初中數(shù)學(xué)自主招生難度講義-8年級(jí)專題06 從地平面到腳手架-分式的運(yùn)算

專題06從地平面到腳手架------分式的運(yùn)算閱讀與思考分式的主要內(nèi)容包括分式的概念、分式的基本性質(zhì)、分式的四則運(yùn)算、簡單的分式方程等．分式的運(yùn)算與分?jǐn)?shù)的運(yùn)算類似，是以整式的變形、因式分解及計(jì)算為工具，以分式的基本性質(zhì)、運(yùn)算法則和約分為基礎(chǔ)．分式的加減運(yùn)算是分式運(yùn)算的難點(diǎn)，解決這一難點(diǎn)的關(guān)鍵是根據(jù)題目的特點(diǎn)恰當(dāng)?shù)赝ǚ?，通分通常有以下策略與技巧：1．分步通分，步步為營；2．分組通分，化整為零；3．減輕負(fù)擔(dān)，先約分再通分；4．拆項(xiàng)相消后通分；5．恰當(dāng)換元后通分，學(xué)習(xí)分式時(shí)．應(yīng)注意：(1)分式與分?jǐn)?shù)的類比．整數(shù)可以看做是分?jǐn)?shù)的特殊情形，但整式卻不能看做是分式的特殊情形；(2)整式與分式的區(qū)別需要討論字母的取值范圍，這是分式區(qū)別于整式的關(guān)鍵所在．分式問題比起整式問題，增加了幾個(gè)難點(diǎn)；(1)從“平房”到“樓房”，在“腳手架”上活動(dòng)；(2)分式的運(yùn)算中多了通分和約分這兩道技術(shù)性很強(qiáng)的工序；(3)需要考慮字母的取值范圍，例題與求解【例1】＝_________時(shí)，分式的值為0.（杭州市中考試題）解題思路：分母不為0時(shí)，分式有意義，分子與分母的公因式就不為0．【例2】已知，以，，則的值為()．A.1B．C．2D．（太原市競賽試題）解題思路：不宜直接通分，運(yùn)用已知條件，對(duì)分母分解因式，分解后再通分.【例3】計(jì)算：(1)（武漢市競賽試題）(2)（天津市競賽試題）（3）（贛州市競賽試題）（4）（漳州市競賽試題）解題思路：由于各個(gè)分式復(fù)雜，因此，必須仔細(xì)觀察各式中分母的特點(diǎn)，恰當(dāng)運(yùn)用通分的相關(guān)策略與技巧；對(duì)于(4)，注意到題中各式是關(guān)于或的代數(shù)式，考慮設(shè)，，則，通過換元可降低問題的難度．當(dāng)一個(gè)數(shù)學(xué)問題不能或不便于從整體上加以解決時(shí)，我們可以從局部入手將原題分解。這便是解題的分解策略．解絕對(duì)值問題時(shí)用的分類、分段討論；解分式問題時(shí)用的分步分組通分、因式分解的分組分解法以及裂項(xiàng)求值等都是分解策略的具體運(yùn)用.【例4】求最大的正整數(shù)，使得能被＋10整除．（美國數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題）解題思路：運(yùn)用長除法或把兩個(gè)整式整除的問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)分式的問題加以解決.類似于分?jǐn)?shù)，當(dāng)一個(gè)分式的分子的次數(shù)高于或等于分母的次數(shù)，那么就可以將分式化為整數(shù)部分與分式部分的和，分式的這種變形稱為拆分變形，是拆項(xiàng)變形的一種．【例5】已知，，，求的值．（太原市競賽試題）解題思路：設(shè)法求出的值．【例6】(1)設(shè)，，均為非零實(shí)數(shù)，并且，，，則等于多少？（北京市競賽試題）(2)計(jì)算：（上海市競賽試題）解題思路：對(duì)于(1)，通過變換題中等式，即可列出方程組，解得，，的值；對(duì)于(2)，仔細(xì)觀察，即可發(fā)現(xiàn)其中規(guī)律．A級(jí)1．要使分式有意義，則的取值范圍是________.2．代數(shù)式的值為整數(shù)的全體自然數(shù)的和是________.（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）3．已知為整數(shù)，且為整數(shù)，則所有符合條件的值的和為________.（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）4．若，則＝________.（“祖沖之杯”邀請(qǐng)賽試題）5．關(guān)于分式，下列四種說法中正確的是( ).A．含有分母的代數(shù)式叫做分式B.分式的分母、分子同乘以（或除以）2＋3，分式的值不變C．當(dāng)時(shí)．分式的值為D．分式的最小值為零（重慶市競賽試題）6．已知分式的值為零，則的值為( ).A．±1B．－lC．8D.－l或8（江蘇省競賽試題）7.若取整數(shù)，則使分式的值為整數(shù)的值有()．A.3個(gè)B．4個(gè)C．6個(gè)D．8個(gè)（江蘇省競賽試題）8．若對(duì)于±3以外的一切數(shù)均成立，則的值是()．A.8B．－8C．16D．－169．計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)(5)10．當(dāng)分別取，，…，，1，2，…，2006，2007，時(shí)．求出代數(shù)式的值，將所得結(jié)果相加求其和.（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）已知，求證：（波蘭奧林匹克試題）已知，則的值．（北京市競賽試題）B級(jí)1．如果使分式有意義的一切的值，都使這個(gè)分式的值是一個(gè)定值，那么，應(yīng)滿足的條件是__________.2．已知，其中A，B，C為常數(shù)，則B＝__________.（“五羊杯”競賽試題）3．設(shè)正整數(shù)，滿足且，則＝__________.（“宇振杯”上海市競賽試題）4．當(dāng)＝_______時(shí)，分式有最小值，最小值是__________.（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）5．已知，那么代數(shù)式的值是()．A．5B．7C．3D．6．已知，滿足ab＝1，記，則M，N的關(guān)系為()．A.M＞NB．M＝NC．M＜ND．不確定（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）7．以，，為非零實(shí)數(shù)，且，若，解等于()A.8 B．4 C．2 D．1（天津市競賽試題）8．已知有理數(shù)，，滿足，＜0，那么的值是()．A.正數(shù)B．零C．負(fù)數(shù)D．不能確定（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）9．化簡：(1)(2)10.為自然數(shù)，若，則稱為1996的吉祥數(shù)，如，4就是1996的一個(gè)吉祥數(shù)，試求1996的所有吉祥數(shù)的和．（北京市競賽試題）11.用水清洗蔬菜上殘留的農(nóng)藥．設(shè)用(≥1)單位量的水