備戰(zhàn)2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-第3節(jié)-橢-圓

第3節(jié)橢圓1.了解橢圓的實(shí)際背景,了解橢圓在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用.2.掌握橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì).1.橢圓的定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2的距離的和等于(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的,兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的.

其數(shù)學(xué)表達(dá)式:集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a>c>0,且a,c為常數(shù).上述表達(dá)式中,若a=c,則集合P為線段.若a<c,則集合P為空集.2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程x2a2y2a2圖形性質(zhì)范圍-a≤x≤a,-b≤y≤b-b≤x≤b,-a≤y≤a對(duì)稱性對(duì)稱軸:;對(duì)稱中心:

頂點(diǎn)A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0)離心率e=,且e∈(0,1)

a,b,c的關(guān)系c2=a2-b21.焦點(diǎn)弦:焦點(diǎn)弦中以過焦點(diǎn)與長軸垂直的弦最短,弦長lmin=2b2.AB為橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的弦,A(x1,y1),B(x2,y(1)弦長l=1+k2|x1-x2|=1+1k2(2)直線AB的斜率kAB=-b2x0a2y0,即k3.焦點(diǎn)三角形:橢圓上的點(diǎn)P(x0,y0)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的△PF1F2叫做焦點(diǎn)三角形,r1=|PF1|,r2=|PF2|,∠F1PF2=θ,△PF1F2的面積為S,則在橢圓x2a2(1)當(dāng)r1=r2時(shí),即點(diǎn)P的位置為短軸端點(diǎn)時(shí),θ最大.(2)S=b2tanθ2=c|y0|,當(dāng)|y0(3)△PF1F2的周長為2(a+c).1.(選擇性必修第一冊P108例3改編)設(shè)P是橢圓x225+y216=1上的點(diǎn),若F1,F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),則|PFA.4 B.5 C.8 D.102.橢圓x2m+A.5 B.3 C.5或3 D.83.已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為F(1,0),離心率為12,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為4.焦點(diǎn)是F(0,52),并截直線y=2x-1所得弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是27的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為橢圓的定義及其應(yīng)用(1)已知兩圓C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9,動(dòng)圓M在圓C1內(nèi)部且和圓C1相內(nèi)切,和圓C2相外切,則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為()A.x264-y248=1 B.C.x248-y264=1 D.(2)(多選題)已知P是橢圓x29+y24=1上一點(diǎn),橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,且cos∠F1PFA.△PF1F2的周長為12B.S△PC.點(diǎn)P到x軸距離為2D.PF1→1.橢圓定義的應(yīng)用主要有:判斷平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是否為橢圓,求焦點(diǎn)三角形的周長、面積及弦長、最值和離心率等.2.通常定義和余弦定理結(jié)合使用,求解關(guān)于焦點(diǎn)三角形的周長和面積問題.[針對(duì)訓(xùn)練](1)已知△ABC的頂點(diǎn)B,C在橢圓x23+yA.23 B.6 C.43 D.12(2)F1,F2是橢圓x29+y27=1的兩個(gè)焦點(diǎn),A為橢圓上一點(diǎn),且∠AF1F2=45°,則△AFA.7 B.74C.72 D.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)一個(gè)橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)F1,F2在x軸上,P(2,3)是橢圓上一點(diǎn),且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差數(shù)列,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

(2)已知橢圓C:x2a2+y2b求橢圓方程的方法(1)定義法.定義法的要點(diǎn)是根據(jù)題目所給的條件確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿足橢圓的定義.(2)待定系數(shù)法.待定系數(shù)法的要點(diǎn)是根據(jù)題目所給的條件確定橢圓中的兩個(gè)系數(shù)a,b.當(dāng)不知焦點(diǎn)在哪一個(gè)坐標(biāo)軸上時(shí),一般可設(shè)所求橢圓的方程為mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),再用待定系數(shù)法求出m,n的值即可.[針對(duì)訓(xùn)練](1)已知F1(-1,0),F2(1,0)是橢圓C的焦點(diǎn),過F2且垂直于x軸的直線交橢圓C于A,B兩點(diǎn),且|AB|=3,則C的方程為()A.x22+y2=1 B.x2C.x24+y23=1 D.(2)已知橢圓的中心在原點(diǎn),以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸,且經(jīng)過兩點(diǎn)P1(6,1),P2(-3,-2),則該橢圓的方程為.

橢圓的幾何性質(zhì)(1)已知橢圓x2m-2A.8 B.7 C.6 D.5(2)已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,過F1的直線交橢圓C于A,B兩點(diǎn),若BA→A.22 B.32 C.33(3)已知F1,F2分別是橢圓C:x2a2+y2bA.[23,1) B.[13,22] C.[13,1)1.與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的問題要結(jié)合圖形進(jìn)行分析,即使畫不出圖形,思考時(shí)也要聯(lián)想到一個(gè)圖形.2.求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)有兩種常用方法:(1)求出a,c,代入公式e=ca(2)根據(jù)條件得到關(guān)于a,b,c的齊次式,結(jié)合b2=a2-c2轉(zhuǎn)化為關(guān)于a,c的齊次式,然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式),解方程(不等式)即可得e的值或取值范圍.[針對(duì)訓(xùn)練](1)以橢圓上一點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積的最大值為1,則橢圓長軸長的最小值為()A.1 B.2 C.2 D.22(2)已知F1,F2是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn),P是C上的一點(diǎn).若PF1⊥PF2,且∠PF2F1=60°,則C的離心率為()A.1-32 B.2-C.3-12 直線與橢圓角度一直線與橢圓的位置關(guān)系已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2(1)求橢圓C的方程;(2)分別過F1,F2作l1,l2滿足l1∥l2,設(shè)l1,l2與C的上半部分分別交于A,B兩點(diǎn),求四邊形ABF2F1面積的最大值.解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問題,其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立,消元、化簡,然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程,解決相關(guān)問題.涉及弦中點(diǎn)的問題常常用“點(diǎn)差法”解決,往往會(huì)更簡單.角度二橢圓中的弦長問題斜率為1的直線l與橢圓x24+y2A.2 B.455 C.410解決橢圓中的弦長問題,其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立,消元、化簡,然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程求解.角度三橢圓中的中點(diǎn)弦問題已知橢圓x22+y2(1)過A(2,1)的直線l與橢圓相交,求l被截得的弦的中點(diǎn)軌跡方程;(2)求過點(diǎn)P(12,1處理中點(diǎn)弦問題常用的求解方法[針對(duì)訓(xùn)練](1)過橢圓x216+A.4x+3y-13=0 B.3x+4y-13=0C.4x-3y+5=0 D.3x-4y+5=0(2)已知橢圓x