2024-2025學(xué)年四川省內(nèi)江市高二上冊第一次月考數(shù)學(xué)檢測試題（附解析）

2024-2025學(xué)年四川省內(nèi)江市高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)檢測試題第I卷選擇題（滿分58分）一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.空間向量，若，則實(shí)數(shù)（）A.1 B. C.0 D.2【正確答案】D【分析】利用空間向量垂直的坐標(biāo)公式列式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)橄蛄?，且，所以，解?故選：D.2.已知正方形的邊長為平面，則與平面所成角是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)線面角的知識求得正確答案.【詳解】由于平面，平面，所以，故是與平面所成角，由于正方形的邊長為，所以，所以.故選：B3.已知圓的方程為，圓的方程為，若圓與圓外切，則的值為（）A.1 B.9 C.10 D.16【正確答案】B【分析】求出兩圓的圓心和半徑，再由兩圓外切列方程可求得結(jié)果.【詳解】由，得，所以圓心，半徑，由，得，所以圓心，半徑，因?yàn)閳A與圓外切，所以，即，所以，得，故選：B4.在斜三棱柱的底面中，，且，，則線段的長度是（）A. B.3 C. D.4【正確答案】A【分析】首先根據(jù)幾何圖形，利用基底向量表示，再根據(jù)數(shù)量積公式，求模長.【詳解】，,,所以.故選：A5.已知直線的方程為，則該直線的傾斜角的取值范圍是（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】由題意得，進(jìn)一步得，從而可求出傾斜角的取值范圍.【詳解】因?yàn)橹本€的方程為，直線的傾斜角為，所以，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，因?yàn)?，所以，故選：D6.已知圓，圓，分別是圓的動點(diǎn)，為直線上的動點(diǎn)，則的最小值為（）A6 B.10 C.13 D.16【正確答案】B【分析】求出兩圓的圓心和半徑，數(shù)形結(jié)合得到的最小值為的最小值，求出關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得到的最小值，進(jìn)而得到的最小值.【詳解】的圓心為，半徑，的圓心為，半徑，如圖所示，的最小值為的最小值，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，則，解得，故A9,0，連接，則即為的最小值，故的最小值為，故的最小值為.故選：B7.在中，為的中點(diǎn).將沿進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，得到三棱錐，當(dāng)二面角為時(shí)，的外接球的表面積為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】由題意得該三棱錐的面，是邊長為1的正三角形，平面，將三棱錐補(bǔ)形成直三棱柱，三棱錐的外接球球心就是直三棱柱的外接球球心，求出其半徑可得解.【詳解】由題意，，二面角的平面角是，，將沿進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，得到三棱錐，所以，由余弦定理可得：，因?yàn)?，，，平面，平面，將三棱錐補(bǔ)形成直三棱柱，三棱錐的外接球球心就是直三棱柱的外接球球心，取外接圓的圓心，外接圓的圓心，根據(jù)對稱性知三棱柱的外接球球心是的中點(diǎn)，，，點(diǎn)是外心，，在中，，即，三棱錐的外接球的表面積為.故選：C.8.已知正方體的邊長為，點(diǎn)關(guān)于平面對稱的點(diǎn)為，矩形內(nèi)（包括邊界）的點(diǎn)滿足，記直線與平面所成線面角為.當(dāng)最大時(shí)，過直線做平面平行于直線，則此時(shí)平面截正方體所形成圖形的周長為（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】作出圖形，分析可知，點(diǎn)在矩形內(nèi)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓在矩形內(nèi)的圓弧，當(dāng)與圓弧相切于點(diǎn)時(shí)，最大，即取最大值，然后作出截面，計(jì)算出各邊邊長，相加可得出截面的周長.【詳解】如下圖所示：因?yàn)榫匦蝺?nèi)（包括邊界）的點(diǎn)滿足，則點(diǎn)在矩形內(nèi)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓在矩形內(nèi)的圓弧，設(shè)直線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，因?yàn)槠矫?，則平面，所以，與平面所成的角為，由圖可知，當(dāng)與圓弧相切于點(diǎn)時(shí)，最大，即取最大值，連接，則，易知，則，所以，是等腰直角三角形，則，在矩形中，，則，又因?yàn)?，所以，是等腰直角三角形，則，所以，，因?yàn)榍?，故四邊形為平行四邊形，則，設(shè)平面分別交棱、于點(diǎn)、，連接,因?yàn)椋矫?，平面，則，故，設(shè)截面分別交直線、于點(diǎn)、，因?yàn)?，，，所以，，因?yàn)槠矫?，平面，則，設(shè)，，則，同理可得，故為等腰直角三角形，易知，而，則，則為的中點(diǎn)，所以，，則，故，因?yàn)?，且，則為等腰直角三角形，所以，，則，因?yàn)槠矫妫?、平面，則，，則，所以，，同理可得，故截面截正方體所得截面的周長為，故選：C.方法點(diǎn)睛：計(jì)算線面角，一般有如下幾種方法：（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理，得到線面垂直，進(jìn)而確定線面角的垂足，明確斜線在平面內(nèi)的射影，即可確定線面角；（2）在構(gòu)成線面角的直角三角形中，可利用等體積法求解垂線段的長度，從而不必作出線面角，則線面角滿足（為斜線段長），進(jìn)而可求得線面角；（3）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解，設(shè)為直線的方向向量，為平面的法向量，則線面角的正弦值為.二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）9.如圖，在四棱錐中，是矩形，側(cè)棱底面，且，分別為的中點(diǎn)，為線段上的動點(diǎn)，則（）A.四面體每個面都是直角三角形B.C.當(dāng)點(diǎn)異于點(diǎn)時(shí)，平面D.直線和平面所成角的正切值為【正確答案】BC【分析】因?yàn)閯t當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，與不垂直，則選項(xiàng)A可以判斷；由圖形可知，可以建立以點(diǎn)D為原點(diǎn)空間直角坐標(biāo)系，則找到與的向量進(jìn)行垂直判斷，即可得到選項(xiàng)B；因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，則可證明平面判斷C選項(xiàng)；利用直線的方向向量和平面的法向量，代入夾角公式即可計(jì)算出夾角的正弦值，再根據(jù)同角三角函數(shù)值得求解，即可判斷D.【詳解】因?yàn)?，，在中，為中點(diǎn)，由于只有在等腰三角形中底面上的高才能垂直底面，由于不是等腰，則與不垂直，則在四面體有的面不是直角三角形，故A不正確；分別為的中點(diǎn)，則在中，因?yàn)槠矫?，平面，所以平?C正確以點(diǎn)D為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，則，則可判斷.B正確；，則方向向量為.平面的法向量設(shè)直線和平面所成角為，則，則，D錯誤.故選：BC10.點(diǎn)是圓上的動點(diǎn)，則下面正確的有（）A.圓的半徑為3B.既沒有最大值，也沒有最小值C.的范圍是D.的最大值為72【正確答案】BC【分析】將圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程可判斷選項(xiàng)A錯誤.設(shè)，則轉(zhuǎn)化為直線與圓有交點(diǎn)，可算得既沒有最大值，也沒有最小值，選項(xiàng)B正確.對于選項(xiàng)C和D，可用三角換元化簡，再結(jié)合輔助角公式即可判斷.【詳解】圓轉(zhuǎn)化為，則圓的圓心為，半徑為2，選項(xiàng)A錯誤.設(shè)，則直線與圓有交點(diǎn)，即，整理得，解得或.既沒有最大值，也沒有最小值，選項(xiàng)B正確.設(shè)，，則，其中.則的取值范圍為，選項(xiàng)C正確.又，則，因此其中.則的最大值為，選項(xiàng)D錯誤.故選：BC.11.已知圓，點(diǎn).過點(diǎn)作圓的兩條切線為切點(diǎn)，則下列說法正確的有（）A.當(dāng)時(shí)，不存在實(shí)數(shù)，使得線段的長度為整數(shù)B.若是圓上任意一點(diǎn)，則的最小值為C.當(dāng)時(shí)，不存在點(diǎn)，使得的面積為1D.當(dāng)且時(shí)，若在圓上總是存在點(diǎn)，使得，則此時(shí)【正確答案】ACD【分析】求出點(diǎn)軌跡，利用幾何面積轉(zhuǎn)換從而可得到的取值范圍，即可對A項(xiàng)判斷；求出圓心的軌跡方程為，然后即可求出的最小值，即可對B項(xiàng)判斷；畫出圓及切線，利用幾何條件，從而可對C、D項(xiàng)判斷.【詳解】對于A項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，圓：，圓心，半徑，由點(diǎn)得的軌跡方程為：，如下圖：由，所以當(dāng)最小時(shí)，最小，的最小值為圓心到的距離，此時(shí)：，又因?yàn)椋?，故，所以?dāng)時(shí)，不存在實(shí)數(shù)，使得線段的長度為整數(shù)，故A項(xiàng)正確；對于B項(xiàng)：圓心得圓心的軌跡方程為，所以到直線的距離為，所以是圓上任意一點(diǎn)，則的最小值為：，故B項(xiàng)錯誤；對于C項(xiàng)：當(dāng)，圓：，由A項(xiàng)知的軌跡方程為：，如下圖：由：，故最小時(shí)，最小，的最小值為圓心到直線的距離為，設(shè)，由A項(xiàng)知，進(jìn)而可得中邊上的高為，所以，因?yàn)椋?，所以得：，故C項(xiàng)正確；對于D項(xiàng)：由題設(shè)可得，故，，解得：，又因?yàn)?，所以：，故D項(xiàng)正確.故選：ACD.第II卷非選擇題（滿分92分）三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知直線與圓，則直線被圓所截得的弦長為__________.【正確答案】【分析】求出圓心到直線的距離，再結(jié)合勾股定理可求弦長.【詳解】圓C的圓心坐標(biāo)為(1,2)，半徑為，圓心到直線的距離為：，所以直線被圓截得的弦長為：，故答案為.13.在三棱錐中，在線段上，滿足是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，，則實(shí)數(shù)__________.【正確答案】【分析】根據(jù)空間向量運(yùn)算、四點(diǎn)共面等知識求得正確答案.【詳解】依題意，，則，由于四點(diǎn)共面，所以.故14.如圖，在中，，過中點(diǎn)的動直線與線段交于點(diǎn)，將沿直線向上翻折至，使得點(diǎn)在平面內(nèi)的射影落在線段上，則斜線與平面所成角的正弦值的取值范圍為__________.【正確答案】【分析】首先根據(jù)正余弦定理求解三角形，再以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，并求出點(diǎn)的軌跡方程，并利用，求得點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍，相結(jié)合后，即可求解線面角正弦值的取值范圍.【詳解】，得，即，中，根據(jù)余弦定理，，根據(jù)正弦定理，，得如圖，以底面點(diǎn)為空間原點(diǎn)建系，根據(jù)底面幾何關(guān)系，得點(diǎn),,設(shè)點(diǎn)，翻折后點(diǎn)的投影在軸上，所以的縱坐標(biāo)為0，即，，由，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，，整理為如右圖，在翻折過程中，作于點(diǎn)，則，并且，平面，所以平面，平面,所以，即，其中，又動點(diǎn)在線段上動，設(shè)，故，且，由，得，，又因?yàn)?，對?yīng)的的取值為，即,.則斜線與平面所成角的正弦值的取值范圍為.故關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查空間向量解決角的問題，關(guān)鍵1，求點(diǎn)的軌跡，關(guān)鍵2，根據(jù)幾何關(guān)系可得，根據(jù)坐標(biāo)運(yùn)算，即可求解.四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.已知直線經(jīng)過兩點(diǎn)，.（1）求直線和直線的一般式方程；（2）已知直線經(jīng)過直線與直線的交點(diǎn)，且在軸上的截距是在軸上的截距的倍，求直線的一般式方程.【正確答案】（1）；（2）或【分析】（1）根據(jù)直線過兩點(diǎn)從而可求解其一般式方程，由，可求出的一般方程；（2）求出直線和的交點(diǎn)，再結(jié)合在坐標(biāo)軸上截距，從而可求解.【小問1詳解】由題意可得，直線的斜率為,所以得其方程為，整理化簡得其一般式方程為：，因?yàn)?，所以：可設(shè)的方程為：，又因?yàn)?，所以：，得一般式方程為，綜上.【小問2詳解】聯(lián)立，得，所以交點(diǎn)坐標(biāo)是，由題意知，（i）當(dāng)直線在軸上的截距是在軸上的截距的倍且為時(shí)，即，此時(shí)的方程為；（ii）當(dāng)直線在軸上的截距是在軸上的截距的倍且不為時(shí)，此時(shí)可設(shè)直線的方程為，因?yàn)?，所以：，得：，滿足條件，此時(shí)的方程為，綜上，的方程為或.16.如圖，在四棱錐中，是邊長為3的正三角形，，平面平面.（1）求證：平面；（2）若，求二面角的平面角的正切值.【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）由面面垂直的性質(zhì)定理和線面垂直的判定定理證明即可；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，分別求出面和面，由二面角的向量公式結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系即可得出答案.小問1詳解】連接交于點(diǎn)，由平面幾何知識易知，又平面平面是交線，平面，平面，又平面，，又平面，平面；【小問2詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，若，則易知是平面的一個法向量，設(shè)是平面一個法向量則，即，令，則，所以二面角的平面角為銳角，二面角的平面角的余弦值為，二面角的平面角的正弦值為二面角的平面角的正切值為.17.已知圓，直線過點(diǎn)．（1）求圓的圓心坐標(biāo)和半徑；（2）若直線與圓相切，求直線的方程；（3）若直線與圓相交于兩點(diǎn)，求三角形的面積的最大值，并求此時(shí)直線的方程.【正確答案】（1）圓心為，半徑為2；（2）或；（3），或【分析】（1）由圓的一般方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程即可求解；（2）先考慮直線斜率不存在時(shí)是否滿足要求，再考慮直線斜率存在時(shí)，利用圓心到直線距離求出直線的方程；（3）方法一：設(shè)出直線方程，利用垂徑定理得到面積函數(shù)，由均值不等式的結(jié)論可得面積的最大值及此時(shí)直線的方程；方法二：利用三角形面積公式表達(dá)出，得到當(dāng)時(shí)，取最大值2，此時(shí)點(diǎn)到的距離為，利用點(diǎn)到直線距離求出直線斜率，得到此時(shí)直線的方程.【小問1詳解】由可得：所以圓心的圓心坐標(biāo)為，半徑為2；【小問2詳解】①若直線的斜率不存在，則直線：，符合題意；②若直線斜率存在，設(shè)直線的方程為y=kx?1，即，由題意知，圓心到已知直線的距離等于半徑2，即，解得，所求直線的方程是或；【小問3詳解】方法一：直線與圓相交，斜率必定存在，且不為0，設(shè)直線方程為，則圓心到直的距離，又∵三角形CPQ面積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，三角形CPQ的面積的最大值為2，由，有，或，此時(shí)直線方程為，或．方法二：，當(dāng)時(shí)，取最大值2，此時(shí)點(diǎn)到的距離為，設(shè)：，由，解得或，故所求直線的方程為或.18.如圖，已知垂直于梯形所在的平面，矩形的對角線交于點(diǎn)F，G為的中點(diǎn)，，.（1）求證：平面；（2）在線段（不含端點(diǎn)）上是否存在一點(diǎn)H，使得平面與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的長；若不存在，說明理由.【正確答案】（1）證明見解析；（2）存在滿足題意的點(diǎn)H，此時(shí).【分析】（1）由題意以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，接著求出和平面的一個法向量，計(jì)算即可得證.（2）設(shè)求出，由和求出平面的一個法向量，由和求出平面的一個法向量，接著由平面與平面所成角的正弦值為得，進(jìn)而求出，從而得解.【小問1詳解】由題意可以A為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，∴，，，，，C1,1,0，A0,0,0∴，，，設(shè)平面的法向量為，則，所以，令，則，∴，∵平面，∴平面.【小問2詳解】由（1）得，，，，，假設(shè)在線段（不含端點(diǎn)）上存在一點(diǎn)H，使得平面與平面所成角的正弦值為，則，，設(shè)平面法向量n1=x1所以，令，則，設(shè)平面法向量，