2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義-數(shù)列的概念

數(shù)列

§6.1數(shù)列的概念

【考試要求】1.了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法（列表、圖象、通項公式）2了解數(shù)列是

自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù).

-落實主干知識」

【知識梳理］

1.數(shù)列的定義

按照確定的順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列,數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項.

2.數(shù)列的分類

分類標(biāo)準(zhǔn)類型滿足條件

有窮數(shù)列項數(shù)有限

項數(shù)

無窮數(shù)列項數(shù)無限

遞增數(shù)列a[>a

〃+1-----n

遞減數(shù)列a[VQ其中“CN*

項與項間的n+l---n

常數(shù)列Cl.=Q

大小關(guān)系n+1n

從第二項起，有些項大于它的前一項，

擺動數(shù)列

有些項小于它的前一項的數(shù)列

3.數(shù)列的通項公式

如果數(shù)列｛%｝的第n項對與它的序號w之間的對應(yīng)關(guān)系可以用一個式子來表示,那么這個式

子叫做這個數(shù)列的通項公式.

4.數(shù)列的遞推公式

如果一個數(shù)列的相鄰兩項或多項之間的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個

數(shù)列的遞推公式.

【常用結(jié)論】

S],n=l,

1.已知數(shù)列｛練｝的前〃項和s〃，則與=

—〃22.

[a2aJ[aWQ]，

2.在數(shù)列｛〃｝中，若〃最大，則〃、1（G2,〃￡N*）；若。最小，則11（心2,

""叱%+1"&&,+1

"GN*）.

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確（請在括號中打“J”或“X”）

⑴相同的一組數(shù)按不同順序排列時都表示同一個數(shù)列.（X）

（2）1,1,1,1,…，不能構(gòu)成一??數(shù)列.（X）

（3）任何一個數(shù)列不是遞增數(shù)列，就是遞減數(shù)列.（X）

即如果數(shù)列｛冊｝的前"項和為5",則對任意“6^，都有“"+1=%1-5“.（V）

【教材改編題]

1.若數(shù)列｛4“｝滿足4=2,則”2023的值為（）

11

c-D-

A.2B.13-23

答案C

解析因為q=

所以a=上4

1-〃]

同理可得％=-

1

可得a二a則“2023一“505x4+3

n+4n2,

2.數(shù)列!,*1，白■，…的通項公式是a=

DOIDDDn

答案舟萬’"GN

1-1

解析

1x(l+2)3

1_1

Q。=----------Q

22X(2+2)8

11

3-3義(3+2)15

1_1

%-4*(4+2)24，

1_1

^5~5X(5+2)35，

??.通過觀察，我們可以得到如上的規(guī)律，

貝Ua=----,n￡N*.

〃n(n+2)

3.已知數(shù)列｛〃〃｝的前幾項和S〃=2〃2—3〃，則數(shù)列｛5｝的通項公式”=

答案4九一5

解析4=S[=2-3=-1,

當(dāng)n，2時，。=s-S,

nnn-I

=(2n2-3n)-[2(〃-1)2-3(〃-1)]

=4H-5,

因為4也適合上式,所以=4〃-5.

■探究核心題型

題型一由a“與S”的關(guān)系求通項公式

例1(1)設(shè)5“為數(shù)列｛與｝的前"項和,若2s“=3%—3,則%等于(

A.27B.81

C.93D.243

答案B

解析根據(jù)2s“=3a“-3,

可得2s=3a+]-3,

兩式相減得2a=342,a,

n+1n+1n'

即。=3a,

n+1n'

當(dāng)〃=1時，2S]=3%-3,解得4=3,

所以數(shù)列｛a,J是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，

所以=34=81.

(2)設(shè)數(shù)列｛〃〃｝滿足4+34+…+(2〃-則q

2,孔=1,

答案2?-i

,2n-r"?2

解析當(dāng)幾=1時，%=2產(chǎn)2.

?.,〃]+34+…+(2n-1)an=2n,①

工%+34+…+(2〃-3)〃〃_]=2〃T(〃22),②

由①_②得，(2〃-V)-a=2〃-2〃-1=2〃-1,

n

2〃-1

C.a=-------(幾22).

〃2n-1

2,n=l,

顯然n=1時不滿足上式,=<2〃-1

”-----，心2.

(2〃-1

【教師備選】

1.已知數(shù)列｛〃〃｝的前幾項和5〃="2+2"，則氏=.

答案2n+l

解析當(dāng)幾=1時，%=S]=3.當(dāng)九22時，a〃=S〃-S〃]=〃2+2〃-[(n-1)2+2(〃-1)]=2n+

1.由于％=3適合上式，,%=2〃+1.

2.已知數(shù)列｛“〃｝中，S〃是其前〃項和，且S〃=2a〃+L則數(shù)列的通項公式〃〃=.

答案一2〃T

解析當(dāng)〃=1時，％=S[=2%+1,

??ci~1.

當(dāng)時，

"22Sn=2an+1,①

S=2a,+1.②

n-1n-1

①-②得1JSn-Sn-1=2an-2an-1.1,

即。二2。-2。?,

nnn-1

即5=2*(心2),

/.｛?！埃鞘醉棡?=-1,公比為q=2的等比數(shù)列.

???%=%"-=々-I.

S,〃=1,

思維升華⑴已知S“求3的常用方法是利用與二轉(zhuǎn)化為關(guān)于?！ǖ年P(guān)系式，

〃〃nS-S一心2

nn-11

再求通項公式.

⑵5“與an關(guān)系問題的求解思路

方向1:利用*=S“-S“_](〃22)轉(zhuǎn)化為只含s“，S“_1的關(guān)系式，再求解.

方向2：利用5-s.,=%(心2)轉(zhuǎn)化為只含an,%7的關(guān)系式，再求解.

跟蹤訓(xùn)練1(1)已知數(shù)列｛4｝的前〃項和為s“，且S“=2”2+W+1,"GN*,則4

4,n=l,

答案

4n—1,n22

解析根據(jù)題意，

可得I=2(〃-])2+(〃-1)+L

由通項公式與求和公式的關(guān)系,

可得M=S,-S“T

代入化簡得

a=2〃2+〃+1-2(〃-I%-(wT)T=4〃-1.

n

經(jīng)檢驗，當(dāng)〃=1時，S]=4,%=3,

所以*%,

4,〃二1,

所以。

n

4〃-1,〃22.

⑵設(shè)S”是數(shù)列｛%｝的前〃項和，且％=_1,a=SS.,則%=.

-1,n—1,

答案i1

.n(n-1)’

解析由已知得%="“=%￡,

兩邊同時除以工R，

-1=-1-

S"+1"

故數(shù)列是以-1為首項，-1為公差的等差數(shù)列，

則L=-1-(n-1)=-n.

Sn

所以s=--

nn

當(dāng)時，

a=S-S=--+-^—=——,

""1nn-1n(n-1)

j-1,n=1,

故。=j1

n----------,2.

(幾-1)

題型二由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項公式

命題點1累加法

例2在數(shù)列｛a〃｝中，a=2,a“+]=a“+ln(l+：),則a“等于(

A.2+lnnB.2+(n—l)lnn

C.2+nlnnD.1+n+lnn

答案A

n+1

解析因為冊+i-a〃=In：—=ln(〃+l)-ln〃，

所以4-%=In2Tn1,

%-%=In3-In2,

%=In4-In3,

冊-7二In〃Tn(幾-1)(幾22),

把以上各式分別相加得?-a=lnn-lnl,

n1

a

貝！Jn=2+In幾(〃22)，且％=2也適合，

因止匕〃〃=2+Inn(n￡N*).

命題點2累乘法

例3若數(shù)列｛〃｝滿足%=1,na(〃22),則%=

n1n—1nn

2

答案市

解析由nan_]=(.+1)?！?〃22),

得Jj22).

a1n+1

nn-1n-2322

所以----X----X----X-XXTX1

n+1nn-1743n+1

又…滿足上式，所以7r

【教師備選】

L在數(shù)列｛叫中,%=3,%+】=%+舟p則通項公式與=

答案T

1_11

解析

n(n+1)nn+\

￡

?二當(dāng)九22時，〃-a.-----

〃〃-1n-1n

11

a

*~n-2n-2n-X

%-=1-g，

以上各式相力口得，4-4=1-1，

，%=4-；，%=3適合上式，

〃IL1

..a=4

nn

2.若｛〃〃｝滿足2("+1)?陽〃?〃"]=(),且%>0,%=1,則

答案

解析由2(〃+1)-622+(n+2>%?〃〃+1-〃?冊+]=0得

n(x2a2n+〃n?〃n+-1-〃n2+-I)7+2〃n(xan+an+,,[7)=0,

/.n('an+a〃-+)1八(2。n-an+-1)7+2q公(an+an+-I)7=0,'

('an+a〃+1J八['(2(2n-an+l,z)-n+2anJ]=0,

又a>0,

n

：.2n-an+2an-n-an+l=0,

?%+=2(〃+1)

??%n

又4=1,

.,.當(dāng)w22時，

2H〉〈2("-1)〉〈2Q-2)2X32X2

X---X—^-X—^-Xl=2n-i-n.

n-In-2n-3

又"=1時，％=1適合上式，

思維升華⑴形如an+1-%=加）的數(shù)列，利用累加法,即利用公式a“=（a.-?！?（%-

%.2）+…+（“2-%）+%（心2）,即可求數(shù)列｛.“｝的通項公式.

(2)形如乎=加)的數(shù)歹U,常令n分別為1,2,3，…，〃-1,代入乎1=加),再把所得的5-

nn

1)個等式相乘，利用量=叼｝?…-K-(〃22)即可求數(shù)列｛與｝的通項公式.

跟蹤訓(xùn)練2(1)已知數(shù)列｛%｝的前n項和為4,若4=2,%+|=%+2"-1+1,則a=.

答案2〃-1+〃

解析Vtz=a+2〃-1+1.

n+1n

?\a-a=2?-1+1/

n+1n

當(dāng)"22時，an=(an-J+(anl-an2)+—+(%-4)+⑷-4)+4=-2+2“-3+…+

1-2〃-1

2+1+〃+n-1-----------+2+〃-1=2n-1+n.

11-2

又曾產(chǎn)？滿足上式，

：.an=2"-1+九

(2)(2022?莆田模擬)已知數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，4=1,S“=w2a“(”GN*),則數(shù)列｛與｝的通

項公式為.

2

答案冊=而不

解析由二九24,

Snn

可得當(dāng)時，S=(n-l)2a

貝！1Q=S-S.=n2a-(n-1)2〃

nnn-inn-I

即(九2"1)。=(n-1)2?,

n、7n-1

..,aH-]

勿知a7^：o,故一i二---(幾22).

〃an-1.n+\

所以當(dāng)w22時，

1

a—義工xLx…X&X%XQ

n?！?2*%%

n-\n-2〃-321

-------X-------X-------x-x^x-xi

H+1nn-1

2

n(n+1)

當(dāng)”=1時，%=1滿足.=—^―,

1"n(n+1)

故數(shù)列⑵的通項公式為-訴.

題型三數(shù)列的性質(zhì)

命題點1數(shù)列的單調(diào)性

”是“數(shù)列｛｝為遞增數(shù)列”

例4已知數(shù)列｛a“｝的通項公式為an=n2—22n(nGN*),則5

的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案A

解析若數(shù)列｛4｝為遞增數(shù)列，

則有加5>0,

/.(?+1)2-2A(M+1)-n2+22/7

=2H+1-2A>0,

即2n+1>24對任意的“WN”都成立，

于是有人其土］|.3

V27min2

3

??,由k1可推得k］，

但反過來，由衣，不能得到kl,

因此以＜1”是“數(shù)列｛5｝為遞增數(shù)列”的充分不必要條件.

命題點2數(shù)列的周期性

例5（2022.廣州四校聯(lián)考）數(shù)列｛%｝滿足4=2,a=丁」（"GN*）,則a等于（）

rlItl十1IZ74

-21

Ac.1

2BD.-

2-

答案c

解析...數(shù)列｛與｝滿足%=2,

a---(wwN*),

n+1

1-an

?n-----1---=_]

..“2一1一2，

可知此數(shù)列有周期性，周期T=3,

即%3=%，則％23=4=2.

命題點3數(shù)列的最值

例6已知數(shù)列｛4｝的通項公式。“=（"+1＞（號），，則數(shù)列｛4｝的最大項為（）

A.%或“9B?%或40

C.Q10或4］D.%］或由2

答案B

解析結(jié)合4x）=a+1）（9）的單調(diào)性，

設(shè)數(shù)列｛,｝的最大項為an,

所以

an^an-\

(將"》(〃+2)(舟"

J(?+1)-4-

所以］

〔(〃+1).

解不等式組可得9W"W10.

所以數(shù)列｛'｝的最大項為旬或4

【教師備選】

1.已知數(shù)列｛3｝的通項公式為?！?一歹，若數(shù)列｛%｝為遞減數(shù)列，則實數(shù)％的取值范圍為

()

A.(3,+8)B.(2,+°°)

C.(1,+°0)D.(0,+8)

答案D

3〃+3+Z3n+k

解析因為%+1_%=-2n

_3-3n-k

2〃+i

由數(shù)列｛,｝為遞減數(shù)列知，

4--k

對任意“eN*,a----：----<0,

"+ia”2“+i

所以k>3-3n對任意neN*恒成立,

所以上G(0,+°°).

2.在數(shù)列｛aj中，4=1,a“an+3=l,則logs4+log5a2H---Hog5a2023等于()

A.-1B.0

C.log53D.4

答案B

解析因為a“%+3=l,所以％+3。“+6=1,所以an+6=a〃，所以｛與｝是周期為6的周期數(shù)列，

所以所5%+log5a2+…+1喝。2023

二峪3產(chǎn)2…。2023)

=

l°g5[(tZ1CZ2---tZ6)337-tZ1],

=

又因為。產(chǎn)4=a2a5-1，

所以"14…"6=1，

=

所以原式1O§5(1337X1)=log5l=0.

思維升華⑴解決數(shù)列的單調(diào)性問題的方法

用作差比較法，根據(jù),-%的符號判斷數(shù)列｛%｝是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列還是常數(shù)列.

(2)解決數(shù)列周期性問題的方法

先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項，確定數(shù)列的周期，再根據(jù)周期性求值.

(3)求數(shù)列的最大項與最小項的常用方法

①函數(shù)法，利用函數(shù)的單調(diào)性求最值.

a2〃,aWQ[1"_

②利用""■(〃》2)確定最大項，利用"(九三2)確定最小項.

〔冊》程+11a.Wa“+

12%,

4

跟蹤訓(xùn)練3(1)在數(shù)列｛4｝中，an+1=|一]若％=亍則〃2023的值為()

〔2%-1,住,

34

B.^

21

C.§D.§

答案D

41

解析ax--^>2/

31

/.=24-1=~^>2'

.11

??〃3=2〃2-1=^<2'

?c21

??[4=2〃3=5<2'

.。4

??〃5=2。4=5，

可以看出四個循環(huán)一次，

故"2023=04x505+3=%4

川+]

(2)(2022.滄州七校聯(lián)考)已知數(shù)列｛冊｝滿足a=高=后(〃N*),則數(shù)列｛%,｝的最小項是第

.項.

答案5

〃+1if,19

角星析a=------二義11+

〃3n-163〃-16

當(dāng)n>5時，a>o,且單調(diào)遞減;

當(dāng)及W5時，an<o,且單調(diào)遞減，

當(dāng)及二5時，?！ㄗ钚?

課時精練

?；A(chǔ)保分練

1.數(shù)列｛與｝的前幾項為a3,y,8,y,則此數(shù)列的通項公式可能是()

5〃一43n~2

A.a=-z-B.a=-z-

n2n2

6n—510n—9

C.a—cD.a—c

〃2n2

答案A

數(shù)列為:，?，*，￥，*，???，其分母為,分子是以首項為,公差為的等差數(shù)列，

解析215

乙乙乙乙乙

Sn-4

故數(shù)列上,｝的通項公式為4=

2.在數(shù)列｛%｝中，a=\,?！?1+--------(w》2),則％等于()

A.|-5一8

B.gC.5D.2

答案D

(7)2、

解析a=]+--------=2,

2a3?22

(-1)5_2

+------------

4%5%3?

1

1~ra_,_p-則T為I/

u23X

3.已知數(shù)列｛與｝的前〃項積為T“，且滿足q!=-.-----(neN*)，右巴1J)2

〃+i\~an4

3

A.-4B--5

51

C.D

3-4

答案C

\+a〃cX\

解析由a,------!a)

n+114

\-an

得。2=|，"3=一4,%=一|，"51

4

所以數(shù)列｛,｝具有周期性，周期為4,

因為〃==12°23=4X505+3,

所以72023=(%〃2%〃4)…32。21〃2。22〃2。23)

155

-X--

433

4.若數(shù)列｛“〃｝的前〃項和S〃=2a〃一1（〃￡N*）,則〃5等于（）

A.8B.16C.32D.64

答案B

解析數(shù)列｛%｝的前〃項和Sn=2an-1（〃￡N*）,

則Sn-l.=2an-1-1（、幾22z）,

兩式相減得。=2a,（w22）,

由此可得，數(shù)列｛〃“｝是等比數(shù)列，

又S[=2%-1=%,所以4=1,

故數(shù)列｛,｝的通項公式為〃“二2〃-1，

令〃=5，得。5=16.

9M2—Qn2_.

5.（多選）已知數(shù)列｛?！埃耐椆綖榕c=一^^一（"GN*），則下列結(jié)論正確的是（）

A.這個數(shù)列的第10項為舒27

B.忐97是該數(shù)列中的項

C.數(shù)列中的各項都在區(qū)間；，1）內(nèi)

D.數(shù)列｛4｝是單調(diào)遞減數(shù)列

答案BC

_.9^2-9n+2_(3n-l)(3n-2)

角單析a=------:-=--------------

"9n2-1(3n-1)(3M+1)

_3n-2

3n+1

令”=10得4o=||,故A錯誤；

不3"-2粉導(dǎo)〃=33中*,

V3n+1

故需是數(shù)列中的項，故B正確；

3n-23〃+1-33

因為。-----=---------=1-------

n3n+13n+13n+1

又〃￡N*.

所以數(shù)列巴｝是單調(diào)遞增數(shù)列，

所以＜1,故C正確，D不正確.

qn

6.(多選)若數(shù)列｛3｝滿足：對任意正整數(shù)小｛a,—1一冊｝為遞減數(shù)歹！1,則稱數(shù)列｛%｝為“差遞

減數(shù)列”.給出下列數(shù)列｛a“｝(〃GN*),其中是“差遞減數(shù)列”的有()

A.a=3nB.a=n^l

i-n

C.ci—\lnD.〃=ln;-T

nv〃n+1

答案CD

解析對于A，若%=3w,則an+l-an=3(n+1)-3n=3,所以｛a“+i-%｝不為遞減數(shù)列，故

A錯誤；

對于B,右a=+1,

n

貝!J〃i-a=(〃+1)2-〃2=2〃+1,

n+Inv/

所以｛5+1-aj為遞增數(shù)列，故B錯誤；

對于c,若a

所以Q+I-%｝為遞減數(shù)列，故C正確；

對于D,右〃=In-~—/

〃〃+1

1及+1In

則a-a=ln--------In^―

〃+1川+271+1

(\

n+1n+1(z

=ln——.——=ln1t

(幾十2nJ\n2+2n

+8）上單調(diào)遞減，所以｛,+]-與｝為遞減數(shù)列，故D正確.

7.數(shù)列｛4｝的前w項和為S“，若4=1,%+]=3s“（〃GN*）,則與=.

[L幾=1,

答案。

解析???%+]=3S&GN*）,

二當(dāng)W=1時，。2=3；

當(dāng)心2時，a=3S,,

nn-1

-a“=3a”,

得%1=4%,

二數(shù)列｛冊｝從第二項起為等比數(shù)列，

當(dāng)時,a=3.4〃-2,

n

1,及二1,

故〃=

〃[3-4/1-2,〃22.

8.（2022.臨沂模擬）已知%=利+初，且對于任意的〃￡N*,數(shù)列｛〃〃｝是遞增數(shù)列，則實數(shù)2

的取值范圍是.

答案（-3,+°°）

解析因為｛?！埃沁f增數(shù)列，所以對任意的"GN*，都有%+/a.,

即（幾+1）2+2（n+l）＞n2+入n,

整理，得2幾+1+A>0,即丸>-(2〃+1).(*)

因為〃￡N*,所以-(2n+1)<-3,要使不等式(*)恒成立，只需2>-3.

9.已知數(shù)列｛〃〃｝中，4=1,前〃項和%.

(1)求。2，%；

(2)求｛與｝的通項公式.

4

解(1)由$2=于2得3(4+。2)=4a2'

解得。2=3%=3,

由S3=~a3,得3(%+4+%)=5%，

解得。§=|(%+4)=6.

(2)由題設(shè)知當(dāng)〃=1時，4=1.

當(dāng)〃22時，有

n+2n+1

an=Sn-Sn-l^^an30"-11

n+1

整理得a----a

nn-\n

n

于是“2=1%，%=于2

a…-2

M+1

an=-“---1an-1.z

n-L

將以上n-l個等式中等號兩端分別相乘，整理得a=%普.

〃2

當(dāng)、i/”=12時，4=i滿足4=七+」1).

八,n(n+1)

綜上可知，風(fēng)｝的通項公式為4=二一

10.求下列數(shù)列｛冊｝的通項公式.

⑴4=1,an+=a+3n；

(2)%=1,a“+i=2也“.

解⑴由J=。“+3"得%f=3"，

當(dāng)時,a”=%+(a2-%)+(%-4)+(a4-a3)+—+-7一J

=1+3i+32+3?+…+3〃-1

1X(1-3〃)_3"-1

1-32

3i-1

當(dāng)〃=1時，%=1=%-,滿足上式，

3〃T

an=-2-(幾￡N*).

⑵由冬+1=2“冊得》=2.，

當(dāng)心2時，a“=%x**?<一-X

二1X2X22X23X-X2n-i

八GT)

=21+2+3+…+(〃T)=22

當(dāng)a=1時，4=1滿足上式,

二.〃二22(九￡N*).

。技能提升練

f(3-6z)n—2,nW6,

11.已知數(shù)列｛〃｝滿足〃=,且｛〃｝是遞增數(shù)列，則實數(shù)〃的取值范圍是

〃nZTn—<n

c.(1,3)D.(2,3)

答案D

3-a>0,

解析若｛4｝是遞增數(shù)列，貝，?>1,

a<3,

即a>l,

52>6(3-〃)-2,

解得2<a<3,

即實數(shù)〃的取值范圍是（2,3）.

12.（多選）（2022.江蘇鹽城中學(xué)模擬）對于數(shù)列｛與｝,若存在數(shù)列出J滿足匕,=%—｝（〃GN*）,

n

則稱數(shù)列｛4｝是｛冊｝的“倒差數(shù)列”，下列關(guān)于“倒差數(shù)列”描述正確的是（）

A.若數(shù)列｛%｝是單增數(shù)列，則其“倒差數(shù)列”不一定是單增數(shù)列

B.若4=3〃一1,則其“倒差數(shù)列”有最大值

C.若a,=3"—1,則其“倒差數(shù)列”有最小值

D.若冊=1—（一J"，則其“倒差數(shù)列”有最大值

答案ACD

解析若數(shù)列｛?！埃菃卧鰯?shù)列，則匕-匕一1=%-"-",一+~~J-

"""J,"。itL_itni\ClCL./

n?、nn-V

雖然有a

n>an-i

但當(dāng)1+—-—<0時，6vZ?,

，…，

QnQn-1?-1

因此｛%“｝不一定是單增數(shù)列，A正確；

a=3n-1,則b=3n-\-」一，易知色,｝是遞增數(shù)列，無最大值，B錯誤；C正確，最小

值為4.

■：函數(shù)y=x-:在（0，+8）上單調(diào)遞增，

，當(dāng)"為偶數(shù)時，%=1-3"C（0,l）,

:?b=a--<0,

nnan

當(dāng)n為奇數(shù)時，=1+（￡）?>1