2024-2025學(xué)年人教版九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期復(fù)習(xí)：旋轉(zhuǎn)中的最值模型（費馬點模型）解析版

旋轉(zhuǎn)中的最值模型（費馬點模型）

【知識點歸納】

費馬點模型：如圖，在^ABC內(nèi)部找到一點P,使得PA+PB+PC的值最小.

A

當(dāng)點P滿足/APB=/BPC=/CPA=120°,則PA+PB+PC的值最小，P點稱為三角形的費

馬點.

特別地，^ABC中，最大的角要小于120°,若最大的角大于或等于120°,此時費馬點就是

最大角的頂點A

（這種情況一般不考，通常三角形的最大頂角都小于120。）

費馬點的性質(zhì)：

1.費馬點到三角形三個頂點距離之和最小。

2.費馬點連接三頂點所成的三夾角皆為120。。

費馬點最小值解法：以^ABC任意一邊為邊向外作等邊三角形，這條邊所對兩頂點的距離即

為最小值

證明過程：

將aAPC邊以A為頂點逆時針旋轉(zhuǎn)60。,得到AQE,連接PQ,則4APQ為等邊三角形,PA=PQ。

即PA+PB+PC=PQ+PB+PC,當(dāng)B、P、Q、E四點共線時取得最小值BE

【例題精講】

例1.（等邊三角形費馬點）如圖，在ZUBC中，AB=3,AC=2,NA4c=60。，P為AABC

內(nèi)一點，則PA+PB+PC的最小值為.

【答案】M

【分析】將4APB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60。，得到△4P?,連接尸P、CB,作CNLB力交BN

的延長線于點N,則aNP夕三4APB,由題意可證是等邊三角形，所以

PA+PB+PC=PC+PP'+P'B',所以當(dāng)3'、P'、P、C共線時，PA+PB+PC=B'C最小,

求出B'C=SJB'N2+CN2=而即可；

【詳解】將4APB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60。，得到△,連接PP、CB,作CNLBN交

的延長線于點N,

則三4APB,

.?.NBAP=N8'/P,

AB'=AB=3,AP'=AP,ZB/^ZPAP=60°,

???△P'AP是等邊三角形，

AP'=AP=PP',

PA+PB+PC=PC+PP'+P'B',

當(dāng)8'、P、P、C共線時，P4+PB+PC=B'C最小,

.■,AC/XN=1SO°-^BAB,-ZBAC=60°,CN1AN,

.?,ZACN=30o,

AN=^AC=\,CN=^>AN=73,

B'N=AB'+AN=3+1=4,

B'C=yjB'N2+CN2=y/19，

PA+PB+PC=B'C=419;

故答案為：V19.

R

【點睛】本題考查了全等三角形判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，以及等邊三角形的性質(zhì)和求線段

最值的問題，掌握做輔助線是解題的關(guān)鍵.

例2.（直角三角形費馬點）如圖，已知RtA48C中，AABC=90°,ZACB=3O°,斜邊NC=

4,點尸是三角形內(nèi)的一動點，則P/+P8+PC的最小值是.

【答案】2療

【分析】將△8CP繞點8順時針旋轉(zhuǎn)60。得到△8HG,連接尸〃，AG,過點G作48的垂線,

交N8的延長線于N.證明△P如是等邊三角形，得PH=BP,所以

PA+PB+PC=PA+PH+HG,推出當(dāng)/,P,G,，'共線時，P/+P8+PC的值最小，最小

值二/G的長，再運用勾股定理求出NG的長即可.

【詳解】解：將△BCP繞點8順時針旋轉(zhuǎn)60。得到△以/G,連接PH,AG,過點G作的

AABC=90°,ZACB=30°,AC=4

AB=2,

由勾股定理得：BC=YIAC2-AB2=2V3

?.?將△3CP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60。得到△8，G,

BPC三ABHG

：.BP=BH/PBH=60°,HG=PC,BC=BG=2拒,zPBC=ZGBH

是等邊三角形,

PH=BP

：.PA+PB+PC=PA+PH+HG

???當(dāng)點/，點尸，點G,點〃共線時，P/+7W+HG有最小值，最小值為/G,

?■?ZABP+NPBH+ZGBH=ZABP+ZPBC+ZCBH=150°

?,24BG=150°

"GBN=3?

■：GN_LAB

：.GN=LBG=、2也=出,

22

由勾股定理得，BN=yjBG2-NG2=7（2A/3）2-（V3）2=3

AN=AB+BN=2+3=5

AG=y/AN2+NG2=125+3=277

PA+PB+PC最小值為2幣

故答案為：2近

【點睛】本題考查了勾股定理，旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是

利用旋轉(zhuǎn)變換添加輔助線，用轉(zhuǎn)化的思想思考問題.

例3.（費馬點進階-平移與旋轉(zhuǎn)綜合）如圖，點。，￡是A4BC內(nèi)的兩點，且DE//4B,連

結(jié)AD,BE,CE.若4B=9Q,DE=20,3c=10,UBC=75。,則AD+BE+CE的最小

值為.

【答案】13后

【分析】過E點作斯//4D交于尸，將A5E尸繞點8逆時針旋轉(zhuǎn)60。，得到△BEF,過

尸作尸交C2延長線于則ABEE"都是等邊三角形，可判斷四邊形4FED

是平行四邊形，由已知分別可求/尸=2及，BF=14i,則BE=EE',BF'=BF=】叵,所以

AD=EF=E'F',貝l]/D+8E+CE=CE+EE，+EF,當(dāng)C、E、E'、F共線時，AD+BE+CE

有最小值為CP的長，再由48C=75。，NFBF'=60。，可得NC8F=135。，ZBF'H=45°,在

22

RtAD'MP中，HF'=HB=^-BF'=7,在此△CF7/中，CF'=y/CH+F'H=13V2）則

AD+BE+CE的最小值為13垃.

【詳解】解：過E點、作EF//AD交4B于F,將ASE尸繞點8逆時針旋轉(zhuǎn)60。，得到

ABE'F',過，作尸'H_L3C交C8延長線于H,

:.ABEE，,A5EF'都是等邊三角形，

〃/B,.?.四邊形是平行四邊形，

?:DE=2近，:.AF=26,

■：AB=972，BF=772,

BE=EE',BF'=BF=772,

AD=EF=E'F',AD+BE+CE=CE+EE'+E'F',

，當(dāng)C、E、￡'、尸'共線時，/D+8E+CE有最小值為CP的長，

ZABC=75°,NFBF'=60°,

NC3尸'=135。，ZBF'H=45°,

在中,HF'=HB=—BF'=—xly/2=7,

22

在RtACPH中,CF'=ylCH2+F'H2=V172+72=1372>.?.AD+EE+CE的最小值為13五，

故答案為13夜.

【點睛】本題考查軸對稱求最短距離，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)，通過構(gòu)造平行四邊形、旋轉(zhuǎn)

三角形，確定AD+BE+CE有最小值為C尸的長是解題的關(guān)鍵.

3

例4.（加權(quán)費馬點）如圖，RtZ\/8C中，ZCAB=3Q°,BC=萬，點尸為△ABC內(nèi)一點,

連接PA,PB,PC,貝!j尸。+尸8+43PA的最小值為.

【答案】|V13

【分析】作輔助線如詳解圖，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理可求得DP=gNP，于是

所求PC+PB+sfiPA的最小值轉(zhuǎn)化為求DE+PD+PB的最小值，根據(jù)兩點之間線段最短可

得。E+尸。+尸5的最小值即為線段砂的長，然后求出EB的長即可解決問題.

【詳解】解:將尸繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)120。,得到△/￡￡>,連接DP,EB,過點E作后尸_LBA

交"的延長線于點R過點/作NMLOP于點加，如圖，

則AD=AP,DE=CP,ZDAP=120°,ZEAC=120°,

???AM1DP,

DM=PM,NADM=NAPM=30°,

.-.AM=-AP,

2

???PM=y/AP2-AM2=—AP,

2

???DP=2PM=&P,

■-PC+PB+43PA=DE+PD+PB>EB,即PC+P8+的最小值為￡3的長（當(dāng)點￡、

D、P、2四點共線時取最小值），

3

???RtZXNBC中，ZCAB=30°,BC=—,

2

?-.AB=2BC=3,AC=一百,

2

???/CAB=30°,ZEAC=120°,

/.ZEAF=30°f

則在直角三角形/跖中，EF=-AE=—,AF=y/3EF=-,

244

■■BE=^BF2+EF2=

故答案為：—V13.

【點睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及兩點之間線段最短等知

識，靈活運用旋轉(zhuǎn)的方法將所求PC+PB+CPA的最小值轉(zhuǎn)化為求DE+PD+PB的最小值

是解題的關(guān)鍵.

例5.（雙旋轉(zhuǎn)模型）如圖，設(shè)己。是邊長為1的正方形內(nèi)的兩個點，則

AP+BP+PQ+QC+QD的最小值為.

AK--------------------Q

【答案】1+V3/V3+1

【分析】將A4PB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°至OAPB',將△OQC繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)60°至

△DQ'C',則A/尸尸’和AD00'是正三角形，進而可證當(dāng)",P,P,0,0'C六點共線時

ZP+2P+P2+C0+D。的值最小.連接貝限/8夕和△CDC是等邊三角形，然后

分別求出B'E,EF,C'F的值即可.

【詳解】解：將AAPB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°至OAP'B'；將△OQC繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)60°

至ADQC,

B'P'=BP,AP=AP,CQ=CQ',DQ=DQ',

AAPP'和都是等邊三角形，

.-.P'P=AP,CQ=C'Q',QD=Q'D',

AP+BP+PQ+CQ+DQ

=B'P'+P'P+PQ+QQ'+Q'C,

.?.當(dāng)B',P',P,Q,C'六點共線時NP+3P+尸。+C0+的值最小.

連接8/CC,

AB'=AB,/B'AB=60°,

AABB'是等邊三角形，

.■B'在AB的垂直平分線上，

同理可證CC'=DC'=1,

.■.C在CD的垂直平分線上，

?.?四邊形是正方形，

AB//CD,

??.B'C'垂直平分/及CD,

^AB'E=30°,四邊形AEFD是矩形,

AE=-AB'——,EF=AD=1,

22

同理可求C'F=L,B'C=B'E+EF+C'F=\+y/3,

2

即“尸+32+尸。+。。+。0的值最小為1+JL

故答案為：1+

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，線段垂直平分線的判定,

等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵.

例6.(培優(yōu)綜合)在口中，乙43c=45。，連接/C,已知/8=/。=后，點E在線

段NC上，將線段DE繞點。順時針旋轉(zhuǎn)90°為線段上.

圖I圖2圖3

(1)如圖1,線段/C與線段3。的交點和點￡重合，連接￡尸，求線段E尸的長度；

⑵如圖2,點G為。C延長線上一點，使得GC=EC,連接尸G交于點求證：

42AH=CD；

(3)如圖3,在(2)的條件下，平面內(nèi)一點尸，當(dāng)HP+CP+VlB尸最小時，求△*>8的面積.

【答案】(1)￡尸=石

(2)見解析

(3)S、HPB=百

【分析】(1)作。GL8C,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，得到8c=2,

DG=CG=1,在RtZXBG。中，應(yīng)用勾股定理，求出8D的長，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到

切的長，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，即可求解，

(2)連接ZG,AF,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)與判定得到AGC42AECO(SAS),GA=ED,

NGAC=NEDC,結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到G/=ED,GA//FD,根據(jù)平行四邊形的判定得到,

口/GD尸，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到ZH的長度，即可求解，

(3)將—PC繞點8順時針旋轉(zhuǎn)90。，得到△8PU,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，根據(jù)兩點之間線

段最短，得到HP+CP+6BP=HP+CP+PP4CH,當(dāng)尸'尸在線段C77上時取得最小值,

作A71PP,根據(jù)等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，得到IB=L4=aAB=1,在Rt/C7/

2

中，應(yīng)用勾股定理得到，IC=3,IH=2,C'H=4U,由S.BC，H=；C'H-BJ=：BC'"H'

得至UBJ=,

13

在RtA"H中，得至I]8H=?，在中，得至=尸〃=獨3,根據(jù)

1313

S.HPB=^PH-BJ,即可求解,

本題考查了，平行四邊形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理,

全等三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是：通過旋轉(zhuǎn)A8PC得到

HP+CP+y/2BP=HP+C'P'+P'P<C'H.

【詳解】(1)解：過點。作DGL8C,交3c延長線于點G,

ZACB=ZABC=45°,ABAC=90°,

■BC=6AB=>/2xV2=2,

nABCD,

■■.ZDCG=ZABC=45°,CD=AB=^,ED=^BD,

DG1BC,

DG=CG=—CD=—x>/2=1,

22

在RtZ"G。中，BG=BC+CD=2+\=3>,BD=^BG2+DG2=A/32+12=V10>

???￡,￡)=-SB=-xVT0=—,

222

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：ED=FD,ED1.FD,

??.△ED尸是等腰直角三角形，

???EF=6ED=V2x—=75，

2

故答案為：EF=4i,

(2)解：連接/G,AF,

G

VABAC=90°,AB//CD,

AC±GD,ZGCA=NECD=90°,

又?:GC=EC,AC=DC,

AGCA^AECD(SAS),

GA=ED,zGAC=/EDC,

,:ED=FD,EDLFD,

/.GA=FD,ZAGC+ZGDF=900-ZGAC+ZEDC+90°=1S00,

：.GA//FD,

???四邊形ZGDR是平行四邊形，

AH=—AD=—x2=1,

22

■-42AH=42xl=CD,

二也AH=CD，

(3)解：將AAPC繞點3順時針旋轉(zhuǎn)90。，得到△3P。，連接C'H,

F

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，CP'=CP,BP'=BP,ZPBP'=90°,

■■P'P=y/2BP,

???HP+CP+叵BP=HP+CP'+P'P<C'H，當(dāng)P'P在線段CH上時取得最小值,

延長CB與Q4延長線交于點/,過點3作尸于點J,連接

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，BC'=BC=2,NPBP'=90。，

AD//BC,

AAIB=90°,NlAB=NABC=45°,

；.IB=L4=?AB=立乂血=\,

22

在RtA/C月中，IC'=IB+BC'=l+2=3,IH=IA+AH=\+\=2,

CH=yllC'2+IH2=A/32+22=V13，

解得:八警

■■S.?=-C'HBJ=-BC'IH,即：S,?=-X413-BJ=-X2X2

△oRcCn22AOCnRR2'2

在RtA"H中，BH=J?+㈤2="+展=#,,

在田中,-BJ-=

7^/134V133V13

■PHJH-PJ

f-13

SEB=3物,即=4、誓*警=(

故答案為：SAHPB=?

【課后訓(xùn)練】

1.如圖，在△4BC中，NR4C=90。,48=5,/。=26，點P為△ABC內(nèi)部一點，則點尸到

△4BC三個頂點之和的最小值是.

【答案】V67

【分析】將A/AP繞著點N順時針旋轉(zhuǎn)60。，得到△/￡〃，連接￡尸，CH,過點C作

CNLAH,交HA的延長線于N,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得NR4尸=,AE=AP,AH=AB=5,

Z.BAH=60°,BP=HE,易得△/￡尸是等邊三角形，可得4E=4P=EP,進而得到

AP+BP+PC=EP+EH+PC,當(dāng)點，、E、P、C共線時，AP+BP+PCHC,

再求出CN和加的長度，由勾股定理可求解.

【詳解】解：將繞著點/順時針旋轉(zhuǎn)60。，得到△/￡〃，連接呼，CH,過點C作

CN1AH,交際的延長線于N,

ZBAP=ZHAE,AE=AP,AH=AB=5,ZBAH=60°,BP=HE,

；.NHAB=NEAP=60°,

.?.△ZEP是等邊三角形，

?*.AE=AP=EP,

??.AP+BP+PC=EP+EH+PC,

.?.當(dāng)點〃、E、P、C共線時，AP+BP+PCHC.

■.■ZNAC=180°-/BAH-ABAC=180°-60°-90°=30°,AC=2。,

：.CN=-AC=^,

2

AN=《AC2-CN2=12可一(@2=3,

:.HN=AH+AN=5+3=8.

在RtACAW中，CH=yjHN2+CN2=,8?+（若了=屈,

即點P到ZUBC三個頂點之和的最小值是質(zhì).

故答案為：V67.

【點睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定

理，直角三角形的性質(zhì)，構(gòu)造旋轉(zhuǎn)圖形是本題的關(guān)鍵.

2.如圖，在中，44c3=90。，NR4c=30。，AB=^-如果在三角形內(nèi)部有一

條動線段且ACV=。，貝U/N+3朋r+CN的最小值為.

【答案】3收

【分析】在8c上取一點夕，使得89=上W=6，連接9N.首先證明

AN+BM+CN=TG+GN+B'N,將"NC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到AGCT,連接NG,

過點T作汨12c交2c的延長線于要使/N+3M+CN的值最小，需點？、N、G、T

四點共線.連接87,則其就是所求最小值，求出87可得結(jié)論.

【詳解】解：如圖，在BC上取一點3',使得BB，=MN=6連接BW,將ANNC繞點C

逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到AGCT,連接NG,過點7作7HL8C交8c的延長線于

,:MN〃BC,MN=BB',

二四邊形MNBB'是平行四邊形，

BM=B'N.

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，ACNG和A/CT都是等邊三角形，

CN=GN,AN=GT.

：.AN+BM+CN=TG+GN+B'N.

要使4N+3M+CN的值最小，需點？、N、G、7四點共線.連接37,則其就是所求最小

值.

???RtZ"8C中，ZACB=90°,AB=8瓜.

BC=3aB=--8^3=4#I,AC=\[3BC=V3X4A/3=12.

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：CT=/C=12,4c7=60。，

.??/TC"=90°-60°=30°,

在.Rt&CTH中,TH=—CT=—x12=6,CH=\[?>TH=6A/3,

B'C=SC-55,=473-73=373.

B'H=CH+C3,=6g+3g=95

B'T=4TH2+B'H2=舊+(9⑹°=3731.

.?./N+8M+CN的最小值是3用.

故答案為：3后.

【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換，30度角所對的直角邊等于斜邊

的一半，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，兩點之間線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)

會利用旋轉(zhuǎn)法添加輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題.

3.如圖，點可是矩形4BC。內(nèi)一點，且48=5,40=7,N為邊BC上一點、,連接

MA,MD,MN,則M4+M3+MN的最小值為.

【答案】5+1V3

【分析】將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到連接。MM',根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性

質(zhì)得A4DD’為等邊三角形，同理為等邊三角形，進而有

MA+MD+MN=MM'+M'D'+MN,當(dāng)線段初7/、MM'.三條線段在同一直線上，且

該直線與垂直時，M4+MD+MN的值最小，問題隨之得解.

【詳解】解：如圖所示，將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到△/DM，，連接

MM',

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)有：ZDAD'=60°,40=40',MD=M'D',

:.AADD'為等邊三角形，

同理△4W為等邊三角形，

:.AM=AM'=MM',AD=AD'=DD'=8,

:.MA+MD+MN=MM'+M'D'+MN,

，當(dāng)線段MZr、MM'.MN三條線段在同一直線上，且該直線與5C垂直時,

W+MD+MN的值最小，

即M4++MN的值最小，

如圖，過點。，作D'ELBC于點￡,交AD于點、F,

即K4+MD+MV最小值為:D'E,

在矩形4BCD中，D'ELBC于點、E,

即可知四邊形4B即是矩形，D'EIAD,即N5=EF=5,

???AADD'為等邊三角形，D'F±AD,

17

AF=FD=-AD=-,

22

_________r

：.DfF=ylD,A2-AF2=-V3,:.D，E=EF+D，F(xiàn)=5+℃,

22

7

:.MA+MD+MN的最小值為5+-G,

2

故答案為：5+—V3.

【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定性質(zhì)與性質(zhì)，勾股定

理，垂線段最短等知識，作出合理的輔助線是解答本題的關(guān)鍵.

4.如圖，P為正方形/BCD內(nèi)的動點，若48=2,則尸N+P3+PC的最小值為.

【答案】V2+V6/>/6+V2

【分析】先將△2PC繞點3順時針旋轉(zhuǎn)60。，得到△3PC,延長48,過C作CE1A8交延

長線于E,得出，當(dāng)點4P、P'、C'共線時，PZ+PB+PC有最小值是4C的長，利用30。直角

三角形性質(zhì)可求EC'=；8C'=；x2=l,根據(jù)勾股定理8E=VL/￡=2+6，

AC=ylEC'2+AE2^2+46即可?

【詳解】解：將△8PC繞點3順時針旋轉(zhuǎn)60。，得到△8PC,延長過C作CEUB交

延長線于E,

??.△BPC三ABPC,乙尸BP=60°,

:,BP=BP;乙PBP=60°,

??.△BPP是等邊三角形,

.\PC=PC,乙PBC—PBC,BC=BC=2,

:.BP=PP\

??.PA+PB+PC=AP+PP+PC,

???當(dāng)點/、點尸、點P、點C在共線時，尸/+必+PC有最小值，最小值是4c的長,

?，BP+乙PBP+VBC』60°+05尸+乙尸5C=60°+zJBC=600+90°=150°,

??z￡BC=30°,

在RtABC'E中

.-.EC=-BC'=-X2^1,

22

■■BE=^BC"-EC'1=倉-J=V3，

???AE=2+G,

在RtA4C'E中

AC=yjEC'2+AE2=^l2+(2+V3)2=,+4君=?6+峋°=42+46

故答案為：A/2+V6.

【點睛】本題考查正方形性質(zhì)，圖形旋轉(zhuǎn)，等邊三角形判定與性質(zhì)，四點共線，30。直角三

角形性質(zhì)，勾股定理，本題難度較大，涉及知識多，利用輔助線構(gòu)造準(zhǔn)確圖形是解題關(guān)鍵.

5.已知，點。是等邊△ABC內(nèi)的任一點，連接04OB、OC.

(1)如圖1,已知4403=150。，ZB0C=120°,將3OC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60。得

AADC.

①ZDAO的度數(shù)是；

②用等式表示線段。4,OB,0c之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

(2)設(shè)=ZBOC=/3.

①當(dāng)a,△滿足什么關(guān)系時，。/+。8+。(7有最小值？請在圖2中畫出符合條件的圖形，

并說明理由；

②若等邊&ABC的邊長為1,直接寫出0/+。8+0C的最小值.

【答案】(1)①90。；②。42+0B2=OC2.證明見解析

(2)①當(dāng)&=尸=120。時，O/+QB+OC有最小值，見解析；②為

【分析】(1)①根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、四邊形內(nèi)角和為360。計算即可；

②連接根據(jù)勾股定理解答；

(2)①將△/OC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60。得△HOC,連接。O',根據(jù)等邊三角形的

性質(zhì)解答；

②根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)計算.

【詳解】⑴解：①?.408=150°,ZBOC=120°,

ZAOC=90°,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，ZOCD=60°,ZADC=ZBOC=120°,

ZDAO=360°-60°-90°-120°=90°,

故答案為：90°；

②線段04,OB,OC之間的數(shù)量關(guān)系是。/2+052=。。2.

如圖1,連接OD.

???ROC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得△4DC,

圖I

:.AADCmABOC,ZOCD=60°.

:.CD=OC,ZADC=ZBOC=120°,AD=OB.

.?.△oc。是等邊三角形,

oc=OD=CD,ZCOD=ZCDO=60°,

■：AAOB=150°,2500=120°,

:.ZAOC=90°,

ZAOD=30°,ZADO=60°.

ZDAO=90°.

在RtA/QO中，ZDAO=90°,

OA2+AD2=OD2.

:.OA2+OB2=OC2.

(2)解：①如圖2,當(dāng)夕=尸=120。時，O/+O3+OC有最小值.

作圖如圖2,

如圖2,將△ZOC繞點。按順時針方向旋轉(zhuǎn)60。得△HOC,連接O。.

ZA'O'C=ZAOC.

AOCO'是等邊三角形.

；.OC=O'C=OO',ZCOO'=ZCO'O=60°.

ZAOB=ZBOC=120°,

ZAOC=ZA'O'C=120°.

Z￡OO'=ZOO'A'=180°.

，四點3,0,0,,H共線.

OA+OB+OC=O'A'+OB+OO'=BA'時值最??；

②當(dāng)?shù)冗匒ABC的邊長為1時，0/+08+OC的最小值A(chǔ)'B=y/3.

6.如圖，四邊形4BCA是平行四邊形，對角線工。,8。相交于點。，E在線段/C上.

(2)如圖2,若DMA.BC,DM=BM,延長BE交DM于點N,旦NM=MC,求證：

AD=6BD-DN；

⑶如圖3,若AD=4,AB=25ZABD=90。,P為△8。內(nèi)一點，請直接寫出PD+PC+P8

的最小值.

【答案】⑴2

⑵見解析

(3)2A/7

【分析】⑴根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得%或=；S"C=；電屜+%防)=4,從而

得到S.BEO=1S.8E=1，即可求解；

(2)延長DM至點R使尸A/=r)M,連接防，證明ABDM是等腰直角三角形，可得

BD=VBM2+DM1=CDM，NCBD=NBDM，進而得到DF=41BD，證明ABMN^ADMC,

可得/BNF=NBCD,然后證明ABCD之A/W,可得FN=8C,即可求證：

(3)取40的中點K,則88=。長=(/。=2,證明A3Z)K是等邊三角形，可得

NADB=60。,從而得到N/=N8CD=30。，把ABCP繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到ACG",連

接PG,DH,則CP=CG,N尸CG=N8S=60。,A3C尸絲A"CG,可得到APCG是等邊三角形,

從而得到尸G=PC,進而得到當(dāng)點。，P,G,〃四點共線時，尸。+尸。+尸3的值最小，最

小值為?！ǖ拈L，在中，由勾股定理，即可求解.

【詳解】（1）解：???四邊形N8CD是平行四邊形，$由=5$a=3

???S.AOB=S“OD=]S"BC=Q（S“BE+，CBE）-4,O是3。的中點,

—“OB-S“BE=1，

??.AE:OE=3:1,

,.?3V0DE-~1，

???。是BO的中點，

.v—vv—v_i_v—7v_7

,?3ODE~口AOBE，D^BED-U^ODETD^OBE~乙QAOBE~乙，

（2）證明：如圖，延長ZW至點R使月1/=。河，連接8尸，

AD

,:DMLBC,DM=BM,

???△5。河是等腰直角三角形，

???BD=yjBM2+DM2=?DM，/CBD=ZBDM=45°,BC垂直平分DF,

BD=BF,

；"F=ZBDM=ZCBD=45°,

/DBF=90°,

:?DF=?BD，

?：BM=DM,/BMN=/CMD=9。。,NM=MC,

；.ABMNQADMC,

."FNB=/BCD,

在ABCD和小FNB中，

vZFNB=ZBCD,BD=BF,/F=/CBD,

??.ABCDaFNB,

:.FN=BC,

???四邊形ABCD是平行四邊形，

???AD=BC=NF=DF—DN=?BD—DN;

(3)解：如圖，取3的中點K,則3K=OK=；/O=2,

?.?四邊形/BCD是平行四邊形，

CD=AB=273,NN=NBCD，

■:AABD=9Q°,

■-BD=^AD2-AB1=2>

BK=DK=BD,

.MBDK是等邊三角形,

NADB=60°,

N4=ZBCD=30°,

如圖，把ABCP繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到ACG",連接尸G,D”,則

CP=CG,NPCG=NBCH=60°,“BCPaHCG,

：.CH=BC=4,/DCH=NBCD+NBCH=90°,PB=GH,APCG是等邊三角形,

：.PG=PC,

■.PD+PC+PB=PD+PG+GH>DH,

即當(dāng)點D,P,G,X四點共線時，PD+PC+P8的值最小，最小值為?！ǖ拈L，

在RtZkOC"中，DH=+CH?=2占,

即PD+PC+PB的最小值為2幣.

【點睛】本題主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，圖形的

旋轉(zhuǎn)問題，直角三角形的性質(zhì)等知識，第(2)問得到ABCD義A/W,第(3)問利用旋轉(zhuǎn)

的性質(zhì)解答是解題的關(guān)鍵.

6.如圖，在△/BC中，ZBAC=90°,以8c為邊向上作正方形3CDE,以/C為邊作正方

形/C尸G,點。恰好在線段G尸上.

⑴若48的長度比少4,AC=8,求ZUBC的面積；

⑵求證：BG-DG=6EG；

⑶已知點尸是△48C內(nèi)一動點，且P不與A/BC的頂點和邊重合，在(1)的條件下，請直

接寫出尸/+尸8+y/2PC的最小值.

【答案】(1)24

⑵見解析

(3)2765

【分析】(1)設(shè)3C=x,則N8=x-4,根據(jù)勾股定理得出/一(X-4)2=82,求出x的值即

可；

(2)過點E作EH工EG交BG于H,證明AAEH之AOEGIASA),得出

EH=EG,BH=DG,根據(jù)HG=JEH。+EG=叵EG，即可求出結(jié)論；

(3)過點/作/GL8C于點G,將尸繞點。順時針旋轉(zhuǎn)90。到ACDE,連接PA,延

長BC,過點E作EFJ.BC于點尸,連接班，根據(jù)旋轉(zhuǎn)得出/PCD=//CE=90。，

CP=CD,AC=CE,DE=AP,根據(jù)勾股定理得出PD=[PC。+CD2=&PC，說明

PA+BP+4ipc=PB+PD+DE＞根據(jù)兩點之間線段最短，得出當(dāng)3、P、。、￡四點共線

時，PB+PD+DE最小,則P/+8P+也PC最小，根據(jù)勾股定理求出最小值即可.

【詳解】(1)解：設(shè)8C=x,則23=x—4,

???△/8C中，ABAC=90°,

■■BC2-AB2=AC2,

即X2-(X-4)2=82

解得x=10(負值舍去)

/.BC=10,=6,

.?.S,RC=-AB-AC=24-,

(2)證明：過點￡作即，EG交3G于"，如圖所示:

G

???/BED=/HEG=9。。,

.?"BED-ZHED=ZHEG-ZHED,

即/BEH=/DEG,

???ZEMG=/BED+/EBG=/BGD+ZGDE,/BED=ZBGD=90°,

："EBG=/GDE,

在和ZXOEG中，

ZBEH=/DEG

<BE=DE,

ZEBG=ZGDE

??.ABEHMADEG(ASA),

；.EH=EG,BH=DG,

???HG=NEH?+EG2=42EG，

；.BG=BH+HG=DG+?EG，

???BG-DG=42EG'.

(3)解：在(1)的條件下，BC=\^AB=6,AC=S,

過點Z作4GL5C于點G,將△/(?尸繞點。順時針旋轉(zhuǎn)90。到△(?",連接尸Q,延長5C,

過點E作斯」BC于點R連接正，如圖所示：

???ABAC=90°,

S￡八\ADB(C^=2—4BxAC=2—BCxAG,

ABxAC6x824

AG=

BC-~1o~~T

根據(jù)勾股定理得：CG￡AC-AG2=

根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知：NPCD=NACE=90。,CP=CD,AC=CE,DE=AP,

???PD=yjPC2+CD1=41PC，

■■PA+BP+也PC=PB+PD+DE>

???兩點之間線段最短，

.??當(dāng)2、P、D、E四點共線時，PB+PD+DE最小,則P/+AP+物C最小,

??.最小值為8E的長，

ZAGC=ZACE=ZEFC=90°,

ZACG+ZGAC=ZACG+ZECF=90°,

：.Z.GAC=ZECF,

■,■AC=CE=S,

：.AACG%CEF,

CF=AG——,EF=CG=—,

55

2474

,-.BF=BC+CF=10+—=—,

55

BE=yjBF2+CE2==2相

即PA+PB+41PC的最小值為2癡.

【點睛】本題主要考查了勾股定理，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的

性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出輔助線，熟練掌握三角形全等的判定方法.

7.(1)已知點E是正方形Z8CD邊必上的一點，連接8E.如圖1,把射線8E繞點2順時

針旋轉(zhuǎn)90。交。C的延長線于點尸，求證：AE=CF；

(2)邊長23=4把邊沿8E翻折.

①如圖2,若點尸落在對角線上，則/E=_；

②如圖3,點G在邊CD上，DG=1,連接4G、BG,當(dāng)點尸落在A/BG內(nèi)部時(不含邊

上)，線段羔長度的取值范圍為二

(3)如圖4,點M是正方形488內(nèi)一點，連接血4、MC,若/3=5,求M4+MC最小

值；

(4)如圖5,點M是矩形/BCD內(nèi)一點，連接枚,MC,若AB=26,8c=4,貝|

K4+MB+最小值為

【答案】(1)見解析；(2)①4亞-4;②1</E<2；(3)572(4)2布

【分析】(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，NEBF=90°,再根據(jù)正方形的性質(zhì)可得/8=8C,

ZA=ZDCB=ZBCF=90°,利用等量代換可得/ABE=NCBF,進而證明

^ABE^ACBF(ASA),即可證明；

(2)由折疊的性質(zhì)可得，AB=PB=4,AE=EP,ZA=ZEPB=90°,ZADB=45°,再

利用勾股定理求得再根據(jù)等腰直角三角形的判定可得阱=DP,再利用

AE=BD-BP,即可求解；

②當(dāng)點P落到/G上，由折疊的性質(zhì)可得，8E