2024-2025學(xué)年華東師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期末復(fù)習(xí)：圓（20個(gè)考點(diǎn)梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）含答案

清單06圓（20個(gè)考點(diǎn)梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）

考宜情單

圓的對(duì)稱性

切線三角形內(nèi)切圓

【清單01］圓的定義及性質(zhì)

圓的定義：在一個(gè)平面內(nèi)，線段繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形

成的圖形叫圓.這個(gè)固定的端點(diǎn)。叫做圓心，線段。4叫做半徑.

圓的表示方法：以。點(diǎn)為圓心的圓記作。。，讀作圓。.

圓的特點(diǎn)：在一個(gè)平面內(nèi)，所有到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)組成的圖形.

確定圓的條件：1）圓心；2）半徑.

圓的對(duì)稱性：1）圓是軸對(duì)稱圖形，經(jīng)過(guò)圓心的每一條直線都是它的對(duì)稱軸；

2）圓是以圓心為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形.

【清單02］圓的有關(guān)概念

弦的概念：連結(jié)圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦（例如：下圖中的

直徑的概念：經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做直徑（例如：下圖中的CD）.

備注：1）直徑是同一圓中最長(zhǎng)的弦.2）直徑長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)度的2倍.

試卷第1頁(yè)，共28頁(yè)

弧的概念：圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱弧.以48為端點(diǎn)的弧記作同，讀作

圓弧48或弧48.

等弧的概念：在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧.

半圓的概念：圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓.

優(yōu)弧的概念：在一個(gè)圓中大于半圓的弧叫做優(yōu)弧.

劣弧的概念：小于半圓的弧叫做劣弧.

【清單03】圓心角的概念

圓心角概念：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角.

弧、弦、弦心距、圓心角之間的關(guān)系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等,

所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦的弦心距相等.

推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相

等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量分別相等.

【清單04】圓周角的概念

圓周角概念：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角.

圓周角定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半.（即：圓周角=:圓心角）

推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等.

在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓周角相等，它們所對(duì)的弧一定相等.

推論2：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90。的圓周角所對(duì)的弦是直徑.

小

試卷第2頁(yè)，共28頁(yè)

推論3：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形.

C

【清單05】圓內(nèi)接四邊形

圓的內(nèi)接四邊形定理：圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，外角等于它的內(nèi)對(duì)角.

即：在O。中，???四邊ABC。是內(nèi)接四邊形

.-.ZC+/BAD=180°/B+/D=l80°

ZDAE=ZC

【清單061垂徑定理

垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

推論1：1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?/p>

2）弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧；

3）平分弦所對(duì)的一條弧的直徑垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧.

推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等.

常見(jiàn)輔助線做法（考點(diǎn)）：1）過(guò)圓心，作垂線，連半徑，造影△,用勾股，求長(zhǎng)度;

2）有弧中點(diǎn)，連中點(diǎn)和圓心，得垂直平分

【清單07】點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

設(shè)。。的半徑是r,點(diǎn)尸到圓心。的距離為d,則有:

點(diǎn)P在OO內(nèi)；

d=rO點(diǎn)P在。。上；

d>r=點(diǎn)P在OO外.

試卷第3頁(yè)，共28頁(yè)

【清單08］過(guò)三點(diǎn)的圓

1、過(guò)三點(diǎn)的圓

不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓.

2、三角形的外接圓

經(jīng)過(guò)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓.

3、三角形的外心

三角形的外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，它叫做這個(gè)三角形的外心.

【清單09】直線與圓的位置關(guān)系

1、直線與圓相離=d>r=無(wú)交點(diǎn)；

2、直線與圓相切=d=rn有一個(gè)交點(diǎn)；

3、直線與圓相交nd<r=有兩個(gè)交點(diǎn)；

【清單10］切線的性質(zhì)與判定定理

1、切線的判定定理：過(guò)半徑外端且垂直于半徑的直線是切線;

兩個(gè)條件：過(guò)半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可

即：?.?血且過(guò)半徑04外端

??.MN是。。的切線

2、性質(zhì)定理：切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑（如上圖）

推論1：過(guò)圓心垂直于切線的直線必過(guò)切點(diǎn).

推論2：過(guò)切點(diǎn)垂直于切線的直線必過(guò)圓心.

以上三個(gè)定理及推論也稱二推一定理：

即：①過(guò)圓心；②過(guò)切點(diǎn)；③垂直切線

試卷第4頁(yè)，共28頁(yè)

【清單11］切線長(zhǎng)定理

切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這點(diǎn)和圓心的連線平分兩

條切線的夾角.

即：???力、PB是的兩條切線

：.PA=PB；P0平分NBPA

【清單121三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心

1、三角形的內(nèi)切圓

與三角形的各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓.

2、三角形的內(nèi)心

三角形的內(nèi)切圓的圓心是三角形的三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，它叫做三角形的內(nèi)心.

注意：內(nèi)切圓及有關(guān)計(jì)算.

(1)三角形內(nèi)切圓的圓心是三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，它到三邊的距離相等.

(2)中，NC=90。，AC=b,BC=a,AB=c,則內(nèi)切圓的半徑＞="八。

2

(3)&N8C=；r(a+6+c),其中a,b,c是邊長(zhǎng)，r是內(nèi)切圓的半徑.

(4)弦切角：角的頂點(diǎn)在圓周上，角的一邊是圓的切線，另一邊是圓的弦.

如圖，2C切于點(diǎn)2,AB為弦,ZABC叫弦切角，AABC=4D.

【清單13］圓內(nèi)正多邊形的計(jì)算

(1)正三角形

在。。中△ABC是正三角形，有關(guān)計(jì)算在瓦ASOD中進(jìn)行：OD:BD:OB=\：5.2;

試卷第5頁(yè)，共28頁(yè)

(2)正四邊形

同理，四邊形的有關(guān)計(jì)算在RtACME中進(jìn)行，0E\AE:OA=\A-.41-

(3)正六邊形

同理，六邊形的有關(guān)計(jì)算在中進(jìn)行，AB:OB:OA=1：43:2.

【清單14】與正多邊形有關(guān)的概念

1、正多邊形的中心

正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心.

2、正多邊形的半徑

正多邊形的外接圓的半徑叫做這個(gè)正多邊形的半徑.

3、正多邊形的邊心距

正多邊形的中心到正多邊形一邊的距離叫做這個(gè)正多邊形的邊心距.

4、中心角

正多邊形的每一邊所對(duì)的外接圓的圓心角叫做這個(gè)正多邊形的中心角.

【清單15】正多邊形的對(duì)稱性

1、正多邊形的軸對(duì)稱性

正多邊形都是軸對(duì)稱圖形.一個(gè)正“邊形共有〃條對(duì)稱軸，每條對(duì)稱軸都通過(guò)正〃邊形的中

心.

2、正多邊形的中心對(duì)稱性

邊數(shù)為偶數(shù)的正多邊形是中心對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱中心是正多邊形的中心.

3、正多邊形的畫(huà)法

先用量角器或尺規(guī)等分圓，再做正多邊形.

【清單16】扇形的弧長(zhǎng)和面積計(jì)算

扇形：(1)弧長(zhǎng)公式：/=誓；(2)扇形面積公式：S=^^=-IR

1803602

n：圓心角R：扇形多對(duì)應(yīng)的圓的半徑I：扇形弧長(zhǎng)S：扇形面積

【清單17】扇形與圓柱、圓錐之間聯(lián)系

1、圓柱:

(1)圓柱側(cè)面展開(kāi)圖

2

,表=S惻+2s底=2兀rh+2^r

(2)圓柱的體積：V=7tr2h

試卷第6頁(yè)，共28頁(yè)

2、圓錐側(cè)面展開(kāi)圖

（1）8表=S側(cè)+5底=兀R/+兀丫2

（2）圓錐的體積：V=；兀戶h

注意：圓錐的底周長(zhǎng)=扇形的弧長(zhǎng)（2琪二。）

180

重型情單

【考點(diǎn)題型一】圓的定義及性質(zhì)

【典例1]

1.如圖，△4BC中，ZACB=90°,N/=25。，以C為圓心、C2為半徑的圓交/2于點(diǎn)。,

貝|J//C￡>=（）

【變式IT】

2.已知是半徑為5的圓的一條弦，那么的長(zhǎng)不可能是（）

A.1B.5C.3D.11

【變式1-21

3.已知48是的弦，且48=4,4480=45。，則。。的半徑是.

試卷第7頁(yè)，共28頁(yè)

【考點(diǎn)題型二】運(yùn)用垂徑定理直接求線段的長(zhǎng)度

【典例2】

4.如圖，42是。。的直徑，弦于點(diǎn)E,若5E=8,4E=2.

一

(1)求線段0E的長(zhǎng)；

(2)求弦CD的長(zhǎng).

【變式2—1】

5.如圖，線段4B是。。的直徑，弦CD工AB于E.如果/￡=9,DC=6,那么BE的長(zhǎng)為

()

A

王B

3

A.1B.yC.2D.-

2

【變式2—2】

6.把一個(gè)球放在長(zhǎng)方體紙盒內(nèi)，球的一部分露出盒外，其截面如圖所示，已知

CD=EF=24cm,求這個(gè)球的直徑

BC

【變式2—3】

試卷第8頁(yè)，共28頁(yè)

7.如圖，已知圓。的弦48的長(zhǎng)為8,弦42的弦心距OC的長(zhǎng)為3,則圓。半徑的長(zhǎng)為

8.點(diǎn)P到。。上的點(diǎn)的最短距離為3cm,最長(zhǎng)距離為5cm,則。。的半徑為cm.

【考點(diǎn)題型三】垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用

【典例3】

9.如圖，隧道的截面由圓弧和矩形ABC。構(gòu)成，矩形的長(zhǎng)5c為121n寬A8為3m,隧

道的頂端E(圓弧/磯?的中點(diǎn))高出道路(BC)7m

(1)求圓弧/￡￡)所在圓的半徑：

(2)如果該隧道內(nèi)設(shè)雙行道，現(xiàn)有一輛貨運(yùn)卡車高6m寬2.5m,那么這輛貨運(yùn)卡車能否通過(guò)

該隧道？

【變式3—1】

10.“圓”是中國(guó)文化的一個(gè)重要精神元素，在中式建筑中有著廣泛的應(yīng)用，例如古典園林中

的門洞，如圖，某地園林中的一個(gè)圓弧形門洞的高為2.7m,地面入口寬為1.8m,求該門洞

的半徑.

【變式3—2】

11.如圖，一座石橋的主橋拱是四弧形，某時(shí)刻添得水面N8的寬度為8米，拱高CD(AB

的中點(diǎn)C到水面的距離)為2米.

試卷第9頁(yè)，共28頁(yè)

o

(1)求主橋拱所在圓的半徑.

(2)在主橋拱所在圓的圓心處有一水位檢測(cè)儀，若過(guò)幾天某時(shí)刻的水面為斯，檢測(cè)儀觀測(cè)點(diǎn)

E的仰角為25.6。,求此時(shí)水面的寬度.(參考數(shù)據(jù):sin25.6。土0.43,cos25.6°?0.90,

tan25.6°?0.48)

【變式3一3】

12.如圖，某公路上有一隧道，頂部是圓弧形拱頂，圓心為。，隧道的水平寬為24m,AB

離地面的高度/E=10m,拱頂最高處C離地面的高度。為18m.若在拱頂?shù)腘處安

裝照明燈，且N離地面的高度相等，都為17m.

(1)求圓弧形拱頂?shù)陌霃降拈L(zhǎng)度；

⑵求"N的長(zhǎng)度.

【考點(diǎn)題型四】同心圓

【典例4】

13.如圖，在以點(diǎn)。為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦43交小圓于點(diǎn)C、D.

(2)若NC=6,大圓和小圓的半徑分別為12和8,則CD的長(zhǎng)度是

【變式4一1】

14.如圖，在以。為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦42交小圓于C、。兩點(diǎn)，若

AB=10cm,CD=6ctn.

試卷第10頁(yè)，共28頁(yè)

(1)求證：4C=BD；

(2)若大圓半徑為7cm,求小圓的半徑.

【變式4—2】

15.如圖，在以點(diǎn)。為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦/。交小圓于點(diǎn)2、C.

⑴求證：AB=CD

(2)當(dāng)/氏8。=6時(shí)，求大圓與小圓的面積之差.

【變式4—3】

16.高致病性禽流感是一種傳染性極強(qiáng)的傳染病.

(1)養(yǎng)殖場(chǎng)有4萬(wàn)只雞.假設(shè)有一只雞得了禽流感，如果不采取任何措施，那么第二天將新

增病雞10只，到第三天又將新增病雞100只，以后每天新增病雞數(shù)依此類推，請(qǐng)問(wèn)到第四

天，共有多少只雞得了禽流感？到第幾天，所有的雞都會(huì)感染禽流感？

(2)為防止禽流感蔓延，防疫部門規(guī)定：離疫點(diǎn)3千米范圍內(nèi)為捕殺區(qū)，所有的禽類全部捕

殺；離疫點(diǎn)3?5千米范圍內(nèi)為免疫區(qū)，所有的禽類強(qiáng)制免疫；同時(shí)對(duì)捕殺區(qū)和免疫區(qū)的村莊,

道路實(shí)行全封閉管理.現(xiàn)有一條筆直的公路通過(guò)禽流感病區(qū).如圖所示，。為疫點(diǎn)，到

公路的最短距離為1千米，問(wèn)這條公路在該免疫區(qū)內(nèi)有多少千米？(結(jié)果保留根號(hào))

試卷第11頁(yè)，共28頁(yè)

【考點(diǎn)題型五】圓周角與圓心角的運(yùn)用

【典例5】

17.如圖，點(diǎn)4,B,。、。四點(diǎn)均在0。上，ZAOD=68°fAO//DC,則的度數(shù)為

()

C.34°D.54°

【變式5—1]

18.如圖，點(diǎn)B,。在。。上,/ACB=25。,則的度數(shù)是(

A.25°B.30°C.40°D.50°

【變式5—2】

19.如圖，45是OO的直徑，點(diǎn)C,。在O。上，N4OD=110。.=曲,則/。二

C.55°D.65°

【變式5—3]

20.如圖，點(diǎn)A,B,C均在。。上，若NO5C=23。，則44=(

試卷第12頁(yè)，共28頁(yè)

c

A.67°B.68°C.62°D.72°

【考點(diǎn)題型六】圓內(nèi)接四邊形的綜合運(yùn)用

【典例6】

21.如圖，四邊形4BCL?是。。的內(nèi)接四邊形，ZAOC=142°,則的度數(shù)是（）

【變式6—1]

22.如圖，在。。內(nèi)，若圓周角/。=130。，則圓心角//OC的度數(shù)是（）

A.130°B.100°C.65°D.50°

【變式6一2】

23.如圖，四邊形48。是。。的內(nèi)接四邊形，連接CM,OC,若//OC=86。，則/4DC

的度數(shù)是（）

試卷第13頁(yè)，共28頁(yè)

A

C.136°D.137°

【考點(diǎn)題型七】點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

【典例7】

24.已知。。的半徑是5,點(diǎn)尸到圓心。的距離是7,則點(diǎn)尸在（）

A.圓內(nèi)B.圓上C.圓外D.不能確定

【變式7一1】

25.已知。。的半徑為2,點(diǎn)A到圓心。的距離為1,則點(diǎn)A在（)

A.0O內(nèi)B.。。上C.。。外D.無(wú)法確定

【變式7—2】

26.若點(diǎn)尸在。。內(nèi)，且0P=6,則。。的半徑可能為（)

A.4B.5C.6D.7

【考點(diǎn)題型八】確定圓的條件

【典例8】

27.如圖是一塊被打碎的圓形玻璃，若想要去店里配到一塊與原來(lái)大小一樣的圓形玻璃，應(yīng)

該帶去店里的碎片是（）

A.①B.②C.③D.④

【變式8—1】

28.如圖，在每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格圖中，/C經(jīng)過(guò)格點(diǎn)A、3、C,則該弧所在圓

的半徑是.

試卷第14頁(yè)，共28頁(yè)

【變式8一2】

29.若過(guò)平面直角坐標(biāo)系中的三個(gè)點(diǎn)/。，0)、8(0,2)、C(-l，刈能確定一個(gè)圓，則加/.

【考點(diǎn)題型九】根據(jù)三角形的外接圓的性質(zhì)的運(yùn)用

【典例9】

30.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，若A4BC的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則A48C的外心坐

31.如圖，在△/BC中，ZBAC=60°,AD上BC于點(diǎn)、D,且/。=4,則△NBC面積的最小

值為.

32.如圖，△NBC內(nèi)接于。0,2D為。。的直徑，AB=AC,NA=70。,則

/ABD-NCBD=°.

試卷第15頁(yè)，共28頁(yè)

c

DB

【變式9—3】

33.（1）如圖，已知△4BC,用尺規(guī)作圖畫(huà)出△NBC的外接圓。。（不寫(xiě)畫(huà)法，保留作圖痕

跡）;

（2）若ZUSC是直角三角形，且/C=90。，AB=5,貝UUBC的外接圓的半徑為

【考點(diǎn)題型十】直線與圓的位置關(guān)系的判定

【典例10】

34.已知。。的半徑是一元二次方程/-2》-3=0的一個(gè)根，圓心。到直線/的距離4=2,

則直線/與。。的位置關(guān)系是（）

A.相切B.相交C.相離D.平行

【變式10-1]

35.已知△48C中，AB=AC-6cmBC=8cm,以點(diǎn)A為圓心，以4cm長(zhǎng)為半徑作圓,

則。/與的位置關(guān)系是（）

C.相交D.外離

【變式10-2]

4

36.如圖，RtZ\48C中，/。=90。,/8=5,??/=1以點(diǎn)/為圓心，/為半徑作。么，當(dāng)r=4

時(shí)，ON與8c的位置關(guān)系是（）

C.相交D.無(wú)法確定

試卷第16頁(yè)，共28頁(yè)

【變式10-31

37.已知。。的半徑是3,點(diǎn)尸在。。上，如果點(diǎn)尸到直線/的距離是6,那么。。與直線/

的位置關(guān)系是（）

A.相交B.相離C.相切或相交D.相切或相離

【考點(diǎn)題型十一】利用切線的性質(zhì)求有關(guān)的角度/邊長(zhǎng)的運(yùn)算

【典例11】

38.如圖，已知尸/、尸8分別切。。于A、B,CD切。。于E,PO=13,NO=5,貝!1ApeD

【變式11-1]

39.如圖，射線力B與。。相切于點(diǎn)8,經(jīng)過(guò)圓心。的射線NC與。。相交于點(diǎn)。、C,連接

40.如圖，PA,尸8是。。的切線，若/。氏4=30。，AB=3,PA=

41.如圖，48是。。的直徑，/C與。。相切，/為切點(diǎn)，連接2c交。。于點(diǎn)。.已知

試卷第17頁(yè)，共28頁(yè)

NACB=50°,則ZBAD的度數(shù)為.

【變式11-41

42.如圖，4D是。。的直徑，A、B、C、。是。。上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作為。。切線交4D

延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，若PD=1,OB=AB=BC,則。。半徑是.

【考點(diǎn)題型十二】切線的性質(zhì)與判定的綜合運(yùn)用

【典例12】

43.如圖，在。。中，是。。的直徑，R4與。。相切于A,連接PO,過(guò)點(diǎn)3作

BC//PO,與。。交于點(diǎn)C,連接PC.

⑴求證：尸。是。。的切線；

(2)若48=6,BC=4,求尸/的長(zhǎng)度.

【變式12-1]

44.如圖，己知48是。。的直徑，3c交。。于點(diǎn)。，E是麗的中點(diǎn)，4E與BC交于點(diǎn)

F,ZC=2ZEAB.

試卷第18頁(yè)，共28頁(yè)

⑴求證：/c是。。的切線.

2

(2)若cosC=1,CA=12,求/尸的長(zhǎng).

【變式12-2]

45.如圖，與。。相切于點(diǎn)及2。為。。的直徑，。為。。上的一點(diǎn)，且=AD,BC

的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E,連接04.

⑴求證：是。。的切線；

4

(2)若CE=1,cosZBAE=1，求。。的半徑.

【變式12-13

46.如圖，△4BC為等腰三角形，。是底邊5c的中點(diǎn)，腰NC與半圓。相切于點(diǎn)。，底邊8C

與半圓。交于E,尸兩點(diǎn).

⑴求證：N3與半圓。相切；

(2)連接CM.若CD=4,CF=2,求sin/O/C的值.

【考點(diǎn)題型十三】利用切線長(zhǎng)定理的性質(zhì)求線段長(zhǎng)度或周長(zhǎng)

【典例13】

47.如圖，在四邊形/BCD中，AB//CD,AD1AB,以。為圓心，4D為半徑的弧恰好

試卷第19頁(yè)，共28頁(yè)

與BC相切，切點(diǎn)為E,若N8=l,CD=3,則的長(zhǎng)為

【變式13一1】

48.如圖，PA、PB分別為。。相切于點(diǎn)A、B,。。的切線跖分別交尸4、PB于點(diǎn)、E、

F,切點(diǎn)C在凝上，若△2斯的周長(zhǎng)為18,則尸4長(zhǎng)是.

49.如圖，尸4網(wǎng)分別切。。于48兩點(diǎn)，點(diǎn)C為43上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作O。的切線分別交

【考點(diǎn)題型十四】三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心

【典例14】

50.如圖，在中，ZC=90°,其內(nèi)切圓分別與NC、AB、3c相切于點(diǎn)。、E、

F,若/E=6,BE=9,則圓的半徑為（）

A.2B.4C.5D.3

【變式14—1]

試卷第20頁(yè)，共28頁(yè)

51.如圖，△4BC的內(nèi)切圓。O分別與NB,BC,NC相切于點(diǎn)。，E,F,且/。=3,

BC=5,則△NBC的周長(zhǎng)為（）

A.16B.14C.12D.10

【變式14-21

52.如圖，。。是△4BC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為，E,F,且N/=90。，BC=13,

CA=12,則。。的半徑是（）

A.1B.2C.y/3D.2^/3

【變式14-3]

53.ZUBC中，乙4=68。，點(diǎn)/是內(nèi)心，那么/B/C=.

【考點(diǎn)題型十五】正多邊形與圓求角度

【典例151

54.已知一正多邊形的一個(gè)外角等于72。，則該正多邊形的中心角等于（）.

A.144°B.120°C.108°D.72°

【變式15-1]

55.一個(gè)正多邊形的中心角為60。，則該正多邊形的邊數(shù)為（）

A.6B.8C.10D.12

【變式15-2]

56.正多邊形的一部分如圖所示，若//C8=20。，則該正多邊形的邊數(shù)為（）

試卷第21頁(yè)，共28頁(yè)

,c

2A

A.8B.9C.10D.12

【考點(diǎn)題型十六】正多邊形與直角坐標(biāo)系綜合

【典例16】

57.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將邊長(zhǎng)為1的正六邊形。43CDE繞。點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)z?個(gè)

30°,得到正六邊形q44co耳，當(dāng)”2024時(shí)，頂點(diǎn)c的坐標(biāo)是（）

A.1,-^3jB.A/3,—C.（0,-2）D.（2,-1）

【變式16-1]

58.蜂巢結(jié)構(gòu)精巧，其巢房橫截面的形狀均為正六邊形.如圖是部分巢房的橫截面圖，圖中

7個(gè)全等的正六邊形不重疊且無(wú)縫隙，將其放在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)尸，Q,M均為正六

邊形的頂點(diǎn).若點(diǎn)尸，。的坐標(biāo)分別為卜2道,3）,（0,-3）,則點(diǎn)"的坐標(biāo)為（）

【變式16-2]

59.如圖，正六邊形N8CDEF的半徑04=2,則點(diǎn)8的坐標(biāo)為（）

試卷第22頁(yè)，共28頁(yè)

%

。J1

A.(-V3,l)B.(-1,V3)C.(-2,-73)D.卜石,2)

【變式16-3]

60.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將邊長(zhǎng)為1的正六邊形0ABeDE繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)z?個(gè)

45°,得到正六邊形OAiBiGDiEi，則正六邊形OAiBQiDiEi0=4)的頂點(diǎn)Ci的坐標(biāo)是()

A.(1,-百)B.(1,G)C.(1,-2)D.(2,1)

【考點(diǎn)題型十七】弧長(zhǎng)的計(jì)算

【典例17】

61.如圖，在4x4的正方形網(wǎng)格中，若將A48C繞著點(diǎn)/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△/8'C',則麗

的長(zhǎng)為()

A.nB.—C.—D.2%

22

【變式17-1]

62.如圖，為半圓。的直徑，C為半圓。上一點(diǎn)，且就=前，連接2C,以8為圓心,

試卷第23頁(yè)，共28頁(yè)

8c長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交N8于點(diǎn)。，若48=4,則①的長(zhǎng)是.

ADO

【變式17-2]

63.在認(rèn)識(shí)圓錐主題活動(dòng)課上，芳芳用半徑9cm,圓心角120。的扇形紙板，做了一個(gè)圓錐

形的生日帽，如圖所示.在不考慮接縫的情況下，這個(gè)圓錐形生日帽的高是—cm.

【變式17-3]

64.如圖，扇形紙扇完全打開(kāi)后，外側(cè)兩竹條N3,/C夾角為150。，的長(zhǎng)為9cm,則方

的長(zhǎng)為_(kāi)____cm.

A

【考點(diǎn)題型十八】計(jì)算扇形的面積

【典例18]

65.如圖，。4。夙。。、。。、?！甑陌霃蕉际?,順次連接這些圓心得到五邊形43CDE,

則圖中的陰影部分的面積之和為()

C.2兀

【變式18-1]

66.如圖，在兩個(gè)同心圓中，兩圓半徑分別為2,1,ZAOB=120°,則陰影部分面積是

()

試卷第24頁(yè)，共28頁(yè)

c2C.?

A.2兀B.-71D.47i

【變式18-2]

67.如圖，在矩形4BC。中，AB=2,AD=4,以點(diǎn)/為圓心，為半徑的弧交3c于點(diǎn)

D',則陰影部分的扇形面積是（）

7C

D.%

35-I

【變式18-3]

68.在半徑為2的圓中，一個(gè)扇形的圓心角是150。，則這個(gè)扇形的面積是

【考點(diǎn)題型十九】計(jì)算不規(guī)則圖形的陰影部分面積

【典例19】

69.如圖，氏△4BC中，ZC=90°,BC=4,ZA=30°,以點(diǎn)/為圓心、/C為半徑畫(huà)弧,

交AB于點(diǎn)、E,以點(diǎn)8為圓心、8C為半徑畫(huà)弧，交4B于點(diǎn)尸,則陰影部分的面積為（）

C.——16A/3D.8百-3n

【變式19-1]

70.如圖，半徑為6的。。沿弦N8折疊，弧43恰好經(jīng)過(guò)圓心O,則陰影部分的面積為.

試卷第25頁(yè)，共28頁(yè)

【變式19-2]

71.如圖，C為。。上一點(diǎn)，4B是。。的直徑，AB=4,ZABC=30°,現(xiàn)將ZUBC繞點(diǎn)3

按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)30。后得到△4BC,8C'交。。于點(diǎn)。，則圖中陰影部分的面積為.

72.如圖，在口/BC。中，E為BC邊中點(diǎn).以C為圓心，CD為半徑畫(huà)弧，恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)力.以

C為圓心，CE為半徑畫(huà)弧，與2D相切于點(diǎn)元若3c=4,則陰影部分的面積為一.（結(jié)

73.如圖，在長(zhǎng)方形48CZ）中，4B=5,AD=3,以點(diǎn)。為圓心，4D長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交線

段CD延長(zhǎng)線于點(diǎn)￡,點(diǎn)尸為邊上一點(diǎn)，若CF=2BF,連接￡尸，則圖中陰影部分的面

積為（結(jié)果保留力）.

【考點(diǎn)題型二十】某點(diǎn)弧形的運(yùn)動(dòng)軌跡弧長(zhǎng)

【典例20】

74.如圖，一小孩在蕩秋千，秋千的纖繩長(zhǎng)為2米，當(dāng)小孩在最低位置時(shí)，秋千底部距離地

面0.4米，當(dāng)小孩達(dá)到最大高度時(shí)，秋千底部距離地面L4米，那么小孩從最低位置達(dá)到最高

試卷第26頁(yè)，共28頁(yè)

位置秋千底部所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為（）.

2D.g萬(wàn)米

C.—萬(wàn)米

3

【變式20-1]

75.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形。48c是矩形，點(diǎn)/（3,0）,C（0,2）,將矩形

繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，則旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)"的坐標(biāo)和點(diǎn)8在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中繞過(guò)的路徑

B.(-2,0)和兀

C.（0,3）和乎兀/7T

D.(2,3)和江兀

【變式20-2]

76.一塊含30。角的直角三角板4BC按如圖所示的方式擺放，邊與直線/重合，

AB=ncm.現(xiàn)將該三角板繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C'落在直線/上，則點(diǎn)N經(jīng)

過(guò)的路徑長(zhǎng)至少為cm.（結(jié)果保留萬(wàn)）

A'

【變式20-3]

77.如圖，一條直線上放著一個(gè)長(zhǎng)方形①，它的長(zhǎng)和寬分別為4厘米和3厘米，對(duì)角線為5

試卷第27頁(yè)，共28頁(yè)

厘米，讓這個(gè)長(zhǎng)方形依次順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，最終長(zhǎng)方形的A點(diǎn)到達(dá)了〃點(diǎn)的位置，求點(diǎn)A

所走過(guò)的總路程.

BCA

BAEFGH

試卷第28頁(yè)，共28頁(yè)

1.B

【分析】本題考查了圓的有關(guān)概念，三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，先求得

/B,再由等腰三角形的性質(zhì)求出/BCD,則N/CD與/BCD互余，解題的關(guān)鍵是掌握等

腰三角形的性質(zhì).

【詳解】解：???N/C2=90。，44=25。，

NB=65°,

vCD=CB,

ZB=/BCD=65°,

/BCA=180°--Z8CD=180°-2X65°=50°,

ZACD^90°-50°=40°,

故選：B.

2.D

【分析】本題考查了圓的半徑，直徑，弦的關(guān)系，掌握直徑是圓中最長(zhǎng)的弦是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)圓的相關(guān)概念，及直徑是圓中最長(zhǎng)的弦的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行判定即可求解.

【詳解】解：已知半徑為5的圓，

???該圓的中最長(zhǎng)的弦即為直徑，值為10,

二弦力B最長(zhǎng)不能超過(guò)10,

?,■D選項(xiàng)不符合題意，

故選：D.

3.20

【分析】本題考查圓的基本性質(zhì)，勾股定理，作出圖形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，由乙48。=45。,

OA=OB,可知//。8=90°,再結(jié)合勾股定理求解即可.

【詳解】解：如圖，???AB=4,乙4BO=45。,OA=OB,

ZBAO=ZABO=45°,

ZAOB=90°,

答案第1頁(yè)，共45頁(yè)

???OA+OB=2V2，

故答案為：2行.

4.⑴線段的長(zhǎng)為3；

⑵線段CO的長(zhǎng)為8.

【分析】(1)根據(jù)8￡=8,AE=2,則/8=NE+3￡=10,故有CM=OC=5,然后利用線

段和差即可求解；

(2)由CDL/8得。石=。石=；。，ZC￡O=90°,然后由勾股定理求出CE的長(zhǎng)即可；

本題考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，熟練掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)解：???3E=8,AE=2,

AB=AE+BE=10,

：.OA=OC=5,

：.OE=OA-AE=5-2=3,

???線段OE的長(zhǎng)為3；

(2)解：由(1)得OE=3,OA=OC=5,

-CD1AB,

：.CE=DE=-CD,/CEO=90。，

2

???由勾股定理得：CE=^OC2-OE2=452-32=4，

CD=2CE=8,

線段CD的長(zhǎng)為8.

5.A

【分析】本題考查的是垂徑定理及勾股定理，由垂徑定理得OE=g〃C=3,在RtaODE中,

勾股定理求得A,即可求解.

【詳解】解：設(shè)。。的半徑為五，

?.?弦于E,DC=6,

.-.DE^-DC=3,

2

?:AE=9,

OE=9—R,

在Rt4ODE中，OD?=OE?+DE?

答案第2頁(yè)，共45頁(yè)

.-.7?2=（9-7?）2+32

解得：R=5

OE=9—5=4,BE=5—4=1,

故選：A.

6.30cm

【分析】本題主要考查了垂徑定理，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握垂徑定理.過(guò)。作

OG_L4D于G交。。于“，求得GF=EF=12ctn,設(shè)半徑為“m,則0G=（24-r）cm,根據(jù)

勾股定理即可得到結(jié)論.

【詳解】解：過(guò)。作于G交。。于"，如圖所示：

BHC

則GF=~EF=12cm,

設(shè)半徑為，cm,貝i]OG=（24-，）cm,

根據(jù)勾股定理得，（24-「『+122=，，

解得：r=15,

這個(gè)球的直徑為30cm.

故答案為：30cm.

7.5

【分析】本題考查了垂徑定理的性質(zhì)和勾股定理，根據(jù)題意連接。4,根據(jù)垂徑定理及勾股

定理解答即可.

【詳解】解：連接CM,由垂徑定理知，

答案第3頁(yè)，共45頁(yè)

,?,點(diǎn)C是48的中點(diǎn)，

.-.T4C=-^5=-X8=4,

22

?1?OA=yjoc2+AC2=V32+42=5，

.??。。的半徑長(zhǎng)為5.

故答案為：5.

8.4或1##1或4

【分析】本題主要考查點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，分別考慮點(diǎn)尸在圓內(nèi)和點(diǎn)尸在圓外兩種情況是

解題的關(guān)鍵.根據(jù)點(diǎn)尸在圓內(nèi)時(shí)，圓的直徑為最短距離與最長(zhǎng)距離的和，點(diǎn)尸在圓外時(shí)，

圓的直徑為最長(zhǎng)距離與最短距離的差，由此即可得出答案.

【詳解】若點(diǎn)尸在圓內(nèi)，如圖①，

則AP=3cm,BP=5cm,

AB=3+5=8cm,

QO的半徑為8+2=4cm.

若點(diǎn)p在圓外，如圖②，

則AP=3cm,BP=5cm,

AB=5—3=2cm,

二?OO的半徑為2+2=1cm.

故答案為：4或1.

圖①圖②

9.(1)6.5m

(2)能通過(guò)，見(jiàn)解析

【分析】(1)設(shè)圓心為點(diǎn)。，半徑為五,再根據(jù)垂徑定理、勾股定理即可求解；

(2)在圓弧NED上取一點(diǎn)X,過(guò)點(diǎn)#作〃GLOE于點(diǎn)G,且使得〃G=2.5,

根據(jù)勾股定理，得OG=JO〃2-GH、=-6.52-2.52=6(m),進(jìn)而求出點(diǎn)G到到8c的距離,

然后與車高進(jìn)行大小比較即可.

答案第4頁(yè)，共45頁(yè)

本題考查了勾股定理，垂徑定理，平行線的性質(zhì)，熟練掌握定理是解題的關(guān)鍵.

【詳解】（1）解：設(shè)圓心為點(diǎn)。，半徑為大，連接。4。片，設(shè)OE與AD交于點(diǎn)、P,

???隧道的頂端E是圓弧的中點(diǎn)，高出道路（BC）7m,

AD1OE,AF=DF^AD,

矩形的長(zhǎng)2c為12m寬為3m,

AD=BC=12m,ND〃5c且AD,BC之間的距離為3m,

AF=DF=6m,EF=7—3=4（m）,

根據(jù)勾股定理，得及2=（及一4）2+62,

解得尺=6.5,

故圓弧/磯）所在圓的半徑為6.5m.

（2）解：在圓弧4ED上取一點(diǎn)H過(guò)點(diǎn)〃作8GL0E于點(diǎn)G,且使得HG=2.5,

根據(jù)勾股定理，得。G=JO〃2-G〃2=-6.52-2.52=6（m）,

由點(diǎn)。到BC的距離為7-6.5=0.5（m）,

故點(diǎn)G到到8c的距離為6+0.5=6.5m>6m,

故這輛貨運(yùn)卡車能通過(guò)該隧道.

10.該門洞的半徑為1.5m.

【分析】本題主要考查垂徑定理的應(yīng)用.設(shè)半徑為西，根據(jù)垂徑定理和勾股定理列方程求

解即可.

【詳解】解：設(shè)圓的半徑為xm,

答案第5頁(yè)，共45頁(yè)

E

?—1.8m一8地面

由題意可知，AF=^AB=0.9m,EF=2.7m,OF=(2.7-x)m,

R3/FD中，O尸=0/2一/尸2,即(2.7-xJ=x2-0§2,

解得x=L5.

答：該門洞的半徑為L(zhǎng)5m.

11.(1)主橋拱所在圓的半徑長(zhǎng)為5米

(2)此時(shí)水面的寬度約為9米

【分析】(1)連接04,OD,構(gòu)造△4。。，通過(guò)垂徑定理得出是直角三角形，再利用勾股

定理即可求解.

(2)設(shè)OC與斯相交于點(diǎn)G,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出/OEG=25.6。，AOGE為直角三角

形，再利用銳角三角形的余弦值即可求解.

【詳解】(1)解：如圖，連接04,OD.

???C是標(biāo)的中點(diǎn)，CDLAB,

.-.AD=BD=-AB=A,CD所在的直線經(jīng)過(guò)圓心O.

2

設(shè)半徑O/=OC=r,則OD=OC—CZ>=r-2.

???在AD。中，OA2=AD2+OD2,

r2=42+(r-2)2,解得廠=5.

答：主橋拱所在圓的半徑長(zhǎng)為5米.

(2)(2)如圖，設(shè)OC與EF相交于點(diǎn)G.

由題意得/￡?！?25.6。.

答案第6頁(yè)，共45頁(yè)

-EF//OH,???/OEG=25.6°.

vEF//AB,ODLAB

.-.0D1EF,???/OG￡=90°.

???在放aOGE中，OE=5,

??.EG=OE-cosZOEG=OE-cos25.6°?5x0.90=4.5,

:,EF=2EG=9.

答：此時(shí)水面的寬度約為9米.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形及應(yīng)用，涉及垂徑定理，勾股定理的應(yīng)用及平行線的

性質(zhì)等知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題.

12.(l)13m

(2)10m

【分析】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用：

(1)設(shè)CO與4B交于G,馬MN交于H,根據(jù)題意和垂徑定理可得CG,AG,CH,利用

勾股定理求半徑即可；

(2)利用勾股定理求得Mf,即可求解.

【詳解】(1)解：設(shè)CD與交于G,與MN交于H.

AE=10m,AB=24m,

2^5=1x24=12(m),

CH=CD-DH=lS-n=l(m),

設(shè)圓拱的半徑為r,

在RgNOG中，O/2=OG2+NG2,

r2=(r-8)2+122,

解得r=13,

二圓弧形拱頂?shù)陌霃降拈L(zhǎng)度為13m；

(2)解：?.?0C=13m,

.-,O^=13-l=12(m),

答案第7頁(yè)，共45頁(yè)

在RtAMO”中，OM2=OH2+MH1,

.■.132=122+MH2,

解得W?=25,

MH=5(m),

13.(1)見(jiàn)解析

22

⑵可

【分析】本題考查了垂徑定理，圓與圓的位置關(guān)系，勾股定理，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)，正確添加

輔助線是解題的關(guān)鍵.

(1)過(guò)點(diǎn)。作于點(diǎn)￡,利用垂徑定理及等式的性質(zhì)即可求證；

(2)連接。C,設(shè)C￡=x，在RtZk/OE中，由勾股定理得：。爐=122_(6+封2,在RSCOE

中，由勾股定理得：0￡2=82_/，即可建立方程凌-(6+X)2=82--,解方程即可，利用

CD=2CE求解.

【詳解】(1)證明：過(guò)點(diǎn)。作OELCO于點(diǎn)￡,

??,OE過(guò)圓心，

.-.CE=DE,AE=BE,

：.AE-CE=BE-DE,

；.AC=BD；

在中，由勾股定理得：OK?=12?_卜+尤

答案第8頁(yè)，共45頁(yè)

在R￡COE中，由勾股定理得：。爐=82_/,

??,122-(6+X)2=82-X2,

解得：x=:,

22

.-.CD=ICE=——,

3

22

故答案為：y.

14.⑴見(jiàn)解析

(2)y/33cm

【分析】此題考查了垂徑定理、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵.

(1)作0E工AB,垂足為E,根據(jù)垂徑定理求出AE=BE,CE=DE,得到AE-CE=BE-DE,

即可推出=

(2)連接CM,0C,在RtZUOE中，利用勾股定理求出?！?J。/一/￡2=2n(cm),在

RtAOCE中，利用勾股定理求出。。=屈(cm).

【詳解】(1)證明：作垂足為E,

由垂徑定理知，點(diǎn)￡是CD的中點(diǎn)，也是4B的中點(diǎn),

AE=BE,CE=DE,

AE-CE=BE-DE,

即AC=BD；

5cm,OA=7cm,

OE=yjOA2-AE2=>/72-52=276(cm),

答案第9頁(yè)，共45頁(yè)

在RMOCE