuǎn)動(dòng)的力偶矩，稱為滾動(dòng)摩擦力偶矩。其原因是輪子和地面都是變形體，都要產(chǎn)生變形，由于它們的變形，其上的約束反力分布在接觸的曲面上，形成一個(gè)平面的任意力系，如圖2.22(b)所示。將這些任意分布的力向點(diǎn)A簡(jiǎn)化，即可得到一個(gè)力和一個(gè)力偶，其中這個(gè)力可分解為法向約束反力(正壓力)和靜摩擦力Ff，而這個(gè)力偶的矩即為滾動(dòng)摩擦力偶矩Mf，如圖2.22(c)所示。再將法向約束反力和滾動(dòng)摩擦力偶矩Ｍf進(jìn)一步按力的平移定理的逆定理進(jìn)行合并，即可得到約束反力FN，其作用線向滾動(dòng)方向偏移一段距離e，如圖2.22(d)所示。當(dāng)輪子達(dá)到開始滾動(dòng)尚未滾動(dòng)的臨界狀態(tài)時(shí)，偏移值e也增大到最大值δ。試驗(yàn)表明，最大滾動(dòng)摩擦力偶矩與兩個(gè)相互接觸物體間的法向約束反力成正比，即(2.18)這就是滾動(dòng)摩擦定律，比例常數(shù)δ稱為滾動(dòng)摩擦因數(shù)，它與相互接觸物體的材料性質(zhì)及接觸面的硬度、濕度等有關(guān)。一般材料硬些，受載后接觸面的變形就小些，滾動(dòng)摩擦因數(shù)δ也會(huì)小些，如車胎打足氣后使車胎變形減小，便可以減小滾動(dòng)摩擦阻力，車子騎起來(lái)就省力些。圖2.22第3章空間力系的平衡

3.1力在空間直角坐標(biāo)軸上的投影

3.2力對(duì)軸之矩

3.3空間力系的平衡方程及其應(yīng)用力系中各力的作用線不在同一平面內(nèi)，此力系就稱為空間力系。與平面力系一樣，空間力系可分為空間匯交力系、空間平行力系和空間任意力系，如圖3.1所示。圖3.13.1力在空間直角坐標(biāo)軸上的投影

3.1.1直接投影法力在空間直角坐標(biāo)軸上的投影定義與在平面力系中的定義相同。若已知力與軸的夾角，就可以直接求出力在軸上的投影，這種求解方法稱為直接投影法。設(shè)空間直角坐標(biāo)系的三個(gè)坐標(biāo)軸如圖3.2所示，已知力F與三軸間的夾角分別為α、β、γ，則力在軸上的投影為（3.1）

圖3.2力在軸上的投影為代數(shù)量，其正負(fù)號(hào)規(guī)定為：從力的起點(diǎn)到終點(diǎn)若投影后的趨向與坐標(biāo)軸正向相同，則力的投影為正；反之為負(fù)。力沿坐標(biāo)軸分解所得的分量為矢量。雖然兩者大小相同，但性質(zhì)不同。3.1.2二次投影法當(dāng)力與坐標(biāo)軸的夾角沒有全部給出時(shí)，可采用二次投影法，即先將力投影到某一坐標(biāo)平面上得到一個(gè)矢量，然后再將這個(gè)過(guò)渡矢量進(jìn)一步投影到所選的坐標(biāo)軸上。圖3.3中，已知力F的值和F與z軸的夾角γ，以及力F在xy平面上的投影Fxy與x軸的夾角j，則F在x、y、z三軸上的投影可列寫為(3.2)

圖3.3若已知投影Fx、Fy、Fz，則合力F的大小、方向可由下式求得其中,α、β、γ分別為力F與x、y、z軸間所夾之銳角。（3.3）

3.1.3合力投影定理

設(shè)在某物體上A點(diǎn)，作用一空間匯交力系F1,F2,…,Fn，與平面匯交力系合成相似，運(yùn)用平行四邊形法則，可將其逐步合成為一作用于匯交點(diǎn)的合力FR，故有

FR=F1+F2+…+Fn=∑F(3.4)