2024-2025學年四川省成都市高二上冊中適應性考試數(shù)學檢測試題（附解析）

2024-2025學年四川省成都市高二上學期中適應性考試數(shù)學檢測試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，選對得5分、選錯得0分．1.已知向量在基底下的坐標是，則在基底下的坐標為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】由題意可知，設在基底下的坐標為，根據(jù)空間向量的坐標運算和空間向量基本定理列方程組即可求解.【詳解】由題意可知，設在基底下的坐標為，所以，所以，所以在基底下的坐標為.故選：A2.直線的傾斜角是A. B. C. D.【正確答案】B【分析】由題意，取得直線的斜率，進而可求得傾斜角，得到答案．【詳解】由題意得，故傾斜角為.故選B.本題主要考查了直線的斜率與傾斜角，以及三角函數(shù)的求值，其中解答中根據(jù)直線的方程，求得直線的斜率是解答的關(guān)鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．3.某校高三（1）班（45人）和高三（2）班（30人）進行比賽，按照分層抽樣的方法從兩個班共抽取10名同學，相關(guān)統(tǒng)計情況如下：高三（1）班答對題目的平均數(shù)為，方差為；高三（2）班答對題目的平均數(shù)為，方差為，則這10人答對題目的方差為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】先根據(jù)分層抽樣求各層的人數(shù)，再根據(jù)平均數(shù)、方差的公式運算求解.【詳解】由分層抽樣可得高三（1）班抽取的人數(shù)為，高三（2）班抽取的人數(shù)為，設高三（1）班（6人）答對題目數(shù)依次為，高三（2）班（4人）答對題目數(shù)依次為，由題意可得：，可得，則這10人答對題目的平均數(shù)，這10人答對題目的方差.故選：D.4.如圖，在直三棱柱中，，則異面直線與所成角的余弦值等于（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】將該幾何體補成一個直四棱柱，連接，則（或其補角）是異面直線與所成的角，然后在中利用余弦定理求解即可.【詳解】如圖，將該幾何體補成一個直四棱柱，由題易得底面為菱形，且為等邊三角形.連接，易得，所以（或其補角）是異面直線與所成的角.設1，則，所以.故選：D.5.如圖,二面角等于,是棱上兩點,分別在半平面內(nèi),,,且則的長等于（）A.4 B. C. D.【正確答案】A【分析】借助向量來解決,由二面角的平面角的定義可得,求的模即為的長.【詳解】由二面角的平面角的定義知,,由,,得,,,,所以,即．故選：A．6.在四棱柱中，平面，底面是邊長為1的正方形，側(cè)棱的長為，為側(cè)棱上的動點（包括端點），則（）A.對任意的，存在點，使得B.當且僅當時，存在點，使得C.當且僅當時，存在點，使得D.當且僅當時，存在點，使得【正確答案】C【分析】若存在點，使得，則必有，且由題設條件易得平面,得到,再通過△∽△即可求得的范圍.【詳解】連接，在四棱柱中，因為平面，所以平面，則,又由底面正方形，得，所以平面，得.若存在點，使得，則平面,得,則△∽△，得，即，所以故選：C.7.在空間中，“經(jīng)過點，法向量為的平面的方程（即平面上任意一點的坐標滿足的關(guān)系）是：”．如果給出平面的方程是，平面的方程是，則由這兩平面所成的角的正弦值是（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】由定義得出兩平面的法向量，利用數(shù)量積公式求出法向量的夾角余弦，利用同角三角函數(shù)的關(guān)系求出其正弦即可選出正確答案【詳解】由題意，因為平面的方程是，所以法向量由平面的方程是，所以法向量，所以cos<所以sin<故選：A.8.已知，都是正實數(shù)，且直線與直線互相垂直，則的最小值為（）A.12 B.10 C.8 D.25【正確答案】D【分析】根據(jù)兩條直線垂直得出,再根據(jù)基本不等式計算求解即可.【詳解】因為直線與直線互相垂直，所以即得,所以,因為，都是正實數(shù)，所以.當且僅當時，取最小值25.故選：D.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題滿分6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分．9.直線的方程為，若在軸上的截距為，且.則下列說法正確的是（）A.直線與的交點坐標為2,1，直線在軸上的截距是B.已知直線經(jīng)過與的交點，且在軸上的截距是在軸上的截距的2倍，的方程為C.已知動直線經(jīng)過與的交點，當原點到距離最大時，到距離為D.直線，，若，則或2【正確答案】AC【分析】求出直線方程，解出兩直線交點判斷A，根據(jù)截距的關(guān)系求出直線方程判斷B，根據(jù)條件求出直線的方程，利用點到直線距離公式求解判斷C，根據(jù)直線平行求出再檢驗即可判斷D.【詳解】由，可知，由在軸上的截距為知過點，所以直線的方程為，即，對A，聯(lián)立，解得，即直線與的交點坐標為2,1，由可得，即直線在軸上的截距是，故A正確；對B，當直線經(jīng)過與的交點且過原點時，方程為，即，滿足題意，當直線不過原點時，設直線方程為，代入點2,1可得，所以直線方程為，綜上滿足條件的直線為或，故B錯誤；對C，由題意過2,1點的動直線中，到原點距離最大的直線與原點和2,1連線所在直線垂直，故所求直線的斜率為，所以直線為，即，所以到距離為，故C正確；對D，因為，所以，解得或2，當時，直線與平行，當時，直線與重合，故D錯誤.故選：AC10.如圖為2022年全國居民消費價格月度漲跌幅情況，則（

）A.環(huán)比漲跌幅的極差小于同比漲跌幅的極差 B.環(huán)比漲跌幅的平均數(shù)為0.1%C.環(huán)比漲跌幅的方差小于同比漲跌幅的方差 D.同比漲跌幅的上四分位數(shù)為1.55%【正確答案】AC【分析】根據(jù)給定的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，結(jié)合極差、平均數(shù)、百分位數(shù)，以及方差的定義，逐項判定，即可求解.【詳解】選項A中：環(huán)比漲跌幅的極差為，同比漲跌幅的極差為，因為，所以A正確；選項B中：環(huán)比漲跌幅的平均數(shù)為，所以B錯誤；選項C中：根據(jù)統(tǒng)計圖中，環(huán)比漲跌螎的波動性小于同比漲跌幅的波動性，所以環(huán)比漲跌螎的方差小于同比漲跌幅的方差，所以C正確；選項D中：同比漲跌幅的上四分位數(shù)為，所以D錯誤.故選：AC.11.如圖，在正三棱柱中，，點滿足，則下列說法正確的有（）A.當，，時，對任意的點，都有三棱錐的體積為定值B.當，，時，存在點，使得C.當，，時，存在唯一點，使得D.當時，的最小值是【正確答案】AC【分析】建立空間直角坐標系，對于A，判斷點在直線上，利用棱錐體積公式判斷即可；對于B，先利用空間向量夾角余弦公式判斷cosBP,BC>cosBP,BA，即可求解；對于C，利用列方程，判斷方程是否有解即可；對于【詳解】建立如圖所示直角坐標系，取為中點，交于點，以，，，，，，由，所以，，即，當時，則，故，點在直線上，所以點到直線距離為1，三角形面積為，又因為到平面的距離為，所以是定值，故A正確；當時，則，則，，因為，故cosBP,BC>cos即不存在點，使得，故B錯誤；當時，則，若，則，解得或，又因為，故存唯一點使得，故C正確；若時，則四點共面，當與平面垂直時，的最小，利用等體積法，則，則可求解到的距離為，，則，則的最小值為，故D錯誤.故選：AC.三、填空題；：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，若的平分線方程為，則所在的直線方程為__________．【正確答案】【分析】先求得直線與直線的交點，然后利用角平分線定理求得點坐標，進而求得直線的方程.【詳解】，直線的方程為，由解得，設，依題意，的平分線為直線，由正弦定理得，由于，由此整理得,則，設，則，整理得，解得或（舍去），則，，直線的方程為.故13.如圖，已知正三棱錐的側(cè)棱長為2024，過其底面中心作動平面，交線段PC于點，交PA，PB的延長線于M，N兩點.則_______________.【正確答案】【分析】利用空間向量的線性運算得到，再利用空間四點共面的性質(zhì)即可得解.【詳解】依題意，設，則，，，由為底面中心，，又因為四點共面，所以且，所以，即，即.故答案為.14.甲、乙兩隊進行籃球決賽，采取七場四勝制（當一隊贏得四場勝利時，該隊獲勝，決賽結(jié)束）．根據(jù)前期比賽成績，甲隊的主客場安排依次為“主主客客主客主”．設甲隊主場取勝的概率為0.6，客場取勝的概率為0.5，且各場比賽結(jié)果相互獨立，則甲隊以4∶1獲勝的概率是____________．【正確答案】0.18【分析】本題應注意分情況討論，即前五場甲隊獲勝的兩種情況，應用獨立事件的概率的計算公式求解．題目有一定的難度，注重了基礎(chǔ)知識、基本計算能力及分類討論思想的考查．【詳解】前四場中有一場客場輸，第五場贏時，甲隊以獲勝的概率是前四場中有一場主場輸，第五場贏時，甲隊以獲勝的概率是綜上所述，甲隊以獲勝的概率是由于本題題干較長，所以，易錯點之一就是能否靜心讀題，正確理解題意；易錯點之二是思維的全面性是否具備，要考慮甲隊以獲勝的兩種情況；易錯點之三是是否能夠準確計算．四、解答題：本題共5小題，其中15題13分，16、17題每題15分，18，19題每題17分，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.一個袋子中裝有大小和質(zhì)地相同的4個球，其中有2個紅球（標號為1和2），2個白球（標號為3和4），甲、乙兩人先后從袋中不放回地各摸出1個球.設“甲摸到紅球”為事件，“乙摸到紅球”為事件.（1）小明同學認為：由于甲先摸球，所以事件發(fā)生的可能性大于發(fā)生的可能性.小明的判斷是否正確，請說明理由；（2）判斷事件與是否相互獨立，并證明.【正確答案】（1）不正確；理由見解析；（2）事件與不相互獨立，理由見解析【分析】（1）先求出摸球的所有情況，利用古典概率求解，比較即可判斷；（2）利用獨立事件的判定方法進行判斷.【小問1詳解】兩人摸出球的所有情況：（1,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,3），（2,4），（3,1），（3,2），（3,4），（4,1）（4,2），（4,3），共12種；事件包含的情況有：（1,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,3），（2,4），共6種；事件包含的情況有：（1,2），（2,1），（3,1），（3,2），（4,1）（4,2），共6種；所以，故小明的判斷不正確.【小問2詳解】事件包含的情況有：（1,2），（2,1），故；因為，；所以事件與不相互獨立.16.如圖所示，平行六面體中，．（1）用向量表示向量，并求；（2）求．【正確答案】（1），（2）【分析】（1）借助空間向量的線性運算與模長與數(shù)量積的關(guān)系計算即可得；（2）結(jié)合題意，借助空間向量線性運算與夾角公式計算即可得.【小問1詳解】，則，所以.【小問2詳解】由空間向量的運算法則，可得，因為且，所以，，則.17.在三棱錐中，，平面，點在平面內(nèi)，且滿足平面平面，．（1）求證：；（2）當二面角的余弦值為時，（?。┣笕忮F的體積．（ⅱ）直線與面所成角的余弦值．【正確答案】（1）證明見解析（2）（?。áⅲ痉治觥浚?）作，證得平面，得到，再由平面，證得，利用線面垂直的判定定理，證得平面，進而證得；（2）（?。┮詾樵c，建立空間直角坐標，設，由，得到，求得，再求得平面和的法向量，結(jié)合向量的夾角公式，列出方程求得點的坐標，根據(jù)棱錐的體積公式，即可求解.（ⅱ）根據(jù)線面角的向量法求解得出線面角正弦值，再由同角三角函數(shù)的平方關(guān)系得出余弦值.【小問1詳解】作交于，因為平面平面，且平面平面，平面，所以平面，又因為平面，所以，因為平面，且平面，所以，又因為，，且平面，，所以平面，因為平面，所以.【小問2詳解】（ⅰ）以為原點，以所在的直線分別為，建立空間直角坐標，如圖所示，則，設，因為，所以，因為，所以，即，又由，設平面的一個法向量為，則，取，可得，所以，又因為為平面的一個法向量，設二面角的平面角為，則，因為，解得（舍去）或，所以點或，即點到平面的距離為.所以三棱錐的體積為.

（ⅱ）當點時，,又平面的一個法向量，設直線與面所成角，則，所以，當點時，同理可得，綜上，直線與面所成角的余弦值為.18.《中國制造2025》是中國實施制造強國戰(zhàn)略第一個十年的行動綱領(lǐng)，制造業(yè)是國民經(jīng)濟的主體，是立國之本、興國之器、強國之基發(fā)展制造業(yè)的基本方針為質(zhì)量為先，堅持把質(zhì)量作為建設制造強國的生命線.某電子產(chǎn)品制造企業(yè)為了提升生產(chǎn)效率，對現(xiàn)有的一條電子產(chǎn)品生產(chǎn)線進行技術(shù)升級改造，為了分析改造的效果，該企業(yè)質(zhì)檢人員從該條生產(chǎn)線所生產(chǎn)的電子產(chǎn)品中隨機抽取了1000件，檢測產(chǎn)品的某項質(zhì)量指標值，根據(jù)檢測數(shù)據(jù)得到下表（單位：件）.質(zhì)量指標產(chǎn)品6010016030020010080（1）估計這組樣本的質(zhì)量指標值的平均數(shù)和方差（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值作代表）；（2）設x表示不大于的最大整數(shù)，表示不小于的最小整數(shù)，精確到個位，，，根據(jù)檢驗標準，技術(shù)升級改造后，若質(zhì)量指標值有65%落在內(nèi)，則可以判斷技術(shù)改造后的產(chǎn)品質(zhì)量初級穩(wěn)定；若有95%落在內(nèi)，則可以判斷技術(shù)改造后的產(chǎn)品質(zhì)量穩(wěn)定，可認為生產(chǎn)線技術(shù)改造成功.請問：根據(jù)樣本數(shù)據(jù)估計，是否可以判定生產(chǎn)線的技術(shù)改造是成功的？（3）為了檢測技術(shù)人員的業(yè)務知識，該企業(yè)對兩名業(yè)務人員進行知識考核競賽，規(guī)則如下：在初賽中有兩輪答題：第一輪從類的5個問題中任選兩題作答，若兩題都答對，則得20分，否則得0分；第二輪從類的4個問題中任選兩題依次作答，每答對一題得20分，答錯得0分．若兩輪總得分不低于40分，則晉級復賽．甲和乙同時參賽，已知在類的5個問題中，甲只能答對4個問題，在類的4個問題中，甲答對的概率都為0.4；乙答對每個問題的概率都為0.6．甲、乙回答任一問題正確與否互不影響．（?。┣蠹自诘谝惠啽荣愔械?分的概率；（ⅱ）以晉級復賽概率大小為依據(jù)，甲和乙誰更容易晉級復賽？【正確答案】（1）61，241；（2）可以判斷技術(shù)改造后的產(chǎn)品質(zhì)量初級穩(wěn)定，但不能判定生產(chǎn)線技術(shù)改造成功.（3）（?。áⅲ┮腋菀讜x級復賽【分析】（1）利用表格中的數(shù)據(jù)，根據(jù)平均數(shù)和方差的計算公式計算即可；（2）根據(jù)題中公式，計算出區(qū)間并判段數(shù)據(jù)落在該區(qū)間的概率，計算出區(qū)間并判段數(shù)據(jù)落在該區(qū)間的概率，與題中條件比較即可得出結(jié)論.（3）（ⅰ）對A類的5個問題進行編號：，其中甲能答對的4個問題的編號為，利用列舉法，根據(jù)古典概型的概率公式求解即可；（ⅱ）根據(jù)題意按第一輪得20分且第二輪至少得20和第一輪得0分且第二輪得40分，結(jié)合獨立事件和對立事件的概率公式，分別計算甲、乙晉級復賽的概率，從而可判斷.【小問1詳解】由題，可知．．【小問2詳解】由知，，則，，該抽樣數(shù)據(jù)落在內(nèi)的頻率約為；又，，該抽樣數(shù)據(jù)落在內(nèi)的頻率約為，∴可以判斷技術(shù)改造后的產(chǎn)品質(zhì)量初級穩(wěn)定，但不能判定生產(chǎn)線技術(shù)改造成功．【小問3詳解】（?。類的5個問題進行編號：，其中甲能答對的4個問題的編號為，第一輪從A類的5個問題中任選兩題作答，則所選的兩個題的情況為：，共10種，其中得0分的情況有：，4種，所以甲在第一輪比賽中得0分的概率為；（ⅱ）甲晉級復賽分兩種情況：甲第一輪得20分且第二輪至少得20分的概率為：，甲第一輪得0分且第二輪得40分的概率為：，所以甲晉級復賽的概率為；乙晉級復賽分兩種情況：乙第一輪得20分且第二輪至少得20分的概率為：，乙第一輪得0分且第二輪得40分的概率為：，所以乙晉級復賽的概率為，因為，所以乙更容易晉級復賽.19.在棱長均為2的正三棱柱中，E為的中點．過AE的截面與棱分別交于點F，G