高中數(shù)學(xué)講義（人教B版2019必修三）第23講專題8-4平面向量8種最值問題

專題84平面向量8種最值問題TOC\o"13"\h\u題型1數(shù)量積最值 1題型2模長最值 6題型3夾角取值范圍 11題型4平面向量系數(shù)最值 12題型5平面向量與三角函數(shù)結(jié)合 19題型6平面向量與二次函數(shù)結(jié)合 24題型7平面向量與基本不等式結(jié)合 28題型8平面向量與三角形結(jié)合 30題型1數(shù)量積最值【例題11】（2023春·湖北黃岡·高一?？计谥校┤鐖D所示，在矩形ABCD中，AB=2BC=4，動點(diǎn)M在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上，則A．4 B．4 C．1 D．1【答案】A【分析】先根據(jù)條件求得C到BD的距離d，再把所求轉(zhuǎn)化為AM?【詳解】在矩形ABCD中，AB=2BC=4，動點(diǎn)M在以C所以AC=如圖所示，連接AC,CM,設(shè)C到BD的距離為d，則則AM?其中AC?BD=(當(dāng)且僅當(dāng)CM與BD同向時(shí)，等號成立，所以AM?即AM?BD的最大值為故選：A.【變式11】1．（2023春·吉林長春·高一長春市第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在2022年2月4日舉行的北京冬奧會開幕式上，貫穿全場的雪花元素為觀眾帶來了一場視覺盛宴，象征各國、各地區(qū)代表團(tuán)的“小雪花”匯聚成一朵代表全人類“一起走向未來”的“大雪花”的意境驚艷了全世界（如圖①），順次連接圖中各頂點(diǎn)可近似得到正六邊形ABCDEF（如圖②）．已知正六邊形的邊長為1，點(diǎn)M滿足AM=AB+AF，則|AM|=【答案】132/【分析】由題可得AB=AF=1,AB,AF=【詳解】由題可知AB=∴AM2∴AM=1結(jié)合AM=AB+AF以及正六邊形的幾何特征可知所以AM?BP要使AD?BP最大，可知當(dāng)P在D處時(shí)，AD?即AM?故答案為：12；【變式11】2．（2023春·廣東佛山·高一佛山市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，正六邊形ABCDEF邊長為1，記AB=a，從點(diǎn)A、B、【答案】2【分析】要使a?b最大，只需b及【詳解】由于a?b=a?b?cosθ，其中θ為a與b的夾角，要使當(dāng)cosθ最大時(shí)取cosθ=1，此時(shí)θ=0°，即a//b且a與b同向，要使b最大又要使則b=FC，此時(shí)a?故答案為：2【變式11】3．（2023春·安徽滁州·高一安徽省滁州中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，菱形ABCD的邊長為4，∠BAD=30°，M為DC的中點(diǎn)，若N為菱形內(nèi)任意一點(diǎn)（含邊界），則【答案】24+123/【分析】用AB,AD表示出AM,【詳解】由題意AM=AD+AM?AN=8x所以x=1,y=1時(shí)，AM故答案為：24+123【變式11】4．（2023春·重慶·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在四邊形ABDC中，CB?CD=0，且2DC=【答案】6【分析】設(shè)∠CAB=2θ，利用余弦定理可求得BC=4sinθ【詳解】設(shè)∠CAB=2θ作DE⊥AC，交AC的延長線于點(diǎn)由余弦定理得：BC2=4+4?8cos2即DC=2sinθ，∵CB?CD=0，∴CB∴CE∴AC∵θ∈0,π2，∴2θ∈∴AC故答案為：6.題型2模長最值【例題2】（2023春·北京·高一首都師范大學(xué)附屬中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，A，B，C三點(diǎn)在半徑為l的圓O上運(yùn)動，M是圓O外一點(diǎn)，且AC⊥BC，OM=2A．4 B．5 C．6 D．7【答案】D【分析】連接AB，結(jié)合題意得到O為AB的中點(diǎn)，再利用向量的運(yùn)算即可求解.【詳解】連接AB，由題意可知AB為圓O的直徑，所以O(shè)為AB的中點(diǎn)，則MA+MB+故選：D.【變式21】1．（2023春·江蘇南京·高一南京市第五高級中學(xué)?？计谥校┰凇鰽BC中，已知A=60°，A．1 B．2 C．3 D．2【答案】C【分析】由余弦定理得到b2+c2=4+【詳解】解：由余弦定理得a2即4=b2+所以4=b∴bc≤4因?yàn)锳D=所以AD2=1∴|AD故選：C．【變式21】2．（2021春·四川成都·高一四川省成都市鹽道街中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知邊長為1的正方形ABCD位于第一象限，且頂點(diǎn)A，D分別在x，y的正半軸上（含原點(diǎn)O）滑動，則OB+A．1 B．2 C．3 D．10【答案】C【分析】設(shè)出∠OAD=θ，用θ【詳解】解：當(dāng)A與O重合時(shí)，B(1,0),C(1,1)，此時(shí)OB當(dāng)A與O不重合時(shí)，設(shè)∠OAD=θ因?yàn)锳D=1，所以O(shè)ABcosθ+cosOB=(cosOB+OB+OC所以當(dāng)2θ=π2，即綜上可知OB+故選：C.【變式21】3．（2023春·陜西西安·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）若向量a，b滿足a=6，b=5，a?b>0，且當(dāng)A．?33 B．?14 C．【答案】C【分析】應(yīng)用向量的數(shù)量積公式把最小值為1轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值，計(jì)算求解即可【詳解】λa又因?yàn)閍=6，b=5又因?yàn)閍?b>0且λ∈?∞,0所以λ化簡得36λ2=4,解得λ故選:C.【變式21】4.（多選）（2023春·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱三中?？茧A段練習(xí)）已知向量a=3,2cosA．若a∥b，則α=π6或πC．a(chǎn)?b的最小值為1 D．【答案】BD【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)表示向量數(shù)量積、平行、垂直、向量模長來進(jìn)行求解即可.【詳解】選項(xiàng)A：a=3,2cosα，b=2sinα選項(xiàng)B：a⊥b，a=3,2cosα，選項(xiàng)C：a=3,2cosα，b=2sinα選項(xiàng)D：由C得；a?b=8?8sinα故選：BD.【變式21】5．（2023春·安徽六安·高一六安一中校考階段練習(xí)）已知a=1,3【答案】4【分析】將向量進(jìn)行線性運(yùn)算后，按照向量的求模公式，結(jié)合輔助角公式求最值即可.【詳解】a======因?yàn)棣取蔙，所以?1≤sin(所以0≤8?8sin(所以a?2b的最大值為故答案為：4.【變式21】6．（2023春·高一單元測試）已知向量a,b滿足a=1，b【答案】42【分析】利用向量數(shù)量積運(yùn)算律可得到a+b=5+4cosθ，a?b【詳解】設(shè)a,b的夾角為∵aa?∴a令t=5+4cosθ+5?4cos∵cos2θ∈0,1，∴25?16即a+b+a?故答案為：4；25【變式21】7.（2021春·高一課時(shí)練習(xí)）若向量a,b滿足|a|=2,|b【答案】15【分析】根據(jù)向量的性質(zhì)，根據(jù)a,b的夾角情況求|a【詳解】當(dāng)a,b反向時(shí)，|a當(dāng)a,b反向時(shí)，|a?題型3夾角取值范圍【例題3】（2023春·江蘇鹽城·高一江蘇省阜寧中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在△ABC中，有AC?ABA．27 B．23 C．147【答案】D【分析】利用余弦定理和數(shù)量積定義化簡得出三角形三邊a，b，c的關(guān)系，利用基本不等式求出cosC的最小值，顯然C為銳角，要使tanC取最大值，則cosC取最小值，從而得出sin【詳解】因?yàn)锳C?所以AC?又AC?BC=所以AC又AB?AC=bccos所以b2即a2∴cosC當(dāng)且僅當(dāng)a3b=顯然C為銳角，要使tanC取最大值，則cosC取最小值23所以tanC=sinCcos故選：D．【變式31】（2023春·重慶北碚·高一西南大學(xué)附中?？茧A段練習(xí)）平面向量a，b滿足b=2a，且a?b=3A．?32 B．?12 C．【答案】A【分析】由a?b=3【詳解】由a?b=3兩邊平方得a則2acos=?3a2則b與a?b夾角的余弦值的最大值故選：A.題型4平面向量系數(shù)最值【例題4】（2023春·吉林長春·高一汽車區(qū)第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，點(diǎn)C是半徑為1的扇形圓弧AB上一點(diǎn)，且∠AOB=3π4A．1 B．52 C．10 【答案】C【分析】由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，結(jié)合兩角和的正弦公式，求三角函數(shù)的最值即可.【詳解】如圖所示，以O(shè)B為x軸，過O作與OB垂直的線作為y軸，∵∠AOB=3π4，設(shè)Ccosθ,sinθ∴∴∴sinθ+φ=1時(shí)，故選：C.【變式41】1．（2023春·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱市第六中學(xué)校校考階段練習(xí)）如圖，在邊長為1的正方形ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，P點(diǎn)在正方形內(nèi)（含邊界），且AP=AB.①若BP=AB，則AP?BP的值是___________；②以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AD向量所在軸為【答案】12/0.5【分析】①由題知△ABP②點(diǎn)P的軌跡為以A為圓心，AB為半徑的圓在正方體ABCD內(nèi)的圓弧部分，設(shè)Pcosα,sin【詳解】解：①因?yàn)锳P→=AB所以△ABP所以AP?②因?yàn)锳P→所以點(diǎn)P的軌跡為以A為圓心，AB為半徑的圓在正方體ABCD內(nèi)的圓弧部分，因?yàn)檎襟wABCD的邊長為1，所以,設(shè)點(diǎn)Pcosα,sin所以，AB=因?yàn)椋珹P=所以cosα所以，λ+μ=cos所以2λ其中tanφ=2，sinφ因?yàn)棣痢?,π所以，2λ+3μ所以，cosα=cosπ所以，當(dāng)2λ+3μ取得最大值5時(shí)，點(diǎn)P故答案為：12；【變式41】2．（2023春·廣東佛山·高一?？茧A段練習(xí)）如圖，OM//AB，點(diǎn)P在由射線OM、線段OB及AB的延長線圍成的區(qū)域（含邊界）運(yùn)動，且【答案】32【分析】利用向量加法的幾何意義直接求解.【詳解】由題意：OM//AB,點(diǎn)P在由射線OM、線段OB及AB的延長線圍成的區(qū)域（含邊界）運(yùn)動，且當(dāng)OP=?因?yàn)镃D//OB,所以因?yàn)镺C=12所以CE=所以y的取值范圍是12所以y的最大值是32故答案為：32【變式41】3．（2023春·山東濱州·高一?？茧A段練習(xí)）如圖所示，點(diǎn)P是平行四邊形BCDE內(nèi)（含邊界）的一點(diǎn)，點(diǎn)B是AC的中點(diǎn)，BE=2OB，且①當(dāng)CP=2PE時(shí)，②x?【答案】?1【分析】根據(jù)題意作出圖形，利用向量的線性運(yùn)算及平行四邊形的性質(zhì)，結(jié)合圖形即可求解.【詳解】①由題意可知，作出圖形如圖所示因?yàn)辄c(diǎn)B是AC的中點(diǎn)，所以O(shè)B=12因?yàn)锽E=2所以O(shè)E=3因?yàn)镃P=2所以CP=所以O(shè)P=OC+所以當(dāng)CP=2PE時(shí)，②過P作PM∥AO交OE于M,過P作PN∥OE交因?yàn)樗倪呅蜳MON是平行四邊形，所以O(shè)P=又OP=所以x≤0，y由圖形看出，當(dāng)P與B重合時(shí)，OP=0?此時(shí)x取最大值0，y取得最小值1所以x?y的最大值為故答案為：?13；【變式41】4．（2023春·江蘇宿遷·高一?？茧A段練習(xí)）在Rt△ABC中，已知AB=3,AC=4,P是斜邊BC上一動點(diǎn)，點(diǎn)Q滿足PQ=2，若AQ=mAB【答案】1116/【分析】根據(jù)共線定理推論即得；建立直角坐標(biāo)系，寫出直線BC的方程，根據(jù)方程設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)，結(jié)合條件可得Q的軌跡方程，進(jìn)而設(shè)出點(diǎn)Q坐標(biāo)，根據(jù)已知表示出m+【詳解】因?yàn)锳Q=mAB+n則m+以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AC所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A0,0，B3,0，C0,4則可設(shè)Pt,4?4由PQ=2可設(shè)Qt由AB=3,0，AC=因?yàn)锳Q=所以t+2cos所以t+2cosθ=3則m+n=所以1?5即16≤m+n故答案為：1；116題型5平面向量與三角函數(shù)結(jié)合【例題5】（2023春·福建福州·高一?？计谥校┮阎矫嫦蛄縜，b，且滿足a?b=|a|=|【答案】2【分析】先根據(jù)平面向量的數(shù)量積公式求出a→與b→的夾角，根據(jù)條件，可設(shè)a→=2,0【詳解】解：∵a→?b→=a∴a∴cosθ=12，又不妨設(shè)a→=2,0則a=3cos即a→所以a→?e故答案為：23【變式51】1．（2023春·江蘇常州·高一江蘇省前黃高級中學(xué)校考期中）在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知向量a=(2,?1)，點(diǎn)A(3,0),B(1)若AB⊥a，求(2)若AC//a，當(dāng)λsin【答案】(1)41(2)λ【分析】（1）由向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算得出t，再由模長公式計(jì)算即可；（2）由向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算得出λ=3?2sin【詳解】（1）∵A(3,0),B(1,若AB⊥a，則AB?a=0∴OB?2∴OB?2（2）由題意，AC=(∵向量AC與a共線，∴3?λ=2sinθ∴λsinθ=(3?2sin∵sinθ∴當(dāng)sinθ=34【變式51】2．（多選）（2023春·湖北黃岡·高一校聯(lián)考期中）正方形ABCD的邊長為4，E是BC中點(diǎn)，如圖，點(diǎn)P是以AB為直徑的半圓上任意點(diǎn)，AP=A．μ最大值為1 B．AP·AB最大值是8C．λ最大值為5+14 D．AP?【答案】AD【分析】建系，設(shè)P2cos【詳解】如圖，以AB的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，則A?2,0設(shè)P2cos可得AP=則λAB由題意可得4λ+4μ對于A：∵μ=sinθ，且θ∈0,π，可得當(dāng)∴μ最大值為1，故A正確；對于B：AP·AB=4∵θ∈0,π，可得當(dāng)θ=0∴AP·AB最大值是81+1對于C：∵λ=12由θ∈0,π，則令φ≤θ+φ<π，解得0≤故λ=52cosθ當(dāng)θ=0時(shí)，則λ=1；當(dāng)θ=π∴λ最大值是1，故C錯(cuò)誤；對于D：AP?AC∵θ∈0,π，則則當(dāng)θ+π4=π∴AP?AC最大值是8+8故選：AD.【點(diǎn)睛】方法定睛：1．平面向量的線性運(yùn)算要抓住兩條主線：一是基于“形”，通過作出向量，結(jié)合圖形分析；二是基于“數(shù)”，借助坐標(biāo)運(yùn)算來實(shí)現(xiàn)．2．正確理解并掌握向量的概念及運(yùn)算，強(qiáng)化“坐標(biāo)化”的解題意識，注重?cái)?shù)形結(jié)合思想、方程思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．【變式51】3．（2021·高一課時(shí)練習(xí)）已知向量a=cosx,sinx(1)若x=π6(2)當(dāng)x∈π2【答案】(1)5π(2)1【分析】（1）代入已知，可得a=32（2）化簡可得fx=2【詳解】（1）由已知可得，a=所以a?c=所以cosa因?yàn)閍,c∈（2）由已知可得，a?b=?所以，fx令X=2因?yàn)閤∈π2因?yàn)閥=sinX在3π4且sin3π4=22所以，當(dāng)3π4≤X≤2π時(shí)，函數(shù)y=sin所以，當(dāng)2x?π4=【變式51】4．（2023春·湖北·高一校聯(lián)考期中）已知向量m=cosx,?1，(1)若m//n，求(2)已知a,b,c為△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊，a=1，【答案】(1)12?4(2)34或【分析】（1）根據(jù)向量平行坐標(biāo)表示可求得tanx；方法一：利用cos2x=1tan2x+1（2）根據(jù)向量數(shù)量積運(yùn)算坐標(biāo)表示和三角恒等變換知識可化簡得到fx，根據(jù)正弦型函數(shù)最值求法，結(jié)合A的范圍可求得A，利用余弦定理可構(gòu)造方程求得b【詳解】（1）∵m//n，∴?方法一：cos2x=∴cos方法二：cos2（2）fx=m當(dāng)x∈0,π2時(shí)，2x+π6∈∵a<c，∴A<C，則A∈由余弦定理得：a2=b解得：b=1或b當(dāng)b=1時(shí)，S當(dāng)b=2時(shí)，S∴△ABC的面積為34或題型6平面向量與二次函數(shù)結(jié)合【例題6】（2023春·安徽合肥·高一合肥一中?？茧A段練習(xí)）已知向量u=(x+2,3)，v=(xA．0 B．?1 C．2 D．1【答案】B【分析】直接利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)化運(yùn)算得到f(【詳解】f(故當(dāng)x=?1故選：B.【變式61】1．（2023春·河北石家莊·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)非零向量a和b的夾角是2π3，且b=a，則t【答案】3【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算，先求ta【詳解】∵ta∴當(dāng)t=1時(shí)，ta+2ba故答案為：3【變式61】2.（2023春·遼寧葫蘆島·高一?？茧A段練習(xí)）已知平面向量a→,b→,c→滿足，a【答案】8【分析】根據(jù)向量共線得b=λc【詳解】由b//c，設(shè)b=λc所以c2故當(dāng)λ=38時(shí)，此時(shí)c2取到最大值643故答案為：8【變式61】3．（2023春·遼寧沈陽·高一?？茧A段練習(xí)）已知a=cosx+sinx,?2a(1)求ga(2)若ga=12，求【答案】(1)ga(2)a=?1【分析】（1）化簡得f(x)=2（2）對a分三種情況討論，求出a的值，再利用二次函數(shù)的圖象求解.【詳解】（1）由f=cos2x?sin這里?1≤cosx①當(dāng)?1≤a2≤1即?2≤②當(dāng)a2>1即a>2，cos③當(dāng)a2<?1即a<?2，cos因此，ga=1,（2）ga①若a>2，則有1?4a=②若?2≤a≤2，則有即a2+4a+3=0，∴∴ga=1③若a<?2，g所以a=?1此時(shí)，fx=2cosx+【變式61】4．（2023春·四川成都·高一樹德中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在△ABC中，已知AB=2，AC=1，AB?AC=?1(1)當(dāng)t=?1且λ(2)若PA?【答案】(1)19(2)?3【分析】（1）用AB,AC表示（2）結(jié)合題目條件和向量積的公式，逐步化簡，可得到7λ【詳解】（1）因?yàn)閠=?1且λ=12，所以A是CQ的中點(diǎn)，P是設(shè)AB=a所以CM=CM=（2）因?yàn)镃P=λCB所以AP=PQ=AP?PA?由PA?PQ+3=所以t1?2λ=7λ2所以12<λ令m=1?2λ∈?1,0，則t=74題型7平面向量與基本不等式結(jié)合【例題7】（2023春·湖北黃岡·高一?？计谥校┮阎猘，b是兩個(gè)平面向量，b=2且對任意t∈R，恒有b【答案】2【分析】由題意知a⊥(b?a)，從而設(shè)a【詳解】∵對任意t∈R，恒有∴向量b的終點(diǎn)到向量a所在直線的距離最短.∴a設(shè)a=x，b?∴a當(dāng)且僅當(dāng)“x∴a?b+故答案為：2.【變式71】1．（2023春·江蘇南通·高一江蘇省通州高級中學(xué)?？计谥校┰凇鰽BC中，A=2π3，點(diǎn)D在邊BC上，AD【答案】6【分析】先根據(jù)△ABC的面積得bc=16，再根據(jù)△ABD的面積與△ADC的面積和為43得【詳解】因?yàn)椤鰽BC的面積為43，所以1AD?AC=0因?yàn)椤鰽BD的面積與△ADC的面積和為43所以12從而AD=163因此AD的最大值是6.故答案為：6.【變式71】2．（2022春·福建·高一福建省泉州第一中學(xué)?？计谥校┰凇鰽BC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且sinA=sinC，(1)若m=?1，c=1，求(2)若點(diǎn)P在角A的角平分線上且m=【答案】(1)2(2)π【分析】（1）先求出AC,AP，再根據(jù)（2）利用角平分線的性質(zhì)以及AP=2AB+【詳解】（1）因?yàn)閟inA=sinC，c因?yàn)閙=?1，所以AP=2AB因?yàn)閏osA=1+AC?AP=b4?所以AC?（2）因?yàn)辄c(diǎn)P在角A的角平分線上，所以AP=因?yàn)锳P=2AB+2AC，所以λ因?yàn)閟inA=sinC，所以a因?yàn)锳∈0,π，所以題型8平面向量與三角形結(jié)合【例