2024-2025學(xué)年高一年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)期末考復(fù)習(xí)：函數(shù)的應(yīng)用（二）（附答案解析）

題型1函數(shù)的零點(diǎn).................................................5

題型2函數(shù)零點(diǎn)的判定定理.........................................7

題型3函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根.......................................8

題型4二分法....................................................11

題型5指數(shù)型函數(shù)模型............................................13

題型6對(duì)數(shù)型函數(shù)模型............................................15

題型7塞函數(shù)模型................................................18

??????

團(tuán)知識(shí)清單日

1.函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解

2.函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理

3.應(yīng)用已知函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題

4.指數(shù)型函數(shù)模型

5.對(duì)數(shù)型函數(shù)模型

6.塞函數(shù)模型

如識(shí)歸納

1.函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解

(1)對(duì)于函數(shù)y=/(x),我們把使/⑴=0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y=/(x)的的零

點(diǎn).這樣，函數(shù)y=/(x)的零點(diǎn)就是方程/'(x)=0的實(shí)數(shù)解，也就是函數(shù)y=f(x)

的圖像與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

方程/⑴=0的實(shí)數(shù)根

函數(shù)產(chǎn)/(#的圖象與、幗數(shù)尸危)的零點(diǎn)|

x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)『------

(2)函數(shù)零點(diǎn)的求法：

①代數(shù)法：若方程f(x)=0可解，其實(shí)數(shù)根就是函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn).

②幾何法：若方程/(x)=0難以直接求解，將其改/(x)=ga)—Mx)=°，進(jìn)

一步改為g(%)=/?(%),在同一坐標(biāo)系中分別畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)y=g(x)和

y=/z(x)的圖像，兩圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn).

2.函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理

(1)如果函數(shù)y=在區(qū)間團(tuán),句上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有

/(a)/(Z?)<0,那么,函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(”,6)內(nèi)有零點(diǎn).

(2)即存在ce(4。)，使得/(c)=0,這個(gè)。也就是方程/(x)=0的根.

3.常見(jiàn)函數(shù)模型.

函數(shù)模型函數(shù)解析式

一次函數(shù)模型火X)=QX+Z?(Q,6為常數(shù)，存0)

反比例函數(shù)模型?=-+^,方為常數(shù)且后0）

二次函數(shù)模型f(x)=ax2+bx+c{a,b,c為常數(shù)，〃R0)

指數(shù)型函數(shù)模型j[x)=bax-\-c(a,b,c為常數(shù)，厚0,〃>0且存1)

對(duì)數(shù)型函數(shù)模型J(x)=blogaX-\-c(a,b,c為常數(shù)，厚0,a>0且

募函數(shù)型模型凡0=辦"+仇〃，6為常數(shù)，〃加）

4.二分法的概念

對(duì)于在區(qū)間［a,可上連續(xù)不斷且五。求。）＜0的函數(shù)y=/（x）,通過(guò)不斷地把函數(shù)

/（力的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得

到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法.

5.用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的步驟

（1）確定閉區(qū)間［a,勿,驗(yàn)證自必。）＜0,給定精確度￡.

（2）求區(qū)間（a,b）的中點(diǎn)c.

⑶計(jì)算;'（c）：

①若〃c）=0,則c就是函數(shù)的零點(diǎn).

②若尬）山）＜0,則令）=。（此時(shí)零點(diǎn)尤°e（a,c））.

③若旭）山）＜0,則令a=c（此時(shí)零點(diǎn)/?0力））.

（4）判斷是否達(dá)到精確度￡,即若|a-4＜￡,則得到零點(diǎn)近似值。（或6）,

否則重復(fù)第二步至第四步.

6.應(yīng)用函數(shù)模型解決問(wèn)題的過(guò)程

（1）審題——弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇模型.

（2）建?！獙⒆匀徽Z(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言，利

用數(shù)學(xué)知識(shí)建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型.

（3）求?！蠼鈹?shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)模型.

（4）還原——將數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實(shí)際問(wèn)題.

技巧總結(jié)

1.函數(shù)零點(diǎn)存在定理.

(1)函數(shù)y=在區(qū)間團(tuán),句上的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線.

(2)/(a)/■僅)<0,這兩個(gè)條件缺一不可，否則結(jié)論未必成立.

(3)滿足上述條件，則函數(shù)y=〃x)的圖像至少穿過(guò)x軸一次，即在區(qū)間

(a,3上函數(shù)y=/(x)至少有一個(gè)零點(diǎn)，但是不確定到底有幾個(gè).

(4)該定理是一個(gè)充分不必要條件.反過(guò)來(lái)，若函數(shù)y=/(x)在區(qū)間3b)上

有零點(diǎn)，則不一定有/(。)/3)<0成立.

2.二分法.

(1)二分法的理論依據(jù)是零點(diǎn)存在定理，僅適用于函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)(函數(shù)

圖像通過(guò)零點(diǎn)時(shí)函數(shù)值的符號(hào)改變).

(2)二分法采用逐步逼近的思想，使函數(shù)零點(diǎn)所在的范圍逐步縮小，也就

是逐步逼近函數(shù)的零點(diǎn).要根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)盡可能的找到含有零點(diǎn)的更小

的區(qū)間，當(dāng)區(qū)間的長(zhǎng)度小到一定程度時(shí)，就可以得實(shí)際問(wèn)題近似值.

3.由函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題.

(1)首先確定已知函數(shù)模型解析式中的未知參數(shù).

(2)利用已知函數(shù)模型相關(guān)的運(yùn)算性質(zhì)、函數(shù)性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題.

(3)涉及較為復(fù)雜的指數(shù)運(yùn)算時(shí)，常常利用等式的兩邊取對(duì)數(shù)的方法，將

指數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)運(yùn)算.

4.建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的步驟.

(1)對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行抽象概括，確定變量之間的主被動(dòng)關(guān)系，并用x,y

分別表示.

(2)建立函數(shù)模型，將變量y表示為x的函數(shù)，此時(shí)要注意函數(shù)的定義域.

(3)求解函數(shù)模型，并還原為實(shí)際問(wèn)題的解.

拓展程仲

求函數(shù)最值的步驟

(1)求函數(shù)兀0在區(qū)間(a,。)上的極值.

(2)將函數(shù)人x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值五a),4。)比較，其中最大的一個(gè)

是最大值，最小的一個(gè)是最小值.

題型1函數(shù)的零點(diǎn)

【典例11(多選)(2024春?樺南縣校級(jí)期末)已知函數(shù)〃久)=募，則正確的

是()

A.f(x)的定義域?yàn)镽

B./(x)是非奇非偶函數(shù)

C.函數(shù)/(x+2024)的零點(diǎn)為0

1

D.當(dāng)x>0時(shí)，f(x)的最大值為］

【答案】AD

【分析】根據(jù)函數(shù)解析式有意義，列式求出了(x)的定義域，從而判斷出A

項(xiàng)的正誤；由函數(shù)奇偶性的定義，判斷出了(x)的奇偶性，從而判斷出5項(xiàng)

的正誤；求出方程/(x+2004)=0的根，從而判斷出C項(xiàng)的正誤；當(dāng)x>0

時(shí)，利用基本不等式求出/(x)的最大值，從而判斷出。項(xiàng)的正誤.

【解答】解：對(duì)于A,函數(shù)/(*)=焉的自變量x滿足封+99，解得xdR,

故/(x)的定義域?yàn)镽,可知A項(xiàng)正確；

對(duì)于3,因?yàn)?(-x)=—~2^=-卷^=~f(X)，x?R，所以/(x)為奇

函數(shù)，故5項(xiàng)不正確；

對(duì)于C,/(x+2024)=20+202,,可知/(X+2024)=0的根為尤=-2024,

(x+2024)+9

即函數(shù)/(x+2024)的零點(diǎn)為-2024,故C項(xiàng)不正確；

對(duì)于。，當(dāng)x>0時(shí)，/(x)=々3—*當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即％=3時(shí)，

*2房3x

取等號(hào)，所以當(dāng)x>0時(shí)，f(x)最大值為/(3)=j,故。項(xiàng)正確.

故選：AD.

【典例2】(2023秋?唐縣校級(jí)期末)函數(shù)/(》)=3或2的零點(diǎn)為.

【答案】1噌2.

【分析】根據(jù)題意，解方程/(x)=3"-2=0,求出x的值，即可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，令于3=3工-2=0,則3，=2,即x=log32,

所以函數(shù)F(無(wú))=3八2的零點(diǎn)為Iog32.

故答案為：log32.

【典例3】(2023秋?益陽(yáng)期末)已知函數(shù)/(x)=2'+x-2,g(x)=log”+x-2,

h(x)=x3+x-2的零點(diǎn)分別為a,b,c,則a+b+c=.

【答案】3.

【分析】先把a(bǔ),6,c轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=2Ly=log2x,丁=必與y=-x+2的交點(diǎn)

的橫坐標(biāo)，再利用丁=2工與y=log2%互為反函數(shù)，可得a+Z?=2,又c=l,所

以a+b+c=3.

【解答】解：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，作尸2Ly=logM,尸%3的圖象,

它們的圖象與函數(shù)y=-x+2的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是a,b,c,

因?yàn)閥=23y=log2%互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于y=x對(duì)稱(chēng),

y=-x+2與y=x垂直，所以a+0=2.

又h(1)=1+1-2=0,所以c=l,

所以a+b+c=3.

故答案為：3.

題型2函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

【典例4](2023秋?長(zhǎng)沙期末)f(x)=lnx+2x-5的零點(diǎn)所在區(qū)間為()

A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(0,1)

【答案】B

【分析】由函數(shù)的解析式求得/(2)/(3)<0,再根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

可得/(x)=lnx+2x-5的零點(diǎn)所在區(qū)間.

【解答】解：*.'/(x)=lnx+2x-5,

：.f(2)=ln2-KO,f(3)=歷3+1>0,

：.f(2)f(3)<0.

根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的判定定理可得/(x)=/〃x+2x-5的零點(diǎn)所在區(qū)間為(2,3),

故選：B.

【典例5】(2024春?潺河期末)函數(shù)/(x)=lnx+^+a,貝-1”是“函數(shù)/(工)

在(1,e)上存在零點(diǎn)”的()

A.充分不必要條件

B.充分必要條件

C.必要不充分條件

D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】判斷出函數(shù)在（0,+00）上單調(diào)遞增，由函數(shù)/（X）在（1,e）上存

在零點(diǎn)，可得即可得答案.

【解答】解：因?yàn)?（x）=Znx+x2+<7,x>0,

y=lnx>y='2在（0,+oo）上單調(diào)遞增，

所以/（%）在（0,+oo）上單調(diào)遞增，

當(dāng)函數(shù)在（1,力上存在零點(diǎn)時(shí)，

則有，⑴=a+1<0,解得一1_e2<a<-i,

l/（e）=1+e2+a>0

又因?yàn)椋?1-"-1）C（-co,-1）,

所以、V-1”是“函數(shù)/（%）在（1,e）上存在零點(diǎn)”的必要不充分條件.

故選：C.

【典例6】（多選）（2023秋?廈門(mén)期末）函數(shù)“X）=I-）久+a在區(qū)間（1,e）內(nèi)

存在零點(diǎn)的充分條件可以是（）

A.a=0B.一IVaVOC.一IVoVlD.

【答案】AB

【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及零點(diǎn)存在定理進(jìn)行判定即可.

【解答】解：顯然人%）=]-仇x+a在區(qū)間（1,e）內(nèi)單調(diào)遞減，

若/（x）在區(qū)間（1,e）上存在零點(diǎn)，

則要滿足]⑴即,解得-lVaVl-、

l/（e）<0仁-1+aVOe

故A,3均符合題意.

故選：AB.

題型3函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根

【典例7】（2023秋?煙臺(tái)期末）已知/（x）為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)X?（0,

+oo)時(shí),〃x)=fnx+l'則方程7(x)-1=0實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為()

I2—x,x>l

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】根據(jù)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，畫(huà)出函數(shù)/(x)的圖象，數(shù)形結(jié)

合求解即可.

【解答】解：???/(X)為定義在R上的奇函數(shù)，

...函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，

方程/(x)-1=0實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)，等價(jià)于函數(shù)y=/(x)與y=l的圖象的交

點(diǎn)個(gè)數(shù)，

由圖象可知，y=l與函數(shù)y=/(x)的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，

即方程/(x)-1=0實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為3個(gè).

故選：C.

1

x+又+4,XVO,若方程

【典例8】(多選)(2023秋?開(kāi)封期末)已知函數(shù)/Xx)=

\lgx+1],x>0

f(x)=a有4個(gè)不同實(shí)根XI,X2,X3,X4(XIVx2Vx3Vx4),則()

11

A.a>2B.%4—〉而

r1D.2H—oV14

C?x3x4=YQQ

【答案】BCD

【分析】作出函數(shù)的圖象，可得當(dāng)且僅當(dāng)0<。<2時(shí)方程/(%)=〃有4個(gè)不

同實(shí)根判斷A;結(jié)合圖象可得Xl<-bx4>i,可判斷B；由題得/gX3+l/gX4+l

且|/gX3+l|=|/gX4+l|,計(jì)算可判斷C；由題意可得X1X2=1,Xl+X2=a-4,進(jìn)而

計(jì)算可判斷D

【解答】解：當(dāng)%V0時(shí)，%+i<-2,%+]+4<2,當(dāng)%>0時(shí)，|Zgx+l|>0,

當(dāng)且僅當(dāng)0<。<2時(shí)方程/(x)=。有4個(gè)不同實(shí)根，故A錯(cuò)誤;

結(jié)合圖象可得X1V1,%4〉克，％4-％1〉養(yǎng)，故B正確;

由題得/gX3+ir/gX4+l且|/gX3+l|=|/gX4+l|,所以/gX3+l+/gXl+l=0,g(X3X4)

-2,%3%4=I器，故。正確;

XI,X2是方程％+1+4=a的兩個(gè)根，即方程/+(4-。)％+1=0的兩個(gè)根，所

[[^2_|_^2

以X1X2=1,Xl+%2=<7-4,—+—=-2；=%^+x|=(a—4)2—2,由0<4

X-￡X2XX2

<2得-4<a-4<-2,所以2V(a-4)2-2<14,故。正確.

故選：BCD.

【典例9](2023秋?浦東新區(qū)校級(jí)期末)對(duì)于實(shí)數(shù)a和b,定義運(yùn)算“*”：a*b=

a(a—b),?？?設(shè)了(%)=(2%_n*(%_若函數(shù)g(x)=f(x)-

b(b—a)3/a>b

陰工2(M￡R)恰有三個(gè)非零的零點(diǎn)則X1X2X3的取值范圍是.

【答案】(曾，0).

【分析】首先寫(xiě)出分段函數(shù)解析式，由題意可得/(x)與丁=后的圖象有三

個(gè)交點(diǎn)(原點(diǎn)除外)，根據(jù)圖象的分布特征確定函數(shù)零點(diǎn)的分布情況，進(jìn)而求

解三個(gè)零點(diǎn)之積的取值范圍.

【解答】解：當(dāng)2x73-1,即爛0時(shí)，f(x)=(2x-1)-

當(dāng)2x-1>x-1,即x>0時(shí)，f(x)=-(%-1)x3,

(2x—I)%3/%<0

:?于（X）=

—(x—l)x3/x>0

（X）有三個(gè)非零的零點(diǎn)，

（無(wú)）與y=〃z/的圖象有三個(gè)交點(diǎn)（原點(diǎn)除外）,

2久2-x,"W°與函數(shù)丁=機(jī)有三個(gè)交點(diǎn)（*0）,

則需/z(x)=

—X2+x,x>0

不妨設(shè)X1V%2V%3,知％2>0,且%2+%3=1,.*.0<X2X3<(-3^%2)2：

2/一解得

由后早—<xi<0,

44

U<0

.1一取八

>?----<XlX2X3<0.

16

故答案為：（等，0）.

題型4二分法

【典例10］（2023秋?岳池縣校級(jí)期末）設(shè)函數(shù)/（x）=x2-2,用二分法求/（尤）

=0的一個(gè)近似解時(shí)，第1步確定了一個(gè)區(qū)間為（1,-）,到第3步時(shí)，求得

的近似解所在的區(qū)間應(yīng)該是（）

3、z5

A.(1,-)B.（一，-)

242

113、11

C.(Z一,-)D.(―,-)

82816

【答案】C

【分析】把X=l,；3S11月23代入函數(shù)解析式，分析函數(shù)值的符號(hào)是否異

24816

號(hào)即可.

【解答】解：令/(x)=x2-2,

357

則/⑴=-1<0,則/(-)>0,f(-)=—

c.3

所以到第二步求得的近似解所在的區(qū)間應(yīng)該是(了，-);

42

/II、7

=-64<°，

11211

由/(-)/(-)V0知到第3步時(shí)，求得的近似解所在的區(qū)間應(yīng)該是在(一，

828

2

故選：C.

【典例11](2023秋?湖北期末)下列函數(shù)圖象與x軸均有交點(diǎn)，且已知其解析

式，不能用二分法求圖中函數(shù)零點(diǎn)的是()

【分析】由函數(shù)零點(diǎn)存在定理和二分法概念對(duì)選項(xiàng)逐一判斷可得結(jié)論.

【解答】解：根據(jù)零點(diǎn)存在定理可知，

函數(shù)/(x)的圖象是一段連續(xù)不斷的曲線，

若在區(qū)間(a,b)上滿足了(a)歹。)<0,

則函數(shù)/(x)在區(qū)間(a,b)上存在零點(diǎn)，

根據(jù)二分法概念可知，C選項(xiàng)中的圖象在零點(diǎn)附近不滿足/(a)?/■(")<0,

???C選項(xiàng)不能用二分法求圖中的函數(shù)零點(diǎn).

故選：c.

【典例12】（多選）（2023秋?溫州期末）設(shè)〃（%）=2*+log2（x+1）-2,某同學(xué)

用二分法求方程入（x）=0的近似解（精確度為0.5）,列出了對(duì)應(yīng)值表如下：

x-0.50.1250.43750.752

h（無(wú)）-1.73-0.84-0.420.032.69

依據(jù)此表格中的數(shù)據(jù)，方程的近似解xo不可能為（）

A.xo=-0.125B.xo=O.375C.xo=0.525D.xo=1.5

【答案】ABD

【分析】先由題中參考數(shù)據(jù)可得根在區(qū)間（0.4375,0.75）內(nèi)，由此可得答案.

【解答】解：由題中參考數(shù)據(jù)可得根在區(qū)間（0.4375,0.75）內(nèi)，

故通過(guò)觀察四個(gè)選項(xiàng)，符合要求的方程近似解xo可能為0.525,xo不可能為

A3。選項(xiàng).

故選：ABD.

題型5指數(shù)型函數(shù)模型

【典例13]（2023秋?南充期末）我國(guó)某科研機(jī)構(gòu)新研制了一種治療支原體肺炎

的注射性新藥，并已進(jìn)入二期臨床試驗(yàn)階段.已知這種新藥在注射停止后的

血藥含量。⑺（單位：mgIL）隨著時(shí)間t（單位：A）的變化用指數(shù)模型c⑺

=coe加描述，假定該藥物的消除速率常數(shù)攵=0.1（單位：Zfi）,剛注射這種

新藥后的初始血藥含量co=3OQQmg/L,且這種新藥在病人體內(nèi)的血藥含量不

低于lOOOmg/L時(shí)才會(huì)對(duì)支原體肺炎起療效，現(xiàn)給某支原體肺炎患者注射了這

種新藥，則該新藥對(duì)病人有療效的時(shí)長(zhǎng)大約為（）（參考數(shù)據(jù)：歷2=0.693,

"3=1.099）

A.5.32AB.6.23/zC.6.93hD.10.99/7

【答案】D

【分析】根據(jù)所給模型解不等式3000鼠°」>1000即得.

【解答】解：由題意3OOOe-o】t21000,e-01t>

SP-O.lt>Znj=-ln3=-1.099,t<10.99.

故選：D.

【典例14](2023秋?郴州期末)我們家里大多數(shù)裝了空調(diào)，空調(diào)風(fēng)機(jī)的工作原

理就是把室內(nèi)熱空氣抽出去，然后把室外新鮮空氣通過(guò)空調(diào)制冷系統(tǒng)，凈化

后再傳回室內(nèi).假設(shè)某房間體積為vo,室內(nèi)熱氣的質(zhì)量為如已知某款空調(diào)

機(jī)工作時(shí)，單位時(shí)間內(nèi)從室外吸入的空氣體積為v(v>l),室內(nèi)熱氣體的濃

度與時(shí)刻。的函數(shù)關(guān)系為2?=4?+〃裊*,其中常數(shù)九為過(guò)濾效率，九+四

=1.若該款新風(fēng)機(jī)的過(guò)濾效率為2=",且t=l時(shí)室內(nèi)熱空氣的濃度是t=2

時(shí)的]倍，則該款空調(diào)單位時(shí)間內(nèi)從室外吸入的空氣體積v=.

【答案】歷3.

【分析】由題意表達(dá)出p(1),p(2),由p(l)=|p⑵列出方程，求出e〃=3,

兩邊取對(duì)數(shù)，計(jì)算出答案.

【解答】解：由題意得p(t)=4魯+(1—Q詈e"=罌+罌/，

vv

00”04VQ

m3m_m,3m_

P⑴=誠(chéng)+麗6v叱P(2)=廊+k2v%

e“3rr-rxim37n3m3m

因?yàn)閜(l)=5p(2),所以;;一+；—e=-(--+--e2),

Z4v04v024v04v0

由于機(jī)和，整理得9-2v-6e"+l=o,解得e-=9，故e"=3,

解得v=ln3.

故答案為：ln3.

【典例15](2023秋?駐馬店期末)隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，越來(lái)越多的家庭開(kāi)始關(guān)注

到家庭成員的關(guān)系，一個(gè)以“從心定義家庭關(guān)系”為主題的應(yīng)用心理學(xué)的學(xué)習(xí)

平臺(tái)，從建立起，得到了很多人的關(guān)注，也有越來(lái)越多的人成為平臺(tái)的會(huì)員，

主動(dòng)在平臺(tái)上進(jìn)行學(xué)習(xí)，已知前3年平臺(tái)會(huì)員的個(gè)數(shù)如下表所示(其中第4

年為預(yù)估人數(shù)，僅供參考)：

建立平臺(tái)第X年1234

會(huì)員個(gè)數(shù)y(千人)14202943

(1)依據(jù)表中數(shù)據(jù)，從下列三種模型中選擇一個(gè)恰當(dāng)?shù)哪Ｐ凸浪憬⑵脚_(tái)x

(x?N*)年后平臺(tái)會(huì)員人數(shù)y(千人)，并求出你選擇模型的解析式：①y=[+

/）（t>0）,②y=d4og歡+s（r>0且存1）,（§）y=m9ax-^-n（Q>0且存1）.

（2）為控制平臺(tái)會(huì)員人數(shù)盲目擴(kuò)大，平臺(tái)規(guī)定會(huì)員人數(shù)不得超過(guò)小臺(tái)尸（卜>0）

千人，依據(jù)（1）中你選擇的函數(shù)模型求上的最小值.

【答案】（1）見(jiàn)解析；

/、56

（2）一.

9

【分析】（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)可知函數(shù)遞增且增長(zhǎng)速度越來(lái)越快，故選擇模型

③；代入表格中三個(gè)點(diǎn)即可構(gòu)造方程組求得未知數(shù)，進(jìn)而得到所求模型；

（2）根據(jù)⑴中結(jié)論可將不等式整理為k22.（|產(chǎn)+8.（1尸對(duì)工?[1,+oo）

恒成立，采用換元法，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求得2.（金2工+8.（|尸的最大值,

進(jìn)而得到左的取值范圍，從而得到結(jié)果.

【解答】解：（1）從表格數(shù)據(jù)可以得知，函數(shù)是一個(gè)增函數(shù)，故不可能是①，

?/函數(shù)增長(zhǎng)的速度越來(lái)越快，

???選擇③丁=M?。'+〃（。>0且中1）,

Zm-8

14=ma+nI3

得

解Ja-

2-

代入表格中的二個(gè)點(diǎn)可得：20=ma+n,In-2

、29=ma3+nV2

/.y=8-（1）x+2,x￡N*.

（2）由（1）可知：f（x）=8-（1）x+2,%￡N*,

故不等式8.（1尸+23人4尸對(duì)》引1,+oo）恒成立，

Afc>^x+與=2.（52,+8.（分對(duì)[L+?）恒成立,

（1）（1）

令《尸=3則te（0,|],：.g（?）=2尸+87,te（0,1],

⑺在（0,|]單調(diào)遞增，.”《）W9（|）=等，.,.k?:，

._56

??R/nin=~g~a

題型6對(duì)數(shù)型函數(shù)模型

【典例16]（2023秋?興化市期末）大西洋鞋魚(yú)每年都要逆流而上，游回產(chǎn)地產(chǎn)

卵，研究鞋魚(yú)的科學(xué)家發(fā)現(xiàn)鞋魚(yú)的游速V（單位:m/s）可以表示為U=會(huì)。以忐，

其中。表示魚(yú)的耗氧量的單位數(shù).某條鞋魚(yú)想把游速提高2m/s,則它的耗氧

量的單位數(shù)與原來(lái)的耗氧量的單位數(shù)之比是（）

A.3B.9C.27D.81

【答案】D

【分析】設(shè)游速為v時(shí)對(duì)應(yīng)的耗氧量為。1,游速為v+2時(shí)對(duì)應(yīng)的耗氧量為02,

列方程組求解即可.

【解答】解：設(shè)游速為時(shí)對(duì)應(yīng)的耗氧量為。1,

游速為（V+2）m/s時(shí)對(duì)應(yīng)的耗氧量為。2,

則卜=*[兩式相減得2另0收蠱—收備）=

,Q

2，

I_I_{Jo乙_LUUJ.UUlog?w

口+2=2，。93篇

可得髭=4,即春=34=81.

故選：D.

【典例17]（2023秋?十堰期末）“喊泉”是一種地下水的毛細(xì)現(xiàn)象.在合適的條

件下，人們?cè)谌诤鸾谢虬l(fā)出其他聲響時(shí)，聲波傳入泉洞內(nèi)的儲(chǔ)水池，進(jìn)而

產(chǎn)生一系列物理聲學(xué)作用.已知聲音越大，涌起的泉水越高，聲強(qiáng)加與參考

聲強(qiáng)磔之比的常用對(duì)數(shù)稱(chēng)作聲強(qiáng)的聲強(qiáng)級(jí)，記作L（單位：分貝），即L=

IgM若某處“喊泉”的聲強(qiáng)級(jí)L（單位：分貝）與噴出的泉水高度x（單位:

mo

分米）滿足關(guān)系式L=0.4x.A,3兩人分別在這處“喊泉”大喊一聲，若A"喊

泉”噴出泉水的高度比3“喊泉”噴出的泉水高度高5分米，則A“喊泉”的聲強(qiáng)

是3“喊泉”聲強(qiáng)的（）

A.5倍B.10倍C.20倍D.100倍

【答案】D

【分析】設(shè)A,B的聲強(qiáng)分別為mi,m2,A,3"喊泉”噴出泉水的高度分別為xi,

X2；根據(jù)題意列出等式，利用作差法求解即可.

【解答】解：設(shè)A,5的聲強(qiáng)分別為機(jī)1,m2,A,3“喊泉”噴出泉水的高度分

別為XI,X2,

則匈翟=0.4x1,即/g/ni-/g/no=O.4xi,

同理lgm2~/gmo=0.4x2；

所以Igmi-lgmi=0A（xi-X2）=0.4x5=2,

即匈翟=2,所以吧=100,

所以A“喊泉”的聲強(qiáng)是5“喊泉”聲強(qiáng)的100倍.

故選：D.

【典例18］（多選）（2023秋?南關(guān)區(qū)校級(jí)期末）聲強(qiáng)級(jí)Li（單位：力）由公式

Li=a+6/g/給出，其中/為聲強(qiáng)（單位：W/m2）,相應(yīng)不同聲的聲強(qiáng)級(jí)如表

所示，則（）

I(W/加2)正常人能忍受正常人能忍受最正常人平時(shí)談話某人說(shuō)運(yùn)聲

最高聲強(qiáng)低聲強(qiáng)1012W/m2聲強(qiáng)106W/m2到IrW/m?

1W/m2

Li(dB)1200L正常80

A.打=10國(guó)右B.I=("VlO)^-120

-4

C.L正常=60D.IT=10

【答案】BCD

【分析】由題意得當(dāng)/=1W/療時(shí)，L=120d3,當(dāng)/=10-12刖加2時(shí)，Li=0dB,

代入Li=a+blgl得a=120,Li=a+blglO12=0,求出a,b,逐一分析選項(xiàng)，

即可得出答案.

【解答】解：由題意得當(dāng)/=1初/時(shí)，Li=120dB,當(dāng)/=10-12刖川時(shí)，口

=0dB,代入Q=a+b?得a=120,Li=a+blgWn=0,.,.a=120,b=10,

.*.￡/=120+10/g/=10(12+3)=10lg(1012Z),故A錯(cuò)誤；

則/=io紇慳°=C)LL120,故3正確；

.?.當(dāng)/=10-6時(shí)，貝1)￡正常=120+10收10-6=120-60=60,故C正確；

,當(dāng)Li=80時(shí)，80=120+10/g/n則lglr=-4,則當(dāng)=10”,故D正確.

故選：BCD.

題型7塞函數(shù)模型

【典例19］（2024春?河西區(qū)期末）某汽車(chē)運(yùn)輸公司購(gòu)買(mǎi)了一批豪華大客車(chē)投入

運(yùn)營(yíng).據(jù)市場(chǎng)分析，每輛客車(chē)營(yíng)運(yùn)的總利潤(rùn)y（單位：10萬(wàn)元）與營(yíng)運(yùn)年數(shù)x

（x?N*）為二次函數(shù)的關(guān)系（如圖），則每輛客車(chē)營(yíng)運(yùn)年數(shù)為時(shí)，

營(yíng)運(yùn)的年平均利潤(rùn)最大.

【答案】5.

【分析】由已知先求出函數(shù)解析式，然后結(jié)合基本不等式可求.

【解答】解：由題意設(shè)y=a（x-6）2+U,則。（4-6）2+11=7,

所以a=-1,y=-（x-6）2+11,

則上=12-（x+至）W12—2底=2,當(dāng)且僅當(dāng)x=在，即尤=5時(shí)取等號(hào).

Xx%

故答案為：5.

【典例201（2023秋?寧鄉(xiāng)市期末）新冠肺炎疫情造成醫(yī)用防護(hù)服短缺，某地政

府決定為防護(hù)服生產(chǎn)企業(yè)A公司擴(kuò)大生產(chǎn)提供x（x￡［0,10］）（萬(wàn)元）的專(zhuān)

項(xiàng)補(bǔ)貼，并以每套80元的價(jià)格收購(gòu)其生產(chǎn)的全部防護(hù)服，A公司在收到政府

x（萬(wàn)元）補(bǔ)貼后，防護(hù)服產(chǎn)量將增加到t=k（6-器）（萬(wàn)件），其中左為工

廠工人的復(fù)工率（左?［0.5,1］）,A公司生產(chǎn)t萬(wàn)件防護(hù)服還需投入成本

20+9x+50/（萬(wàn)元）.

（1）將A公司生產(chǎn)防護(hù)服的利潤(rùn)y（萬(wàn)元）表示為補(bǔ)貼x（萬(wàn)元）的函數(shù)（政

府補(bǔ)貼x萬(wàn)元計(jì)入公司收入）；

（2）當(dāng)復(fù)工率左=0.8時(shí)，政府補(bǔ)貼多少萬(wàn)元才能使A公司的防護(hù)服利潤(rùn)達(dá)到

最大？并求出最大值.

【答案】（1）y=180左