2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章計數(shù)原理1.2.2.2組合的應(yīng)用課時作業(yè)含解析新人教A版選修2-3

課時作業(yè)6組合的應(yīng)用時間：45分鐘分值：100分一、選擇題(每小題5分，共計40分)1．從4艘驅(qū)除艦和5艘護(hù)衛(wèi)艦中隨意選出3艘參與索馬里護(hù)航任務(wù)，其中至少要有驅(qū)除艦和護(hù)衛(wèi)艦各1艘的選法種數(shù)是(C)A．140 B．84C．70 D．35解析：包括兩種可能：2艘驅(qū)除艦和1艘護(hù)衛(wèi)艦，有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,5)種取法；1艘驅(qū)除艦和2艘護(hù)衛(wèi)艦，有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,5)種取法．所以一共有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,5)＋Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,5)＝70種．2．中小學(xué)校車平安引起社會的關(guān)注，為了徹底消退校車平安隱患，某市購進(jìn)了50臺完全相同的校車，打算發(fā)放給10所學(xué)校，每所學(xué)校至少2臺，則不同的發(fā)放方案種數(shù)為(D)A．Ceq\o\al(9,41)B．Ceq\o\al(9,38)C．Ceq\o\al(9,40)D．Ceq\o\al(9,39)解析：首先每個學(xué)校配送一臺，這個沒有依次和狀況之分，剩下40臺；將剩下的40臺像排隊一樣排列好，則這40臺校車之間有39個空，對這39個空進(jìn)行插空，比如說用9面小旗隔開，就可以隔成10部分．所以是在39個空中選9個空進(jìn)行插空．故不同的方案種數(shù)為Ceq\o\al(9,39).3．氨基酸的排列依次是確定蛋白質(zhì)多樣性的緣由之一，某肽鏈由7種不同的氨基酸構(gòu)成，若只變更其中3種氨基酸的位置，其他4種不變，則不同的變更方法的種數(shù)為(C)A．210 B．126C．70 D．35解析：從7種中取出3種有Ceq\o\al(3,7)＝35種取法，比如選出a，b，c種，再都變更位置有b，c，a和c，a，b兩種，所以不同的變更方法有2×35＝70種．4．5個身高均不相同的學(xué)生排成一排合影留念，高個子站中間，從中間到左邊和從中間到右邊一個比一個矮，則這樣的排法種數(shù)為(B)A．1B．6C．12D．120解析：由已知可知，最高的站在中間，左邊兩個人只要選出，左右兩個人的站法就已固定，所以有Ceq\o\al(2,4)＝6種不同的站法．5．用0,1，…，9十個數(shù)字，可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為(B)A．243B．252C．261D．279解析：構(gòu)成全部的三位數(shù)的個數(shù)為Ceq\o\al(1,9)Ceq\o\al(1,10)Ceq\o\al(1,10)＝900，而無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為Ceq\o\al(1,9)Ceq\o\al(1,9)Ceq\o\al(1,8)＝648，故所求個數(shù)為900－648＝252，應(yīng)選B.6．公路上有編號為1,2,3,4，…，9的9只路燈，為節(jié)約用電，現(xiàn)要求把其中的三只燈關(guān)掉，但不能同時關(guān)掉相鄰的兩只或三只，也不能關(guān)掉兩端的路燈，則滿意條件的關(guān)燈方法有(D)A．7種B．8種C．9種D．10種解析：9只路燈關(guān)閉3只，有6只亮著的路燈，6只燈除去兩邊還有5個空，插入3只熄滅的燈，即Ceq\o\al(3,5)＝10種關(guān)燈的方法．故選D.7．若從1,2,3，…，9這9個整數(shù)中取4個不同的數(shù)，使其和為奇數(shù)，則不同的取法共有(A)A．60種B．63種C．65種D．66種解析：若四個數(shù)之和為奇數(shù)，則有1個奇數(shù)3個偶數(shù)或者3個奇數(shù)1個偶數(shù)．若是1個奇數(shù)3個偶數(shù)，則有Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(3,4)＝20種，若是3個奇數(shù)1個偶數(shù)，則有Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(1,4)＝40種，共有20＋40＝60種不同的取法．8．A，B，C，D四位同學(xué)打算從三門選修課中各選一門，若要求每門選修課至少有一人選修，且A，B不選修同一門課，則不同的選法有(C)A．36種B．72種C．30種D．66種解析：將A，B，C，D四位同學(xué)分成3組，共有eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,2),2！)種分法，全部的選修方案為eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,2),2！)Aeq\o\al(3,3)，其中A，B選修同一門課的方案數(shù)為Aeq\o\al(3,3).故全部不同的選法數(shù)為eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,2),2！)Aeq\o\al(3,3)－Aeq\o\al(3,3)＝30.二、填空題(每小題6分，共計18分)9．今有1元、2元、5元和100元人民幣各一張，最多可以組成15種不同的幣值．解析：可隨意選取其中的一張或多張組成，有Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(4,4)＝4＋6＋4＋1＝15種不同的幣值．10．某校要求每位學(xué)生從7門課程中選修4門，其中甲、乙兩門課程不能都選，則不同的選課方案有25種．(以數(shù)字作答)解析：全部的選法數(shù)為Ceq\o\al(4,7)，兩門都選的方法為Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(2,5).故共有選法數(shù)為Ceq\o\al(4,7)－Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(2,5)＝35－10＝25.11．隨著中國電子商務(wù)的發(fā)展和人們對網(wǎng)購的漸漸相識，網(wǎng)購鮮花速遞行業(yè)快速興起．佳佳為慶祝母親的生日，打算在網(wǎng)上定制一束混合花束．客服為佳佳供應(yīng)了兩個系列，如下表所示：粉色系列黃色系列玫瑰戴安娜、粉佳人、糖果、粉雪山假日公主、金輝、金香玉康乃馨粉色、小桃紅、白色粉邊火焰、金毛、黃色配葉紅竹蕉、情人草、滿天星鳳尾、梔子花、黃鶯、銀葉菊佳佳要在兩個系列中選一個系列，再從中選擇2種玫瑰、1種康乃馨、2種配葉組成混合花束，請問佳佳可定制的混合花束一共有108種．解析：若選粉色系列有Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(2,3)種選法，若選黃色系列有Ceq\o\al(2,3)·Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(2,4)種選法，佳佳可定制的混合花束一共有Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,3)·Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(2,4)＝54＋54＝108種．三、解答題(共計22分)12．(10分)某次足球競賽共12支球隊參與，分三個階段進(jìn)行．小組賽：經(jīng)抽簽分成甲、乙兩組，每組6隊進(jìn)行單循環(huán)競賽，以積分及凈勝球數(shù)取前兩名；半決賽：甲組第一名與乙組其次名，乙組第一名與甲組其次名作主客場交叉淘汰賽(每兩隊主客場各賽一場)決出勝者；決賽：兩個勝隊參與決賽一場，決出輸贏．問全部賽程共需競賽多少場？解：①小組賽中每組6隊進(jìn)行單循環(huán)競賽，就是6支球隊的任2支球隊都要競賽一次，所需競賽的場次即為從6個元素中任取2個元素的組合數(shù)，所以小組賽共要競賽2Ceq\o\al(2,6)＝30場．②半決賽中甲組第一名與乙組其次名(或乙組第一名與甲組其次名)主客場各賽一場，所需競賽的場次即為從2個元素中任取2個元素的排列數(shù)，所以半決賽共要競賽2Aeq\o\al(2,2)＝4場．③決賽只需競賽1場，即可決出輸贏．所以全部賽程共需競賽30＋4＋1＝35場．13．(12分)4個不同的紅球和6個不同的白球放入同一個袋中，現(xiàn)從中取出4個球：(1)若取出的紅球的個數(shù)不少于白球的個數(shù)，則有多少種不同的取法？(2)取出一個紅球記2分，取出一個白球記1分，若取出4個球總分不小于5分，則有多少種不同的取法？解：(1)依題意可知，取出的4個球中至少有2個紅球，可分為三類：①全取出紅球，有Ceq\o\al(4,4)種不同的取法；②取出的4個球中有3個紅球1個白球，有Ceq\o\al(3,4)×Ceq\o\al(1,6)種取法；③取出的4個球中有2個紅球2個白球的取法有Ceq\o\al(2,4)×Ceq\o\al(2,6)種不同的取法，由分類加法計數(shù)原理知，共有Ceq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(3,4)×Ceq\o\al(1,6)＋Ceq\o\al(2,4)×Ceq\o\al(2,6)＝115種不同的取法．(2)依題意中知，取出的4個球中至少要有1個紅球，從紅白10個球中取出4個球的取法有Ceq\o\al(4,10)種不同的取法，而全是白球的取法有Ceq\o\al(4,6)種，從而滿意題意的取法有：Ceq\o\al(4,10)－Ceq\o\al(4,6)＝195(種)．——素養(yǎng)提升——14．(5分)中國古代十進(jìn)制的算籌計數(shù)法，在世界數(shù)學(xué)史上是一個宏大的創(chuàng)建．算籌事實上是一根根同樣長短的小木棍，如下圖，算籌計數(shù)法是表示數(shù)1～9的方法的一種．例如：163可表示為“”，27可表示為“”．現(xiàn)有8根算籌，可以表示三位數(shù)的個數(shù)(算籌不能剩余)為(C)A．48B．60C．96D．120解析：設(shè)8根算籌的組合為(a1，a2，a3)(ai∈{1,2,3,4,5}，i＝1,2,3)，不考慮先后依次，則可能的組合為(1,2,5)，(1,3,4)，(2,2,4)，(2,3,3)，對于(1,2,5)，組合出的可能的算籌為(1,2,5)，(1,6,9)，(1,2,9)，(1,6,5)，共4種，可以組成的三位數(shù)的個數(shù)為4×3！，同理(1,3,4)可以組成的三位數(shù)的個數(shù)為4×3！，對于(2,2,4)，組合出的可能的算籌為(2,2,4)，(6,6,4)，(2,2,8)，(6,6,8)，(2,6,4)，(2,6,8)，共6種，可以組成的三位數(shù)的個數(shù)為2×3?。?×eq\f(3！,2)種，同理(2,3,3)可以組成的三位數(shù)的個數(shù)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×3?。?×\f(3！,2)))種，利用加法原理可得，8根算籌可以表示三位數(shù)的個數(shù)(算籌不能剩余)為12×3?。?×eq\f(3！,2)＝16×3?。?6.故選C.15．(15分)現(xiàn)有5位同學(xué)打算一起做一項嬉戲，他們的身高各不相同．現(xiàn)在要從他們5個人當(dāng)中選出若干人組成A，B兩個小組，每個小組都至少有1人，并且要求B組中最矮的那個同學(xué)的身高要比A組中最高的那個同學(xué)還要高，則不同的選法共有多少種？解：給5位同學(xué)按身高的不同由矮到高分別編號為1,2,3,4,5，組成集合M＝{1,2,3,4,5}．①若小組A中最高者為1，則能使B中最矮者高于A中最高者的小組B是{2,3,4,5}的非空子集，這樣的子集有Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(4,4)＝15個，所以不同的選法有15種；②若A中最高者為2，則這樣的小組A有2個：{2}，{1,2}，能使B中最矮者高于A中最高者的小組B是{3,4,5}的非空子集，這樣的子集(小組B)有Ceq\o\al(1,3)＋Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(3,3)＝7個，所以不同的選法有2×7＝14種；③若A中最高者為3，則這樣的小組A有4個：{3}，{1,3