2024-2025學年吉林省通化市集安市高二上冊期中考試數學檢測試題（附解析）

2024-2025學年吉林省通化市集安市高二上學期期中考試數學檢測試題注意事項：1．答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．4．本試卷主要考試內容：人教A版必修第二冊第十章，選擇性必修第一冊第二章、第三章3.1．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】由傾斜角與斜率的關系計算即可得.【詳解】由，得傾斜角為．故選：C.2.某生物實驗室有3種月季花種子，其中開紅色花的種子有200顆，開粉色花的種子有150顆，開橙色花的種子有180顆.從這些種子中任意選取1顆，則這顆種子對應開花的顏色為橙色的概率為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據古典概型概率計算公式求得正確答案.【詳解】這顆種子對應開花的顏色為橙色的概率為.故選：A3.已知橢圓的短軸長為4，則（）A.2 B.4 C.8 D.16【正確答案】B【分析】根據短軸長求得，討論大小及橢圓定義求參數.【詳解】由的短軸長為4，得，即，則，若，則，顯然矛盾；若，則．經驗證，當時，橢圓的短軸長為4，故選：B4.若方程表示一個圓，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】將方程化為圓的一般方程，利用列式即可求.【詳解】若方程表示一個圓，則，方程可化，所以1+?4b2?4>0所以或.故選：D5.已知直線與直線平行，且與橢圓的交點為，，則（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】根據兩點在橢圓上，結合斜率，利用點差法可得解.【詳解】因為直線與直線平行，所以直線的斜率為，即，因為，都在橢圓上，所以，，則，即，所以，所以，故選：A.6.若直線與曲線C：有兩個不同的公共點，則k的取值范圍是（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】根據曲線的方程可得曲線是以原點為圓心，為半徑的圓的軸的上半部分（含軸），求出直線與圓相切時的值，再結合圖形即可求解.【詳解】由得，所以曲線是以原點為圓心，為半徑的圓的軸的上半部分（含軸），直線過定點，

當直線與圓相切時，圓心到直線的距離，解得或（舍去），當直線過點時，直線斜率為，結合圖形可得實數的取值范圍是.故選：C.7.已知圓A：內切于圓P，圓P內切于圓B：，則動圓P的圓心軌跡方程為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據圓的性質和橢圓的定義求得：，，再利用，，的關系求解方程即可.【詳解】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，設圓的半徑為，由于圓內切于圓，所以；由于圓內切于圓，所以；由于，所以點的軌跡為以，為焦點，長軸長為的橢圓.則，，所以，；所以動圓的圓心的軌跡方程為.故選：A8.已知圓與圓交于兩點，則（為圓的圓心）面積的最大值為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】求出兩圓的半徑，從而可得，因為為銳角，所以要使的面積最大，只要取得最大值即可，此時，解出的面積，即可得解.【詳解】由題意得：，所以圓心，半徑，由兩圓相交于兩點可知：，所以的面積，因為是半徑為1的圓，所以，當時，，又，此時由，解得，，故AB可以取最大值2；所以當時，最大，且是銳角，根據函數的單調性可知：當時，最大，在中由余弦定理可得：，所以，所以，故選：C.關鍵點點睛：利用三角形的面積公式表示面積之后，關鍵點在于利用圓的幾何性質尋找AB的最大值，從而確定面積的的最大值.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知直線：，：，則（）A.當時， B.存在實數m，使得C.當時， D.與直線之間的距離為【正確答案】AD【分析】通過的取值結合垂直和平行的要求判斷A，B，C；，利用平行線間的距離公式判斷D.【詳解】對于A，當時，：，：，此時，所以，故A正確；對于B，當時，且，無解，故不存在實數m，使得；故B錯誤；對于C，當時，：，：，此時，所以與不垂直，故C錯誤；對于D，因為且，所以與直線平行，距離為，故D正確，故選：AD.10.有四個盲盒，每個盲盒內都有3個水晶崽崽，其中三個盲盒里面分別僅裝有紅色水晶崽崽?藍色水晶崽崽?粉色水晶崽崽，剩下的那個盲盒里面三種顏色的水晶崽崽都有.現從中任選一個盲盒，設事件為“所選盲盒中有紅色水晶崽崽”，為“所選盲盒中有藍色水晶崽崽”，為“所選盲盒中有粉色水晶崽崽”，則（）A.與不互斥 B.C. D.與相互獨立【正確答案】ACD【分析】由互斥事件，獨立事件，以及各個事件的概率關系逐一判斷即可；【詳解】對于A，和可以同時發(fā)生，故A正確；對于B，因為，所以，故B錯誤；對于C，，故C正確；對于D，因為，所以，故D正確；故選：ACD.11.已知曲線，則（）A.關于軸對稱 B.C關于原點對稱C.的周長為 D.直線與有個交點【正確答案】ABC【分析】設點在曲線上，分別代入點與，可判斷AB選項；分別確定曲線在各象限時的圖形及其對應的曲線，可判斷C選項與D選項.詳解】設點在曲線上，即，A選項：代入點，可知，即點在曲線上恒成立，所以曲線關于軸對稱，A選項正確；B選項：代入點，得，即點在曲線上恒成立，所以曲線關于原點對稱，B選項正確；C選項：當時，，當時，或，即過，，三點，當，時方程為，即，表示以點為圓心，為半徑的圓在第一象限的部分；當，時方程為，即，表示以點為圓心，為半徑的圓在第四象限的部分；當，時方程為，即，表示以點為圓心，為半徑的圓在第二象限的部分；當，時方程為，即，表示以點為圓心，為半徑的圓在第三象限的部分；曲線在第一象限部分的方程為設圓心為，與軸的兩個交點為，，則，所以第一象限內圖形所表示弧長，又曲線關于軸及原點對稱，所以曲線的周長為，C選項正確；D選項：直線，過點，在曲線右半部分的內部，所以與曲線右半部分有個交點，且直線不過坐標原點，又直線當時，，即過點，在曲線左半部分的內部，所以直線與曲線左半部分有個交點，綜上所述直線與曲線有個交點，D選項錯誤；故選：ABC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.從1，2，3，4，5，7這6個數中任取2個數，則這2個數均為質數的概率為________．【正確答案】##【分析】利用列舉法求解，先列出從6個數任取2個數的所有情況，再列出這2個數為質數的情況，然后利用古典概型的概率公式求解即可.【詳解】由1，2，3，4，5，7這6個數中任取2個數構成的樣本空間為：,所以樣本空間共15個樣本點，記2個數均為質數為事件,則，事件共包含6個樣本點，所以這2個數均為質數為事件的概率為.故答案為.13.在中，，，，則點的軌跡方程為________．【正確答案】【分析】設點，分別表示與，化簡即可.【詳解】設點，則，，則，化簡可得，故答案為.14.已知P為橢圓C上一點，，為C的兩個焦點，，，則C的離心率為________．【正確答案】【分析】利用等腰三角形的性質及特殊角的三角函數值結合橢圓的定義與性質計算即可【詳解】如圖，取線段的中點M，連接，因為，，所以，且，所以，設，所以C的離心率為，故四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.（1）若直線經過點，且與直線平行，求直線的一般式方程；（2）若直線經過點，且在x軸、y軸上的截距互為相反數，求直線的斜截式方程．【正確答案】（1）（2）或【分析】（1）由題意設直線方程為：，代入即可求；（2）分直線截距為0和不為0兩種情況討論即可求.【詳解】（1）設所求直線方程為：，因為直線經過點，所以，解得，所以直線的一般式方程為；（2）當直線的截距為0時，直線方程為：，當直線的截距不為0時，由題意可設直線方程為：，因為直線經過點，所以，所以，所以直線方程為：，即，綜上所述：直線方程為或.16.，，三人參加知識闖關比賽，三人闖關成功與否相互獨立.已知闖關成功的概率是，，，三人闖關都成功的概率是，，，三人闖關都不成功的概率是.（1）求，兩人各自闖關成功的概率；（2）求，，三人中恰有兩人闖關成功的概率.【正確答案】（1），兩人各自闖關成功的概率都是.（2）【分析】（1）記三人各自闖關成功分別為事件，三人各自獨立闖關，由題意結合獨立事件的概率公式可列出方程組，從而解得，兩人各自闖關成功的概率；（2）三人中恰有兩人闖關成功為事件，利用獨立事件和互斥事件的概率公式計算即可．【小問1詳解】記三人各自闖關成功分別為事件，三人闖關成功與否得相互獨立，且滿足，解得，，所以，兩人各自闖關成功的概率都是.【小問2詳解】設，，三人中恰有兩人闖關成功為事件，則，所以三人中恰有兩人闖關成功的概率為.17.已知圓（為常數）．（1）當時，求直線被圓截得的弦長．（2）證明：圓經過兩個定點．（3）設圓經過的兩個定點為，，若，且，求圓的標準方程．【正確答案】（1）（2）證明見解析（3）【分析】（1）當時利用配方求出圓的圓心、半徑，由點到直線的距離公式求出圓心到直線的距離，再由可得答案；（2）由令與聯立解方程組可得答案；（3）（方法一）設的中點為，由得求出可得答案．（方法二）由利用兩點間的距離公式求出可得答案．【小問1詳解】當時，圓，此時，圓的圓心為，半徑．則圓心到直線的距離，所以直線被圓截得的弦長為；【小問2詳解】由，得，令，因為為常數所以得，由解得或，所以圓經過兩個定點，且這兩個定點的坐標為；【小問3詳解】（方法一）設的中點為，不妨設，則點的坐標為．因為，所以，所以，解得，所以圓的標準方程為．（方法二）不妨設，因，所以，解得，所以圓的標準方程為．18.已知橢圓的左、右焦點分別為，，A，B兩點均在C上，且，.（1）若，求C的方程；（2）若，直線AB與y軸交于點P，且，求四邊形AF1BF2的周長.【正確答案】（1）；（2）.【分析】1）根據給定條件，結合等腰直角三角形性質求出即可.（2）令，，根據給定條件，利用橢圓的定義及余弦定理求出，進而求出四邊形周長.【小問1詳解】由橢圓定義知，，，由，得，若，則為等腰直角三角形，，解得，所以C的方程為.【小問2詳解】若，不妨設，，則，且，，.由，點P在y軸上，且，得，且，由余弦定理得，整理得，而，則，同理得，即，整理得，令此方程二根為，則，，即有，則，解得，所以四邊形AF1BF2的周長為.19.已知為坐標原點，動點到軸的距離為，且，其中均為常數，動點的軌跡稱為曲線.（1）若曲線為焦點在軸上的橢圓，求的取值范圍.（2）設曲線為曲線，斜率為的直線過的右焦點，且與交于兩個不同的點.（i）若，求；（ii）若點關于軸的對稱點為點，證明：直線過定點.【正確答案】（1）（2）（i）；（ii）證明見解析【分析】（1）根據曲線的定義列式，結合橢圓標準方程的特點求解；（2）（i）根據曲線的定義求出曲