配套課件-電子測量技術(shù)基礎(chǔ)(第三版)

第1章電子測量與計量的基本概念1.1測量與電子測量1.2電子測量的內(nèi)容和特點1.3電子測量方法的分類1.4電子測量儀器的功能、分類和主要性能指標(biāo)1.5計量的基本概念小結(jié)

1.1測量與電子測量

1.1.1測量

測量是通過實驗方法對客觀事物取得數(shù)量信息的過程。人們通過對客觀事物的大量觀察和測量形成定性和定量的認(rèn)識，歸納總結(jié)，建立起各種定理和定律，而后又通過測量來驗證這些認(rèn)識、定理和定律是否符合實際情況，經(jīng)過如此反復(fù)實踐，逐步認(rèn)識事物的客觀規(guī)律，并用以解釋和改造世界。因此可以說，測量是人類認(rèn)識和改造世界的一種不可或缺的手段。1.1.2電子測量

電子測量是以電子技術(shù)理論為依據(jù)、以電子測量儀器為手段，對電量和非電量進(jìn)行測量的一種測量技術(shù)。在對非電量進(jìn)行測量時，先通過各種傳感器將非電量轉(zhuǎn)換為電量，然后再實現(xiàn)對非電量的測量。

1.2電子測量的內(nèi)容和特點

1.2.1電子測量的內(nèi)容

1.電能量測量

電能量測量包括對各種頻率、波形下的電壓、電流、功率等的測量。

2.電信號特性測量

電信號特性測量可分為時域、頻域和數(shù)據(jù)域特性測量，具體包括對波形、頻率、周期、相位、失真度、調(diào)幅度、調(diào)頻指數(shù)、群遲延、信號帶寬以及數(shù)字信號的邏輯狀態(tài)等的測量。

3.電路元件參數(shù)測量

電路元件參數(shù)測量包括對電阻、電感、電容、阻抗、品質(zhì)因數(shù)及電子器件參數(shù)等的測量。

4.電子設(shè)備的性能測量

電子設(shè)備的性能測量包括對增益、衰減、靈敏度、頻率特性、噪聲指數(shù)等的測量。圖1.1-1自動過程控制系統(tǒng)中非電量的測量1.2.2電子測量的特點

(1)測量頻率范圍寬。

(2)測量量程寬。

(3)測量準(zhǔn)確度高低相差懸殊。

(4)測量速度快。

(5)可以進(jìn)行遙測。

(6)易于實現(xiàn)測試智能化和測試自動化。

(7)影響因素眾多，誤差處理復(fù)雜。

1.3電子測量方法的分類

1.測量方法的分類

測量方法的分類形式有多種，下面介紹幾種常見的分類方法。

1)按測量過程分類

(1)直接測量。

直接測量是指直接從測量儀表的讀數(shù)獲取被測量量值的方法，比如用電壓表測量晶體管的工作電壓，用歐姆表測量電阻阻值，用計數(shù)式頻率計測量頻率等。

(2)間接測量。

間接測量是利用直接測量的量與被測量之間的函數(shù)關(guān)

系(可以是公式、曲線或表格等)間接得到被測量量值的測量方法。

(3)組合測量。當(dāng)某項測量結(jié)果需用多個未知參數(shù)表達(dá)時，可通過改變測量條件進(jìn)行多次測量，根據(jù)測量量與未知參數(shù)間的函數(shù)關(guān)系列出方程組并求解，進(jìn)而得到未知量，這種測量方法稱為組合測量。一個典型的例子是電阻器的溫度系數(shù)的測量。已知電阻器阻值Rt與溫度t間滿足關(guān)系：

Rt=R20+α(t－20)+β(t－20)2

(1.3-1)式中，R20為t=20℃時的電阻值，一般為已知量；α、β為電阻的溫度系數(shù)；t為環(huán)境溫度。為了獲得α、β值，可以在兩個不同的溫度t1、t2(t1、t2可由溫度計直接測得)下測得相應(yīng)的兩個電阻值Rt1、Rt2，代入式(1.3-1)得到聯(lián)立方程：

(1.3-2)

2)按測量方式分類

(1)偏差式測量法。在測量過程中，用儀器儀表指針的位移(偏差)表示被測量大小的測量方法稱為偏差式測量法，例如使用萬用表測量電壓、電流等。

(2)零位式測量法。零位式測量法又稱作零示法或平衡式測量法。測量時將被測量與標(biāo)準(zhǔn)量相比較(因此也把這

種方法稱作比較測量法)，用指零儀表(零示器)指示被測量與標(biāo)準(zhǔn)量相等(平衡)，從而獲得被測量。利用惠斯登電橋測量電阻(或電容、電感)是這種方法的一個典型例子，如圖1.3-1所示。圖1.3-1利用惠斯登電橋測量電阻示意圖當(dāng)電橋平衡時，可以得到：

(1.3-3)

通常是先大致調(diào)整比率R1/R2，再調(diào)整標(biāo)準(zhǔn)電阻R4，直至電橋平衡，充當(dāng)零示器的檢流計PA指示為零，此時即可根據(jù)式(1.3-3)由比率和R4值得到被測電阻Rx值。

(3)微差式測量法。偏差式測量法和零位式測量法相結(jié)合，構(gòu)成微差式測量法。該法通過測量待測量與標(biāo)準(zhǔn)量

之差(通常該差值很小)來得到待測量的值，如圖1.3-2所示。圖1.3-2微差式測量法示意圖圖1.3-3用微差式測量法測量直流穩(wěn)壓電源的穩(wěn)定度

3)按被測量的性質(zhì)分類

如果按被測量的性質(zhì)，測量還可以作如下分類。

(1)時域測量。

(2)頻域測量。

(3)數(shù)據(jù)域測量。

(4)隨機測量。

2.測量方法的選擇原則

在選擇測量方法時，要綜合考慮下列主要因素：

①被測量本身的特性；

②所要求的測量準(zhǔn)確度；

③測量環(huán)境；

④現(xiàn)有測量設(shè)備等。

在此基礎(chǔ)上，選擇合適的測量儀器和正確的測量方法。

【例1.3-1】若直接用萬用表R×1電阻擋測量晶體管發(fā)射結(jié)結(jié)電阻，則由于限流電阻過小而使基極注入電流很大，很容易將晶體管損壞。所以，不能用此方法測量晶體管發(fā)

射結(jié)結(jié)電阻或二極管正向電阻。

【例1.3-2】圖1.3-4表示的是用電壓表測量高內(nèi)阻電路端電壓的例子。不難看到，電壓表內(nèi)阻的大小將直接影響到測量結(jié)果，這種影響通常稱作電壓表的負(fù)載效應(yīng)。圖中虛

線框內(nèi)表示放大器輸出端等效電路，RV表示測量用實際電壓表內(nèi)阻。忽略其他因素，不難算出：當(dāng)用內(nèi)阻RV=10MΩ的數(shù)字電壓表測量時，電壓為圖1.3-4實際電壓表內(nèi)阻的影響相對誤差為

當(dāng)改用內(nèi)阻RV=120kΩ的萬用表電壓擋測量時，電壓為相對誤差為

可見，這種情況下應(yīng)選用內(nèi)阻盡可能大的電壓表，否則造成的儀器誤差是很大的。有時測量儀表負(fù)載效應(yīng)的存在會過大地改變被測電路的工作狀態(tài)，此時的測量結(jié)果將失去實際意義。

1.4電子測量儀器的功能、分類和

主要性能指標(biāo)

1.4.1測量儀器的功能

1.變換功能

2.傳輸功能

3.顯示功能1.4.2測量儀器的分類

1.電平測量儀器

2.電路參數(shù)測量儀器

3.頻率、時間、相位測量儀器

4.波形測量儀器

5.信號分析儀器

6.模擬電路特性測試儀器

7.數(shù)字電路特性測試儀器

8.測試用信號源1.4.3測量儀器的主要性能指標(biāo)

1.精度

1)精密度(δ)

精密度表明儀表指示值的分散性，表示在同一測量條件下對同一被測量進(jìn)行多次測量時，得到的測量結(jié)果的分散程度。

2)正確度(ε)

正確度表明儀表指示值與真值的接近程度。

3)準(zhǔn)確度(τ)

準(zhǔn)確度是精密度和正確度的綜合反映。準(zhǔn)確度高，說明精密度和正確度都高，也就意味著系統(tǒng)誤差和隨機誤差都小，致使最終測量結(jié)果的可信度也高。圖1.4-1用射擊打靶說明測量

2.穩(wěn)定性

穩(wěn)定性通常用穩(wěn)定度和影響量兩個參數(shù)來表征。

穩(wěn)定度也稱穩(wěn)定誤差，是指在規(guī)定的時間區(qū)間，其他外界條件恒定不變的情況下，儀器示值變化的大小。

3.輸入阻抗

前面(例1.3-2)曾提到測量儀表的輸入阻抗對測量結(jié)果的影響。電壓表、示波器等儀表在測量時并接于待測電路兩端，如圖1.4-2所示。圖1.4-2測量儀表的負(fù)載效應(yīng)

4.靈敏度

靈敏度表示測量儀表對被測量變化的敏感程度，一般定義為測量儀表指示值(指針的偏轉(zhuǎn)角度、數(shù)碼的變化、位移的大小等)增量Δy與被測量增量Δx之比。

5.線性度

線性度是測量儀表的輸入、輸出特性之一，表示儀表的輸出量(示值)隨輸入量(被測量)變化的規(guī)律。若儀表的輸出為y，輸入為x，則兩者關(guān)系用函數(shù)y=f(x)表示。如果y=f(x)為

y－x平面上過原點的直線，則稱之為線性刻度特性，否則稱為非線性刻度特性。由于各類測量儀器的原理各異，因此不同的測量儀器可能呈現(xiàn)不同的刻度特性。例如，常用萬用表的電阻擋具有上凸的非線性刻度特性，而數(shù)字電壓表具有線性刻度特性，分別如圖1.4-3(a)、(b)所示。圖1.4-3常用萬用表的電阻擋和數(shù)字電壓表的刻度特性曲線

6.動態(tài)特性

測量儀表的動態(tài)特性表示儀表的輸出響應(yīng)隨輸入變化的能力。例如示波器的垂直偏轉(zhuǎn)系統(tǒng)，由于輸入電容等因素的影響造成了輸出波形對輸入信號的滯后與畸變，示波器的瞬態(tài)響應(yīng)就表示了這種儀器的動態(tài)特性。

1.5計量的基本概念

1.5.1計量

計量和測量是互有聯(lián)系又有區(qū)別的兩個概念。測量是通過實驗手段對客觀事物取得定量信息的過程，也就是利用實驗手段把待測量直接或間接地與另一個同類已知量進(jìn)行比較，從而得到待測量值的過程。1.5.2單位制

任何測量都要有一個統(tǒng)一的體現(xiàn)計量單位的量作為標(biāo)準(zhǔn)，這樣的量稱作計量標(biāo)準(zhǔn)。計量單位是有明確定義和名稱并令其數(shù)值為1的固定的量，例如長度單位1米(m)，時間單位1秒(s)等。計量單位必須以嚴(yán)格的科學(xué)理論為依據(jù)進(jìn)行定義。1.5.3計量基準(zhǔn)

1.主基準(zhǔn)

主基準(zhǔn)是用來復(fù)現(xiàn)和保存計量單位、具有現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)所能達(dá)到的最高準(zhǔn)確度的計量器具，也稱作原始基準(zhǔn)。經(jīng)國家鑒定批準(zhǔn)，將其作為統(tǒng)一全國計量單位量值的最高依據(jù)。因此主基準(zhǔn)又稱國家基準(zhǔn)。

2.副基準(zhǔn)

副基準(zhǔn)是通過直接或間接與國家基準(zhǔn)比對，確定其量值并經(jīng)國家鑒定批準(zhǔn)的計量器具。它在全國作為復(fù)現(xiàn)計量單位的地位僅次于國家基準(zhǔn)，平時用來代替國家基準(zhǔn)使用。

3.工作基準(zhǔn)

工作基準(zhǔn)是經(jīng)與主基準(zhǔn)或副基準(zhǔn)校準(zhǔn)或比對，并經(jīng)國家鑒定批準(zhǔn)，實際用以檢定下屬計量標(biāo)準(zhǔn)的計量器具。它在全國作為復(fù)現(xiàn)計量單位的地位僅在主基準(zhǔn)和副基準(zhǔn)之下。設(shè)置工作基準(zhǔn)的目的是不使主基準(zhǔn)和副基準(zhǔn)因頻繁使用而喪失原有的準(zhǔn)確度。1.5.4量值的傳遞與跟蹤，檢定與比對

計量器具：復(fù)現(xiàn)量值或?qū)⒈粶y量轉(zhuǎn)換成可直接觀測的指示值或等效信息的量具、儀器、裝置。

計量標(biāo)準(zhǔn)器具：準(zhǔn)確度低于計量基準(zhǔn)，用于檢定計量標(biāo)準(zhǔn)或工作計量器具的計量器具。它可按其準(zhǔn)確度等級分類，如標(biāo)準(zhǔn)砝碼有一級、二級、三級、四級、五級之分。

工作計量器具：工作崗位上使用，不用于進(jìn)行量值傳遞而直接用來測量被測對象量值的計量器具。

比對：在規(guī)定條件下，對相同準(zhǔn)確度等級的同類基準(zhǔn)、標(biāo)準(zhǔn)或工作計量器具之間的量值進(jìn)行比較，其目的是考核量值的一致性。

檢定：用高一等級準(zhǔn)確度的計量器具對低一等級的計量器具進(jìn)行比較，以達(dá)到全面評定被檢計量器具的計量性能是否合格的目的。一般要求計量標(biāo)準(zhǔn)的準(zhǔn)確度為被檢者的1/3~1/10。準(zhǔn)確度數(shù)值越小，準(zhǔn)確度越高，性能越好。

校準(zhǔn)：指被校的計量器具與高一等級的計量標(biāo)準(zhǔn)相比較，以確定被校計量器具的示值誤差(有時也包括確定被校器具的其他計量性能)的全部工作。一般而言，檢定要比校準(zhǔn)包括更廣泛的內(nèi)容。

量值的傳遞與跟蹤：指的是把一個物理量單位通過各級基準(zhǔn)、標(biāo)準(zhǔn)及相應(yīng)的輔助手段準(zhǔn)確地傳遞到日常工作中所使用的測量儀器、量具，以保證量值統(tǒng)一的全過程。小結(jié)

(1)電子測量的內(nèi)容：電能量測量、電信號特性測量、電路元器件參數(shù)測量、電子設(shè)備性能測量和非電量測量。

(2)電子測量的特點：測量頻率范圍寬；測量量程廣；測量準(zhǔn)確度高低相差懸殊；測量速度快；可實現(xiàn)遙測；易于實現(xiàn)測量智能化和自動化；測量結(jié)果影響因素眾多，誤差分析困難。

(3)測量方法的分類：按測量過程分類，分為直接測量、間接測量、組合測量；按測量方式分類，分為偏差式測量、零位式測量、微差式測量；按被測量性質(zhì)分類，分為時域測量、頻域測量、數(shù)據(jù)域測量、隨機測量。

(4)測量儀器的主要性能指標(biāo)：精度、穩(wěn)定性、輸入阻抗、靈敏度、線性度和動態(tài)特性。

(5)計量：用規(guī)定的標(biāo)準(zhǔn)已知量作單位和同類型未知量相比較而加以檢定的過程。國家以法律形式規(guī)定全國統(tǒng)一執(zhí)行的計量單位制及其他有關(guān)計量法規(guī)。計量工作是國民經(jīng)濟(jì)中一項重要的基礎(chǔ)工作。量值的傳遞和跟蹤、檢定和比對，是國家計量工作統(tǒng)一性和權(quán)威性的重要保證。第2章測量誤差和測量結(jié)果處理2.1測量誤差的基本概念2.2測量誤差的來源2.3誤差的分類2.4隨機誤差分析2.5系統(tǒng)誤差分析2.6系統(tǒng)誤差的合成2.7測量數(shù)據(jù)的處理小結(jié)

2.1測量誤差的基本概念

2.1.1誤差概念

1.測量中涉及的幾個量值

1)真值A(chǔ)0

一個物理量在一定條件下所呈現(xiàn)的真實數(shù)值稱作它的

真值。

2)指定值A(chǔ)s

因為絕對真值是不可知的，所以一般由國家設(shè)立各種盡可能維持不變的實物標(biāo)準(zhǔn)(或基準(zhǔn))，以法令的形式指定其所體現(xiàn)的量值作為計量單位的指令值。

3)實際值A(chǔ)

實際測量中，不可能都直接與國家基準(zhǔn)相比對，所以國家通過一系列各級實物計量標(biāo)準(zhǔn)構(gòu)成量值傳遞網(wǎng)，把國家基準(zhǔn)所體現(xiàn)的計量單位逐級比較并傳遞到日常工作儀器或量具上。在每一級的比較中，都以上一級標(biāo)準(zhǔn)所體現(xiàn)的值當(dāng)作準(zhǔn)確無誤的值，通常稱為實際值，也稱作相對真值。

4)標(biāo)稱值

測量器具上標(biāo)定的數(shù)值稱為標(biāo)稱值，如標(biāo)準(zhǔn)砝碼上標(biāo)出的1kg，標(biāo)準(zhǔn)電阻上標(biāo)出的1Ω，標(biāo)準(zhǔn)電池上標(biāo)出的電動勢1.0186V，標(biāo)準(zhǔn)信號發(fā)生器刻度盤上標(biāo)出的輸出正弦波的頻率100kHz等。

5)示值

由測量器具指示的被測量量值稱為測量器具的示值，也稱測量值，它包括數(shù)值和單位。一般來說，示值與測量儀表的讀數(shù)有區(qū)別，讀數(shù)是儀器刻度盤上直接讀到的數(shù)字。

2.測量誤差

在實際測量中，測量器具不準(zhǔn)確，測量手段不完善，環(huán)境影響，測量操作不熟練及工作疏忽等都會導(dǎo)致測量結(jié)果與被測量真值不同。測量儀器儀表的測得值與被測量真值之間的差異稱為測量誤差。

3.單次測量和多次測量

單次(一次)測量是用測量儀器對待測量進(jìn)行一次測量的過程。顯然，為了得知某一量的大小，必須至少進(jìn)行一次測量。在測量精度要求不高的場合，可以只進(jìn)行單次測量。單

次測量不能反映測量結(jié)果的精密度，一般只能給出一個量的大致概念和規(guī)律。

4.等精度測量和非等精度測量

在保持測量條件不變的情況下對同一被測量進(jìn)行的多次測量過程稱作等精度測量。這里所說的測量條件包括所有對測量結(jié)果產(chǎn)生影響的客觀和主觀因素，如測量儀器、方法、測量環(huán)境、操作者的操作步驟和細(xì)心程度等。等精度測量的測量結(jié)果具有同樣的可靠性。2.1.2誤差的表示方法

1.絕對誤差

絕對誤差定義為

Δx=x－A0

(2.1-1)

式中，Δx為絕對誤差，x為測得值，A0為被測量真值。前面已提到，真值A(chǔ)0一般無法得到，所以用實際值A(chǔ)代替A0，因而絕對誤差更有實際意義的定義是

Δx=x－A

(2.1-2)絕對誤差具有下面幾個特點：

(1)絕對誤差是有單位的量，其單位與測得值和實際值相同。

(2)絕對誤差是有符號的量，其符號表示測得值與實際值的大小關(guān)系，若測得值較實際值大，則絕對誤差為正值，反之為負(fù)值。

(3)測得值與被測量實際值間的偏離程度和方向通過絕對誤差來體現(xiàn)。但僅用絕對誤差通常不能說明測量的質(zhì)量。

(4)對于信號源、穩(wěn)壓電源等供給量儀器，絕對誤差定義為

Δx=A－x

(2.1-3)

式中，A為實際值，x為供給量的指示值(標(biāo)稱值)。如果沒有特殊說明，本書中涉及的絕對誤差按式(2.1-2)計算。

與絕對誤差絕對值相等但符號相反的值稱為修正值，一般用符號c表示

c=－Δx=A－x

(2.1-4)測量儀器的修正值可通過檢定由上一級標(biāo)準(zhǔn)給出，它可以是表格、曲線或函數(shù)表達(dá)式等。利用修正值和儀器示值可得到被測量的實際值：

A=x+c

(2.1-5)

例如，由某電流表測得的電流示值為0.83mA，查該電流表檢定證書得知該電流表在0.8mA及其附近的修正值都為－0.02mA，那么被測電流的實際值為

A=0.83+(－0.02)=0.81mA

2.相對誤差

實際中常用相對誤差來說明測量精度的高低，它可分為以下幾種。

(1)實際相對誤差定義為

(2.1-6)

(2)示值相對誤差(又稱標(biāo)稱值相對誤差)定義為

(2.1-7)

(3)滿度相對誤差

定義為儀器量程內(nèi)最大絕對誤差Δxm與測量儀器滿度值(量程上限值)xm的百分比值

(2.1-8)

滿度相對誤差又稱為滿度誤差和引用誤差。由式(2.1-8)可以看出，滿度誤差實際上給出了儀表各量程內(nèi)絕對誤差的最大值

(2.1-9)

【例2.1-1】某電壓表s=1.5，試算出它在0~100V量程中的最大絕對誤差。

解：在0~100V量程內(nèi)上限值xm=100V，由式(2.1-9)得

【例2.1-2】某1.0級電流表的滿度值xm=100μA，求測量值分別為x1=100μA，x2=80μA，x3=20μA時的絕對誤差和示值相對誤差。

解：由式(2.1-9)得絕對誤差為

前已敘述，絕對誤差是不隨測量值改變的。測得值分別為100μA、80μA、20μA時的示值相對誤差各不相同，分別為

【例2.1-3】要測量100℃的溫度，現(xiàn)有0.5級、測量范圍為0℃~300℃和1.0級、測量范圍為0℃~100℃的兩種溫度計，試分析各自產(chǎn)生的示值誤差。

解：對0.5級溫度計，可能產(chǎn)生的最大絕對誤差為

按照誤差整量化原則，認(rèn)為該量程內(nèi)絕對誤差x1=Δxm1=

±1.5℃，因此示值相對誤差為同樣可算出用1.0級溫度計可能產(chǎn)生的絕對誤差和示值相對誤差為

(4)在電子測量中還常用到分貝誤差。分貝誤差是用對數(shù)表示誤差的一種形式，單位為分貝(dB)。分貝誤差廣泛用于增益(衰減)量的測量中。下面以電壓增益測量為例，引出分貝誤差的表示形式。

設(shè)雙口網(wǎng)絡(luò)(如放大器、衰減器等)輸入、輸出電壓的測量值分別為Ui和Uo，則電壓增益Au的測量值為

(2.1-10)

用對數(shù)表示為

Gx=20lgAu(dB)

(2.1-11)設(shè)A為電壓增益實際值，其分貝值G=20lgA，由式(2.1-2)及式(2.1-11)可得

(2.1-12)

(2.1-13)由此得到

(2.1-14)

(2.1-15)顯然，式(2.1-15)中γdB與增益的相對誤差有關(guān)，可看成相對誤差的對數(shù)表現(xiàn)形式，稱之為分貝誤差。若令

并設(shè)γA≈γx，則式(2.1-15)可改寫成：

γdB=20lg(1+γx)(dB)

(2.1-16)

式(2.1-16)即為分貝誤差的一般定義式。

若測量的是功率增益，則因為功率與電壓呈平方關(guān)系，并考慮對數(shù)運算規(guī)則，所以這時的分貝誤差定義為

γdB=10lg(1+γx)(dB)

(2.1-17)

【例2.1-4】某電壓放大器，當(dāng)輸入端電壓Ui=1.2mV時，測得輸出電壓Uo=6000mV，設(shè)Ui誤差可忽略，Uo的

測量誤差γ2=±3%。求放大器電壓放大倍數(shù)的絕對誤差ΔA、相對誤差γx及分貝誤差γdB。

解：電壓放大倍數(shù)為

電壓分貝增益為輸出電壓絕對誤差為

因忽略Ui誤差，故電壓增益的絕對誤差為電壓增益的相對誤差為

電壓增益的分貝誤差為實際電壓的分貝增益為

G=74±0.26dB

當(dāng)γx值很小時，分貝增益定義式(2.1-16)和式(2.1-17)中的γdB可分別利用下面近似式得到：

γdB≈8.69γxdB(電壓、電流類增益)

(2.1-18)

γdB≈4.34γxdB(功率類增益)

(2.1-19)

如果在測量中使用的儀器是用分貝作單位的，則分貝誤差直接按Δx=x－A計算。例如，某衰減器的標(biāo)稱值為20dB,經(jīng)檢定為20.5dB，則其分貝誤差為

Δx=20－20.5=－0.5dB2.1.3測量儀器的容許誤差

1.工作誤差

工作誤差是指在額定工作條件下儀器誤差的極限值，即來自儀器外部的各種影響量和儀器內(nèi)部的影響特性為任意可能的組合時，儀器誤差的最大極限值。

2.固有誤差

固有誤差是當(dāng)儀器的各種影響量和影響特性處于基準(zhǔn)條件時儀器所具有的誤差。基準(zhǔn)條件如表2.1-1所示。這些基準(zhǔn)條件是比較嚴(yán)格的，所以這種誤差能夠更準(zhǔn)確地反映儀器

所固有的性能，便于在相同條件下，對同類儀器進(jìn)行比較和校準(zhǔn)。

3.影響誤差

影響誤差是指當(dāng)一個影響量在其額定使用范圍內(nèi)取任

一值，而其他影響量和影響特性均處于基準(zhǔn)條件時所測得

的誤差，例如溫度誤差、頻率誤差等。只有當(dāng)某一影響量在工作誤差中起重要作用時才給出影響誤差，它是一種誤差的極限。

4.穩(wěn)定誤差

穩(wěn)定誤差是儀器的標(biāo)稱值在其他影響量和影響特性保持恒定的情況下，在規(guī)定時間內(nèi)產(chǎn)生的誤差極限。常以相對誤差形式給出或者注明最長連續(xù)工作時間。例如，DS-33型交流數(shù)字電壓表就是用上述四種誤差標(biāo)注的。工作誤差：50Hz~1MHz，1mV~1V量程為±1.5%±滿量程的0.5%。固有誤差：1kHz，1V時為讀數(shù)的0.4%±1個字。溫度影響誤差：1kHz，1V時的溫度系數(shù)為10-4/C。頻率影響誤差：50Hz~1MHz為±0.5%±滿量程的0.1%。穩(wěn)定誤差：在溫度為-10℃~+40℃，相對濕度為80%以下，大氣壓為650~800mmHg的環(huán)境內(nèi)，連續(xù)工作7小時。如同DS-33型交流數(shù)字電壓表一樣，許多測量儀器(尤其是較為精密的儀器和數(shù)字式儀器)的容許誤差常用誤差的絕對數(shù)值和相對數(shù)值相結(jié)合來表示。例如國產(chǎn)SX1842型四位半顯示直流數(shù)字電壓表，在2V擋的容許誤差(工作誤差)為±0.025%±1個字，其含義是該電壓表在2V擋的最大絕對誤差為

(2.1-20)式中，第一項±0.025%是以相對形式給出的誤差；第二項是以絕對形式給出的誤差?！?指的是顯示數(shù)字的最低位1個字所表示的數(shù)值，因此該項也稱為±1個字誤差。SX1842是

即四位半顯示，其含義是數(shù)字顯示共五位，最高位只

能是0或者1，后四位每一位取值均可為0~9，因此最大顯示為19999，現(xiàn)為2V擋，所以最低位為1時所代表的數(shù)值是

如果用該表測量某電壓時的測量值是1.5000V，則僅由儀器誤差造成的測量相對誤差為

【例2.1-5】用位數(shù)字電壓表2V擋和200V擋測量1V電壓，該電壓表各擋容許誤差均為±0.03%±1個字，試分析用上述兩擋分別測量時的相對誤差。

解：(1)用2V擋測量，仿照式(2.1-20)，絕對誤差為為了便于觀察，式中前一項是容許誤差的相對值部分，后一項是絕對值部分，即±1個字誤差，此時后者影響較小，測量數(shù)值(顯示值)為0.9996~1.0004V時，有效顯示數(shù)字

是四位到五位。相對誤差為

(2)用200V擋測量，絕對誤差為可見，此時±1個字誤差占了誤差的絕大部分(為了便于觀察，100×10－4未按科學(xué)計數(shù)法的規(guī)定寫成1.0×10－2)，由于此時最末位1個字誤差或最末位為1時代表的數(shù)值是10mV或0.01V，因此此時電壓表顯示為0.99~1.01V，顯示有效數(shù)字為二到三位。相對誤差為

2.2測量誤差的來源

2.2.1儀器誤差

儀器誤差又稱設(shè)備誤差，是由于設(shè)計、制造、裝配、檢定等的不完善以及儀器使用過程中元器件老化，機械部件磨損，疲勞等而使測量儀器設(shè)備帶有的誤差。2.2.2使用誤差

使用誤差又稱操作誤差，是由于對測量設(shè)備操作不當(dāng)而造成的誤差。2.2.3人身誤差

人身誤差主要指由于測量者感官的分辨能力、視覺疲勞、固有習(xí)慣等對測量實驗中的現(xiàn)象與結(jié)果判斷不準(zhǔn)確而造成的誤差。比如指針式儀表刻度的讀取，諧振法測量L、C、Q時諧振點的判斷等，都很容易產(chǎn)生誤差。2.2.4影響誤差

影響誤差是指各種環(huán)境因素與要求條件不一致而造成的誤差。對電子測量而言，最主要的影響因素是環(huán)境溫度、電源電壓和電磁干擾等。當(dāng)環(huán)境條件符合要求時，影響誤差通常可不予考慮。但在精密測量及計量中，需根據(jù)測量現(xiàn)場的溫度、濕度、電源電壓等影響數(shù)值求出各項影響誤差，以便根據(jù)需要做進(jìn)一步的數(shù)據(jù)處理，來提高測量結(jié)果的準(zhǔn)確度。2.2.5方法誤差

顧名思義，方法誤差是指所使用的測量方法不當(dāng)，或測量所依據(jù)的理論不嚴(yán)密，或?qū)y量計算公式不適當(dāng)簡化等原因造成的誤差。方法誤差也稱作理論誤差。例如當(dāng)用平均值檢波器測量交流電壓時，平均值檢波器的輸出正比于被測正弦電壓的平均值，而交流電壓表通常以有效值U定度，兩者間理論上應(yīng)有下述關(guān)系：

(2.2-1)式中，稱為定度系數(shù)。由于π和均為無

理數(shù)，因此當(dāng)用有效值定度時，取近似公式：

(2.2-2)

顯然，兩者相比就產(chǎn)生了誤差，這種由于計算公式的簡化或近似造成的誤差就是一種理論誤差。

【例2.2-1】1.4節(jié)及圖1.4-2曾提及測量儀表的負(fù)載效應(yīng)，現(xiàn)重畫于圖2.2-1中。圖中虛框代表一臺內(nèi)電阻

RV=10MΩ，儀器工作誤差(也稱不確定度)為“±0.005%讀數(shù)±2個字”的數(shù)字電壓表，讀數(shù)Uo=10.0225V。試分析儀器誤差和方法誤差。圖2.2-1方法誤差示例

解：由圖2.2-1可以計算出：

(2.2-3)

(2.2-4)即比值Rs/RV愈大，示值相對誤差也愈大，這是一種方法誤差。將RV=10MΩ，Rs=10kΩ代入式(2.2-4)，得方法誤差：電壓表本身的儀器誤差:

可見，這里的方法誤差較儀器誤差大得多。

不過，由式(2.2-3)可以看出，測量值Uo與實際值Us間有確定的函數(shù)關(guān)系，只要知道Rs、RV和Uo，那么這里的方法誤差就可以得到修正。實際上由式(2.2-3)可以解得：

(2.2-5)利用式(2.2-5)修正公式和有關(guān)數(shù)據(jù)得到：

如果我們不用上面的偏差法原理測量Uo，而改用第1章中提到的零位法或微差法測量，則將基本避免方法誤差

(見2.5節(jié))。當(dāng)然，偏差法測量在測量操作實施上要比后兩

種方法方便得多。

2.3誤差的分類

2.3.1系統(tǒng)誤差

在多次等精度測量同一量值時，誤差的絕對值和符號保持不變，或當(dāng)條件改變時誤差按某種規(guī)律變化，這種誤差稱為系統(tǒng)誤差，簡稱系差。圖2.3-1系統(tǒng)誤差的特征例如，標(biāo)準(zhǔn)電池的電動勢隨環(huán)境溫度變化而變化，因

而實際值和標(biāo)稱值間產(chǎn)生一定的誤差ΔE，它遵循下面的

規(guī)律：2.3.2隨機誤差

隨機誤差又稱偶然誤差，是指對同一量值進(jìn)行多次等精度測量時，其絕對值和符號均以不可預(yù)測的方式無規(guī)則變化的誤差。圖2.3-2電阻測量值的隨機誤差2.3.3粗大誤差

在一定的測量條件下，測量值明顯地偏離實際值所形成的誤差稱為粗大誤差，也稱為疏失誤差，簡稱粗差。*2.4隨機誤差分析

2.4.1測量值的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)差

1.數(shù)學(xué)期望

設(shè)對被測量x進(jìn)行n次等精度測量，得到n個測量值：

x1，x2，x3，…，xn

由于隨機誤差的存在，這些測量值也是隨機變量。

n個測量值(隨機變量)的算術(shù)平均值為

(2.4-1)當(dāng)測量次數(shù)n→∞時，樣本平均值的極限定義為測量值的數(shù)學(xué)期望：

(2.4-2)

式中，Ex也稱作總體平均值。假設(shè)上面的測量值中不含系統(tǒng)誤差和粗大誤差，則第i次測量得到的測量值xi與真值A(chǔ)(前已敘述，由于真值A(chǔ)0一般無法得知，因此通常以實際值A(chǔ)代替)間的絕對誤差就等于隨機誤差，即

(2.4-3)

式中，Δxi、δi分別表示絕對誤差和隨機誤差。隨機誤差的算術(shù)平均值為當(dāng)n→∞時，上式中第一項即為測得值的數(shù)學(xué)期望Ex，所以

(2.4-4)

由于隨機誤差具有抵償性，因此當(dāng)測量次數(shù)n趨于無限大時，趨于零，即

(2.4-5)

即隨機誤差的數(shù)學(xué)期望等于零。由式(2.4-4)和式(2.4-5)可得

Ex=A

(2.4-6)

即測量值的數(shù)學(xué)期望等于被測量真值A(chǔ)。實際上不可能做到無限多次測量，對于有限次測量，當(dāng)測量次數(shù)足夠多時近似認(rèn)為

(2.4-7)

(2.4-8)

由上述分析得出結(jié)論，在實際測量工作中，當(dāng)基本消除系統(tǒng)誤差且剔除粗大誤差后,雖然仍有隨機誤差存在,但多次測得值的算術(shù)平均值很接近被測量真值，因此就將它作為最后的測量結(jié)果,并稱之為被測量的最佳估值或最可信賴值。

2.剩余誤差

當(dāng)進(jìn)行有限次測量時，各次測得值與算術(shù)平均值之差稱為剩余誤差或殘差，其定義為

(2.4-9)

對式(2.4-9)兩邊分別求和，有

(2.4-10)

3.方差與標(biāo)準(zhǔn)差

隨機誤差反映了實際測量的精密度，即測量值的分散程度。由于隨機誤差具有抵償性，因此不能用它的算術(shù)平均值來估計測量的精密度，而應(yīng)使用方差進(jìn)行描述。方差定義為當(dāng)n→∞時測量值與期望值之差的平方的統(tǒng)計平均值，即

(2.4-11)因為隨機誤差δi=xi－Ex，所以

(2.4-12)

式中，σ2稱為測量值的樣本方差，簡稱方差。由于實際測量中δi都帶有單位(mV、μA等)，因而方差σ2是相應(yīng)單位的平方，使用不方便。為了與隨機誤差δi單位一致，將式(2.4-12)兩邊開方，取正平方根，得

(2.4-13)

有時還會用到平均誤差，其定義為

(2.4-14)2.4.2隨機誤差的正態(tài)分布

1.正態(tài)分布

在大多數(shù)情況下，測量值在其期望值上出現(xiàn)的概率最大，隨著對期望值偏離的增大，出現(xiàn)的概率急劇減小。表

現(xiàn)在隨機誤差等于零的隨機誤差出現(xiàn)的概率最大，隨著隨

機誤差絕對值的加大，出現(xiàn)的概率急劇減小。測量值和隨

機誤差的這種統(tǒng)計分布規(guī)律稱為正態(tài)分布，如圖2.4-1和圖2.4-2所示。圖2.4-1xi的正態(tài)分布曲線圖2.4-2δi的正態(tài)分布曲線設(shè)測量值xi在x~x+dx范圍內(nèi)出現(xiàn)的概率為P，它正比于dx，并與x值有關(guān)，即

(2.4-15)

式中，定義為測量值xi的分布密度函數(shù)或概率分布函數(shù)，顯然有

(2.4-16)對于正態(tài)分布的xi，其概率密度函數(shù)為

(2.4-17)

同樣，對于正態(tài)分布的隨機誤差δi，有

(2.4-18)

2.均勻分布

在測量實踐中，還有其他形式的概率密度分布形式，其中，均勻分布是僅次于正態(tài)分布的一種重要分布，如圖2.4-3所示。均勻分布的特點是：在誤差范圍內(nèi)，誤差出現(xiàn)的概率各處相同。在電子測量中常見的有下列幾種情況。

(1)儀表度盤刻度誤差。

(2)數(shù)字顯示儀表的最低位“±1個字”的誤差。

(3)由于舍入引起的誤差。圖2.4-3均勻分布的概率密度在圖2.4-3所示的均勻分布中，因一定滿足

所以概率密度為

(2.4-19)可以證明，式(2.4-19)所示的均勻分布的數(shù)學(xué)期望為

(2.4-20)

方差為

(2.4-21)

標(biāo)準(zhǔn)差為

(2.4-22)

3.極限誤差Δ

對于正態(tài)分布的隨機誤差，根據(jù)式(2.4-18)可以算出隨機誤差落在［－σ，+σ］區(qū)間的概率為

(2.4-23)同樣可以求得隨機誤差落在±2σ或±3σ范圍內(nèi)的概率分別為

(2.4-24)

(2.4-25)即當(dāng)測得值xi的置信區(qū)間為［Ex－2σ，Ex+2σ］和［Ex－3σ，Ex+3σ］時置信概率分別為0.954和0.997。由式(2.4-25)可見，隨機誤差絕對值大于3σ的概率(可能性)僅為0.003或0.3%，實際上出現(xiàn)的可能性極小，因此定義

Δ=3σ

(2.4-26)

4.貝塞爾公式

在上面的分析中，隨機誤差δi=xi－Ex=xi－A，其中xi

為第i次測量值，A為真值，Ex為xi的數(shù)學(xué)期望，且

在這種前提下，我們用測量值數(shù)列的標(biāo)準(zhǔn)差σ來表征測量值的分散程度，并有

實際上不可能做到n→∞的無限次測量。當(dāng)n為有限值時，我們用殘差

來近似或代替真正的隨機誤差δi，用表示有限次測量時標(biāo)準(zhǔn)誤差的最佳估計值，可以證明：

(2.4-27)標(biāo)準(zhǔn)差的最佳估計值還可以用式(2.4-28)求出：

(2.4-28)

這是貝塞爾公式的另一種表達(dá)形式。有時簡稱為標(biāo)準(zhǔn)差估計值。

仍以表2.3-1為例，可以算出：

5.算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差

如果在相同條件下將同一被測量分成m組，每組重復(fù)n次測量，則每組測得值都有一個平均值。由于隨機誤差的存在，這些算術(shù)平均值也不相同，而是圍繞真值有一定的分

散性，即算術(shù)平均值與真值間也存在著隨機誤差。我們用

來表示算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差，由概率論中方差運算法則可以求出：

(2.4-29)同樣定義為算術(shù)平均值的極限誤差，與真值

間的誤差超過這一范圍的概率極小，因此，測量結(jié)果可以表示為

(2.4-30)在有限次測量中，以表示算術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)差的最佳估值，有

(2.4-31)因為實際測量中n只能是有限值，所以有時就將和

稱作測量值的標(biāo)準(zhǔn)差和測量平均值的標(biāo)準(zhǔn)差，從而將式

(2.4-27)和式(2.4-31)直接寫成

(2.4-32)

(2.4-33)2.4.3有限次測量下測量結(jié)果的表達(dá)

由于實際上只可能做到有限次等精度測量，因而我們分別用式(2.4-32)和式(2.4-33)來計算測量值的標(biāo)準(zhǔn)差和算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差，如前所述，實際上是兩種標(biāo)準(zhǔn)差的最佳估值。由式(2.4-33)可以看到，算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差隨測量次數(shù)n的增大而減小，但減小速度要比n的增長慢得多，即僅靠單純增加測量次數(shù)來減小標(biāo)準(zhǔn)差收效不大，因而實際測量中n的取值并不很大，一般在10~20之間。

【例2.4-1】用電壓表對某一電壓測量10次，設(shè)已消

除系統(tǒng)誤差及粗大誤差，測得數(shù)據(jù)及有關(guān)計算值如表2.4-1

所示，試給出最終測量結(jié)果表達(dá)式。

解：計算得到∑vi=0，表示的計算正確。進(jìn)一步計算得到：

因此該電壓的最終測量結(jié)果為

x=75.045±0.029V

2.5系統(tǒng)誤差分析

2.5.1系統(tǒng)誤差的特性

剔除粗差后，測量誤差等于隨機誤差δi和系統(tǒng)誤差εi的代數(shù)和，即

(2.5-1)

假設(shè)進(jìn)行n次等精度測量，并設(shè)系差為恒值系差或其變化非常緩慢，即εi=ε，則Δxi的算術(shù)平均值為

(2.5-2)

當(dāng)n足夠大時，由于隨機誤差的抵償性，δi的算術(shù)平均值趨于零，于是由式(2.5-2)得到

(2.5-3)2.5.2系統(tǒng)誤差的判斷

1.理論分析法

凡屬由于測量方法或測量原理引入的系差，不難通過對測量方法的定性和定量分析發(fā)現(xiàn)系差，甚至計算出系差的大小。2.2節(jié)例2.2-1中用內(nèi)阻不高的電壓表測量高內(nèi)阻電源電壓就是一例。

2.校準(zhǔn)和比對法

當(dāng)懷疑測量結(jié)果可能會有系差時，可用準(zhǔn)確度更高的測量儀器進(jìn)行重復(fù)測量以發(fā)現(xiàn)系差。測量儀器定期進(jìn)行校準(zhǔn)或檢定并在檢定證書中給出修正值，目的就是發(fā)現(xiàn)和減小使用被檢儀器進(jìn)行測量時的系統(tǒng)誤差。

3.改變測量條件法

系差常與測量條件有關(guān)，如果能改變測量條件，比如更換測量人員、測量環(huán)境、測量方法等，則可對分組測量數(shù)據(jù)進(jìn)行比較來發(fā)現(xiàn)系差。

4.剩余誤差觀察法

剩余誤差觀察法是根據(jù)測量數(shù)據(jù)數(shù)列各個剩余誤差的大小、符號的變化規(guī)律，以判斷有無系差及系差類型。圖2.5-1系統(tǒng)誤差的判斷

5.公式判斷法

馬林科夫判據(jù)和阿卑-赫梅特判據(jù)可分別用來判定有

無累進(jìn)性系差和周期性系差，詳細(xì)論述可參閱參考文獻(xiàn)［1］、［3］。2.5.3消除系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的根源

產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的原因很多，如果能找出并消除產(chǎn)生系

差的根源或采取措施防止其影響，則將是解決問題最根本

的辦法。2.5.4削弱系統(tǒng)誤差的典型測量技術(shù)

1.零示法

零示法是在測量中，將待測量與已知標(biāo)準(zhǔn)量相比較，當(dāng)二者的效應(yīng)互相抵消時，零示器示值為零，此時已知標(biāo)準(zhǔn)量的數(shù)值就是被測量的數(shù)值。零示法原理如圖2.5-2所示圖2.5-2零示法原理圖電位差計是采用零示法的典型例子。圖2.5-3是電位差計的原理圖。圖2.5-3電位差計原理圖調(diào)Rs使IP=0，則被測電壓Ux=Us，即

(2.5-4)

2.替代法

替代法又稱置換法。它是在測量條件不變的情況下，用一標(biāo)準(zhǔn)已知量去替代待測量，通過調(diào)整標(biāo)準(zhǔn)量而使儀器的示值不變，于是標(biāo)準(zhǔn)量的值等于被測量值。由于替代前后整個測量系統(tǒng)及儀器示值均未改變，因此測量中的恒定系差對測量結(jié)果不產(chǎn)生影響，測量準(zhǔn)確度主要取決于標(biāo)準(zhǔn)已知量的準(zhǔn)確度及指示器的靈敏度。圖2.5-4是替代法在精密電阻電橋中的應(yīng)用實例。首先接入未知電阻Rx，調(diào)節(jié)電橋使之平衡，即IP=0，此時有

(2.5-5)圖2.5-4替代法測量電阻由于R1、R2、R3都有誤差，因此若利用它們的標(biāo)稱值來計算Rx，則Rx也帶有誤差，即

(2.5-6)

忽略增量乘積項，并考慮式(2.5-5)關(guān)系，近似得到：

(2.5-7)為了消除上述誤差，現(xiàn)用可變標(biāo)準(zhǔn)電阻Rs代替Rx，并在保持R1、R2、R3不變的情況下通過調(diào)節(jié)Rs，使電橋重新平衡，因而得到：

(2.5-8)

比較式(2.5-6)和式(2.5-8)，得到：

(2.5-9)

3.補償法

下面以諧振法(如Q表)測電容為例說明這種測量方法。圖2.5-5為測量原理圖，其中，u為高頻信號源，L為電感，

C0為分布電容，Cx為待測電容，假設(shè)電子電壓表內(nèi)阻為無窮大。調(diào)節(jié)信號源頻率使電路諧振(此時電壓表指示最大)，設(shè)諧振頻率為f0，可以算出：

(2.5-10)圖2.5-5諧振法測電容可見，Cx與頻率f0、電感L、分布電容C0都有關(guān)，它們的準(zhǔn)確度(尤其C0，常常很難給出具體準(zhǔn)確的數(shù)值)都會對Cx的準(zhǔn)確度產(chǎn)生影響。現(xiàn)改用補償法測量，如圖2.5-6所示，首先斷開Cx，調(diào)節(jié)標(biāo)準(zhǔn)電容Cs使電路諧振，設(shè)此時標(biāo)準(zhǔn)電容為

Cs1，而后保持信號源頻率不變，接入Cx，重新調(diào)整標(biāo)準(zhǔn)電容使電路諧振，設(shè)此時標(biāo)準(zhǔn)電容量為Cs2。圖2.5-6補償法測電容由式(2.5-10)容易得到僅接入Cs1時有

(2.5-11)

接入Cx后有

(2.5-12)

比較兩式得到：

Cx=Cs1－Cs2

(2.5-13)

可見，此時待測電容Cx僅與標(biāo)準(zhǔn)電容有關(guān)，從而測量準(zhǔn)確度要比用圖2.5-5所示電路的結(jié)果高得多。

4.對照法

對照法又稱交換法，適于在對稱的測量裝置中用來檢查其對稱性是否良好，或從兩次測量結(jié)果的處理中削弱或消除系統(tǒng)誤差?，F(xiàn)以圖2.5-7所示的等臂電橋為例說明這種方法圖2.5-7對照法測電阻先按圖2.5-7(a)的接法調(diào)節(jié)標(biāo)準(zhǔn)電阻Rs使電橋平衡，設(shè)此時標(biāo)準(zhǔn)電阻阻值為Rs1，因而

(2.5-14)

然后按圖2.5-7(b)交換Rx、Rs的位置，調(diào)節(jié)Rs使電橋平衡。設(shè)此時標(biāo)準(zhǔn)電阻阻值為Rs2，因而

(2.5-15)如果R1=R2(故稱為等臂電橋)，則由式(2.5-14)和式(2.5-15)可知Rs1=Rs2=Rs，進(jìn)而得到

(2.5-16)

如果R1≠R2，則Rs1≠Rs2，可由式(2.5-14)和式(2.5-15)得到：

(2.5-17)

從而消除了R1、R2的誤差對測量結(jié)果的影響。

5.微差法

微差法又稱虛零法或差值比較法，實質(zhì)上是一種不徹底的零示法(見1.3節(jié)及圖1.3-2)。在零示法中必須仔細(xì)調(diào)節(jié)標(biāo)準(zhǔn)量s使之與x相等，這通常很費時間，有時甚至不可能做到。

微差法允許標(biāo)準(zhǔn)量s與被測量x的效應(yīng)不完全抵消，即相差一微小量δ，測得δ=x－s，即可得到待測量：

x=s+δ

(2.5-18)

x的示值相對誤差為

(2.5-19)

由于δ<<s，因此s+δ≈s。又由于δ<<x，所以有

(2.5-20)

即被測量的相對誤差基本上等于標(biāo)準(zhǔn)量的相對誤差，偏差式儀表產(chǎn)生的系差Δδ/δ幾乎可以忽略。

6.交叉讀數(shù)法

交叉讀數(shù)法是上述對照法的一種特殊形式?，F(xiàn)以諧振頻率測量為例，說明交叉讀數(shù)法的具體應(yīng)用。LC諧振電路的諧振曲線如圖2.5-8所示，由于在諧振點fx=f0附近曲線平坦，電壓變化很小，很難判斷真正的諧振狀態(tài)，所以會引入一定的方法誤差：

(2.5-21)式中，Q為電路品質(zhì)因數(shù)，ΔU/U0主要是由于電壓表分辨力不高造成的。如果Q=100，ΔU/U0=2%，則得到示值誤差：

為了削弱該誤差，改用交叉讀數(shù)法，在諧振點兩旁曲線斜率較大處(一般取U=分別測出兩個失諧頻率f1和f2，則待測頻率可用式(2.5-22)求出：

(2.5-22)由此產(chǎn)生的理論誤差為

(2.5-23)

若Q值仍為100，可算得：

相對誤差要比直接用諧振法測量小得多。圖2.5-8LC諧振電路的諧振曲線2.5.5消除或削弱系統(tǒng)誤差的其他方法

1.利用修正值或修正因數(shù)加以消除

根據(jù)測量儀器檢定書中給出的校正曲線、校正數(shù)據(jù)或利用說明書中的校正公式對測量值進(jìn)行修正，是實際測量中常用的辦法，這種方法原則上適用于任何形式的系差(見2.1節(jié)的式(2.1-5))。

2.隨機化處理

所謂隨機化處理，是指利用同一類型測量儀器的系統(tǒng)誤差具有隨機特性的特點，對同一被測量用多臺儀器進(jìn)行測量，取各臺儀器測量值的平均值作為測量結(jié)果。通常這種方法用得并不多，首先費時較多，其次需要多臺同類型儀器，這往往也是難以做到的。

3.智能儀器中系統(tǒng)誤差的消除

在智能儀器中，可利用微處理器的計算控制功能削弱或消除儀器的系統(tǒng)誤差。利用微處理器削弱系差的方法很多，下面介紹兩種常用的方法。

(1)直流零位校準(zhǔn)。

(2)自動校準(zhǔn)。

圖2.5-9是運算放大器誤差修正原理圖。圖中，ε表示由于溫漂、時漂等造成的運算放大器等效失調(diào)電壓；Ux為被測電壓；Us為基準(zhǔn)電壓；R1、R2為分壓電阻。當(dāng)開關(guān)S接于Ux處時，運放輸出為

(2.5-24)

設(shè)P=(R1+R2)/R2，代入式(2.5-24)得

(2.5-25)圖2.5-9運放的自動校準(zhǔn)原理可以利用微處理器軟件實現(xiàn)定時修正：通過程序控制輸入端開關(guān)依次接通Ux、Us和地，分別得到輸出電壓Uox、

Uos、Uoz并加以存儲。輸出電壓為

(2.5-26)

(2.5-27)

(2.5-28)由上述三式解得

(2.5-29)

這就是最后的結(jié)果。與式(2.5-25)相比，式(2.5-29)中不含P、ε、A0等，因而就不會受這些因素變化的影響而帶來誤差。*2.6系統(tǒng)誤差的合成

2.6.1誤差的合成

設(shè)最終測量結(jié)果為y，各分項測量值為x1、x2、…、xn

(分項測量值可以是單臺儀器中各部件的標(biāo)稱值，如上述電橋中的R1、R2和R3，也可以是間接測量中各單項測量值，如上述功率測量中的U、I，U、R或I、R)，它們滿足函數(shù)關(guān)系：

y=f(x1，x2，…，xn)

(2.6-1)設(shè)各xi間彼此獨立，xi的絕對誤差為Δxi，y的絕對誤差為Δy，則

(2.6-2)

將式(2.6-2)按泰勒級數(shù)展開得略去上式右邊(二階以上)高階項，得

所以

(2.6-3)當(dāng)式(2.6-3)中各分項的符號不能確定時，通常采用保守的辦法計算誤差，將式中各分項取絕對值后再相加，即

(2.6-4)

若用相對誤差形式表示總的合成誤差，則

(2.6-5)同樣，當(dāng)各分項符號不明確時，為可靠起見，取絕對值相加，即

(2.6-6)

式(2.6-3)~式(2.6-6)為系統(tǒng)誤差合成公式，其中，式(2.6-3)、式(2.6-4)也稱為絕對誤差傳遞公式，式(2.6-5)、式(2.6-6)稱為相對誤差傳遞公式。2.6.2常用函數(shù)的合成誤差

1.和差函數(shù)的合成誤差

設(shè)

y=x1±x2

y+Δy=(x1+Δx1)±(x2+Δx2)

以上兩式相減得絕對誤差為

Δy=Δx1±Δx2

(2.6-7)當(dāng)Δx1、Δx2符號不能確定時，同式(2.6-4)一樣的考慮，取

(2.6-8)

相對誤差為

(2.6-9)或者寫成：

(2.6-10)對于和函數(shù)，由式(2.6-8)得

(2.6-11)

對于差函數(shù)，有

(2.6-12)

【例2.6-1】電阻R1=1kΩ，R2=2kΩ，相對誤差均為±5%，求串聯(lián)等效電阻R的相對誤差。

解：串聯(lián)后的等效電阻為

R=R1+R2

由式(2.6-11)得串聯(lián)后電阻的相對誤差為

【例2.6-2】用指針式頻率計測量放大電路的頻帶寬度，儀器的滿度值fm=10MHz，準(zhǔn)確度為±1%，測得高端截止頻率fh=10MHz，低端截止頻率fl=9MHz，試計算頻帶寬度的合成誤差。

解：儀器的最大絕對誤差為

即頻帶寬度的相對誤差為

由此可見，所用儀器為1.0級，準(zhǔn)確度已很高，但最終測量結(jié)果的相對誤差卻很大。這是由于fh、fl比較接近的緣故，屬于測量方法不當(dāng)。

2.積函數(shù)的合成誤差

設(shè)y=x1·x2，由式(2.6-3)得絕對誤差為相對誤差為

(2.6-13)

若γx1、γx2都有正負(fù)號，則

(2.6-14)

【例2.6-3】已知電阻上電壓及電流的相對誤差分別為γU=±3%，γI=±2%，用P=UI

計算功率，則P的相對誤差是多少?

解：由式(2.6-14)積函數(shù)誤差合成公式得

γP=±(3%+2%)=±5%

3.商函數(shù)的合成誤差

設(shè)x1、x2的絕對誤差分別為Δx1、Δx2，則由式(2.6-3)得絕對誤差為

(2.6-15)相對誤差為

(2.6-16)

若γx1、γx2都帶有正負(fù)號，則

(2.6-17)

【例2.6-4】用間接法測電阻上的直流電流。已知電阻為1kΩ，標(biāo)稱值相對誤差γR=±2%，電壓表測得該電阻端電壓U=2.0V，相對誤差γU=±3%。求流過該電阻的電流I及其相對誤差。

解：

由式(2.6-17)得相對誤差：

4.冪函數(shù)的合成誤差

設(shè)y=kxm1·xn2，k為常數(shù)，將積函數(shù)的合成誤差公式略加推廣得

(2.6-18)

當(dāng)γx1、γx2帶有正負(fù)號時，有

(2.6-19)

【例2.6-5】電流流過電阻產(chǎn)生的熱量Q=0.24I2Rt，若已知γI=±2%，γR=±1%，γt=±0.5%，求γQ。

解：直接引用式(2.6-14)和式(2.6-19)的結(jié)論，有

5.積商冪函數(shù)的合成誤差

設(shè)式中k、m、n、p均為常數(shù)，綜合上述各函數(shù)合成誤差公式，直接得到

(2.6-20)

當(dāng)γx1、γx2、γx3都有正負(fù)號時，有

(2.6-21)

【例2.6-6】用電橋法測電阻，Rx=R1·R3/R2，已知R1=R3=100Ω，R2=1000Ω，各電阻絕對誤差均為正值，ΔR1=0.01Ω，ΔR3=0.1Ω，ΔR2=1.0Ω，求測量值Rx的相對誤差γRx。

解：各已知電阻的相對誤差為由于這里各誤差符號均為已知，因此引用式(2.6-20)得如果僅知道ΔR1=±0.01Ω，ΔR3=±0.1Ω，ΔR2=

±1.0Ω，則應(yīng)引用誤差合成公式(2.6-21)，有2.6.3系統(tǒng)不確定度

系統(tǒng)誤差可能變化的最大幅度稱為系統(tǒng)不確定度，用εym表示，相對系統(tǒng)不確定度用γym表示，例如測量儀器的基本誤差、工作誤差等都屬此類。

1.系統(tǒng)不確定度的絕對值合成法

用εim和εym分別代替式(2.6-4)中的Δxi和Δy，用γym代替式(2.6-6)中的γy，得到

(2.6-22)

(2.6-23)

【例2.6-7】將R1=100×(1±10%)Ω和R2=400×(1±5%)Ω的電阻串聯(lián)，求等效電阻的誤差范圍(系統(tǒng)不確定度)。

解：

按式(2.6-22)得

2.系統(tǒng)不確定度的均方根合成法

(2.6-24)

(2.6-25)

【例2.6-8】用均方根合成法求例2.6-7中兩電阻串聯(lián)后的總誤差。

解：

可見，用均方根合成法要比絕對值合成法計算的結(jié)

果小。

【例2.6-9】某晶體管毫伏表的技術(shù)指標(biāo)為：①頻率為1kHz時，基本誤差γm≤±2.5%；②以20℃為參考的溫度誤差γt≤±0.1%/℃；③在50Hz~50kHz范圍內(nèi)，頻率附加誤差γf≤±2.5%；④電源電壓220V變化范圍±10%時，附加誤差γn≤±2%；⑤每更換一只晶體管，附加誤差γT≤

±1%?，F(xiàn)已知該表已換過一只晶體管，用其10V量程測

30kHz、5V信號，供電電源電壓為210V，室溫30℃。求總的測量誤差。

解：本例題給出的技術(shù)指標(biāo)包括基本誤差和附加誤差?；菊`差的含義是指儀器在規(guī)定的正常條件下所具有的誤差，同2.1節(jié)中敘述的固有誤差含義相似，但這里的“正常

工作條件”比“基準(zhǔn)工作條件”的要求松。附加誤差是指