2024-2025學(xué)年甘肅省高二上冊(cè)第一次月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（附解析）

2024-2025學(xué)年甘肅省高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷答題時(shí)間120分鐘滿分150分一?單選題：（本題共8小題，每小題5分，共40分，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求）1.已知數(shù)列，則是它的（）A第9項(xiàng) B.第10項(xiàng) C.第13項(xiàng) D.第12項(xiàng)【正確答案】C【分析】首先得出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后解方程即可求解.【詳解】數(shù)列，即數(shù)列的通項(xiàng)公式是，令，所以是它第13項(xiàng).故選：C.2.等比數(shù)列中，，則（）A.4 B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式求解即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列an的公比為，因?yàn)椋?，所以，所?故選：B.3.等差數(shù)列的前項(xiàng)和記為，若的值為一個(gè)確定的常數(shù)，則下列各數(shù)中也是常數(shù)的是（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】由等差數(shù)列通項(xiàng)公式可得，結(jié)合等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式判斷各項(xiàng)是否為常數(shù).【詳解】若等差數(shù)列公差為，則為常數(shù)，所以為常數(shù)，而，，均不確定為常數(shù).故選：C4.數(shù)列an中，，，且（），則為（）A.2 B.1 C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)遞推關(guān)系可得數(shù)列的周期性，即可求解.【詳解】由，，且可得……,所以為周期數(shù)列，且周期為6，故，故選：A5.已知等差數(shù)列與等差數(shù)列的前項(xiàng)和分別記為，若，則的值為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，.根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，若，則，對(duì)于本題，我們可以利用時(shí)與的關(guān)系以及與的關(guān)系來(lái)求解.【詳解】根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，當(dāng)時(shí)，.由等差數(shù)列性質(zhì)，所以.同理，對(duì)于數(shù)列，當(dāng)時(shí)，.又因?yàn)椋?已知，當(dāng)時(shí)，而，所以.故選：C.6.已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】依題意可得，再利用累乘法計(jì)算可得；【詳解】解：由，得，即，則，，，…，，由累乘法可得，所以，又，符合上式，所以.故選：D．7.我國(guó)的《洛書》中記載著世界上最古老的一個(gè)幻方，《洛書》上的圖案由個(gè)黑白圓點(diǎn)分別組合，擺成方形，南西東北分別有個(gè)點(diǎn)，四角各有個(gè)點(diǎn)，中間有個(gè)點(diǎn)，簡(jiǎn)化成如圖的方格，填好數(shù)字后各行、各列以及對(duì)角線上的3個(gè)數(shù)字之和都等于15．推廣到一般情況，將連續(xù)的正整數(shù)填入的方格中，使得每行、每列以及兩條對(duì)角線上的數(shù)字之和都相等，這樣一個(gè)階幻方就填好了，記階幻方對(duì)角線上的數(shù)字之和為，則的值為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】先求出階幻方中所有數(shù)字之和，再除以得對(duì)角線上的數(shù)字之和，再令可得結(jié)果.【詳解】階幻方由填入得到，填入的數(shù)字之和為，又因?yàn)殡A幻方每行、每列以及兩條對(duì)角線上的數(shù)字之和都相等，所以對(duì)角線上的數(shù)字之和為，當(dāng)時(shí)，代入可得，故選：C．8.已知直線：和點(diǎn)，，若l與線段相交，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B.或 C. D.或【正確答案】D【分析】結(jié)合已知條件作圖并求出直線的定點(diǎn)，然后分別求出直線和直線的斜率，結(jié)合圖像求解即可.【詳解】由直線：可知直線必過(guò)定點(diǎn)，且直線的斜率為，如下圖所示：由斜率公式可知，直線的斜率為，直線的斜率為，若與線段相交，只需要或，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是或.故選：D.二?多選題：（共3小題，每小題6分，共18分．每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．）9.直線過(guò)點(diǎn)與，則直線的方程可以是（）A. B.C. D.【正確答案】AC【分析】根據(jù)直線方程的五種形式分別判斷各選項(xiàng).【詳解】由直線過(guò)點(diǎn)與，則直線的斜率，則直線方程的點(diǎn)斜式為，C選項(xiàng)正確；其一般式為，即，A選項(xiàng)正確；截距式為，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；斜截式為，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：AC.10.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.數(shù)列不是等差數(shù)列C.的最小值為 D.數(shù)列為等差數(shù)列【正確答案】BC【分析】對(duì)于A、B，根據(jù)數(shù)列求和公式以及通項(xiàng)公式的關(guān)系，可得答案；對(duì)于C，根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性，結(jié)合數(shù)列中大于零的項(xiàng)，可得答案；對(duì)于D，寫出新數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合等差數(shù)列的定義即可判斷.【詳解】由題意，數(shù)列的前項(xiàng)和為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，不滿足上式，所以，故A不正確，B正確；由于時(shí)，為遞增數(shù)列，且，故的最小值為，故C正確；由于，∴數(shù)列不是等差數(shù)列，D不正確，故選：BC．11.設(shè)公差為的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.時(shí)，的最大值為 D.數(shù)列中的最小項(xiàng)為第項(xiàng)【正確答案】BCD【分析】根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和的知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，且，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，且?shù)列滿足，，，所以得到不等式，解得，故B正確；對(duì)于C，依題意得，當(dāng)時(shí)，（因?yàn)?，故且?shù)列單調(diào)遞減），所以，所以當(dāng)時(shí)最大值為，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，，所以；當(dāng)時(shí)，，，所以；當(dāng)時(shí)，，且單調(diào)遞增，，，故為正數(shù)且單調(diào)遞減，所以單調(diào)遞減，故且單調(diào)遞增，所以的最小項(xiàng)為第項(xiàng)，故D正確；故選：BCD三?填空題：（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.若用數(shù)學(xué)歸納法證明是31的倍數(shù)，在驗(yàn)證成立時(shí)，原式為_(kāi)_________．【正確答案】分析】將代入計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，.故13.已知，則數(shù)列的前項(xiàng)和__________．【正確答案】【分析】利用，可求前項(xiàng)和.【詳解】，所以.故答案為.14.設(shè)函數(shù)，則__________．【正確答案】【分析】根據(jù)已知解析式得、，進(jìn)而求目標(biāo)式的值即可.【詳解】由，且，所以.故四?解答題：（本題共6個(gè)小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟，請(qǐng)把答案寫在答題卷上）15.記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）求的最大值．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的首項(xiàng)與公差直接可得解；（2）根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，結(jié)合二次函數(shù)求值域可得最值.【小問(wèn)1詳解】由已知，，則；【小問(wèn)2詳解】由已知，，則，又，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以當(dāng)時(shí)，取得最大值為.16.直線過(guò)點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為12．（1）求直線的方程（2）求直線與兩條坐標(biāo)軸所圍成三角形的面積．【正確答案】（1）或（2）或【分析】（1）設(shè)直線的方程為，將點(diǎn)代入，進(jìn)一步求出和的值，從而求出答案；（2）借助（1）中求出的和，結(jié)合面積公式即可求.【小問(wèn)1詳解】由于直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為12，因此直線在兩坐標(biāo)軸上的截距都存在且不過(guò)原點(diǎn)，故可設(shè)直線方程為：，且，①又因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，所以，②由①②解得或，所以直線的方程為：或，即或.【小問(wèn)2詳解】由（1）可知，當(dāng)直線的方程為時(shí)，；當(dāng)直線的方程為時(shí)，，所以直線與兩條坐標(biāo)軸所圍成三角形的面積為或.17.已知數(shù)列（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）求數(shù)列前項(xiàng)和．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）由數(shù)列中每一項(xiàng)的特點(diǎn)分析可得通項(xiàng)公式的結(jié)構(gòu).（2）將數(shù)列an拆分，分組求和可得結(jié)果【小問(wèn)1詳解】因?yàn)閿?shù)列an整數(shù)部分為奇數(shù)，分母為，所以.【小問(wèn)2詳解】，則18.已知數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列為等比數(shù)列，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，求.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）應(yīng)用等比數(shù)列的基本量運(yùn)算即可；（2）應(yīng)用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】數(shù)列bn為等比數(shù)列，設(shè)公比為，，，則，則，解得，所以，則.【小問(wèn)2詳解】數(shù)列an為等差數(shù)列，設(shè)公差為，由（1）知，，則，解得：，則.19.已知數(shù)列的滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）設(shè)數(shù)列前項(xiàng)和為，求.（3）證明：．【正確答案