2024-2025學(xué)年江蘇省鹽城市高二上冊(cè)10月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（附解析）

2024-2025學(xué)年江蘇省鹽城市高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（本試卷分為第I卷選擇題和第II卷非選擇題兩大部分，試卷總分150分，考試時(shí)間120分鐘）第I卷選擇題一?選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】求出直線的斜率，再根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系即可得答案.【詳解】解：因?yàn)橹本€的斜率為，設(shè)直線的傾斜角為，則有，解得，所以其傾斜角為．故選：A．2.若直線與直線互相平行，則（）A. B. C.或0 D.0【正確答案】D【分析】由兩線平行的判定可得求參數(shù)a，并代入驗(yàn)證是否含重合情況.【詳解】由題設(shè)，，解得或，當(dāng)時(shí)，，滿足題設(shè)；當(dāng)時(shí)，，不滿足題設(shè)；所以.故選：D.3.已知橢圓，則橢圓的（）A.長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4 B.焦點(diǎn)在軸上C.離心率為 D.焦距為【正確答案】A【分析】根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)求解即可.【詳解】由，則焦點(diǎn)在軸上，且，，則，即，所以長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，焦距為，離心率為.故選：A.4.若方程表示一個(gè)圓，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】若二元二次方程表示圓，則必須滿足.【詳解】由，得，即,解得故選：5.過點(diǎn)與圓相切的兩條直線的夾角為，則（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】由直線與圓相切得到直角三角形利用邊長(zhǎng)求解即可.【詳解】中，，即故選：A6.已知兩條直線的斜率分別為，設(shè)的夾角（銳角）為，，則直線與直線的夾角為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】求出已知直線的斜率，由已知的公式即可求夾角的大小.【詳解】直線的斜率，直線的斜率，滿足，則，所以銳角為.故選：B7.已知圓是圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】令，由題設(shè)得，代入已知圓方程整理即可得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程；【詳解】解：設(shè)，M為線段的中點(diǎn)，，，而A是圓C上一動(dòng)點(diǎn)，故，整理得：，即，故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為.故選:C.8.若F為橢圓的左焦點(diǎn)，P為橢圓C上一動(dòng)點(diǎn)，，則周長(zhǎng)的最大值為（）A. B. C.7 D.10【正確答案】D【分析】利用橢圓的定義及三角形三邊關(guān)系有，即可求最大值，注意取值條件.【詳解】若為橢圓右焦點(diǎn)，如下圖示，，周長(zhǎng)為，且，所以，而，故，當(dāng)且僅當(dāng)共線且在兩側(cè)時(shí)等號(hào)成立，所以周長(zhǎng)的最大值為10.故選：D二?多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.已知直線經(jīng)過點(diǎn)，且點(diǎn)，到直線的距離相等，則直線的方程可能為（）A. B.C. D.【正確答案】AC【分析】當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)不滿足題意，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程，利用距離相等列方程求解即可.【詳解】當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，顯然不滿足題意.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即.由已知得，所以或，所以直線的方程為或.故選：AC.10.已知曲線（）A.若，則是橢圓，其焦點(diǎn)在軸上B.若，則是橢圓，其焦點(diǎn)在軸上C.若，則是圓，其半徑為D.若，，則是兩條直線【正確答案】AD【分析】結(jié)合選項(xiàng)進(jìn)行逐項(xiàng)分析求解，時(shí)表示橢圓，時(shí)表示圓，時(shí)表示兩條直線.【詳解】對(duì)于A，若，則可化為，因?yàn)?，所以，即曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，故A正確，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，則可化為，此時(shí)曲線表示圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓，故C不正確；對(duì)于D，若，則可化為，，此時(shí)曲線表示平行于軸兩條直線，故D正確；故選：AD.本題主要考查曲線方程的特征，熟知常見曲線方程之間的區(qū)別是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).11.已知直線，圓是以原點(diǎn)為圓心，半徑為2圓，則下列結(jié)論正確的是（）A.直線恒過定點(diǎn)B.當(dāng)時(shí)，圓上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離都等于1C.若圓與曲線恰有三條公切線，則D.當(dāng)時(shí)，過直線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)向圓引兩條切線，其中為切點(diǎn)，則直線經(jīng)過點(diǎn)【正確答案】ACD【分析】對(duì)A：整理得，根據(jù)直線恒過定點(diǎn)求解；對(duì)B：求出圓心到直線的距離判斷，由此判斷有四個(gè)點(diǎn)滿足條件；對(duì)C：根據(jù)兩圓外切求得；對(duì)D：設(shè)，寫出以為直徑的圓，兩圓相減得公共弦的方程可證得恒過定點(diǎn).【詳解】對(duì)于，整理得，所以解得所以直線恒過定點(diǎn)，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，直線為，則圓心到直線的距離，而圓的半徑為2，所以圓上有且僅有4個(gè)點(diǎn)到直線的距離都等于1，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，曲線整理得，當(dāng)時(shí)，曲線是圓心為，半徑為的圓，圓的圓心，半徑為2，所以兩圓的圓心距為，此時(shí)兩圓外切，恰有3條公切線，所以，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，直線的方程為，設(shè)，則以為直徑的圓的方程為，即圓兩圓的公共弦的方程為，整理得解得直線經(jīng)過點(diǎn).故D正確.故選：ACD第II卷非選擇題三?填空題（本大題共3題，每小題5分，共15分）12.直線在軸上的截距為______．【正確答案】；分析】直接令可得答案.【詳解】令，得，解得即直線在軸上的截距為故13.在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓，寫出滿足條件“過點(diǎn)且與圓相外切”的一個(gè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為__________.【正確答案】（答案不唯一）【分析】設(shè)滿足條件的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（），由點(diǎn)在圓上及外切關(guān)系可得方程組，化簡(jiǎn)取值即可得其中一個(gè)符合的結(jié)果.【詳解】設(shè)滿足條件的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（），則有，即，兩式相減化簡(jiǎn)得.不妨取，則，故滿足條件的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故（答案不唯一）14.已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別是，下頂點(diǎn)為點(diǎn)，直線交橢圓C于點(diǎn)N，設(shè)的內(nèi)切圓與相切于點(diǎn)E，若，則橢圓C的離心率為_______，的內(nèi)切圓半徑長(zhǎng)為_______．【正確答案】①.##②.##【分析】借助切線長(zhǎng)定理與橢圓性質(zhì)可得，從而可結(jié)合橢圓定義得到的值，即可得其離心率；借助余弦定理的推論可得三角形各邊長(zhǎng)，結(jié)合面積公式運(yùn)用等面積法即可求取內(nèi)切圓半徑.【詳解】設(shè)的內(nèi)切圓與、相切于點(diǎn)，，由切線長(zhǎng)定理可得，，，又，則，故，由橢圓定義可知，即,故，又，則；則，故，設(shè)，則，即，，則有，計(jì)算可得，則，又，則，即有，即.故；.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)一個(gè)是借助切線長(zhǎng)定理與橢圓性質(zhì)得到，從而可結(jié)合橢圓定義得到的值，第二個(gè)是借助等面積法求取內(nèi)切圓半徑.四?解答題（本大題共5題，共77分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟）15.設(shè)直線的方程為．（1）若在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求的方程；（2）若不經(jīng)過第二象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【正確答案】（1）或；（2）.【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出直線在x軸、y軸上的截距，再列式求解即得.（2）直線過的定點(diǎn)在第四象限，由直線的斜率大于等于0，求出a的范圍．【小問1詳解】直線：在y上的截距為，由在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，知，且直線在x軸上的截距為，于是，解得或，所以直線的方程為或.【小問2詳解】直線：，由，得，即直線過定點(diǎn)，顯然點(diǎn)P在第四象限，要使直線不經(jīng)過第二象限，而直線的斜率存在，因此直線的斜率不小于0，即，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.16.已知圓.（1）判斷直線與圓的位置關(guān)系；如果相交，求直線被圓所截得的弦長(zhǎng)；如果相離，求圓心到直線的距離.（2）過圓外一點(diǎn)引圓的切線，求切線方程.【正確答案】（1）相交，弦長(zhǎng)為（2）或【分析】（1）由圓心到直線的距離與半徑比較，即可判斷直線與圓的位置關(guān)系；利用勾股定理即可計(jì)算弦長(zhǎng)；（2）當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，切線方程為，當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)出切線方程，由圓心到直線的距離等于半徑即可求解.【小問1詳解】圓：化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心坐標(biāo)為0,1，半徑為，圓心到直線的距離為，所以，所以直線與圓相交；直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為；【小問2詳解】當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線方程為，圓心到直線的距離等于半徑，所以直線與圓相切，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，即，圓心到直線的距離為，解得，所以直線方程為，綜上，切線方程為或.17.在一個(gè)平面上，，機(jī)器人從與點(diǎn)的距離為的地方繞點(diǎn)順時(shí)針而行，在行進(jìn)過程中機(jī)器人所在位置保持與點(diǎn)的距離不變.（1）若，求它在行進(jìn)過程中到過點(diǎn)與點(diǎn)的直線的最近距離和最遠(yuǎn)距離；（2）若在行進(jìn)過程中存在某點(diǎn)使得，求的取值范圍.【正確答案】（1）最近距離為，最遠(yuǎn)距離為（2）【分析】（1）先求點(diǎn)的軌跡方程，結(jié)合圓心到直線的距離可得答案；（2）先求以為直徑的圓的方程，結(jié)合兩圓的位置關(guān)系可得答案.【小問1詳解】設(shè)機(jī)器人所在位置，則,所以軌跡是以為圓心，6半徑的圓.直線的方程為：，即,點(diǎn)到直線的距離為,所以到直線的最近距離為，到直線的最遠(yuǎn)距離為.【小問2詳解】的軌跡方程為設(shè)中點(diǎn)，所以以為直徑的圓方程，因?yàn)?，所以也在?所以與有公共點(diǎn)，即，所以.18.已知橢圓，三點(diǎn)中恰有兩點(diǎn)在橢圓上.（1）求橢圓的方程；（2）若直線交橢圓于兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，過作新直線，①求直線和直線的斜率之積；②證明：新直線恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).【正確答案】（1）（2）①；②證明見解析,定點(diǎn)的坐標(biāo)為,【分析】（1）判斷點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)或在直線上，代入橢圓方程，即可求出橢圓的方程；（2）設(shè),，當(dāng)時(shí)，設(shè),、,，利用點(diǎn)差法求出直線和直線的斜率之積；由此得直線的方程，結(jié)合方程確定直線恒過定點(diǎn)即可得結(jié)論．【小問1詳解】由題可知，一定在橢圓上，其中一個(gè)在橢圓上，當(dāng)橢圓過點(diǎn)可得，則橢圓的方程為；當(dāng)橢圓過點(diǎn)可得，方程組無解，綜上，橢圓的方程為；【小問2詳解】①由題可設(shè),，當(dāng)時(shí)，設(shè),、,，顯然，聯(lián)立，則，即，因?yàn)闉榫€段中點(diǎn)，所以，又，所以，即直線和直線的斜率之積為；②由①可得直線的斜率為，又，所以直線的方程為，即，顯然恒過定點(diǎn),，當(dāng)時(shí)，直線即，此時(shí)為軸亦過點(diǎn),；綜上所述，恒過定點(diǎn),．19.定義:若點(diǎn)（x0，y0），（x0’，y0’）在橢圓M:（a>b>0）上，并滿足，則稱這兩點(diǎn)是關(guān)于M的一對(duì)共軛點(diǎn)，或稱點(diǎn)（x0，y0）關(guān)于M的一個(gè)共軛點(diǎn)為（x0’，y0’）.已知點(diǎn)A（2，1）在橢圓M:上，O是坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求點(diǎn)A關(guān)于M的所有共軛點(diǎn)的坐標(biāo):（2）設(shè)點(diǎn)P，Q在M上，且∥，求點(diǎn)A關(guān)于M的所有共軛點(diǎn)和點(diǎn)P，Q所圍成封閉圖形面積的最大值.【正確答案】（1）答案見解析.（2）【分析】（1）設(shè)點(diǎn)A關(guān)于M的共軛點(diǎn)的坐標(biāo)，由題意解方程組即可.（2）由題設(shè)直線PQ方程為：，用m表示出，再表示出共軛點(diǎn)與直線距離即可.【小問1詳解】設(shè)點(diǎn)A關(guān)于M的共軛點(diǎn)的坐標(biāo)為,由題意