特征函數(shù)及其應(yīng)用

PAGE6特征函數(shù)及其應(yīng)用1引言在概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，我們學(xué)習(xí)了特征函數(shù)，發(fā)現(xiàn)了它可以更高級(jí)、優(yōu)越、方便的表示出一般的隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律．是研究隨機(jī)變量的重要工具．本文將向大家詳細(xì)的闡述特征函數(shù)的基本概念，性質(zhì)以及特征函數(shù)的應(yīng)用和一些相關(guān)定理的證明．2特征函數(shù)2.1特征函數(shù)的定義設(shè)是定義在樣本空間上的隨機(jī)變量．稱的復(fù)值函數(shù)cos+sin的數(shù)學(xué)期望+其中，，為隨機(jī)變量的特征函數(shù)，記為．特征函數(shù)一般為實(shí)變量的復(fù)值函數(shù)，它對(duì)一切有定義．事實(shí)上，當(dāng)是連續(xù)型隨機(jī)變量時(shí)，對(duì)，總有若為離散型隨機(jī)變量，則因此，任一隨機(jī)變量，必有特征函數(shù)存在．2.2特征函數(shù)的性質(zhì)有界性：一致連續(xù)性：在上一致連續(xù)非負(fù)定：對(duì)個(gè)實(shí)數(shù)，，及復(fù)數(shù)，，，總有，這里表示的共軛若，，，為常數(shù)，則設(shè)的特征函數(shù)分別為，，又與相互獨(dú)立，則的特征函數(shù)為2.3特征函數(shù)與矩的關(guān)系在以前的學(xué)習(xí)中，我們發(fā)現(xiàn)求隨機(jī)變量的各階矩往往需要作繁難的求無窮級(jí)數(shù)和或無窮積分的計(jì)算，有時(shí)應(yīng)用一定的技巧方可計(jì)算出結(jié)果．現(xiàn)在我們有了特征函數(shù)這一優(yōu)越的工具后，可以通過對(duì)特征函數(shù)求導(dǎo)的方法來計(jì)算隨機(jī)變量的矩．設(shè)隨機(jī)變量有階矩存在，則的特征函數(shù)可微分次，且對(duì)，有設(shè)有密度函數(shù)，則=由于的階矩存在，即有從而可以在積分號(hào)下對(duì)求導(dǎo)次，于是對(duì)，有令即得當(dāng)是離散型隨機(jī)變量時(shí)，證明也是類似的．由這個(gè)性質(zhì)，在求的各階矩（如果他們存在的話），只要對(duì)的特征函數(shù)求導(dǎo)即可．而從定義出發(fā)是要計(jì)算積分的，大家都知道，求導(dǎo)一般總是要比求積分簡(jiǎn)單的多，所以可以這樣說：特征函數(shù)提供了一條求各階矩的捷徑2.4幾種常見分布的特征函數(shù)單點(diǎn)分布設(shè)服從單點(diǎn)分布，即，則兩點(diǎn)分布設(shè)，即，，則二項(xiàng)分布設(shè)，，則普哇松分布設(shè)為普哇松分布，即，，，則均勻分布設(shè)在上均勻分布，即則指數(shù)分布設(shè)服從參數(shù)為的指數(shù)分布，即故由數(shù)學(xué)分析知道由此可得正態(tài)分布設(shè)服從分布，把分布的密度函數(shù)代入中，即有其中是利用復(fù)變函數(shù)中的圍道積分求得的．例1求分布的數(shù)學(xué)期望和方差解已知分布的特征函數(shù)為于是由有由此即得從這里我們可以看出用特征函數(shù)求正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望和方差，要比從定義去證更方便2.5特征函數(shù)與分布函數(shù)的關(guān)系逆轉(zhuǎn)公設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為，特征函數(shù)為，又與為的任意兩個(gè)連續(xù)點(diǎn)，則有其中，當(dāng)時(shí)，按連續(xù)性延拓定義由特征函數(shù)的定義可知，隨機(jī)變量的分布函數(shù)唯一的確定了它的特征函數(shù)．反過來，由唯一性定理可知特征函數(shù)可以唯一地確定它的分布函數(shù)．從而由特征函數(shù)來確定分布函數(shù)的式子也常常稱為“逆轉(zhuǎn)公式”．唯一性定隨機(jī)變量的分布函數(shù)由其特征函數(shù)唯一確定．3特征函數(shù)的應(yīng)用3.1特征函數(shù)在求獨(dú)立隨機(jī)變量和的分布上的應(yīng)用設(shè)，的特征函數(shù)分別為，，又與相互獨(dú)立，則的特征函數(shù)為因?yàn)榕c相互獨(dú)立，由以前的知識(shí)我們知道與也相互獨(dú)立，于是由數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)即得利用歸納法，不難把上述性質(zhì)推廣到個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量的場(chǎng)合，若，，是個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，相應(yīng)的特征函數(shù)為，，…，則的特征函數(shù)為例2設(shè)，，是個(gè)相互獨(dú)立的，且服從分布的正態(tài)隨機(jī)變量，試求的分布．解已知的分布為，故相應(yīng)的特征函數(shù)為由特征函數(shù)的性質(zhì)可知的特征函數(shù)為而這是分布的特征函數(shù)，由分布函數(shù)與特征函數(shù)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系即知服從分布．這正是我們所熟知的可加性，這里用特征函數(shù)作為工具證明了這個(gè)可加性．3.2在普哇松分布收斂于正態(tài)分布上的應(yīng)用連續(xù)性定分布函數(shù)列弱收斂于分布函數(shù)的充要條件是相應(yīng)的特征函數(shù)列收斂于的特征函數(shù)．例3若是服從參數(shù)為的普哇松分布的隨機(jī)變量，證明：證明已知的特征函數(shù)為，故的特征函數(shù)為對(duì)于任意的，有，于是，從而對(duì)任意的點(diǎn)列，有但是是分布的特征函數(shù)，由連續(xù)性定理即知有成立，因?yàn)槭强梢匀我膺x取的，這就意味著成立．即“普哇松分布收斂與正態(tài)分布”．3.3在證明辛欽大數(shù)定律上的應(yīng)用若，…是獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列，且，，則，證明因?yàn)?，…有相同的分布，所以也有相同的特征函?shù)，記這個(gè)特征函數(shù)為，又因?yàn)榇嬖?，從而特征函?shù)有展開式再由獨(dú)立性知的特征函數(shù)為對(duì)任意取定的，有已知是退化分布的特征函數(shù)，相應(yīng)的分布函數(shù)為由連續(xù)性定理知的分布函數(shù)弱收斂于，因是常數(shù)，則有故辛欽大數(shù)定律成立．3.4在證明二項(xiàng)分布收斂于正態(tài)分布上的應(yīng)用在重貝努里試驗(yàn)中，事件在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為，為次試驗(yàn)中事件出現(xiàn)的次數(shù)，則要證明這個(gè)式子我們只需證明下面的這個(gè)式子，因?yàn)樗窍旅娴氖阶拥囊粋€(gè)特例，證明了下面的式子，也就證明了它．若，，…是一列獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，且，，，，…則有證明設(shè)的特征函數(shù)為，則的特征函數(shù)為又因?yàn)?，，所以，于是特征函?shù)有展開式從而對(duì)任意固定的，有，而是分布的特征函數(shù)，由連續(xù)性定理知