2023屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-第1講-第1課時(shí)-空間幾何體及其表面積、體積

第1講基本立體圖形、簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積考向預(yù)測(cè)核心素養(yǎng)對(duì)空間幾何體的認(rèn)識(shí)、立體圖形的直觀圖和幾何體的表面積、體積是考查重點(diǎn)，以選擇、填空題為主，中等難度．直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算[學(xué)生用書(shū)P171]一、知識(shí)梳理1．空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征(1)多面體的結(jié)構(gòu)特征名稱棱柱棱錐棱臺(tái)圖形底面互相平行且全等多邊形互相平行且相似側(cè)棱平行且相等相交于一點(diǎn)，但不一定相等延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)側(cè)面形狀平行四邊形三角形梯形(2)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征名稱圓柱圓錐圓臺(tái)球圖形母線互相平行且相等，垂直于底面相交于一點(diǎn)延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)軸截面矩形等腰三角形等腰梯形圓側(cè)面展開(kāi)圖矩形扇形扇環(huán)2.直觀圖(1)畫(huà)法：常用斜二測(cè)畫(huà)法．(2)規(guī)則：①原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸、y′軸的夾角為45°或135°，z′軸與x′和y′軸所在平面垂直．②原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍分別平行于坐標(biāo)軸，平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變，平行于y軸的線段長(zhǎng)度在直觀圖中變?yōu)樵瓉?lái)的一半．3．圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖及側(cè)面積公式圓柱圓錐圓臺(tái)側(cè)面展開(kāi)圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)＝2πrlS圓錐側(cè)＝πrlS圓臺(tái)側(cè)＝π(r1＋r2)l4.柱、錐、臺(tái)、球的表面積和體積名稱幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積＝S側(cè)＋2S底V＝S底h錐體(棱錐和圓錐)S表面積＝S側(cè)＋S底V＝eq\f(1,3)S底h臺(tái)體(棱臺(tái)和圓臺(tái))S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR3常用結(jié)論1．直觀圖與原圖形面積的關(guān)系按照斜二測(cè)畫(huà)法得到的平面圖形的直觀圖與原圖形面積的關(guān)系：(1)S直觀圖＝eq\f(\r(2),4)S原圖形．(2)S原圖形＝2eq\r(2)S直觀圖．2．球的截面的性質(zhì)(1)球的任何截面是圓面；(2)球心和截面(不過(guò)球心)圓心的連線垂直于截面；(3)球心到截面的距離d與球的半徑R及截面的半徑r的關(guān)系為r＝eq\r(R2－d2).3．正方體與球的切、接常用結(jié)論正方體的棱長(zhǎng)為a，球的半徑為R，(1)若球?yàn)檎襟w的外接球，則2R＝eq\r(3)a；(2)若球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，則2R＝a；(3)若球與正方體的各棱相切，則2R＝eq\r(2)a.二、教材衍化1．(人A必修第二冊(cè)P105習(xí)題8.1T4改編)下列幾何體是棱臺(tái)的是()解析：選D.AC不是由棱錐截成的，不符合棱臺(tái)的定義，故AC不滿足題意．B中的截面不平行于底面，不符合棱臺(tái)的定義，故B不滿足題意．D符合棱臺(tái)的定義．2.(人A必修第二冊(cè)P106習(xí)題8.1T8改編)如圖，長(zhǎng)方體ABCD-A′B′C′D′被截去一部分，其中EH∥A′D′∥FG，剩下的幾何體是()A．棱臺(tái) B.四棱柱C．五棱柱 D.六棱柱答案：C3．(人A必修第二冊(cè)P120習(xí)題8.3T5改編)一個(gè)長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)都在球面上，且長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)分別為1，2，3，則球的表面積為_(kāi)_______．解析：設(shè)球的半徑為R，則2R＝eq\r(12＋22＋32)＝eq\r(14)，則R＝eq\f(\r(14),2).所以S球＝4πR2＝4π×eq\f(14,4)＝14π.答案：14π一、思考辨析判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱．()(2)有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐．()(3)用兩平行平面截圓柱，夾在兩平行平面間的部分仍是圓柱．()(4)菱形的直觀圖仍是菱形．()(5)在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×二、易錯(cuò)糾偏1．(弄混幾何體概念、特征致誤)下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()A．由五個(gè)面圍成的多面體只能是三棱柱B．棱臺(tái)各側(cè)棱的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)C．圓柱側(cè)面上的直線段都是圓柱的母線D．各個(gè)面都是正方形的四棱柱一定是正方體解析：選A.由五個(gè)面圍成的多面體也可以是四棱錐，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤．B，C，D說(shuō)法均正確．2．(斜二測(cè)畫(huà)法規(guī)則不清致誤)用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖為如圖所示的一個(gè)正方形，則原來(lái)的圖形是()解析：選A.由直觀圖可知，在直觀圖中多邊形為正方形，對(duì)角線長(zhǎng)為eq\r(2)，所以原圖形為平行四邊形，位于y軸上的對(duì)角線長(zhǎng)為2eq\r(2).故選A.3．(忽略對(duì)圓柱形狀的討論致誤)將一個(gè)鄰邊長(zhǎng)分別為4π，8π的矩形卷成一個(gè)圓柱，則這個(gè)圓柱的表面積是________．解析：當(dāng)?shù)酌嬷荛L(zhǎng)為4π時(shí)，底面圓的半徑為2，兩個(gè)底面的面積之和是8π；當(dāng)?shù)酌嬷荛L(zhǎng)為8π時(shí)，底面圓的半徑為4，兩個(gè)底面的面積之和為32π.無(wú)論哪種方式，側(cè)面積都是矩形的面積32π2，故所求的表面積是32π2＋8π或32π2＋32π.答案：32π2＋8π或32π2＋32π第1課時(shí)空間幾何體及其表面積、體積[學(xué)生用書(shū)P173]考點(diǎn)一基本立體圖形(多維探究)復(fù)習(xí)指導(dǎo)：利用實(shí)物模型認(rèn)識(shí)基本立體圖形，體會(huì)直觀圖、展開(kāi)圖的含義和作用．角度1結(jié)構(gòu)特征(1)下列命題正確的是()A．兩個(gè)面平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)B．兩個(gè)面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)C．直角梯形以一條直角腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)D．用平面截圓柱得到的截面只能是圓面和矩形面(2)(多選)下列說(shuō)法正確的是()A．以直角三角形的一條邊所在的直線為軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面圍成的幾何體是圓錐B．以等腰三角形底邊上的中線所在的直線為軸，將三角形旋轉(zhuǎn)形成的曲面圍成的幾何體是圓錐C．經(jīng)過(guò)圓錐任意兩條母線的截面是等腰三角形D．圓錐側(cè)面的母線長(zhǎng)有可能大于圓錐底面圓的直徑【解析】(1)如圖所示，可排除A，B選項(xiàng)．對(duì)于D選項(xiàng)只有截面與圓柱的母線平行或垂直，截得的截面才為矩形面或圓面，否則截面為橢圓面或橢圓面的一部分，故選C.(2)A不正確，直角三角形繞斜邊所在直線旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)體不是圓錐；B正確，以等腰三角形底邊上的中線所在直線為軸，將三角形旋轉(zhuǎn)形成的曲面圍成的幾何體是圓錐；C正確，因?yàn)閳A錐的母線長(zhǎng)都相等，所以經(jīng)過(guò)圓錐任意兩條母線的截面是等腰三角形；D正確，如圖所示，圓錐側(cè)面的母線長(zhǎng)l有可能大于圓錐底面圓半徑r的2倍(即直徑)．故選BCD.【答案】(1)C(2)BCD角度2直觀圖(1)對(duì)于用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)水平放置的圖形的直觀圖來(lái)說(shuō)，下列描述不正確的是()A．三角形的直觀圖仍然是一個(gè)三角形B．90°的角的直觀圖一定會(huì)變?yōu)?5°的角C．與y軸平行的線段長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半D．由于選軸的不同，所得的直觀圖可能不同(2)如果一個(gè)水平放置的圖形的斜二測(cè)直觀圖是一個(gè)底角為45°，腰和上底均為1的等腰梯形，那么原平面圖形的面積是()A．2＋eq\r(2) B.eq\f(1＋\r(2),2)C.eq\f(2＋\r(2),2) D.1＋eq\r(2)【解析】(1)對(duì)于A，根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法，相交直線的直觀圖仍是相交直線，因此三角形的直觀圖仍是一個(gè)三角形，故A正確；對(duì)于B，90°的角的直觀圖可以變?yōu)?5°或135°的角，故B錯(cuò)誤；C，D顯然正確．(2)原圖形為一直角梯形，其上底為1，下底為1＋eq\r(2)，高為2，所以S＝eq\f(1,2)(1＋eq\r(2)＋1)×2＝2＋eq\r(2)，故選A.【答案】(1)B(2)A角度3展開(kāi)圖(1)(2021·新高考卷Ⅰ)已知圓錐的底面半徑為eq\r(2)，其側(cè)面展開(kāi)圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的母線長(zhǎng)為()A．2 B.2eq\r(2)C．4 D.4eq\r(2)(2)長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的長(zhǎng)、寬、高分別為3，2，1，從A到C1沿長(zhǎng)方體的表面的最短距離為_(kāi)_______．【解析】(1)設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，因?yàn)樵搱A錐的底面半徑為eq\r(2)，所以2π×eq\r(2)＝πl(wèi)，解得l＝2eq\r(2)，故選B.(2)結(jié)合長(zhǎng)方體的三種展開(kāi)圖得AC1的長(zhǎng)分別是：3eq\r(2)，2eq\r(5)，eq\r(26)，顯然最小值是3eq\r(2).【答案】(1)B(2)3eq\r(2)基本立體圖形的有關(guān)問(wèn)題(1)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征是以后研究線面關(guān)系的基礎(chǔ)，要牢記．(2)斜二測(cè)畫(huà)法的關(guān)鍵在于“三變”，“三不變”．(3)利用空間幾何體的表面展開(kāi)圖可求幾何體的表面積及表面上兩點(diǎn)間的距離問(wèn)題．|跟蹤訓(xùn)練|1．(多選)下列命題正確的是()A．有兩個(gè)面互相平行，其余四個(gè)面都是等腰梯形的六面體為棱臺(tái)B．用一個(gè)平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分為棱臺(tái)C．棱錐是由底面為多邊形，其余各面為具有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形圍成的幾何體D．球面可以看作一個(gè)圓繞著它的直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)180°所形成的曲面解析：選CD.對(duì)于A，有兩個(gè)面互相平行，其余四個(gè)面都是等腰梯形的六面體不一定為棱臺(tái)，因?yàn)椴荒鼙ＷC各側(cè)棱的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，用一個(gè)平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分不一定為棱臺(tái)，因?yàn)椴荒鼙ＷC截面與底面平行，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由棱錐的定義知由底面為多邊形，其余各面為具有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形圍成的幾何體是棱錐，所以C正確；對(duì)于D，球面可以看作一個(gè)圓繞著它的直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)180°所形成的曲面，正確．故選CD.2.如圖所示為一個(gè)平面圖形的直觀圖，則它的實(shí)際形狀四邊形ABCD為()A．平行四邊形 B.梯形C．菱形 D.矩形解析：選D.由斜二測(cè)畫(huà)法可知在原四邊形ABCD中DA⊥AB，并且AD∥BC，AB∥CD，故四邊形ABCD為矩形．3．圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為10cm，20cm，它的側(cè)面展開(kāi)圖扇環(huán)的圓心角為180°，則圓臺(tái)的表面積為_(kāi)_______cm2.(結(jié)果中保留π)解析：如圖所示，設(shè)圓臺(tái)的上底面周長(zhǎng)為ccm，因?yàn)樯拳h(huán)的圓心角是180°，故c＝π·SA＝2π×10(cm)，所以SA＝20cm.同理可得SB＝40cm，所以AB＝SB－SA＝20cm，所以S表＝S側(cè)＋S上底＋S下底＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1100π(cm2)．故圓臺(tái)的表面積為1100πcm2.答案：1100π考點(diǎn)二空間幾何體的表面積(自主練透)復(fù)習(xí)指導(dǎo)：了解球、柱、錐、臺(tái)的表面積的計(jì)算公式．1．已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，過(guò)直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為()A．12eq\r(2)π B.12πC.8eq\r(2)π D.10π解析：選B.設(shè)圓柱的軸截面的邊長(zhǎng)為x，則由x2＝8，得x＝2eq\r(2)，所以S表＝2S底＋S側(cè)＝2×π×(eq\r(2))2＋2π×eq\r(2)×2eq\r(2)＝12π.故選B.2．已知圓臺(tái)的上、下底面半徑和高的比為1∶4∶4，若母線長(zhǎng)為10，則圓臺(tái)的表面積為()A．81π B.100πC.168π D.169π解析：選C.圓臺(tái)的軸截面如圖，設(shè)上底面半徑為r，下底面半徑為R，高為h，母線長(zhǎng)為l，則它的母線長(zhǎng)l＝eq\r(h2＋（R－r）2)＝eq\r(（4r）2＋（3r）2)＝5r＝10，所以r＝2，R＝8.故S側(cè)＝π(R＋r)l＝π(8＋2)×10＝100π，S表＝S側(cè)＋πr2＋πR2＝100π＋4π＋64π＝168π.3.如圖，設(shè)正三棱錐S-ABC的側(cè)面積是底面積的2倍，正三棱錐的高SO＝3，則此正三棱錐的表面積為_(kāi)_______．解析：如圖，設(shè)正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為a，斜高為h′，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB，與AB交于點(diǎn)E，連接SE，則SE⊥AB，SE＝h′.因?yàn)镾側(cè)＝2S底，所以eq\f(1,2)·3a·h′＝eq\f(\r(3),4)a2×2.所以a＝eq\r(3)h′.因?yàn)镾O⊥OE，所以SO2＋OE2＝SE2.所以32＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),6)×\r(3)h′))eq\s\up12(2)＝h′2.所以h′＝2eq\r(3)，所以a＝eq\r(3)h′＝6.所以S底＝eq\f(\r(3),4)a2＝eq\f(\r(3),4)×62＝9eq\r(3)，S側(cè)＝2S底＝18eq\r(3).所以S表＝S側(cè)＋S底＝9eq\r(3)＋18eq\r(3)＝27eq\r(3).答案：27eq\r(3)求解幾何體表面積的類型及求法求多面體的表面積將它們沿著棱“剪開(kāi)”展成平面圖形，利用求平面圖形面積的方法求多面體的表面積求旋轉(zhuǎn)體的表面積可以從旋轉(zhuǎn)體的形成過(guò)程及其幾何特征入手，將其展開(kāi)后求表面積，但要搞清它們的底面半徑、母線長(zhǎng)與對(duì)應(yīng)側(cè)面展開(kāi)圖中的邊長(zhǎng)關(guān)系求不規(guī)則幾何體的表面積通常將所給幾何體分割成基本的柱體、錐體、臺(tái)體，先求出這些基本的柱體、錐體、臺(tái)體的表面積，再通過(guò)求和或作差，求出所給幾何體的表面積考點(diǎn)三空間幾何體的體積(多維探究)復(fù)習(xí)指導(dǎo)：了解球、柱、錐、臺(tái)的體積的計(jì)算公式．角度1直接利用公式求體積(1)(2022·江蘇南通聯(lián)考)已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長(zhǎng)均為2，點(diǎn)D在棱AA1上，則三棱錐D-BB1C1的體積為_(kāi)_______．(2)(2020·新高考卷Ⅱ)棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別為棱BB1，AB的中點(diǎn)，則三棱錐A1-D1MN的體積為_(kāi)_______．【解析】(1)如圖，取BC中點(diǎn)O，連接AO.因?yàn)檎庵鵄BC-A1B1C1的各棱長(zhǎng)均為2，所以AC＝2，OC＝1，則AO＝eq\r(3).因?yàn)锳A1∥平面BCC1B1，所以點(diǎn)D到平面BCC1B1的距離為eq\r(3).又因?yàn)镾△BB1C1＝eq\f(1,2)×2×2＝2，所以VD-BB1C1＝eq\f(1,3)×2×eq\r(3)＝eq\f(2\r(3),3).(2)如圖，由正方體棱長(zhǎng)為2，M，N分別為棱BB1，AB的中點(diǎn)，得S△A1MN＝2×2－2×eq\f(1,2)×2×1－eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(3,2)，又易知D1A1為三棱錐D1-A1MN的高，且D1A1＝2，所以VA1-D1MN＝VD1-A1MN＝eq\f(1,3)·S△A1MN·D1A1＝eq\f(1,3)×eq\f(3,2)×2＝1.【答案】(1)eq\f(2\r(3),3)(2)1角度2割補(bǔ)法求體積在梯形ABCD中，∠ABC＝eq\f(π,2)，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為()A.eq\f(2π,3) B.eq\f(4π,3)C.eq\f(5π,3) D.2π【解析】如圖所示，過(guò)點(diǎn)D作BC的垂線，垂足為H.則由旋轉(zhuǎn)體的定義可知，該梯形繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體為一個(gè)圓柱挖去一個(gè)圓錐．其中圓柱的底面半徑R＝AB＝1，高h(yuǎn)1＝2HC＝BC＝2，其體積V1＝πR2h1＝π×12×2＝2π；圓錐的底面半徑r＝DH＝1，高h(yuǎn)2＝HC＝1，其體積V2＝eq\f(1,3)πr2h2＝eq\f(1,3)π×12×1＝eq\f(π,3).故所求幾何體的體積V＝V1－V2＝2π－eq\f(π,3)＝eq\f(5π,3).【答案】C幾何體的體積計(jì)算要點(diǎn)|跟蹤訓(xùn)練|1．(2021·新高考卷Ⅱ)正四棱臺(tái)的上、下底面的邊長(zhǎng)分別為2，4，側(cè)棱長(zhǎng)為2，則其體積為()A．20＋12eq\r(3) B.28eq\r(2)C.eq\f(56,3) D.eq\f(28\r(2),3)解析：選D.連接該正四棱臺(tái)上下底面的中心，如圖，因?yàn)樵撍睦馀_(tái)上下底面邊長(zhǎng)分別為2，4，側(cè)棱長(zhǎng)為2，所以該棱臺(tái)的高h(yuǎn)＝eq\r(22－（2\r(2)－\r(2)）2)＝eq\r(2)，下底面面積S1＝16，上底面面積S2＝4，所以該棱臺(tái)的體積V＝eq\f(1,3)h(S1＋S2＋eq\r(S1S2))＝eq\f(1,3)×eq\r(2)×(16＋4＋eq\r(64))＝eq\f(28\r(2),3).故選D.2.如圖，在多面體ABCDEF中，已知四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，且△ADE，△BCF均為正三角形，EF∥AB，EF＝2，則該多面體的體積為_(kāi)_______．解析：如圖，過(guò)BC作與EF垂直的截面BCG，作平面ADM∥平面BCG，取BC的中點(diǎn)O，連接GO，F(xiàn)O，由題意可得FO＝eq\f(\r(3),2)，F(xiàn)G＝eq\f(1,2)，所以GO＝eq\r(FO2－FG2)＝eq\f(\r(2),2)，所以S△BCG＝eq\f(1,2)×1×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),4)，V1＝VBCG-ADM＝S△BCG·AB＝eq\f(\r(2),4)，V2＝2VF-BCG＝2×eq\f(1,3)S△BCG·GF＝2×eq\f(1,3)×eq\f(\r(2),4)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(2),12)，所以V＝V1＋V2＝eq\f(\r(2),3).答案：eq\f(\r(2),3)[學(xué)生用書(shū)P352(單獨(dú)成冊(cè))][A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．(多選)下列說(shuō)法正確的是()A．棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)都相等B．棱柱的兩個(gè)互相平行的面一定是棱柱的底面C．棱臺(tái)的側(cè)面是等腰梯形D．用一個(gè)平面截一個(gè)球，得到的截面是一個(gè)圓面解析：選AD.A正確；B不正確，例如六棱柱的相對(duì)側(cè)面也互相平行；C不正確，棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)可能不相等；D正確．2．(多選)(2022·山東濰坊模擬)等腰直角三角形的直角邊長(zhǎng)為1，現(xiàn)將該三角形繞其某一邊旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的幾何體的表面積可以為()A.eq\r(2)π B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\r(2)))πC．2eq\r(2)π D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\r(2)))π解析：選AB.如果繞直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)，那么形成圓錐，圓錐底面半徑為1，高為1，母線長(zhǎng)就是直角三角形的斜邊長(zhǎng)eq\r(2)，所以所形成的幾何體的表面積S＝πrl＋πr2＝π×1×eq\r(2)＋π×12＝(eq\r(2)＋1)π；如果繞斜邊所在直線旋轉(zhuǎn)，那么形成的是同底的兩個(gè)圓錐，圓錐的底面半徑是直角三角形斜邊高為eq\f(\r(2),2)，兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)都是1，所以形成的幾何體的表面積S＝2×πrl＝2×π×eq\f(\r(2),2)×1＝eq\r(2)π.綜上可知，形成幾何體的表面積是(eq\r(2)＋1)π或eq\r(2)π.故選AB.3.一平面四邊形OABC的直觀圖O′A′B′C′如圖所示，其中O′C′⊥x′軸，A′B′⊥x′軸，B′C′∥y′軸，則四邊形OABC的面積為()A.eq\f(3\r(2),2) B.3eq\r(2)C.3 D.eq\f(3,2)解析：選B.平面四邊形OABC的直觀圖O′A′B′C′是直角梯形，其面積為eq\f(1,2)×(1＋2)×1＝eq\f(3,2)；則S原＝2eq\r(2)S直＝3eq\r(2).故選B.4.(2022·太原市高三模擬)如圖是水平放置的某個(gè)三角形的直觀圖，D′是△A′B′C′中B′C′邊的中點(diǎn)且A′D′∥y′軸，A′B′，A′D′，A′C′三條線段對(duì)應(yīng)原圖形中的線段AB，AD，AC，那么()A．最長(zhǎng)的是AB，最短的是ACB．最長(zhǎng)的是AC，最短的是ABC．最長(zhǎng)的是AB，最短的是ADD．最長(zhǎng)的是AD，最短的是AC解析：選C.由題中的直觀圖可知，A′D′∥y′軸，B′C′∥x′軸，根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法的規(guī)則可知，在原圖形中AD∥y軸，BC∥x軸，又因?yàn)镈′為B′C′的中點(diǎn)，所以△ABC為等腰三角形，且AD為底邊BC上的高，則有AB＝AC>AD成立．5．圓柱的底面積為S，側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)正方形，那么圓柱的側(cè)面積是()A．4πS B.2πSC.πS D.eq\f(2\r(3),3)πS解析：選A.由πr2＝S得圓柱的底面半徑是eq\r(\f(S,π))，故側(cè)面展開(kāi)圖的邊長(zhǎng)為2π·eq\r(\f(S,π))＝2eq\r(πS)，所以圓柱的側(cè)面積是4πS，故選A.6.(2020·高考全國(guó)卷Ⅰ)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐．以該四棱錐的高為邊長(zhǎng)的正方形面積等于該四棱錐一個(gè)側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長(zhǎng)的比值為()A.eq\f(\r(5)－1,4) B.eq\f(\r(5)－1,2)C.eq\f(\r(5)＋1,4) D.eq\f(\r(5)＋1,2)解析：選C.設(shè)正四棱錐的高為h，底面正方形的邊長(zhǎng)為2a，斜高為m，依題意得h2＝eq\f(1,2)×2a×m，即h2＝am①，易知h2＋a2＝m2②，由①②得m＝eq\f(1＋\r(5),2)a(舍負(fù))，所以eq\f(m,2a)＝eq\f(\f(1＋\r(5),2)a,2a)＝eq\f(1＋\r(5),4).故選C.7．一個(gè)圓臺(tái)上、下底面的半徑分別為3cm和8cm，若兩底面圓心的連線長(zhǎng)為12cm，則這個(gè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為_(kāi)_______cm.解析：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AC⊥OB，交OB于點(diǎn)C.在Rt△ABC中，AC＝12cm，BC＝8－3＝5(cm)．所以AB＝eq\r(122＋52)＝13(cm)．答案：138．(2021·高考全國(guó)卷甲)已知一個(gè)圓錐的底面半徑為6，其體積為30π，則該圓錐的側(cè)面積為_(kāi)_______．解析：設(shè)該圓錐的高為h，則由已知條件可得eq\f(1,3)×π×62×h＝30π，解得h＝eq\f(5,2)，則圓錐的母線長(zhǎng)為eq\r(h2＋62)＝eq\r(\f(25,4)＋36)＝eq\f(13,2)，故該圓錐的側(cè)面積為π×6×eq\f(13,2)＝39π.答案：39π9.現(xiàn)需要設(shè)計(jì)一個(gè)倉(cāng)庫(kù)，它由上下兩部分組成，上部的形狀是正四棱錐P-A1B1C1D1，下部的形狀是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如圖所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO1的4倍，若AB＝6m，PO1＝2m，則倉(cāng)庫(kù)的容積是多少？解：由PO1＝2m，知O1O＝4PO1＝8m.因?yàn)锳1B1＝AB＝6m，所以正四棱錐P-A1B1C1D1的體積V錐＝eq\f(1,3)·A1Beq\o\al(2,1)·PO1＝eq\f(1,3)×62×2＝24(m3)；正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的體積V柱＝AB2·O1O＝62×8＝288(m3)，所以倉(cāng)庫(kù)的容積V＝V錐＋V柱＝24＋288＝312(m3)．故倉(cāng)庫(kù)的容積是312m3.10.如圖所示，底面半徑為1，高為1的圓柱OO1中有一內(nèi)接長(zhǎng)方體A1B1C1D1-ABCD.設(shè)矩形ABCD的面積為S，長(zhǎng)方體A1B1C1D1-ABCD的體積為V，AB＝x.(1)將S表示為x的函數(shù)；(2)求V的最大值．解：(1)連接AC(圖略)，因?yàn)榫匦蜛BCD內(nèi)接于⊙O，所以AC為⊙O的直徑．因?yàn)锳C＝2，AB＝x，所以BC＝eq\r(4－x2)，所以S＝AB·BC＝xeq\r(4－x2)(0<x<2)．(2)因?yàn)殚L(zhǎng)方體的高AA1＝1，所以V＝S·AA1＝xeq\r(4－x2)＝eq\r(x2（4－x2）)＝eq\r(－（x2－2）2＋4).因?yàn)?<x<2，所以0<x2<4，故當(dāng)x2＝2即x＝eq\r(2)時(shí)，V取得最大值，此時(shí)Vmax＝2.[B綜合應(yīng)用]11．(2021·新高考卷Ⅱ)北斗三號(hào)全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是我國(guó)航天事業(yè)的重要成果．在衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，地球靜止同步衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為36000km(軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的距離)．將地球看作是一個(gè)球心為O，半徑r為6400km的球，其上點(diǎn)A的緯度是指OA與赤道平面所成角的度數(shù)．地球表面上能直接觀測(cè)到一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星點(diǎn)的緯度最大值為α，記衛(wèi)星信號(hào)覆蓋地球表面的表面積為S＝2πr2(1－cosα)(單位：km2)，則S占地球表面積的百分比約為()A．26% B.34%C.42% D.50%解析：選C.由題意可得，S占地球表面積的百分比約為eq\f(2πr2（1－cosα）,4πr2)＝eq\f(1－cosα,2)＝eq\f(1－\f(6400,6400＋36000),2)≈0.42＝42%.故選C.12.(2022·成都調(diào)研)如圖，四面體各個(gè)面都是邊長(zhǎng)為1的正三角形，其三個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)圓柱的下底面圓周上，另一個(gè)頂點(diǎn)是上底面圓心，圓柱的側(cè)面積是()A.eq\f(\r(2),3)π B.eq\f(3\r(2),4)πC.eq\f(2\r(2),3)π D.eq\f(\r(2),2)π解析：選C.如圖所示，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥平面ABC，E為垂足，點(diǎn)E為等邊三角形ABC的中心，連接AE并延長(zhǎng)，交BC于點(diǎn)D.AE＝eq\f(2,3)AD，AD＝eq\f(\r(3),2)，所以AE＝eq\f(2,3)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),3)，所以PE＝eq\r(PA2－AE2)＝eq\f(\r(6),3).設(shè)圓柱底面半徑為r，則r＝AE＝eq\f(\r(3),3)，所以圓柱的側(cè)面積S＝2πr·PE＝2π×eq\f(\r(3),3)×eq\f(\r(6),3)＝eq\f(2\r(2)π,3).13.(2022·濟(jì)南模擬)已知三棱錐S-ABC中，∠SAB＝∠ABC＝eq\f(π,2)，SB＝4，SC＝2eq\r(13)，AB＝2，BC＝6，則三棱錐S-ABC的體積是()A．4 B.6C.4eq\r(3) D.6eq\r(3)解析：選C.因?yàn)椤螦BC＝eq\f(π,2)，AB＝2，BC＝6，所以AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝eq\r(22＋62)＝2eq\r(10).因?yàn)椤蟂AB＝eq\f(π,2)，AB＝2，SB＝4，所以AS＝eq\r(SB2－AB2)＝eq\r(42－22)＝2eq\r(3).由SC＝2eq\r(13)，得AC2＋AS2＝SC2，所以AC⊥AS.又因?yàn)镾A⊥AB，AC∩AB＝A，所以AS⊥平面ABC，所以AS為三棱錐S-ABC的高，所以V三棱錐S-ABC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×6×2eq\r(3)＝4eq\r(3).14.學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐，利用3D打印技術(shù)制作模型．如圖，該模型為長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1挖去四棱錐O-EFGH后所得的幾何體，其中O為長(zhǎng)方體的中心，E，F(xiàn)，G，H分別為所在棱的中點(diǎn)，AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm.3D打印所用原料密度為0.9g/cm3.不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為_(kāi)_______g.解析：由題易得長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的體積為6×6×4＝144(cm3)，四邊形EFGH為平行四邊形，四棱錐O-EFGH的高為3cm，如圖所示，連接GE，HF，易知四邊形EFGH的面積為矩形BCC1B1面積的一半，即eq\f