2024-2025學(xué)年廣東省深圳市高二上冊(cè)11月期中考試數(shù)學(xué)檢測試題（附解析）

2024-2025學(xué)年廣東省深圳市高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)檢測試題一、單選題（在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)把正確選項(xiàng)的序號(hào)填在括號(hào)內(nèi)，每小題5分，共40分）1．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)（

）A． B． C． D．【正確答案】A【詳解】根據(jù)空間直角坐標(biāo)系的性質(zhì)，都可點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)是．故選：A.2．若直線的方程為，則此直線必不經(jīng)過（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【正確答案】A【詳解】由可得，，即直線的斜率為負(fù)數(shù)，在軸上的截距為負(fù)數(shù)，故直線經(jīng)過第二、三、四象限，即不經(jīng)過第一象限.故選：A.3．已知，若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．2【正確答案】C【詳解】向量若，則，．故選：C．4．已知是直線l被橢圓所截得的線段AB的中點(diǎn)，則直線l的方程為（

）A． B．C． D．【正確答案】B【詳解】當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由對(duì)稱性可知被橢圓截得線段的中點(diǎn)在軸上，不合題意；故可設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程化簡得，，有，，解得，所以直線的方程為，即.故選：B.5．已知圓經(jīng)過兩點(diǎn)，且圓心在直線，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A． B．C． D．【正確答案】C【詳解】設(shè)圓心的坐標(biāo)為.因?yàn)閳A心在直線上，所以①，因?yàn)槭菆A上兩點(diǎn)，所以，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，有，即②，由①②可得.所以圓心的坐標(biāo)是），圓的半徑.所以，所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.故選:C.6．在直四棱柱中，底面ABCD為等腰梯形，，為棱的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為（

）

A． B． C． D．【正確答案】D【詳解】底面ABCD為等腰梯形，，，如圖，在底面ABCD中，過點(diǎn)作，垂足為，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.則，，設(shè)平面的法向量為，則，所以，兩式相減可得，令，解得，則平面的一個(gè)法向量為，則點(diǎn)到平面的距離為.故選：D.

7．已知直線，直線是直線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的直線，則直線的方程是（

）A． B．C． D．【正確答案】A【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，則，，則直線的傾斜角為，故其斜率，而直線過點(diǎn)，則直線的點(diǎn)斜式方程為，即直線的方程是.故選：A8．已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，為過點(diǎn)的弦，為的中點(diǎn)，，，則的離心率為（

）A． B． C． D．【正確答案】A【詳解】設(shè)，因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，，由橢圓定義可得BF1所以，又因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，，設(shè)橢圓的半焦距為，所以，，所以，，所以，所以，所以，所以橢圓C的離心率，故選：A.二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的部分分，有選錯(cuò)的得0分）9．點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓上，則（

）A．的最小值為3 B．的最大值為7C．兩個(gè)圓心所在的直線斜率為 D．兩個(gè)圓相交弦所在直線的方程為【正確答案】ABC【詳解】圓的圓心坐標(biāo)，半徑圓，即的圓心坐標(biāo)，半徑∴圓心距又在圓上，在圓上則的最小值為，最大值為．故A、B正確；兩圓圓心所在的直線斜率為，C正確；圓心距大于兩圓半徑和，兩圓外離，無相交弦，D錯(cuò)誤.故ABC10．在棱長為2的正方體中，分別為的中點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．B．直線與所成角的余弦值為C．三棱錐的體積為D．存在實(shí)數(shù)使得【正確答案】BD【詳解】由題可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，對(duì)于A，，故與不垂直，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，所以直線與所成角的余弦值為，故B正確；對(duì)于C，由上，所以，所以即，又，所以，因?yàn)?，又由正方體性質(zhì)可知平面即平面，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若存在實(shí)數(shù)使得，則，所以，所以，故D正確.故選：BD.11．已知?jiǎng)狱c(diǎn)到定點(diǎn)的距離和它到直線的距離的比是常數(shù)點(diǎn)的軌跡稱為曲線，直線與曲線交于兩點(diǎn)．則下列說法正確的是（

）A．曲線的方程為：B．的最小值為1C．為坐標(biāo)原點(diǎn)，的最小值為D．為曲線上不同于的一點(diǎn)，且直線的斜率分別為，則【正確答案】ACD【詳解】對(duì)A，設(shè)，則，即，化簡得，故A正確；對(duì)B，設(shè)橢圓另一個(gè)焦點(diǎn)為，如圖，由O為和中點(diǎn)可知四邊形為平行四邊形，所以，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，由定義知?jiǎng)狱c(diǎn)到定點(diǎn)與它到定直線距離滿足，所以，即求橢圓上一點(diǎn)到與直線距離和的最小值，顯然當(dāng)在橢圓右頂點(diǎn)時(shí)，取得最小值，故C正確；對(duì)D，設(shè)，則，所以，故D正確.故選：ACD三、填空題（本大題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分）12．若平面的一個(gè)法向量，直線的一個(gè)方向向量為，則平面與直線所成角的正弦值為．【正確答案】【詳解】設(shè)與所成角為,設(shè)向量與的夾角為，平面α的一個(gè)法向量，直線的一個(gè)方向向量為，.故答案為.13．當(dāng)點(diǎn)到直線的距離最大時(shí)，此時(shí)的直線方程為.【正確答案】【詳解】可得：，令可得：，所以直線過定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，兩點(diǎn)間的距離即為最大值，又,所以，所以直線方程為，即.故14．橢圓的離心率e滿足，則稱該橢圓為“黃金橢圓”．若是“黃金橢圓”，則；“黃金橢圓”兩個(gè)焦點(diǎn)分別為、（），P為橢圓C上的異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，點(diǎn)M是的內(nèi)心，連接PM并延長交于N，則．【正確答案】【詳解】因?yàn)槭恰包S金橢圓”，故，故，連接，因?yàn)闉閮?nèi)心，故為角平分線，由角平分線性質(zhì)，有，故，故，.四、解答題（本大題共5個(gè)小題，共77分）15．如圖，在四棱錐中，底面ABCD是邊長為1的正方形，側(cè)棱AP的長為2，且與的夾角都等于在棱PD上，，設(shè)，.

(1)試用表示向量；(2)求與的夾角.【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）；（2）因?yàn)?，，，所以，所以，因?yàn)?，所以與的夾角為.16．已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)為，且．(1)求的離心率；(2)射線與交于點(diǎn)，且，求的周長．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）依題意可得上頂點(diǎn)，左，右焦點(diǎn)分別為F1?c,0，，所以，，又，所以，即，即，所以，所以離心率；（2）由（1）可得，，則橢圓方程為，射線的方程為，聯(lián)立，整理可得，解得或，則，即，所以，解得，則，所以的周長．

17.如圖，四棱錐中，側(cè)面為等邊三角形，O為線段的中點(diǎn)且底面，，，E是的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)點(diǎn)M為棱的中點(diǎn)，求平面與平面夾角的余弦值.【正確答案】(1)證明見解析(2).【詳解】（1）因?yàn)?，所以，O為線段的中點(diǎn)且，故，連接，又.所以四邊形為正方形，所以，因?yàn)榈酌?，底面，所以，，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，D0,1,0，因?yàn)镋是的中點(diǎn)，所以，則，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量n1=則，即，取，則，故，又因?yàn)槠矫妫云矫?（2）由題意，知底面的一個(gè)法向量為，因?yàn)?，且BC=0,1,0，，所以.因?yàn)?，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，取，所以又平面與平面夾角為銳角，所以平面與平面夾角的余弦值為.18．已知圓C：與圓.(1)求C與相交所得公共弦長；(2)若過點(diǎn)且斜率為k的直線l與圓C交于P，Q兩點(diǎn)，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，求【正確答案】(1)2(2)【詳解】（1）由題意知，兩圓的公共弦所在直線方程為整理得，圓心到直線的距離，所以所求弦長為；（2）由題設(shè)可知直線l的方程為，設(shè)Px1,y1，Q整理得，所以，，，因?yàn)?，解得k=1，經(jīng)檢驗(yàn)，直線與圓有交點(diǎn)，所以直線l的方程為，故圓心C在直線l上，所以19．在平面直角坐標(biāo)系中，已知?jiǎng)狱c(diǎn)到直線的距離與點(diǎn)到點(diǎn)的距離的比是(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程E；(2)若軌跡E與x軸的交點(diǎn)分別為.過點(diǎn)的直線分別與軌跡