2024-2025學(xué)年高一年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)期末考復(fù)習(xí)：不等式性質(zhì)、基本不等式（附答案解析）

?立,「曾四媼超

題型1不等式的性質(zhì)...............................................5

題型2作差法比較大小.............................................7

題型3由基本不等式求最值.........................................8

題型4基本不等式的應(yīng)用..........................................10

題型5基本不等式再理解..........................................12

團(tuán)知識(shí)清單團(tuán)

1.不等式性質(zhì)

(1)用不等式(組)表示不等關(guān)系

(2)實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本事實(shí)，作差法(作商法)比較大小

(3)不等式的性質(zhì)及其應(yīng)用

2.基本不等式

(1)求簡(jiǎn)單代數(shù)式的最值

(2)最值定理

(3)基本不等式在生活中的應(yīng)用

(4)基本不等式在幾何中的應(yīng)用

如識(shí)歸納

1.用不等式(組)表示不等關(guān)系的步驟

(1)審清題意，明確表示不等關(guān)系的關(guān)鍵詞語：至多、至少、大于等.

(2)適當(dāng)?shù)卦O(shè)未知數(shù)表示變量.

(3)用不等號(hào)表示關(guān)鍵詞語，并連接變量得不等式.

2.比較大小

(1)利用作差法比較大小，只需判斷差的符號(hào)，通常將差化為完全平方的形

式或多個(gè)因式的積的形式.

(2)對(duì)于兩個(gè)正值，也可采用作商的方法，比較商與1的大小.

(3)對(duì)于某些問題也可以采用取中間值的方法比較大小.

(4)作差法比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的基本步驟

3.不等式的性質(zhì)

性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容特別提醒

對(duì)稱性a>b=b〈a=

傳遞性a>b,b>c=>a>c今

可加性a>b=a+c>b+c=

a>b

c>0=>ac>bc

可乘性注意c的符號(hào)

a>b

c<0=>ac<bc

a>b\

同向可加性=>

n。+c>b+d

同向同正可a>b>0]

c>d>ohac>bd

乘性

可乘方性a>b>Q^>an>bn￡N,n>l)a,6同為正數(shù)

可開方性a>b>O^^J~a>^[b(幾￡N,n>2)a,6同為正數(shù)

4.基本不等式

(1)如果a>0,b>Q,則當(dāng)且僅當(dāng)a=6時(shí)，等號(hào)成立.

(2)其中，等叫做正數(shù)a,6的算術(shù)平均數(shù)，的叫做正數(shù)a,6的幾何平

均數(shù).

(3)兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).

(4)在利用基本不等式求最值時(shí)要注意：一正、二定、三相等.

5.最值定理

已知x,y都為正數(shù)，則

(1)如果積犯等于定值P,那么當(dāng)且僅當(dāng)尤=丁時(shí)，和x+y有最小值2爐.

(2)如果和x+y等于定值S,那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，積孫有最大值5S2.

(3)簡(jiǎn)記為：積定和最小，和定積最大.

6.由基本不等式解決實(shí)際問題的步驟

(1)理解題意.設(shè)變量，并理解變量的實(shí)際意義.

(2)構(gòu)造定值.利用基本不等式求最值.

(3)檢驗(yàn).檢驗(yàn)等號(hào)成立的條件是否滿足題意.

(4)結(jié)論.

技巧總結(jié)

____________________________J

1.由不等式性質(zhì)判斷命題真假

(1)運(yùn)用不等式的性質(zhì)判斷時(shí)，要注意不等式成立的條件，不要弱化條件,

尤其是不能想當(dāng)然隨意捏造性質(zhì).

(2)也可采用特殊值法進(jìn)行排除，注意取值一定要遵循如下原則：一是滿

足題設(shè)條件；二是取值要簡(jiǎn)單，便于驗(yàn)證計(jì)算.

2.不等式的證明

(1)利用不等式的性質(zhì)對(duì)不等式的證明其實(shí)質(zhì)就是利用性質(zhì)對(duì)不等式進(jìn)行

變形，變形要等價(jià)，同時(shí)要注意性質(zhì)適用的前提條件.

(2)用作差法證明不等式和用作差法比較大小的方法原理一樣，變形后判

斷符號(hào)時(shí)要注意充分利用題目中的條件.

3.由不等式的性質(zhì)求范圍

(1)建立待求范圍的整體與已知范圍的整體的關(guān)系，最后利用一次不等式

的性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算，求得待求的范圍.

(2)同向不等式的兩邊可以相加，這種轉(zhuǎn)化不是等價(jià)變形，如果在解題過

程中多次使用這種轉(zhuǎn)化，就有可能擴(kuò)大其取值范圍.

4.拼湊法求最值

(1)拼湊的技巧，以整式為基礎(chǔ)，注意利用系數(shù)的變化以及等式中常數(shù)的

調(diào)整，做到等價(jià)轉(zhuǎn)換.

(2)代數(shù)式的變形以拼湊出和或積的定值為目標(biāo).

(3)拆項(xiàng)、添項(xiàng)應(yīng)注意檢驗(yàn)利用基本不等式的前提.

i.幾個(gè)重要的不等式

(1)4z2+Z?2>2tz/?(〃，Z?￡R).

(2)(十金2(mb同號(hào)).

(3)(〃,Z?ER).

/+/(a+b\

(4)2>l^~I(。，?￡R).

2.一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系

(1)^x2+Z?x+c=0(〃R0)的解為xi,X2.

(2)Xl+X2=a

(3)X1*X2=a

題型1不等式的性質(zhì)

【典例1】（2024春?海淀區(qū)期末）已知a>。、bcd<0、abcd>0,則下列選項(xiàng)可

能成立的是（)

A.a<0>6>0、c<0>d>0B.a>0、Z?<0>c>0、J<0

C.a<0>Z?<0>c>0、d>0D.a>0、b>0、c<0>d<0

【答案】C

【分析】先判斷出〃vo,排除如，再根據(jù)和她/VO判斷AC即可.

【解答】解：因?yàn)锳dVO、abcd>0,故。<0,排除5。；

因?yàn)樗詁〈O,ab>Q,又abcd>0,所以cd>0,故A錯(cuò)誤，C正確.

故選：C.

【典例2】（2024?西城區(qū)校級(jí)開學(xué)）下列命題為真命題的是（)

A.右a>b,則--->一

a+cct

B.若a>6,c>d,貝1J〃-d>b-c

C.若aVbVO,則。2V"〈反

11

D.若a>b,則--->一

a-ba

【答案】B

【分析】由不等式的基本性質(zhì)，賦值法逐項(xiàng)判斷即可.

【解答】解：對(duì)于A,可以取。=2,b=l,c=-1,此時(shí)把vL所以A錯(cuò)

a+cCL

誤.

對(duì)于3：c>d,-d>-c,因?yàn)閍>。，所以a-d>b-c,故3正確；

對(duì)于C：取a=-2,6=-l時(shí)，則/=%ab=2,b2=l,則故

C錯(cuò)誤；

11111

對(duì)于。：當(dāng)。=1,6=-1時(shí)，—=--=1,則=〈一，故。錯(cuò)誤.

a-b2aa-ba

故選：B.

【典例3】（多選）（2023秋?滄州期末）若。<"VO<c<d,則下列不等式一定成

立的是（）

Qd

A.d-a>c-bB.c~a<d-bC.advbc2D.->—

ab

【答案】ACD

【分析】對(duì)于選項(xiàng)A,C和D,直接利用不等式的性質(zhì)判斷即可；對(duì)于選項(xiàng)3,

舉出反例即可判斷.

【解答】解：因?yàn)樗砸驗(yàn)?<c<d,即加>c>0,

所以故A正確；

令〃=-6<b=-1V0<c=2Vd=3,貝!）。-〃=8,d-b=4,所以

b,故5不正確；

因?yàn)閏2>0,所以〃c2Vbe2,故C正確；

因?yàn)閍<6<0,所以0<-：<一。因?yàn)?<c<d,所以一第>3，所以《〈￡，

aDoaba

故。正確.

故選：ACD.

題型2作差法比較大小

【典例4】（2024春?大連期末）設(shè)x,y,z的平均數(shù)為M,x與y的平均數(shù)為N,

N與z的平均數(shù)為P.若x<y<z,則“與P的大小關(guān)系是（）

A.M=PB.M<PC.M>PD.不能確定

【答案】B

【分析】根據(jù)題意可得M=日產(chǎn)，昨號(hào)幺，利用作差法比較大小.

34

【解答】解：由題意可知：M=中，N=警，0=竽=繪=當(dāng)上,

3LLL41

貝|］尸_M=%+?2z_%+,+z=（zf（z-y）,

因?yàn)椋yVz,則z-％>0,z-y>0,

可得P_M=（Zf）j（z_y）〉o,即MVP.

故選：B.

【典例5】（2023秋?濱海新區(qū)校級(jí)期中）已知。=&+痣，fe=V3+V5,判斷a,

b大小關(guān)系：ab.（填“>、=、<”）

【答案】<.

【分析】先比較屋，廿的大小，進(jìn)而判斷m6的大小.

【解答】解：a2=（V2+V6）2=8+4V3,b2=（V3+V5）2=8+2V15,

(4V3)2=48<(2V15)2=60,

.,.4V3<2V15,：.a2<b2,

又b>0,:.a〈b.

故答案為：＜.

【典例6】（2024春?黃浦區(qū)校級(jí)期末）設(shè)x,y是不全為零的實(shí)數(shù)，試比較2爐+產(chǎn)

與f+盯的大小，并說明理由.

【答案】2x2+^2＞x2+xy.

【分析】直接利用作差法和不等式的性質(zhì)求出結(jié)果.

【解答】解：（2x2+y2）-（x2+xy）-%丁+9，

2

①當(dāng)x=0,yRO時(shí)，（Zf+j/）-（爐+秤）＞0,故：2A+y2〉%2+孫；

②當(dāng)/0,y=0時(shí)，（Zp+y?）-（/+町）＞0,故：2%2+,2＞九2+孫；

③當(dāng)今0,月0時(shí),（2冗2+丁2）-（f+孫）=（%-專）2+＞0,故:2x2+y2＞x2+xy；

故2元2+丁2〉/+呼.

題型3由基本不等式求最值

【典例7】（2023秋?滄州期末）已知正數(shù)x,y滿足3x+2y=2,則二2+三1的最小

2xy

值為（）

,25_1325

A.6B.—C.—D.—

422

【答案】B

【分析】由已知結(jié)合乘1法，利用基本不等式即可求解.

【解答】解：因?yàn)檎龜?shù)x,y滿足3x+2y=2,

LL731131193y3%19

所以一+-=-(—+-)(3x+2y)=-(-+2+—+—)>-X(-+2+6)=

2%y2y八"22%yJ2

251133y3》、i13[3y3%\25

一=一z(―+—+—)>4z(一+21

422xy22\=不

7312s

當(dāng)且僅當(dāng)人"拿寸，等號(hào)成立，因此H+*最小值為不

故選：B.

【典例8］（多選）（2024?沙坪壩區(qū)校級(jí)開學(xué)）若正實(shí)數(shù)x,y滿足2x+y=l,則

下列說法正確的是（）

1

A.孫有最大值為g

O

14

B.一+一有最小值為6+4企

xy

1

C.4f+y2有最小值為5

1

D.x(y+1)有最大值為5

【答案】ABC

【分析】直接利用不等式即可求解A、C,利用乘“1”法即可求解5,利用不等

式成立的條件即可求解D

【解答】解：對(duì)于A：因?yàn)榉?y=122j2x?y,則孫W需當(dāng)且僅當(dāng)2x=y,

即％=/，y=*時(shí)取等號(hào)，故A正確；

_142x+y4(2x+y)8xy8xy/—

對(duì)于B,-+-=--+-—=—+-+6>2—--+6=6+4V2,當(dāng)>lz

xyxyyx7yx

且僅當(dāng)%=1即》=與匕y=2-a時(shí)取等號(hào)，故3正確；

對(duì)于C：因?yàn)?；'<了、則4/+y2>|,當(dāng)且僅當(dāng)2x=y,即％=*,y=1

時(shí)取等號(hào)，故C正確；

對(duì)于D：因?yàn)榫?y+1)=|x2x(y+1)<|x產(chǎn)+g+、2_]當(dāng)且僅當(dāng)2x=y+l,

即y=0時(shí)取等號(hào)，這與X,y均為正實(shí)數(shù)矛盾，故。錯(cuò)誤.

故選：ABC.

【典例9](2024春?聊城期末)已知正數(shù)x,y滿足x+y=l,則"的最小值

''xy

為.

【答案】9.

【分析】根據(jù)基本不等式即可得最小值.

【解答】解：正數(shù)x,y滿足x+y=l,

.3x+l3x+x+y4x+y41

n一

7>Uxy—xy—xy—y—+x

=(-+-)(x+y)=5+如+45+2隹3=9,

yx'y%7yx

當(dāng)且僅當(dāng)a==產(chǎn)郭寸，取等號(hào).

yX33

則絲3的最小值為9.

xy

故答案為：9.

題型4基本不等式的應(yīng)用

【典例10］（2024春?重慶期末）阿基米德有句名言：“給我一個(gè)支點(diǎn)，我就能撬

起整個(gè)地球!”這句話說的便是杠桿原理，即“動(dòng)力x動(dòng)力臂=阻力x阻力臂”.現(xiàn)

有一商店使用兩臂不等長(zhǎng)的天平稱黃金，一位顧客到店里預(yù)購(gòu)買20g黃金，

售貨員先將10g的祛碼放在天平左盤中，取出煙黃金放在天平右盤中使天平

平衡；再將10g的祛碼放在天平右盤中，取yg黃金放在天平左盤中使天平平

衡，最后將稱得的煙和yg黃金交給顧客，則顧客購(gòu)得的黃金重量（）

A.大于20gB.等于20gC.小于20gD.無法確定

【答案】A

【分析】設(shè)天平的左臂長(zhǎng)為右臂長(zhǎng)為6,再分別求出x,?然后結(jié)合基本

不等式判斷即可.

【解答】解：由于天平的兩臂不等長(zhǎng)，

故可設(shè)天平的左臂長(zhǎng)為右臂長(zhǎng)為。，蚌b,

由杠桿原理得6x=10a,ay=10Z?,解得久=

則“+丫=半+警22例邛=20,當(dāng)且僅當(dāng)=6取等號(hào)，

又a豐b,故x+y>20.

故選：A.

【典例111（2023秋?焦作期末）有甲、乙兩個(gè)魚缸，甲魚缸中有x條金魚和y

條錦鯉，乙魚缸中有4條金魚和3條錦鯉，先從甲魚缸中隨機(jī)撈出一條魚放

入乙魚缸，再?gòu)囊音~缸中隨機(jī)撈出一條魚，若從乙魚缸中撈出的是金魚的概

率為，4則9X+又12的最小值為

74y-------

【答案】4.

【分析】先由已知，結(jié)合概率公式求出x,y的關(guān)系，代入到所求式子，結(jié)合

基本不等式即可求解.

【解答】解：由題意得，——x|+-^―xg=金，

x+y8x+y87

所以3x=4y,即丁=*%,

12%12%16X16

所以1+歹=[+苧=1+工22一.一=4,

4X

當(dāng)且僅當(dāng)'=改，即x=8時(shí)取等號(hào).

4x

故答案為：4.

【典例12](2023秋?昭陽區(qū)校級(jí)期末)如圖，某人計(jì)劃用籬笆圍成一個(gè)一邊靠

墻(墻的長(zhǎng)度沒有限制)的矩形菜園.設(shè)菜園的長(zhǎng)為xm,寬為ym.

(I)若菜園面積為72/,則x,y為何值時(shí)，可使所用籬笆總長(zhǎng)最小？

12

(II)若使用的籬笆總長(zhǎng)度為30機(jī)，求二十4的最小值.

xy

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】(I)由已知可得孫=72,而籬笆總長(zhǎng)為x+2y.利用基本不等式

%+2yN2j2%y即可得出；

(〃)由已知得x+2y=30,利用基本不等式(工+三)?(x+2y)=5+生+

%yx

竽25+2杵號(hào),進(jìn)而得出.

【解答】解：(I)由已知可得移=72,而籬笆總長(zhǎng)為x+2y.

又x+2y>2y/2xy=24,

當(dāng)且僅當(dāng)x=2y,即x=12,y=6時(shí)等號(hào)成立.

...菜園的長(zhǎng)x為12冽，寬y為6機(jī)時(shí)，可使所用籬笆總長(zhǎng)最小.

(II)由己知得尤+2y=30,

又：(工+與,(x+2y)=5+益+在25+2pT^=9,

xy%y7%y

.123

??一+—>一,

xy10

當(dāng)且僅當(dāng)x=?即x=10,y=10時(shí)等號(hào)成立.

123

3的最小值是不

題型5基本不等式再理解

12

【典例13］（2023秋?宣城期末）已知x+y=l,且x>0,y>0,則后+石的最

小值是（）

49一.2V3

A.一B.—C.1D.---

343

【答案】B

1

1—9

【分析】先將所求式子化為:（^+―-）［x+（y+1）］,展開并利用基本不等

2%y+1

式即可得出所求的答案.

【解答】解：因?yàn)椋?y=l,且%〉0,y>0,

11

…121/52,,.115(y+l)2x5

所以一+——=-(―+——)[x+(y+1)]=|[-+-----+——+2]=[-+

2xy+12xy+17^2xy+i522

2+1)

2x152x9

+——]>|[-+2y+lJ=4?

Xy+122、X

當(dāng)且僅當(dāng)21-,且x+y=l即x=￡,y是時(shí)等號(hào)成立，

%y+1J，3

所以51+2三的最小值是93

2xy+14

故選：B.

（xy2_|_ni,2in-.2_|_^y2

【典例14］（2024春?包河區(qū)校級(jí)期末）已知a,b,c,deg,1］,則j:/:

§ab+bc+cd

的取值范圍是（）

A.[2,|B.[2,當(dāng)C.g,學(xué)]D.[2,+oo)

【答案】B

一+2匕2+2c2+~2

【分析】根據(jù)題意,由基本不等式的性質(zhì)分析3C+”的最小值,結(jié)合

Q2+2匕2+2。2+~2__

對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)分析ab+bc+m的最大值,綜合可得答案.

2222222222

?痛心、b-na+2b+2c+da+b+b+c+c+d2ab+2bc+2cd

【解答】解：-------------=------------------>------------

ab+bc+cdab+bc+cdab+bc+cd

Q2+2匕2+2c2+d2

當(dāng)且僅當(dāng)。=6=c=d時(shí)等號(hào)成立，故析:::22,

ab+bc+cd

11b

又由a,bE,1],則一工一工3,

33a

由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)，所以2+

ab3

則ab>■(M+抉),同理兒》余(爐+c?),cd>+^2)

a2+2b2+2c2+d2a2+2b2+2c2+d210

則<-5------------------------

ab+bc+cd—(