初中數(shù)學(xué)自主招生難度講義-9年級(jí)專題05一元二次方程的整數(shù)根

專題05一元二次方程的整數(shù)根閱讀與思考解一元二次方程問題時(shí)，我們不但需熟練地解方程，準(zhǔn)確判斷根的個(gè)數(shù)、符號(hào)特征、存在范圍，而且要能深入地探討根的其他性質(zhì)，這便是大量出現(xiàn)于各級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的一元二次方程的整數(shù)根問題。這類問題因涵蓋了整數(shù)的性質(zhì)、一元二次方程的相關(guān)理論，融合了豐富的數(shù)學(xué)思想方法而備受命題者的青睞..解整系數(shù)（即系數(shù)為整數(shù)）一元二次方程的整數(shù)根問題的基本方法有：1．直接求解若根可用有理式表示，則求出根，結(jié)合整除性求解.2．利用判別式在二次方程有根的前提下，通過判別式確定字母或根的范圍，運(yùn)用枚舉討論、不等分析求解3．運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系由根與系數(shù)的關(guān)系得到待定字母表示的兩根和、積式，從中消去待定字母，再通過因式分解和整數(shù)性質(zhì)求解.4．巧選主元若運(yùn)用相關(guān)方法直接求解困難，可選取字母為主元，結(jié)合整除知識(shí)求解.例題與求解【例1】已知關(guān)于的方程的解都是整數(shù)，求整數(shù)的值.（紹興市競(jìng)賽試題）解題思路：用因式分解法可得到根的表達(dá)式，因方程類型未指明，故須按一次方程、二次方程兩種情形討論，這樣確定的值才能全面而準(zhǔn)確.【例2】為質(zhì)數(shù)且是方程的根，那么的值是（ ）A．B．C．D．（黃岡市競(jìng)賽試題）解題思路：設(shè)法求出的值，由題設(shè)條件自然想到根與系數(shù)的關(guān)系【例3】關(guān)于的方程的整數(shù)解的組數(shù)為（ ）A．2組B．3組C．4組D．無窮多組解題思路：把看作關(guān)于的二次方程，由為整數(shù)得出關(guān)于的二次方程的根的判別式是完全平方數(shù)，從而確定的取值范圍，進(jìn)而求出的值.【例4】試確定一切有理數(shù)，使得關(guān)于的方程有根且只有整數(shù)根.（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）解題思路：因方程的類型未確定，故應(yīng)分類討論.當(dāng)時(shí)，由根與系數(shù)的關(guān)系得到關(guān)于的兩個(gè)不等式，消去，先求出兩個(gè)整數(shù)根.【例5】試求出這樣的四位數(shù)，它的前兩位數(shù)字與后兩位數(shù)字分別組成的兩位數(shù)之和的平方，恰好等于這個(gè)四位數(shù).（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）解題思路：設(shè)前后兩個(gè)兩位數(shù)分別為，，則，即，于是將問題轉(zhuǎn)化為求一元二次方程有理根、整數(shù)根的問題.【例6】試求出所有這樣的正整數(shù)解，使得二次方程至少有一個(gè)整數(shù)根.（“祖沖之杯”競(jìng)賽試題）解題思路：本題有兩種解法.由于的次數(shù)較低，可考慮“反客為主”，以為元，以為已知數(shù)整理成一個(gè)關(guān)于的一元一次方程來解答；或考慮因方程根為整數(shù)，故其判別式為平方式.能力訓(xùn)練A級(jí)1．已知方程有兩個(gè)質(zhì)數(shù)根，則(江蘇省競(jìng)賽題)2．已知一元二次方程（是整數(shù)）有兩個(gè)不相等的整數(shù)根，則(四川省競(jìng)賽題)3．若關(guān)于的一元二次方程和的根都是整數(shù)，則整數(shù)的值為__________4．若正整數(shù)，且一元二次方程的兩個(gè)根都是正整數(shù)，則的值等于______________.5．兩個(gè)質(zhì)數(shù)恰是的整系數(shù)方程的兩個(gè)根，則等于（ ）A．B．C．D．6．若的兩個(gè)根都是整數(shù)，則可取值的個(gè)數(shù)是（）A．2個(gè)B．4個(gè)C．6個(gè)D．以上結(jié)論都不對(duì)7．方程恰有兩個(gè)整數(shù)根，則的值是（ ）A．B．C．D．（北京市競(jìng)賽試題）8．若都是整數(shù)，方程的相異兩根都是質(zhì)數(shù)，則的值為（ ）（太原市競(jìng)賽試題）A．100B．400C．700D．10009．求所有的實(shí)數(shù)，使得方程的根都是整數(shù).（“祖沖之”邀請(qǐng)賽試題）10．已知關(guān)于的方程和，是否存在這樣的值，使第一個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的差的平方等于第二個(gè)方程的一整數(shù)根？若存在，求出這樣的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.（湖北省選拔賽試題）11．若關(guān)于的方程至少有一個(gè)整數(shù)根，求整數(shù)的值.（上海市競(jìng)賽試題）12．已知為整數(shù)，且是關(guān)于的方程的兩個(gè)根，求的值.（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）B級(jí)1．已知，并且二次方程的根都是整數(shù)，則其最大根是___________.2．若關(guān)于的二次方程只有整數(shù)根，則.（美國數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題）3．若關(guān)于的方程的解都是整數(shù)，則符合條件的整數(shù)的值有_________個(gè).4．使方程的兩根都是整數(shù)的所有正數(shù)的和是______________.（上海市競(jìng)賽題）5．已知方程（其中為非零實(shí)數(shù)）至少有一個(gè)整數(shù)根，那么.（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）6．設(shè)方程有兩個(gè)不同的奇數(shù)根，則整數(shù)的值為____________（《學(xué)習(xí)報(bào)》公開賽試題）7．若，且有及，則的值為（ ）A．B．C．D．8．若方程有一個(gè)正跟，和一個(gè)負(fù)根，由以為根的二次方程為（ ）A．B．C．D．9．設(shè)關(guān)于的二次方程的兩根都是整數(shù)，求滿足條件的所有實(shí)數(shù)的值.（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）10．當(dāng)為何有理數(shù)時(shí)，恰為兩個(gè)連續(xù)的正偶數(shù)的乘積？（山東省競(jìng)賽題）11．是否存在質(zhì)數(shù)使得關(guān)于的一元二次方程有有理數(shù)根？（全國初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）12．已知關(guān)于的方程組只有一組解且為整數(shù)解，其中均為整數(shù)且，滿足，（1）求的值；（2）求的值及它對(duì)的的值.

專題05一元二次方程的整數(shù)根例1當(dāng)k=4時(shí)，x=1；當(dāng)k=8時(shí)，x=-2；當(dāng)k≠4且k≠8時(shí)，，，可得k=6或k=4,6,8或12．例2C例3C提示：方程變形為關(guān)于x的二次方程，且是完全平方數(shù)，得∴,∴,,,.例4=1\*GB3①若，則不是整數(shù)；=2\*GB3②，設(shè)方程的兩根為，則，，于是有，解得或則或.例5由得,即,時(shí),方程有實(shí)數(shù)解.由于必須是完全平方數(shù),而完全平方數(shù)的末位數(shù)字可能為0,1,4,5,6,9,故僅可取25,此時(shí)或,,故所求的四位數(shù)為2025或3025.例6解法一:因的次數(shù)較低,故將方程整理為關(guān)于的一次方程,得,顯然,于是,∵是正整數(shù),,即,化簡(jiǎn)得,解得.當(dāng)時(shí),∵是正整數(shù),故的值為1,3,6,10.解法二:為完全平方數(shù),故為奇數(shù)的平方.令,是正整數(shù),則,于是,原方程可化為,即,解得,,∴或得或,故的值位1,3,6,10.A級(jí)1.39942.13.14.19845.D6.B7.C8.D9.=1\*GB3①當(dāng)時(shí)，則，即為所求；=2\*GB3②時(shí),則,得,由此可得.10.提示:方程=1\*GB3①,方程=2\*GB3②根為,注意討論.11.12.由韋達(dá)定理，得=1\*GB3①，=2\*GB3②，，，為正整數(shù).由=2\*GB3②得,即,故,得，，代入=1\*GB3①，即只有滿足條件.B級(jí)1.982.49,32,27,25,24,-25,8,-3,-1,0.3.5提示:當(dāng)時(shí),解得.當(dāng)時(shí),解得.當(dāng)時(shí),解得.當(dāng)時(shí),是整數(shù)，這時(shí)；當(dāng)時(shí)，是整數(shù)，這時(shí).綜上所述,時(shí),原方程的解為整數(shù).4.提示:將原方程整理為關(guān)于的二次方程,,討論枚舉.5.1,3,5提示:,.6.-2,或-67.A提示:與時(shí)方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.8.C9.解得，，故，，消去得，，即，求得.10.設(shè)兩連續(xù)正偶數(shù)為,則有,即,為有理數(shù),則為完全平方數(shù),令,也即,于是得,或解得或,相應(yīng)的方程的解為或與或.總之,當(dāng)或時(shí),恰為兩個(gè)整數(shù)8或10,或者46或48的乘積.11.令(為非負(fù)數(shù)),即.∵且奇偶性相同,則=1\*GB3①,=2\*GB3②,=3\*GB3③,=4\*GB3④,=5\*GB3⑤；消去分別得：，，，，，對(duì)于第1