2025年統(tǒng)編版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)月考試卷

…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請(qǐng)※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內(nèi)※※答※※題※※…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………第=page22頁，總=sectionpages22頁第=page11頁，總=sectionpages11頁2025年統(tǒng)編版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)月考試卷145考試試卷考試范圍：全部知識(shí)點(diǎn)；考試時(shí)間：120分鐘學(xué)校：______姓名：______班級(jí)：______考號(hào)：______總分欄題號(hào)一二三四五六總分得分評(píng)卷人得分一、選擇題(共9題，共18分)1、△ABC中，AB=12，BC=18，CA=24，另一個(gè)和它相似的三角形最長的一邊是36，則最短的一邊是（）A.27B.12C.18D.202、如圖，AC與BD相交于點(diǎn)E，AD∥BC．若AE：EC=1：2，則S△AED：S△CEB為（）A.1：B.1：2C.1：3D.1：43、如圖；在△ABC中，∠C=90°，BC=3，D，E分別在AB；AC上，將△ADE沿DE翻折后，點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，若A′為CE的中點(diǎn)，則折痕DE的長為（）

A.

B.3

C.2

D.1

4、已知a+b=5，ab=6，則（a-b）2的值為（）A.1B.4C.9D.165、某科普網(wǎng)站從2009

年10

月1

日起，連續(xù)登載新中國成立60

周年來我國科技成果展，該網(wǎng)站的瀏覽量猛增.

已知2009

年10

月份該網(wǎng)站的瀏覽量為80

萬人次，第四季度總瀏覽量為350

萬人次，如果瀏覽量平均每月增長率為x

則應(yīng)列方程為(

)

A.80(1+x)2=350

B.80[1+(1+x)+(1+x)2]=350

C.80+80隆脕2(1+x)=350

D.80+80隆脕2x=350

6、下列敘述正確的是（）A.三角形一外角大于任意內(nèi)角B.三角形的外角都大于90°C.三角形的外角不小于60°D.三角形的外角等于兩個(gè)不相鄰的內(nèi)角和7、據(jù)中央電視臺(tái)報(bào)道，今年“五一”黃金周期間我國交通部門運(yùn)輸旅客達(dá)230000000人次，則交通部門在“五一”黃金周期間平均一天運(yùn)輸旅客的人數(shù)約為（保留三個(gè)有效數(shù)字）（）A.328B.329C.3.28×107D.3.29×1078、在下列4個(gè)不同的情境中；兩個(gè)變量所滿足的函數(shù)關(guān)系屬于二次函數(shù)關(guān)系的有（）①設(shè)正方形的邊長為x面積為y，則y與x有函數(shù)關(guān)系；

②x個(gè)球隊(duì)參加比賽；每兩個(gè)隊(duì)之間比賽一場，則比賽的場次數(shù)y與x之間有函數(shù)關(guān)系；

③設(shè)正方體的棱長為x；表面積為y，則y與x有函數(shù)關(guān)系；

④若一輛汽車以120km/h的速度勻速行駛，那么汽車行駛的里程y（km）與行駛時(shí)間x（h）有函數(shù)關(guān)系．A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)9、對(duì)于函數(shù)下列說法錯(cuò)誤的是（）A.它的圖像分布在一、三象限B.它的圖像既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形C.當(dāng)x>0時(shí)，y的值隨x的增大而增大D.當(dāng)x<0時(shí)，y的值隨x的增大而減小評(píng)卷人得分二、填空題(共7題，共14分)10、（2015?彭州市校級(jí)模擬）如圖，l∥m，等邊△ABC的頂點(diǎn)B在直線m上，∠1=20°，則∠2的度數(shù)為____．11、二氧化碳的密度ρ（kg/m3）關(guān)于其體積V（m3）的函數(shù)關(guān)系式如圖所示，那么函數(shù)關(guān)系式是____．

12、已知一弧長為π的弧所對(duì)的圓心角為120°；那么。

（1）該弧所在圓的半徑是____；

（2）該弧所對(duì)的弦長為____；

（3）弧所對(duì)的扇形面積為____．13、①直徑是弦；②經(jīng)過三個(gè)點(diǎn)一定可以作圓；③三角形的外心到三角形各頂點(diǎn)的距離都相等；④半徑相等的兩個(gè)半圓是等?。渲姓_的有______．14、若直角三角形的兩條直角邊長分別是6

和8

則它的外接圓半徑為______，內(nèi)切圓半徑為______．15、如圖，以O(shè)（0，0）、A（2，0）為頂點(diǎn)作正△OAP1，以點(diǎn)P1和線段P1A的中點(diǎn)B為頂點(diǎn)作正△P1BP2，再以點(diǎn)P2和線段P2B的中點(diǎn)C為頂點(diǎn)作△P2CP3，，如此繼續(xù)下去，則第六個(gè)正三角形中，不在第五個(gè)正三角形上的頂點(diǎn)P6的坐標(biāo)是．16、在半徑為5cm的⊙O上有一點(diǎn)P,則OP的長為________.評(píng)卷人得分三、判斷題(共9題，共18分)17、若兩個(gè)三角形的兩邊對(duì)應(yīng)相等，另一組對(duì)邊所對(duì)的鈍角相等，則這兩個(gè)三角形全等．____（判斷對(duì)錯(cuò)）18、因?yàn)榈钠椒礁恰?，所?±____19、如果y是x的反比例函數(shù)，那么當(dāng)x增大時(shí)，y就減小20、了解2008年5月18日晚中央電視臺(tái)“愛的奉獻(xiàn)”抗震救災(zāi)文藝晚會(huì)的收視率，采用抽查的方式____（判斷對(duì)錯(cuò)）21、等邊三角形都相似．____．（判斷對(duì)錯(cuò)）22、-7+（10）=3____（判斷對(duì)錯(cuò)）23、數(shù)軸上表示數(shù)0的點(diǎn)叫做原點(diǎn)．（____）24、如果A、B兩點(diǎn)之間的距離是一個(gè)單位長度，那么這兩點(diǎn)表示的數(shù)一定是兩個(gè)相鄰的整數(shù)（____）25、判斷正誤并改正：+=．____（判斷對(duì)錯(cuò)）評(píng)卷人得分四、計(jì)算題(共3題，共27分)26、（1）計(jì)算：-（-1）2015×（）-2-|1-|

（2）解方程：=-1．27、計(jì)算：（5×105）2÷（2.5×103）×（-4×10-7）2．28、不相等的兩角a和β的兩邊分別平行，其中a角比β角的3倍少20°，則a的大小是____．評(píng)卷人得分五、多選題(共1題，共3分)29、下列說法：

（1）滿足a+b＞c的a、b；c三條線段一定能組成三角形；

（2）三角形的三條高交于三角形內(nèi)一點(diǎn)；

（3）三角形的外角大于它的任何一個(gè)內(nèi)角；

（4）兩條直線被第三條直線所截；同位角相等．

其中錯(cuò)誤的有（）A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)評(píng)卷人得分六、解答題(共4題，共28分)30、如圖；在△ABC中，以BC為邊向三角形外作等邊三角形△BCD，把△ABD繞D點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°后得到△ECD，若AB=4，AC=2；

（1）求∠ADE的度數(shù)；

（2）AD的長．31、如圖；在正方形ABCD中，E為對(duì)角線AC上一點(diǎn)，連接EB；ED．

（1）求證：△BEC≌△DEC；

（2）延長BE交AD于點(diǎn)F；若∠DEB=150°，正方形的邊長為a，求：①∠AFE的度數(shù)；

②sin∠BEC的值．32、（2005?錦州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有一直角梯形OABC，∠AOC=90°，AB∥OC，OC在x軸上，過A、B、C三點(diǎn)的拋物線表達(dá)式為．

（1）求A；B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）如果在梯形OABC內(nèi)有一矩形MNPO；使M在y軸上，N在BC邊上，P在OC邊上，當(dāng)MN為多少時(shí)，矩形MNPO的面積最大？最大面積是多少？

（3）若用一條直線將梯形OABC分為面積相等的兩部分；試說明你的分法．

33、已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求的值。參考答案一、選擇題(共9題，共18分)1、C【分析】【分析】設(shè)另一個(gè)三角形最短的一邊是x，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可得出結(jié)論．【解析】【解答】解：設(shè)另一個(gè)三角形最短的一邊是x；

∵△ABC中；AB=12，BC=18，CA=24，另一個(gè)和它相似的三角形最長的一邊是36；

∴=；

解得x=18．

故選C．2、D【分析】【分析】由AD∥BC可證明△ADE∽CBE，再由相似三角形的性質(zhì)就可以得出結(jié)論【解析】【解答】解：∵AD∥BC．

∴△ADE∽CBE；

∴S△AED：S△CEB=AE2：EC2；

∵AE：EC=1：2；

∴S△AED：S△CEB=1：4；

故選D．3、D【分析】

∵△A′DE△ADE翻折而成；

∴AE=A′E；

∵A′為CE的中點(diǎn)；

∴AE=A′E=CE；

∴AE=AC，=

∵∠C=90°；DE⊥AC；

∴DE∥BC；

∴△ADE∽△ABC；

∴===

解得DE=1．

故選D．

【解析】【答案】先由圖形翻折變換的性質(zhì)得出AE=A′E，再根據(jù)A′為CE的中點(diǎn)可知AE=A′E=CE，故AE=AC，=再由∠C=90°，DE⊥AC可知DE∥BC，故可得出△ADE∽△ABC，由相似三角形的性質(zhì)可知==故可得出結(jié)論．

4、A【分析】【分析】將a+b=5，ab=6代入到（a-b）2=（a+b）2-4ab中，計(jì)算可得．【解析】【解答】解：當(dāng)a+b=5，ab=6時(shí)；

（a-b）2=（a+b）2-4ab

=52-4×6

=1；

故選：A．5、B【分析】解：設(shè)每月的增長率都為x

80+80(1+x)+80(1+x)2=350

即：80[1+(1+x)+(1+x)2]=350

故選：B

．

如果每月的增長率都為x

根據(jù)2007

年10

月份該網(wǎng)站的瀏覽量為80

萬人次，第四季度總瀏覽量為350

萬人次，根據(jù)第四季度為10

月，11

月，12

月，可列出方程．

本題考查了增長率問題，關(guān)鍵是利用公式：“a(1+x)n=b

”的應(yīng)用以及第四季度總瀏覽量為350

萬人次．【解析】B

6、D【分析】【分析】根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【解析】【解答】解：三角形一外角大于一條不相鄰的任意內(nèi)角；A錯(cuò)誤；

直角三角形和鈍角三角形的外角不都大于90°；B錯(cuò)誤；

三角形的外角不一定小于60°；C錯(cuò)誤；

三角形的外角等于兩個(gè)不相鄰的內(nèi)角和；D正確．

故選：D．7、D【分析】【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式；其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值是易錯(cuò)點(diǎn)，由于230000000÷7有8位，所以可以確定n=8-1=7．

有效數(shù)字的計(jì)算方法是：從左邊第一個(gè)不是0的數(shù)字起；后面所有的數(shù)字都是有效數(shù)字．

用科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)的有效數(shù)字只與前面的a有關(guān)，與10的多少次方無關(guān)．【解析】【解答】解：∵今年“五一”黃金周期間我國交通部門運(yùn)輸旅客達(dá)230000000人次；

∴交通部門在“五一”黃金周期間平均一天運(yùn)輸旅客的人數(shù)約為：230000000÷7≈3.29×107．

故選：D．8、C【分析】【解答】解：①依題意得：y=x2，屬于二次函數(shù)關(guān)系，故正確；②依題意得：y=x（x﹣1）=x2﹣x，屬于二次函數(shù)關(guān)系，故正確；③依題意得：y=6x2；屬于二次函數(shù)關(guān)系，故正確；④依題意得：y=120x，屬于一次函數(shù)關(guān)系，故正確；綜上所述，兩個(gè)變量所滿足的函數(shù)關(guān)系屬于二次函數(shù)關(guān)系的有3個(gè)．

故選：C．

【分析】根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式，然后由二次函數(shù)的定義進(jìn)行判斷．9、C【分析】【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)對(duì)四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可．

【解答】A、∵函數(shù)中k=6＞0；∴此函數(shù)圖象的兩個(gè)分支分別在一；三象限，故本選項(xiàng)正確；

B、∵函數(shù)是反比例函數(shù)；∴它的圖象既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)正確；

C；∵當(dāng)x＞0時(shí)；函數(shù)的圖象在第一象限，∴y的值隨x的增大而減小，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D；∵當(dāng)x＜0時(shí)；函數(shù)的圖象在第三象限，∴y的值隨x的增大而減小，故本選項(xiàng)正確．

故選C．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是反比例函數(shù)的性質(zhì)，即反比例函數(shù)y=xk（k≠0)的圖象是雙曲線，當(dāng)k＞0，雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每一象限內(nèi)y隨x的增大而減?。?、填空題(共7題，共14分)10、略

【分析】【分析】過C作CM∥直線l，根據(jù)等邊三角形性質(zhì)求出∠ACB=60°，根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠1=∠MCB，∠2=∠ACM，即可求出答案．【解析】【解答】解：

∵△ABC是等邊三角形；

∴∠ACB=60°；

過C作CM∥直線l；

∵直線l∥直線m；

∴直線l∥直線m∥CM；

∵∠ACB=60°；∠1=20°；

∴∠1=∠MCB=20°；

∴∠2=∠ACM=∠ACB-∠MCB=60°-20°=40°；

故答案為：40°．11、略

【分析】

由題意得ρ與v成反比例函數(shù)的關(guān)系，設(shè)ρ=

根據(jù)圖象信息可得：當(dāng)ρ=0.5時(shí)；v=19.8；

∴k=ρV=19.8×0.5=9.9；

即可得：ρ=．

故答案為：ρ=．

【解析】【答案】根據(jù)密度公式可知體積V與密度ρ的函數(shù)關(guān)系式為：ρ=利用待定系數(shù)法求解即可．

12、略

【分析】

（1）=

解得r=2．

（2）從圓心向弦引垂線；作圖如下：

則∠BOC=120÷2=60

BC=sin60°×2=

AB=2．

（3）根據(jù)扇形面積公式得=．

【解析】【答案】（1）根據(jù)弧長公式計(jì)算．

（2）從圓心向弦引垂線；解直角三角形即可．

（3）根據(jù)扇形面積公式可得．

13、略

【分析】解：①直徑是圓中最長的弦；正確；

②經(jīng)過不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)一定可以作圓；錯(cuò)誤；

③三角形的外心到三角形各頂點(diǎn)的距離都相等；正確；

④半徑相等的兩個(gè)半圓是等?。徽_．

其中正確的有①③④．

故答案為①③④．

根據(jù)直徑與弦的定義判斷①；

根據(jù)確定圓的條件判斷②；

根據(jù)三角形的外心的性質(zhì)判斷③；

根據(jù)半圓與等弧的定義判斷④．

本題考查了圓的認(rèn)識(shí)，三角形的外接圓與外心，確定圓的條件，是基礎(chǔ)知識(shí)．掌握定義是解題的關(guān)鍵．【解析】①③④14、略

【分析】解：如圖；隆脽AC=8BC=6

隆脿AB=10

隆脿

外接圓半徑為5

設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r

隆脿CE=CF=r

隆脿AD=AF=8鈭?rBD=BE=6鈭?r

隆脿6鈭?r+8鈭?r=10

解得r=2

．

故答案為：52

．

根據(jù)直角三角形外接圓的圓心是斜邊的中點(diǎn)，由勾股定理求得斜邊，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r

由切線長定理得6鈭?r+8鈭?r=10

求解即可．

本題考查了三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心，以及外心，注：直角三角形的外心是斜邊的中點(diǎn)．【解析】52

15、略

【分析】試題分析：由題意可得，每一個(gè)正三角形的邊長都是上個(gè)三角形的邊長的第六個(gè)正三角形的邊長是故頂點(diǎn)P6的橫坐標(biāo)是P5縱坐標(biāo)是P6的縱坐標(biāo)為故答案為：（）．考點(diǎn)：1、等邊三角形性質(zhì)的應(yīng)用；2、規(guī)律題【解析】【答案】（）16、略

【分析】【解析】試題分析：根據(jù)圓的基本概念即可得到結(jié)果.由題意得OP的長為5cm.考點(diǎn)：圓的基本概念【解析】【答案】5cm三、判斷題(共9題，共18分)17、√【分析】【分析】首先根據(jù)題意畫出圖形，寫出已知求證，再作CD⊥AB于D，（∠ABC＞90°，D一定在AB延長線上），C′D′⊥A′B′于D′，證明△CBD≌△C′B′D′，再證明Rt△ACD≌Rt△A′C′D′，然后證明△ABC≌△A′B′C′即可．【解析】【解答】已知：如圖；在△ABC，△A'B'C'中，AC=A'C'，BC=B'C'．∠B=∠B′＞90°；

求證：△ABC≌△A'B'C'

證明：作CD⊥AB于D；（∠ABC＞90°，D一定在AB延長線上），C′D′⊥A′B′于D′；

∵∠ABC=∠A′B′C′；

∴∠CBD=∠C′B′D′；

在△CBD和△C′B′D′中；

；

∴△CBD≌△C′B′D′（AAS）；

∴BD=B′D′；CD=C′D′；

在Rt△ACD和Rt△A′C′D′中；

；

∴Rt△ACD≌Rt△A′C′D′（HL）；

∴AD=A′D′；

∴AB=A′B′；

在△ABC和△A′B′C′中；

；

∴△ABC≌△A′B′C′（SAS）．

故答案為：√．18、×【分析】【分析】分別利用算術(shù)平方根、平方根定義計(jì)算即可判斷對(duì)錯(cuò)．【解析】【解答】解：的平方根是±；

所以=．

故答案為：×．19、×【分析】【解析】試題分析：對(duì)于反比例函數(shù)當(dāng)時(shí)，圖象在一、三象限，在每一象限，y隨x的增大而減小；當(dāng)時(shí)，圖象在二、四象限，在每一象限，y隨x的增大而增大，故本題錯(cuò)誤.考點(diǎn)：反比例函數(shù)的性質(zhì)【解析】【答案】錯(cuò)20、√【分析】【分析】根據(jù)抽樣調(diào)查和全面調(diào)查的區(qū)別以及普查得到的調(diào)查結(jié)果比較準(zhǔn)確，但所費(fèi)人力、物力和時(shí)間較多，而抽樣調(diào)查得到的調(diào)查結(jié)果比較近似解答．【解析】【解答】解：了解2008年5月18日晚中央電視臺(tái)“愛的奉獻(xiàn)”抗震救災(zāi)文藝晚會(huì)的收視率；采用抽查的方式是正確的；

故答案為：√．21、√【分析】【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到所有等邊三角形的內(nèi)角都相等，于是根據(jù)有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似可判斷等邊三角形都相似．【解析】【解答】解：等邊三角形都相似．

故答案為√．22、√【分析】【分析】根據(jù)題意，分別求出-7+（10）與3比較，然后判斷即可．【解析】【解答】解：∵-7+（10）=3；

∴正確．

故答案為：√．23、√【分析】【分析】根據(jù)數(shù)軸的定義，規(guī)定了唯一的原點(diǎn)，唯一的正方向和唯一的單位長度的直線，從原點(diǎn)出發(fā)朝正方向的射線上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)正數(shù)，相反方向的射線上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)負(fù)數(shù)，原點(diǎn)對(duì)應(yīng)零．【解析】【解答】解：根據(jù)數(shù)軸的定義及性質(zhì)；數(shù)軸上表示數(shù)0的點(diǎn)叫做原點(diǎn)．

故答案為：√．24、×【分析】【分析】根據(jù)題意，可通過舉反例的方法即可得出答案．【解析】【解答】解：根據(jù)題意：可設(shè)A點(diǎn)位1.1；B點(diǎn)為2.1；

A；B兩點(diǎn)之間的距離是一個(gè)單位長度；但這兩點(diǎn)表示的數(shù)不是兩個(gè)相鄰的整數(shù)．

故答案為：×．25、×【分析】【分析】異分母分式加減法法則：把分母不相同的幾個(gè)分式化成分母相同的分式，叫做通分，經(jīng)過通分，異分母分式的加減就轉(zhuǎn)化為同分母分式的加減．【解析】【解答】解：+

=+

=．

故答案為：×．四、計(jì)算題(共3題，共27分)26、略

【分析】【分析】（1）原式第一項(xiàng)利用立方根定義計(jì)算；第二項(xiàng)利用乘方的意義及負(fù)指數(shù)冪法則計(jì)算，最后一項(xiàng)利用絕對(duì)值的代數(shù)意義化簡，計(jì)算即可得到結(jié)果；

（2）分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解．【解析】【解答】解：（1）原式=3-（-1）×4-（-1）=3+4-+1=8-；

（2）去分母得：1+x=3x-x2-1+x2；

解得：x=1；

經(jīng)檢驗(yàn)x=1是增根，分式方程無解．27、略

【分析】【分析】原式先計(jì)算乘方運(yùn)算，再計(jì)算乘除運(yùn)算即可得到結(jié)果．【解析】【解答】解：原式=25×1010÷（2.5×103）×（16×10-14）=160×10-7=1.6×10-5．28、略

【分析】【分析】角a與角β的兩邊分別平行，本題中a≠β，故a+β=180°．【解析】【解答】解：∵a≠β且兩角的兩邊分別平行。

∴a+β=180°

∵a=3β-20°

∴a=130°；β=50°．

故答案為130°．五、多選題(共1題，共3分)29、C|D【分析】【分析】利用三角形的三邊關(guān)系、三角形的三線的定義及三角形的外角的性質(zhì)分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng)．【解析】【解答】解：（1）滿足a+b＞c的a、b；c三條線段一定能組成三角形；正確；

（2）三角形的三條高交于三角形內(nèi)一點(diǎn)；錯(cuò)誤；

（3）三角形的外角大于它的任何一個(gè)不相鄰內(nèi)角；故錯(cuò)誤；

（4）兩條平行直線被第三條直線所截；同位角相等，故錯(cuò)誤；

故選C．六、解答題(共4題，共28分)30、略

【分析】【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠ADE的度數(shù)等于旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)．

（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出EC=AB=4，AD=DE，∠ADE=60°，求出△ADE是等邊三角形，即可得出答案．【解析】【解答】解：（1）∵把△ABD繞D點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°后得到△ECD；

∴AD旋轉(zhuǎn)后和DE重合；

∴∠ADE的度數(shù)等于60°．

（2）∵把△ABD繞D點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°后得到△ECD；AB=4，AC=2；

∴EC=AB=4；AD=DE，∠ADE=60°；

∴△ADE是等邊三角形；

∴AD=DE=AE=2+4=6．31、略

【分析】【分析】（1）根據(jù)正方形的四條邊都相等可得BC=CD；對(duì)角線平分一組對(duì)角可得∠BCE=∠DCE，然后利用“邊角邊”證明即可；

（2）①根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠CED=∠CEB；然后求出∠CEB，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠CBE，然后根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠AFE=∠CBE；

②連接BD交AC于O，根據(jù)正方形的對(duì)角線互相垂直平分求出OB，過點(diǎn)E作EG⊥BC于G，判斷出△CEG是等腰直角三角形，再求出∠BEG=30°，設(shè)BG=x，然后表示出EG、CG，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得CG=EG，然后列出方程求出x的值，再根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出BE，然后根據(jù)銳角的正弦等于對(duì)邊比斜邊列式計(jì)算即可得解．【解析】【解答】（1）證明：在正方形ABCD中；BC=CD，∠BCE=∠DCE=45°；

在△BEC和△DEC中；

；

∴△BEC≌△DEC（SAS）；

（2）解：①∵△BEC≌△DEC；

∴∠CED=∠CEB；

∵∠DEB=150°，

∴∠CEB=∠DEB=×150°=75°；

∵∠ACB=45°；

∴∠CBE=180°-45°-75°=60°；

∵AD∥BC；

∴∠AFE=∠CBE=60°；

②連接BD交AC于O；則AC⊥BD；

∵正方形的邊長為a；

∴OB=BD=a；

過點(diǎn)E作EG⊥BC于G；則△CEG是等腰直角三角形；

∴∠CEG=45°；CG=EG；

∠BEG=∠CEB-∠CEG=75°-45°=30°；

設(shè)BG=x，則EG=BG÷tan30°=x÷=x；

CG=a-x；

∴a-x=x；

解得x=a=a；

∴BE=2BG=（-1）a；

sin∠BEC====．32、略

【分析】

（1）由圖形得，點(diǎn)A橫坐標(biāo)為0，將x=0代入

得y=10；

∴A（0；10）

∵AB∥OC；

∴B點(diǎn)縱坐標(biāo)為10；將y=10代入拋物線表達(dá)式得；

∴x1=0，x2=8．

∵B點(diǎn)在第一象限；

∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（8；10）

∵C點(diǎn)在x軸上；

∴C點(diǎn)縱坐標(biāo)為0；將y=0代入拋物線表達(dá)式得；

解得x1=-10，x2=18．

∵C在原點(diǎn)的右側(cè)；

∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（18；0）．（4分）

（2）法一：過B作BQ⊥OC；交MN于H，交OC于Q，則Rt△BNH∽R(shí)t△BCQ；

∴．（5分）

設(shè)MN=x，NP=y，則有．

∴y=18-x．（6分）

∴S矩形MNOP=xy=x（18-x）=-x2+18x=-（x-9）2+81．

∴當(dāng)x=9時(shí)；有最大值81．

即MN=9時(shí)；矩形MNPO的面積最大，最大值為81．（8分）

法二：過B作BQ⊥x軸于Q；則Rt△CPN∽R(shí)t△CQB；

∴．

設(shè)MN=x，NP=y，則有．

∴y=18-x．

∴S矩形MNOP=xy=x（18-x）=-x2+18x=-（x-9）2+81．

∴當(dāng)x=9時(shí)；有最大值81．

即MN=9時(shí)；矩形MNPO的面積最大，最大值為81．

法三：利用Rt△BHN∽R(shí)t△NPC也能解答；解答過程與法二相同．

法四：過B點(diǎn)作BQ⊥x軸于Q；則Rt△BQC∽R(shí)t△NPC；

QC=OC-OQ=18-8=10；又QB=OA=10；

∴△BQC為等腰直角三角形；

∴△NPC為等腰直角三角形．

設(shè)MN=