2024-2025學年高一年級上冊數(shù)學期末考復習：常用邏輯用語（附答案解析）

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題型1充分條件與必要條件.........................................6

題型2由充分條件與必要條件求參數(shù).................................8

題型3充分條件'必要條件的應用...................................9

題型4命題真假的判斷............................................11

題型5命題的否定................................................12

題型6由命題的真假求參數(shù)........................................14

團知識清單團

1.充分條件與必要條件

(1)充分條件、必要條件的概念

(2)充分條件與判定定理，必要條件與性質(zhì)定理的關(guān)系

(3)充分條件、必要條件的判斷

(4)充分條件與必要條件的應用

2.充要條件

(1)充要條件概念的理解

(2)充要條件的證明

(3)充分不必要、必要不充分、充要條件的應用

3.全稱量詞與存在量詞

(1)全稱量詞、全稱量詞命題、存在量詞、存在量詞命題的概念

(2)含量詞的命題的真假判斷

(3)依據(jù)含量詞命題的真假求參數(shù)的取值范圍

4.全稱量詞命題與存在量詞命題的否定

(1)全稱量詞命題、存在量詞命題的否定

(2)命題真假的判斷

(3)全稱量詞命題與存在量詞命題的綜合應用

蚓識歸納

1.充分條件與必要條件

“若p,則"'為真命題“若P，則必為假命題

推出關(guān)系pnqp#q

p是q的充分條件p不是q的必要條件

條件關(guān)系

q是p的充分條件q不是p的必要條件

判定定理給出了相應數(shù)學結(jié)論成立的充分條件

定理關(guān)系

性質(zhì)定理給出了相應數(shù)學結(jié)論成立的必要條件

2.充要條件

(1)如果“若p,則和它的逆命題“若q,則p"均是真命題，即既有pnq,

又有qnp，就記作"Qq,此時，p既是q的充分條件，也是q的必要條件，

我們就說p是q的充分必要條件，簡稱為充要條件.

(2)如果p是q的充要條件,那么q也是p的充要條件.概括地說,如果poq,

那么p與q互為充要條件.

3.簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞

（1）命題中的且、或、非叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞.

（2）命題?且分2或小非p的真假判斷

Pqp且qp或q非P

真真真真假

真假假真假

假真假真真

假假假假真

4.全稱量詞與全稱量詞命題

全稱量詞所有的、任意一個、一切、每一個、任給

符號表示V

全稱量詞命題含有全稱量詞的命題

“對M中任意一個％,p（%）成立“，

形式

簡記為p（x）”

5.存在量詞與存在量詞命題

存在量詞存在一個、至少有一個、有一個、有些、有的、對某些

符號表示

存在量詞命題含有存在量詞的命題

“存在〃中的元素X,p（X）成立”

形式

簡記為FxdM,p（x）”

6.全稱命題、特稱命題及含一個量詞的命題的否定

命題名稱語言表示符號表示命題的否定

對M中任意x,

全稱命題YxRM,p(x)3xoM,-yp(xo)

有p（X）成立

存在M中的孫

特稱命題3xoM,p(xo)PxRM,(x)

使p（祀）成立

技巧總結(jié)

____________________________J

1.充分條件和必要條件的理解：

(1)對“推出”的正確理解：對于命題2：ZA=30°,q-.sinA=1.顯然p

可以推出q,記為pnq,而q是不能推出p的.

(2)若則夕是q的充分條件.所謂充分，就是說條件是充分的，也

就是說條件是充足的，條件是足夠的，條件是足以保證的.“有之必成立，

無之未必不成立”.

(3)若則q是p的必要條件.所謂必要，就是條件是必須有的，必

不可少的，缺其不可.“有之未必成立，無之必不成立”.

(4)以下五種表述形式是等價的：①pnq；②2是q的充分條件；③q的

充分條件是P；④q是p的必要條件；⑤2的必要條件是0

2.充要條件

(1)若p是q的充要條件，則poq,即命題2和q是兩個相互等價的命

題.

(2)“p是q的充要條件”與“p的充要條件是q”的區(qū)別是：若p是q的充要

條件說明?是條件，q是結(jié)論；若"的充要條件是q說明q是條件，p是結(jié)

論.

3.從集合角度理解充分條件、必要條件與充要條件

(1)若則p是q的必要條件.

(2)若A摟B,則p是q的必要不充分條件.

(3)若A=3,則p是q的充要條件.

4.四種命題

(1)寫一個命題的其他三種命題時，需注意：對于不是“若p,則q”形式

的命題，需先改寫；若命題有大前提，寫其他三種命題時需保留大前提.

(2)判斷一個命題為真命題，需要推理證明；判斷一個命題是假命題，只

需舉出反例即可.

(3)根據(jù)“原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假”這一性

質(zhì)，當一個命題直接判斷不易進行時，可轉(zhuǎn)化為判斷其等價命題的真假.

通常規(guī)定.

5.充分條件、必要條件的三種判定方法

(1)定義法：根據(jù)尸進行判斷，適用于定義、定理判斷性問題.

(2)集合法：根據(jù)p,q對應的集合之間的包含關(guān)系進行判斷，多適用于

命題中涉及字母范圍的推斷問題.

(3)等價轉(zhuǎn)化法：根據(jù)一個命題與其逆否命題的等價性進行判斷，適用于

條件和結(jié)論帶有否定性詞語的命題.

6.全稱量詞命題

(1)判斷一個命題是否為全稱量詞命題，主要看命題中是否有“所有的，

任意一個，一切，每一個，任給”等表示全體的量詞，有些命題的全稱量詞

是隱藏的，要仔細辨別.

(2)判斷真假時用直接法或間接法，直接法就是對陳述的集合中每一個元

素都要使結(jié)論成立，間接法就是找到一個元素使結(jié)論不成立即可判斷命題

是假命題.

7.存在量詞命題

(1)判斷一個命題是否為存在量詞命題，主要看命題中是否有“存在一個,

至少有一個，有些，有一個，對某些，有的”等表示部分的量詞，有些命題

的存在量詞是隱藏的，要仔細辨別.

(2)判斷真假時用直接法或間接法，直接法就是對陳述的集合中有一個元

素使結(jié)論成立即可判斷命題是真命題，間接法就是對集合中所有的元素使

結(jié)論不成立可判斷命題是假命題.

i.分式不等式

（i）分式不等式指的是含有分式的數(shù)學不等式.

（2）解分式不等式時，關(guān)鍵是注意分母不為零.

2.絕對值不等式

(1)-c<ax+b<c.

(2)\ax+b\>c^ax-^-b>c或ax+b<-c.

(3)\x-a\+\x-b\>c(c〉0)-tz|+|x-b\<c(c>0)型不等式的解法.

題型1充分條件與必要條件

【典例1]（2024?沙坪壩區(qū)校級開學）子曰：“工欲善其事，必先利其器.”這句

名言最早出自于《論語?衛(wèi)靈公》此名言中的“善其事”是“利其器”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義，結(jié)合題意得到答案.

【解答】解：從邏輯上講，工匠把活作好了，必然有銳利的工具，但有了銳

利的工具，不一定能把活做好，

“善其事”是“利其器”的充分不必要條件.

故選：A.

【典例2】（2024?興寧市校級開學）已知條件p：|x+l|〉2,條件q：5x-6>f,

則q是p的（）

A.既不充分也不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.充分不必要條件

【答案】D

【分析】先解不等式求出命題Qq中變量的范圍，再利用充分、必要條件的

定義判定選項即可.

【解答】解：由|x+l|>2nx+l>2或x+l<-2,解得?：{xk>l}U{x|x<-3},

由5x-6>f=>（x-2）（x-3）<0,解得q：{.r|2<x<3},

顯然{尤|2<尤V3}是{小>1}U{小V-3}的真子集,

所以命題q是p的充分不必要條件.

故選：D.

【典例3】（多選）（2023秋?牡丹區(qū)校級期末）下歹U“若p,則形式的命題中，

〃是q的必要條件的是（）

A.若兩個三角形全等，則這兩個三角形相似

B.若x>5,則x>10

C.右ac=be,則u~b

D.若0<x<5,則卜-1|<1

【答案】BCD

【分析】根據(jù)充分必要條件的意義即可判斷出結(jié)論.

【解答】解：A.兩個三角形全等=這兩個三角形相似，反之，不成立，故p

是q的充分條件；

B.p：x>5,q：x>10,p推不出q,由q=p.故p是q的必要條件；

C.p：ac=bc,q：a=b,2推不出q,由故p是q的必要條件；

D.|x-1|<1<=>0<X<2,p：0<x<5>q：0<x<2,p推不出q,由故

〃是q的必要條件；

???只有3,C,。中p是q的必要條件.

故選：BCD.

題型2由充分條件與必要條件求參數(shù)

【典例4】（2024?揚州開學）若不等式|x+l|Va成立的充分條件是0<無<4,則實

數(shù)。的取值范圍是（）

A.a<-\B.a<5C.d>-\D.a>5

【答案】D

【分析】先分情況求不等式|x+l|<。的解集，再根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)a

的取值范圍.

【解答】解：設(shè)不等式|x+l|<a的解集為A,B=（0,4）,

因為不等式|x+l|<a成立的充分條件是0<x<4,所以BQA,

所以A翔，所以。>0.

由|x+l|<a=-a<x+l<a-a-l<x<a-1,所以A=（-a-1,a-1）.

由些A可得廠a二3°,解得近5.

故選：D.

【典例5]（2024?東?？h校級開學）已知團表示不大于x的最大整數(shù)，A={y|y

=x-[x]},B=[y\0<y<m},若y?A是yCB的充分不必要條件，則機的取值

范圍是.

【答案】口,+oo）.

【分析】先求出集合A,再由充分不必要的定義以及集合之間的包含關(guān)系即可

求解.

【解答】解：對于集合A={y|y=x-印},

不失一般性我們不妨設(shè)仁%<左+1,(左GZ),

此時由印的定義可知，有OWy=x-[x]=x-k<l,

所以A={y|y=x-[%]}={^|0<y<1},

若ydA是的充分不必要條件，則A是8,

所以加的取值范圍是[1,+co).

故答案為：[1,+oo).

【典例6】(2023秋?萍鄉(xiāng)期末)已知a?R,集合A={x|a-1W左2a+l},B={x\

-3<A<3}.

(1)若a=2,求(CRA)AB；

(2)若是的充分不必要條件，求實數(shù)。的取值范圍.

【答案】(1)(CRA)QB={X\-3<x<l};

(2)[-2,1].

【分析】(1)由已知求得集合A,CRA,由交集運算即可得出結(jié)果.

(2)根據(jù)已知條件得集合A是集合3的真子集，列出不等式，求解即可.

【解答】解：(1)當。=2時，A={x|l<x<5},得CRA={RX<1或x>5},

所以(CRA)nB={x\-3<x<l}；

(2)由題知，集合A是集合3的真子集，

由題意得，A#0,則2a+l>a-1,BPd>-2,

且滿足[3H，兩式不能同時取等號，解得-2%3，

綜上，實數(shù)a的取值范圍為[-2,1].

題型3充分條件、必要條件的應用

【典例7](2023秋?百色期末)“方程爐+2%+。=0有兩個不等實數(shù)根”的一個充分

不必要條件是()

A.〃V2B.C.a<0D.a<\

【答案】c

【分析】先求出。的范圍，再根據(jù)充分不必要條件的概念得答案即可.

【解答】解：由f+2x+a=0有兩個不等實數(shù)根得A=4-4a>0,解得a<l,

觀察選項可得“方程x2+2x+a=0有兩個不等實數(shù)根”的一個充分不必要條件是

故選：C.

【典例8】（2023秋?咸陽期末）”不等式mx2+x+4m>0在R上恒成立”的一個必

要不充分條件是（）

1111

A.m>-rB.0<m<-rC.m>QD.m<Q

q40o

【答案】c

【分析】由已知得出實數(shù)機的取值范圍，結(jié)合選項可得答案.

【解答】解：不等式機>0在R上恒成立，且當網(wǎng)=0不滿足題意，

(m>0解得租〉"

U=1-16m2<04,

選項A,是充要條件，A錯誤；

選項3,由推不出0<機<1,B錯誤;

選項C,由今m〉需反之不能推出，C正確；

41O

選項。，由mV、推不出機>2,D錯誤.

故選：C.

【典例9]（2023秋?雙塔區(qū)校級期末）已知集合4={x|a-稱VXVM+1},B=

{X\2J^+X-3>0}.

（1）若是的充分不必要條件，求實數(shù)機的取值范圍；

（2）若集合AC（CRB）中只含有兩個整數(shù)元素且這兩個元素非負，求實數(shù)機

的取值范圍.

【答案】（1）（-00,-1]U[|,+OO）;

1

（2）（0,1）.

【分析】（1）根據(jù)充分不必要條件的定義得到A是3的真子集，然后列不等

式求解即可；

（2）根據(jù)集合CRB得到整數(shù)元素為-1,0,1中的兩個,然后根據(jù)集合AC（CRB）

中只含有兩個整數(shù)元素且這兩個元素非負列不等式求解.

【解答】解：（1）B={x|2/+久-3>0}={用xV—搟或x>1},

根據(jù)充分不必要條件的定義可知A是3的真子集，

所以m+1<-1或m—|>1,解得m<-搟或m>|,

故實數(shù)機的取值范圍為（-8,-1]u[|,+OO）.

（2）由⑴可知，CRB={X|-狂久W1},則CR3中含有整數(shù)元素T,0,1,

7n

由集合AMCRB）中只含有兩個整數(shù)元素且這兩個元素非負知了4-2〈°,

+1>1

解得0<m

故實數(shù)機的取值范圍為（0,I）.

題型4命題真假的判斷

【典例10]（2023秋?瀘州期末）下列命題的否定是真命題的是（）

A.每個正方形都是平行四邊形

B.Vx?{y|y是無理數(shù)},X3是無理數(shù)

C.Vm2+1EN

D.VaGR,關(guān)于x的方程ax-1=0有實數(shù)根

【答案】B

【分析】由已知結(jié)合命題的真假及否定的真假關(guān)系檢驗各選項即可判斷.

【解答】解：每個正方形都是平行四邊形為真命題，故否定為假命題，A不符

合題意；

當》=邁時，3顯然為假命題，故否定為真命題；

當機=0時，Vl+m2=1￡N,C為真命題，故否定為假命題；

因為A=a2+4>0恒成立，即關(guān)于x的方程x2-ax-1=0有實數(shù)根，命題為真

命題，否定為假命題.

故選：B.

【典例11]（2024?青秀區(qū)校級開學）已知命題p-.VxER,rJ3,命題q：3x

GR,x2-5x+4=0,則下列命題中為真命題的是（）

A.p,qB.-'p,qC.p,-'qD.~'p,-'q

【答案】B

【分析】分別判斷命題p與q的真假性，逐個選項分析可得答案.

【解答】解：對于命題p：采用特殊值法，取x=-l,可知"為假命題，p

為真命題；

2—

對于命題qz當xo=1時，%05%0+4=0成立，故q為真命題，「q為假命題.

故選：B.

【典例12］（2024春?傅州校級期末）下列命題中為真命題的是（）

A.pi：x2+l<0B.pixV%￡R,x+|x|>0

C.p3：Vx^Z,|x|￡ND.p4：x2-7x+15=0

【答案】C

【分析】對A：由d+GiX）判斷命題為假；對公當冗=0時命題不成立；

對C：由Z及N關(guān)系判斷命題為真；對。：由A=72-4xl5V0判斷命題為假.

【解答】解：X2+G1>0,故pi是假命題；

當％=0時,x+|x|=0,故P2是假命題；

|x|￡N,故p3是真命題；

方程d-7x+15=0中A=72-4X15V0,此方程無解，故p4是假命題.

故選：C.

題型5命題的否定

2,,

【典例13］（2023秋?富平縣校級期末）關(guān)于命題p：叼x?N,6X-7x+2<0）下

列判斷正確的是（）

A.該命題是全稱量詞命題，且為假命題

B.該命題是存在量詞命題，且為真命題

C.「p：6A2-7x+2>0

D."'p：6X2-7x+2>0

【答案】C

【分析】解不等式判斷命題的真假，結(jié)合存在量詞命題的概念及存在量詞命

題的否定為全稱量詞命題得出答案.

【解答】解：命題p為存在量詞命題，由6X2-7x+2<0,得］<x<-,所以

為假命題.

命題p的否定Y：VxEN,6X2-7x+2>0.

故選：C.

【典例14］（多選）（2023秋?瀏陽市期末）已知兩個命題：（1）若x>0,則2x+l

>5；（2）若四邊形為等腰梯形，則這個四邊形的對角線相等.則下列說法正

確的是（）

A.命題（2）是全稱量詞命題

B.命題（1）的否定為：存在x>0,2x+l<5

C.命題（2）的否定是：存在四邊形不是等腰梯形，這個四邊形的對角線不

相等

D.命題（1）和（2）被否定后，都是真命題

【答案】AB

【分析】根據(jù)題意，利用含有量詞的命題及其否定形式，對各項中的結(jié)論逐

一判斷，即可得到本題的答案.

【解答】解：命題（2）是對所有等腰梯形的一個論述，故它是全稱量詞命題，

A項正確；

命題（1）的否定為：存在x>0,2x+l<5,符合含有量詞的命題的否定法則，

B正確；

命題（2）的否定是：有的等腰梯形的對角線不相等，與C項含義不同，故C

不正確；

由于（2）是真命題，所以（2）否定后是假命題，故。不正確.

故選：AB.

【典例15］（2024?興寧市校級開學）命題mxGRd+Bx-名0的否定是.

【答案】Vx?R,x2+3x-4>0.

【分析】利用特稱命題的否定形式回答即可.

【解答】解：命題叼xGR,f+3x-4W0”的否定形式是“Vx?R,x2+3x-4>0,,.

故答案為：VxGR,x^+3x-4>0.

題型6由命題的真假求參數(shù)

【典例16]（2024?臨洪縣開學）已知命題“如?？?1,1],-%02+3猶+0>0，，為真

命題，則實數(shù)a的取值范圍是（）

A.（一co,一2）B.（一co,4）C.（一2,+co）D.（4,+co）

【答案】C

【分析】由題知次可-1,1]時，（詔-3%。）7n譏，再根據(jù)二次函數(shù)求最值即

可得答案.

【解答】解：因為命題Txo￡[-1,1],-詔+3%o+a>0”為真命題,

所以命題'勺尤o￡[-1,1],@>詔-3&"為真命題,

所以％o￡[-l,1]時,a>（%n-3x0）min,

9

22

X3%-

4

所以當1,1]時，V”加=-2,當且僅當x=l時取得等號，

所以xoG[-l,1]時,a>（xg-3x0）min=-2,

即實數(shù)。的取值范圍是（-2,+oo）.

故選：C.

【典例17]（多選）（2024秋?古田縣校級期中）已知命題p-.vxe[0,V3],a>jr,

命題q：x2+4x+a=0,若命題p與命題q一真一假，則實數(shù)