2024-2025學(xué)年蘇科版江蘇九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期 第1-2章 階段復(fù)習(xí)（解析版）

第1?2章階段復(fù)習(xí)（七大模塊）

模塊1：一元二次方程概念及應(yīng)用

1.（22-23九年級上?江蘇常州?階段練習(xí)）下列方程中是一元二次方程的是（）

A.ax2+bx+c=QB.x-l=0C.7x2-6=0D.2x2-5y=0

【答案】C

【分析】本題考查了一元二次方程的定義，一元二次方程的定義包括三點(diǎn)：①是整式方程，②只含有一個(gè)

未知數(shù)，③所含未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是2,另外一元二次方程的一般形式是辦2+6x+c=0（a#0）.根據(jù)

一元二次方程的定義進(jìn)行判斷即可.

【解析】解：A.當(dāng)”=0時(shí)，辦2+隊(duì)+0=0不是一元二次方程，故此選項(xiàng)不符合題意；

B.X-1=0是一元一次方程，故此選項(xiàng)不符合題意；

C.7x2-6=0是一元二次方程，故此選項(xiàng)符合題意；

D.2/-5y=0是二元二次方程，故此選項(xiàng)不符合題意；

故選：C.

2.（22-23九年級上?江蘇宿遷?階段練習(xí)）一元二次方程/一3工-4=0的常數(shù)項(xiàng)是（）

A.-4B.4C.-3D.2

【答案】A

【分析】本題考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程辦2+6x+c=0中，。叫作二次項(xiàng)系數(shù)，6叫作

一次項(xiàng)系數(shù)，c叫作常數(shù)項(xiàng)，據(jù)此即可解答.

【解析】解：一元二次方程好一3》-4=0的常數(shù)項(xiàng)是-4.

故選：A

3.（23-24九年級上?江蘇連云港?階段練習(xí)）將方程（3x-l乂2x+4）=3化為一元二次方程的一般形式：.

【答案】6X2+10X-7=0

【分析】此題考查了一元二次方程的一般形式，即?2+bx+c=0（aw0）.其中。是二次項(xiàng)系數(shù)，6是一次項(xiàng)

系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng).先運(yùn)用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則展開，再移項(xiàng)合并即可.

【解析】解：（3x-l）（2x+4）=3,

6x~+12x—2x—4=3,

6x2+1Ox—7=0,

故答案為：6X2+10X-7=0.

4.（23-24八年級下?江蘇泰州?階段練習(xí)）方程（2-7〃）/二工+3=0是關(guān)于x的一元二次方程，則優(yōu)=.

【答案】-2

【分析】本題考查了一元二次方程的定義.一元二次方程必須滿足四個(gè)條件：（1）未知數(shù)的最高次數(shù)是2；

（2）二次項(xiàng)系數(shù)不為0；（3）是整式方程；（4）含有一個(gè)未知數(shù)，熟練掌握其性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵.

【解析】解：???方程（2-心）尤阿-尤+3=0是關(guān)于x的一元二次方程，

故答案為：-2.

5.（23-24九年級上?江蘇連云港?階段練習(xí)）x=l是關(guān)于x的方程，+x-a=o的解，則°的值是（）

A.-2B.2C.-1D.1

【答案】B

【分析】根據(jù)方程解的定義，把x=l代入方程即可得出。的值.

【解析】解：???關(guān)于》的方程Y+x-a=0的解是x=l,

1+1-。=0,

..a=2.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解，掌握方程解的定義，以及一元一次方程的解法是解答本題的關(guān)鍵.

6.（23-24九年級上?江蘇泰州?階段練習(xí)）如果關(guān)于x的一元二次方程"2+法-1=0的一個(gè)解是x=l,則

2023-a-b=.

【答案】2022

【分析】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的

解.利用一元二次方程解的定義得到。+6=1,然后把2023-a變形為2023-（a+6）,再利用整體代入的

方法計(jì)算.

【解析】解：把％=1代入方程ax?+法一1=0得。+6一1=0,

所以〃+b=1,

所以2023-=2023-（a+b）=2023-1=2022.

故答案為：2022.

模塊2：一元二次方程的解法

7.(23-24九年級上?江蘇宿遷?階段練習(xí))方程/=x的解是()

A.x=-1B.x=1

C.項(xiàng)=。，％2=1D.演=0,X?=-1

【答案】c

【分析】本題考查了解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程的解法：直接開平方法，配方法,

公式法，因式分解法等.利用因式分解法解一元二次方程即可.

【解析】x2=x

x2-x=0

x(x-l)=0

；.x=0或x-l=0

:.Xj=0,—1.

故選：c.

8.(23-24九年級上?江蘇連云港?階段練習(xí))一元二次方程x2-8x+7=0配方后可變形為()

A.(x+8)2=16B.(x+4)2=9c.(x-4)2=9D.(x-8)2=16

【答案】C

【分析】根據(jù)配方法的步驟解答即可得.

【解析】解：方程V一8x+7=0移項(xiàng)得：X2-8X=-7,

配方,得f一8x+16=-7+16，

即(工-4)2=9；

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了配方法解一元二次方程，掌握配方的方法是關(guān)鍵.

9.(22-23九年級上?江蘇常州?階段練習(xí))解一元二次方程：

⑴3--6x+2=0(配方法)；

⑵(x-f)(x-2)=5(公式法)；

(3)3尤2-27=0;

(4)(^+2)2=(3y-l)2.

【答案】⑴玉=1+^^,x2=1--^-

3+V213-V21

⑵汨=

222

(3)X]=3,X]=-3

13

(4)M=-->y2=-

【分析】此題考查了解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的各種方法是解題的關(guān)鍵.

(1)方程兩邊都除以3,然后移項(xiàng)，配方解方程即可;

(2)整理成一般形式，利用公式法解方程即可；

(3)變形后用直接開平方法解方程即可；

(4)利用因式分解法解方程即可.

【解析】(1)3X2-6X+2=0

—2xH——0,

3

2.2

x—2x——,

3

解得玉=1+^^,x2=1-^-；

(2)(x-2)=5

整理得，X2-3X-3=0

va=b=—3,c=—3,

.*.A=(-3)2+12=21,

-6±"2-4CZC3±V21

???x=-------------------=----------

2a2

3+VH3-Vn

,?X|—?,X)—

222

(3)3X2-27=0

??-3x2=27

x2=9

開平方得，x2=±3,

:.x,=3,x2=—3

(4)(y+2)2=(3y-l)2

???3+2)2-(3f2=0

.?.[(J+2)+(3J-1)][(J+2)-(37-1)]=0

即(4y+l)(2y-3)=0,

4y+1=0或2y-3=0,

13

解得必=_了%

10.(23-24九年級上?江蘇連云港?階段練習(xí))選用適當(dāng)方法解下列方程:

(1)2(X-1)2-8=0

(^2)x2+2.x—5=0

(3)2X2-3X-1=0

(4)5(X-3)=2x(x-3)

【答案】(1)占=3,工2=—1

(2)&=-1+V6,x2=-1-s/6

八、3+V173-V17

⑶寸^—

-4-

(4)X]=3,x2=—

【分析】本題考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接開平方法、配方法、因式分解法、求根公式

法，熟練掌握各種方法是解答本題的關(guān)鍵.

(1)用直接開平方法求解即可；

(2)用配方法求解即可；

(3)用公式法求解即可；

(4)移項(xiàng)后用因式分解法求解即可.

【解析】(1)-?-2(X-1)2-8=0

?-?2(x-l)2=8

???(x-1)"=4

x—1=+2

???項(xiàng)=3,X2=—1

2

(2)VX+2X-5=0

**,+2x=5

**,x?+2x+1=5+1

??.(x+1)2=6

x+1=±V6

?**Xj=-1+V6,X?=-1-y/~G

(3)???2，—31—i=o

/.A=(-3)2-4X2X(-1)=17

3±Vi7

??x—

4

3+V173-V17

44

(4)v5(x-3)=2x(x-3)

5(x-3)-2x(%-3)=0

(x-3)(5-2xj=0

???、-3=0或5-2]=0

_5

??須一3,%2--

模塊3：根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系

11.(23-24八年級下?江蘇蘇州?階段練習(xí))若實(shí)數(shù)x,y滿足(―+力,+/-2)=3,求/+/的值為

【答案】3

【分析】本題考查的是解一元二次方程，掌握整體代換思想是解題關(guān)鍵.將/+/看成一個(gè)整體，令

x2+y2=m,轉(zhuǎn)換成一個(gè)關(guān)于用的一元二次方程，利用因式分解法求出切的值，再結(jié)合平方的非負(fù)性，即

可得到答案.

【解析】解：令％2+/=加，

v（x2+j；2）（x2+y2-2）=3,

=3,

...加2一2加一3=0,

.'.（m-3）（m+l）=0,

加一3=0或加+1=0,

廠.m=3或根=—1,

/.m=x2+j^2＞0,

.'.m=3,艮|J%2+夕2=3,

故答案為：3

12.（24-25九年級上?江蘇連云港?階段練習(xí)）若關(guān)于x的方程（加-2）--2工+1=0有兩個(gè)不等的實(shí)根，則加

的取值范圍是.

【答案】加＜3且機(jī)力2

【分析】本題考查了一元二次方程的概念，根的判別式和解一元一次不等式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握并運(yùn)

用相關(guān)知識.根據(jù)題意可知加—2w0且△=（—2）2—4（加—2）＞0,求解即可.

【解析】解：根據(jù)題意得加-200且A=（-2）2_4（加-2）＞0,

解得：加＜3且根w2.

故答案為：加＜3且加。2.

13.（22-23九年級上?江蘇泰州?階段練習(xí)）已知方程/-6x-l=0的兩根為三戶2，則x：+x；=.

【答案】38

【分析】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及完全平方公式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程

bc

根與系數(shù)的關(guān)系，即工1+工2=---,石々=—.

aa

根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可以得到石+工2=6,石F=T，將代數(shù)式變形，代入代數(shù)式計(jì)算即可得到

答案.

【解析】解：??,方程――6x-1=0的兩根為七,％2，

再+=6,再?％2=-1,

又為+x2=%]+-x2+x2-2再?x2

=(X]+工2)--2x)-x2

=62-2x(-1)

=38,

故答案為：38.

14.(23-24九年級上?江蘇宿遷?階段練習(xí))已知關(guān)于x的一元二次方程f-4x+加=0.

(1)若方程有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)加的取值范圍；

(2)若方程兩實(shí)數(shù)根分別為占，x2,且滿足5%+2馬=5,求實(shí)數(shù)抑的值.

【答案】(1)加44

(2)m=-5

【分析】此題考查了一元二次方程的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系，

(1)一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則根的判別式A="-4ac2O,建立關(guān)于優(yōu)的不等式，求出加的取值范圍,

根據(jù)根的判別式得到關(guān)于m的不等式是解題的關(guān)鍵；

(2)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到再+%=4,又5%+2%=5求出X]，然后代入f-4x+加=0求解即可.

【解析】(1)???方程有實(shí)數(shù)根，

...A=(-4)2-4/n>0,

.e.16-4m>0,

即加工4；

(2)??,4X2為該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

/.玉+工2=4,

又5再+2X2=5,

3再+2(再+/)=5

.??32+2x4=5

.??汨=-1,

將M=7代入X2_41+加=0得，(一-4x(—1)+加=0

???m=-5.

15.(23-24九年級上?江蘇鎮(zhèn)江?階段練習(xí))對于一元二次方程"2+bx+c=O(awO),下列說法：

①若方程有一根x=-l,則b-a-c=O；②若a+Z?+c=O,則"-dacNO；③若方程

a(x-l)2+b(x-l)+c=O的兩個(gè)根是玉=2,x2=5,那么方程°X2+6X+C=0的兩個(gè)根為玉=1,x2=4；④

若c是方程爾+區(qū)+。=0的一個(gè)根，貝廣定有m+6+1=0成立.其中正確的有個(gè).(填個(gè)數(shù))

【答案】3

【分析】本題考查一元二次方程的解，根的判別式，分別根據(jù)一元二次方程的解，根的判別式判斷即可.

【解析】解：①若方程有一根x=-l,則a-b+c=O,即b-a-c=O,故①正確；

②若a+6+c=0,則可知方程有一個(gè)根為x=l,

則62-4℃20,故②正確；

(D若方程a(x—1)+6(x—1)+c=0的兩個(gè)根是%=2,x2=5,

所以方程ax?+bx+c=0的兩個(gè)根為玉=2-1=1,x2=5-1=^,故③正確；

④若c是方程ax?+6x+c=0的一個(gè)根，

貝11ac1+bc+c=Q,

當(dāng)cwO時(shí)，則一定有ac+b+l=O成立，故④錯(cuò)誤.

綜上分析可知：其中正確的是①②③，共3個(gè).

故答案為：3.

模塊4：一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，幾何應(yīng)用

16.(24-25九年級上?江蘇南京?階段練習(xí))某商品經(jīng)過連續(xù)兩次降價(jià)，銷售單價(jià)由原來200元降到160元，

設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為x,根據(jù)題意可列方程為()

A.200(1-%)2=160B.200(1+2x)2=160

C.160(1+x)2=200D.160(1-2x)2=200

【答案】A

【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為「根據(jù)題意列出方程即可求解，根

據(jù)題意找到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

【解析】解：設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為x,

由題意可得，200(1-工了=160,

故選：A.

17.（23-24九年級上?江蘇無錫?階段練習(xí)）若菱形/BCD的一條對角線長為8,邊研的長為方程

/一8x+15=0的一個(gè)根，則菱形的周長為（）

A.24B.12C.20D.12或20

【答案】C

【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)、一元二次方程的解法、三角形的三邊關(guān)系；熟練掌握菱形的性質(zhì)，由三

角形的三邊關(guān)系得出忿是解決問題的關(guān)鍵.解方程得出x=3或x=5,分兩種情況：①當(dāng)NB=4D=3時(shí),

3+3<8,不能構(gòu)成三角形；②當(dāng)48=40=5時(shí)，5+5>8,即可得出菱形48co的周長.

【解析】解：如圖所示：

A______-D

0

???四邊形/5CQ是菱形，

AB=BC=CD=AD,

x2-8x+15=0,

因式分解得：（尸3加-5）=0,

解得：x=3或x=5,

分兩種情況：

①當(dāng)=3時(shí)，3+3<8,不能構(gòu)成三角形；

②當(dāng)=5時(shí)，5+5>8,

二菱形ABCD的周長=4AB=20.

故選：C

18.（24-25九年級上?江蘇鎮(zhèn)江?階段練習(xí)）若一個(gè)三角形兩條邊長為2和4,第三邊長滿足方程x2-7x+10=0,

則此三角形的周長為.

【答案】11

【分析】本題考查了因式分解解一元二次方程，三角形三邊關(guān)系，先解一元二次方程得出x=2或x=5,再

根據(jù)三角形三邊關(guān)系判斷即可得出答案.

2

【解析】解：??-X-7X+10=0,

(x-2)(x-5)=0,

貝!|x-2=0或x-5=0,

解得：x=2或x=5,

當(dāng)x=2時(shí)，三邊2+2=4,不能構(gòu)成三角形；

當(dāng)x=5時(shí)，此三角形的周長為2+4+5=11,

故答案為：11.

19.(23-24八年級下?江蘇南通?階段練習(xí))為了宣傳環(huán)保，小明寫了一篇倡議書，決定用微博轉(zhuǎn)發(fā)的方式傳

播，他設(shè)計(jì)了如下的傳播規(guī)則：將倡議書發(fā)表在自己的微博上，再邀請〃個(gè)好友轉(zhuǎn)發(fā)倡議書，每個(gè)好友轉(zhuǎn)

發(fā)倡議書之后，又邀請〃個(gè)互不相同的好友轉(zhuǎn)發(fā)倡議書，依此類推，已知經(jīng)過兩輪傳播后，共有111人參

與了傳播活動(dòng)，則n的值是多少？

【答案】10

【分析】設(shè)邀請了〃個(gè)好友轉(zhuǎn)發(fā)倡議書，第一輪傳播了〃個(gè)人，第二輪傳播了二個(gè)人，根據(jù)兩輪傳播后，共

有"I人參與列出方程求解即可.本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解答時(shí)先由條件表示出第一輪增加的

人數(shù)和第二輪增加的人數(shù)，根據(jù)兩輪總?cè)藬?shù)為111人建立方程是關(guān)鍵.

【解析】解：由題意，得

77+W2+1=111,

解得：?=-“(舍去)，〃2=10.

.■.?的值是10

20.(23-24九年級上?江蘇宿遷?階段練習(xí))水果店王阿姨以每斤2元的價(jià)格購進(jìn)蘋果若干斤，然后以每斤4

元的價(jià)格出售，每天可售出50斤，通過調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種水果每斤的售價(jià)每降低0.1元，每天可多售出5斤,

為保證每天至少售出100斤，張阿姨決定降價(jià)銷售.

(1)若將這種水果每斤的售價(jià)降低x元，則每天的銷售量是一斤(用含x的代數(shù)式表示)；

(2)銷售這種水果要想每天贏利100元，張阿姨需將這種水果每斤的售價(jià)降低多少元？

【答案】(l)(50+50x)

(2)張阿姨需將這種水果每斤的售價(jià)降低1元

【分析】本題考查代數(shù)式，一元二次方程，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出方程;

(1)根據(jù)題意列代數(shù)式即可；

(2)根據(jù)售價(jià)和銷售量的關(guān)系，以利潤做為等量關(guān)系列方程求解即可.

【解析】（1）將這種水果每斤的售價(jià)降低X元，

則每天的銷售量是50+^x5=（50+50x）斤

（2）根據(jù)題意可得：（50+50x）（4-2-x）=100,

解得：x=l或x=0（舍去），

故張阿姨需將這種水果每斤的售價(jià)降低1元；

模塊5：圓的有關(guān)概念，求弧長與扇形面積

21.（23-24九年級上?江蘇宿遷?階段練習(xí)）下列說法中，正確的是（）

A.正多邊形都是中心對稱圖形；

B.圓的直徑是這個(gè)圓的對稱軸；

C.90。的圓周角所對的弦是直徑；

D.垂直于半徑的直線是圓的切線.

【答案】C

【分析】本題考查了圓的相關(guān)概念以及中心對稱圖形，熟記相關(guān)結(jié)論即可.

【解析】解：正五多邊形不是中心對稱圖形，故A錯(cuò)誤；

圓的直徑是線段，而圓的對稱軸是直線，故B錯(cuò)誤；

90。的圓周角所對的弦是直徑，故C正確

經(jīng)過圓的外端，垂直于半徑的直線是圓的切線，故D錯(cuò)誤

故選：C.

22.（22-23九年級上?江蘇常州?階段練習(xí)）下列命題是真命題的是（）

A.頂點(diǎn)在圓上的角叫圓周角B.三點(diǎn)確定一個(gè)圓

C.圓的切線垂直于半徑D.半徑相等的半圓是等弧

【答案】D

【分析】本題考查了判斷真假命題，圓周角的定義，不共線三點(diǎn)確定圓，切線的定義，等弧的定義，根據(jù)

圓周角的定義，不共線三點(diǎn)確定圓，切線的定義，等弧的定義逐項(xiàng)分析即可，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

【解析】A、圓周角是指頂點(diǎn)在圓上，且兩邊和圓相交的角，原選項(xiàng)不正確，不符合題意；

B、不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)圓，原選項(xiàng)不正確，不符合題意；

C、圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑，原選項(xiàng)不正確，不符合題意；

D、半徑相等的半圓是等弧，原選項(xiàng)正確，符合題意；

故選：D.

23.（24-25九年級上?江蘇南京?階段練習(xí)）在。。中，若NAOB=2NCOD,則荔與2麗的大小關(guān)系是

（）

A.AB>2CDB.AB<2CDC.AB=2CDD.不能確定

【答案】C

【分析】本題考查弧，弦，角之間的關(guān)系，根據(jù)等弧對等角，進(jìn)行判斷即可.

【解析】解：取々的中點(diǎn)E,連接OE,貝生藍(lán)金?，

-,'NAOB=2ZCOD,

ZAOE=ZBOE=ZCOD,

AE=BE=CD'

-AB=2CD；

故選C.

24.（24-25九年級上?江蘇南京?階段練習(xí)）邊長為3、4、5的三角形的內(nèi)切圓半徑長為.

【答案】1

【分析】本題考查了勾股定理的逆定理，三角形的內(nèi)切圓及面積，設(shè)A/BC的三邊分別與。。相切于點(diǎn)

D、E、F,連接OD、OE、OF、04OB、0C,的半徑為「，利用等面積法進(jìn)行計(jì)算即可解答，根據(jù)題

目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.

【解析】解：如圖，4B=3,BC=4,AB=5,設(shè)△N8C的三邊分別與。。相切于點(diǎn)E、尸，的半徑

為r,連接0。、0E、0F、04OB、0C,

：.0D1BC,OEVAB,OF±AC,

OD=OE=OF=丫，

vAB-3,BC-4,AB=5,

AC2+BC2=AB2,

.?.△48C是直角三角形，ZACB=90°,

LABC的面積=ABOC的面積+/XAOB的面積+ANOC的面積，

-ACBC=-BCOD+-ABOE+-ACOF,

2222

,-.3x4=4r+5r+3r,

解得r=1,

二它的內(nèi)切圓半徑是1,

故答案為：L

25.（23-24九年級上?江蘇宿遷?階段練習(xí)）圓的一條弦把圓分成度數(shù)的比為1:3的兩條弧，則弦所對的圓周

角等于（）

A.45°B.60?；?20°C.135°D.45?；?35。

【答案】D

【分析】此題考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，

根據(jù)題意畫出圖形，然后利用圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求解即可.

【解析】如圖弦他把圓分成度數(shù)的比為1:3的兩條弧，

=360+(1+3)=90°,NP」NO=45。,

；./p'=180°-/P=135°,

故選：D.

26.（23-24九年級上?江蘇無錫?階段練習(xí)）圓錐的高為4,母線長為5,則此圓錐的側(cè)面積是（）

A.8兀B.12兀C.157tD.2071

【答案】C

【分析】本題考查了圓錐的計(jì)算、勾股定理，由勾股定理求出圓錐的底面半徑，再根據(jù)扇形的面積公式計(jì)

算即可，熟練掌握以上知識點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵.

【解析】解：.??圓錐的高為4,母線長為5,

???圓錐的底面半徑為抽彳=3，

，圓錐的底面周長是2"3=671,

，圓錐的側(cè)面積是：gx6兀x5=15?t,

故選：C.

27.（23-24九年級上?江蘇徐州?階段練習(xí)）如圖，在正八邊形48cDER3〃中，四邊形3C尸G的面積為12,

則正八邊形的面積為

【答案】24

【分析】本題主要考查了正多邊形與圓，三角形中線的性質(zhì)，連接2RCG交于O,由正八邊形的對稱性

可知點(diǎn)。即為正八邊形外接圓的圓心，據(jù)此可得尸，OG=OC,根據(jù)三角形中線平分三角形面積可

=

得SAOBC=~S四邊形BCFG=3,則S正八邊形8sAOBC=24.

【解析】解：如圖所示，連接3RCG交于。，由正八邊形的對稱性可知點(diǎn)。即為正八邊形外接圓的圓心,

OB=OF,OG=OC,

S&OBC=四邊形BCFG=3

S正八邊形=8s4OBC=24,

故答案為:24.

28.（15-16九年級上?廣東廣州?期末）如圖，力3為半圓的直徑，且/2=4,半圓繞點(diǎn)2順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。,

點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)A'的位置，則圖中的陰影部分的面積為

【分析】本題主要考查了扇形的面積的計(jì)算，根據(jù)“陰影部分的面積=扇形的面積+以84為直徑的半圓

的面積-以為直徑的半圓的面積=扇形的面積”即可求解.

【解析】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，2454=45。,

S陰影=$扇形+s半圓一s半圓

45x乃x4?、

=-------------=2%

360

故答案為：2%.

模塊6：垂徑定理、圓心角和圓周角

29.（23-24九年級下?江蘇南通?階段練習(xí)）如圖，AB是。。的直徑，。是圓心，弦CD14B于E,

4B=10,CD=8,則OE的長為（）

B

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】本題考查了垂徑定理：平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.也考查了勾股定

理.利用直徑/8=10,貝|0C=CM=5,再由根據(jù)垂徑定理得CE=DE=；=4,然后利用

勾股定理計(jì)算出OE,再利用/E=。4-0￡進(jìn)行計(jì)算即可.

【解析】解：連接OC,如圖，

?.28是0。的直徑，48=10,

OC=OA=5.

■：CD1AB,

.-.CE=DE=-CD=-^S=4.

22

?.?在比AOCE中，OC=5,CE=4,

■■OE=^OC2-CE2=3，

故選B.

30.(24-25九年級上?江蘇鎮(zhèn)江?階段練習(xí))如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)N、8的坐標(biāo)分別為(0,1)和

(V3.0),則△0/8外接圓的圓心坐標(biāo)是.

【分析】本題考查了直角三角形的外接圓以及圓周角定理，熟練掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵.由于△OZ3

是直角三角形，根據(jù)直徑所對的圓周角為直角，可得△0/8外接圓的圓心是斜邊48的中點(diǎn)，再利用中點(diǎn)坐

標(biāo)公式即可得解.

【解析】解：是直角三角形，乙403=90。，

△。/3外接圓的圓心是斜邊的中點(diǎn)，

???點(diǎn)4、B的坐標(biāo)分別為（0,1）和（后0）,

一（陋C

二△048外接圓的圓心坐標(biāo)是,

<771>

故答案為：.

31.（22-23九年級上?江蘇泰州?階段練習(xí)）如圖，在。。中，弦的長為8cm,圓心。到的垂線段OE

【分析】本題考查垂徑定理及勾股定理，垂直于弦的直徑平分弦且平分這條弦所對的兩條弧.熟練掌握垂

徑定理是解題關(guān)鍵.根據(jù)垂徑定理得出/￡=4,利用勾股定理求出04的長即可得答案.

【解析】解：,,,弦48的長為8cm,圓心。到的垂線段OE長為3cm,

：.AE=LAB=4,

2

OA=yjAE2+OE2=A/42+32=5.

故答案為：5.

32.（23-24九年級上?江蘇淮安?階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)/、B、C在0。上,若2/08=80。，則/C的度數(shù)為

100°

【答案】B

【分析】

本題考查的是圓周角定理，根據(jù)圓周角定理即可求解.

【解析】

解：08是。。的兩條半徑，點(diǎn)C在。。上，N4OB=80。,

ZC=-ZAOB=40°.

2

故選：B.

33.（23-24九年級上?江蘇宿遷?階段練習(xí)）如圖，ZUBC中，AB=AC,以48為直徑作。。，交BC于點(diǎn)

⑵若4BNC=50。，求//0E的度數(shù).

【答案】（1）見解析

（2）ZAOE=80°

【分析】本題考查了圓周角定理、等腰三角形性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理等知識；熟練掌握圓周角定理和

等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

(1)連接40,先由圓周角定理得4403=90。，則再由等腰三角形的性質(zhì)得ZB4D=NC4D,

即可得出結(jié)論；

(2)連接OE,先由等腰三角形的性質(zhì)得NOE/=NA4C=50。，再由三角形內(nèi)角和定理求出4。石=80。,

即可得出結(jié)論.

【解析】(1)證明：連接盤＞,如圖1所示：

\/；XJET/B是OO的直徑,

\/I/\

\X/I//\\

圖1

:.ZADB=90°,

ADLBC,

???AB=AC,

/BAD=/CAD,

?.BD=DE.

(2)解：連接OE,如圖2所示：

[E是。。的直徑,

B--------DC

圖2

.：。4是半徑，

0A-0E,

/.ZOEA=ABAC=50°,

ZAOE=180°-50°-50°=80°.

34.(22-23九年級上?江蘇泰州?階段練習(xí))如圖，已知N3、CA是。。的兩條弦，且N8=4,CD=g,//=90。,

分別連接3。并延長，兩線相交于點(diǎn)P,若NP=30。，則。。的半徑為一.

A

C

【答案】V7

【分析】本題考查了圓周角定理，勾股定理和含30。角的直角三角形的性質(zhì).連接BC,根據(jù)4=90。，可

知8C為直徑，所以NBCD=/CDP=90。，根據(jù)N尸=30。，得AP=8,DP=3,所以助=8-3=5,再根據(jù)

勾股定理得8c=2后，即可求出答案.

【解析】解：如圖，連接8C,

???N/=90°,

ZBCD=ZCDP=90°,

???/?=30。，48=4,CQ=5

：.BP=2AB=8,CP=2CD=26則DP7cp2-CD?=3，

'.BD=8—3=5,

在RtA5CD中，BC2=BD2+CD2,

BC=,+網(wǎng)2=277,

：.OB=OC=S,

OO的半徑為，.

故答案為：V7.

35.（22-23九年級上?江蘇鎮(zhèn)江?階段練習(xí)）如圖，弦4D,3c相交于點(diǎn)P,AC=BD.

O

\B

D

(1)求證：AACPWBDP；

(2)若連接48恰是。。的直徑，且44BC=35。，貝|/C4P=_。.

【答案】(1)證明見解析

(2)20

【分析】(1)先證明乙4=N2,ZAPC=ZBPD,再結(jié)合/C=5D可得答案；

(2)證明44c8=90。，可得/8/C=90。-35。=55。，證明上4=P3,可得NP4B=NPB4=35。,再進(jìn)一步

可得答案.

【解析】(1)證明：???//=N3，"PC=NBPD,AC=BD,

：.“CPaBDP；

(2)解：如圖，連接4B,

???他為。。的直徑，

.-.ZACB=9Q°,

-.-ZABC=35°,

ZBAC=90°-35°=55°,

■■AACPmABDP,

PA=PB,

：.ZPAB=ZPBA=35°,

.?.NC4P=55°-35°=20°；

【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理的應(yīng)用，三角形

的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，熟記圓周角定理的含義是解本題的關(guān)鍵.

36.(22-23九年級上?江蘇泰州?階段練習(xí))如圖，已知AS、是。。的直徑，弦CDL/3于E.

(1)若C0=16cm,OZ)=lOcm,求班的長:

(2)若NM=N。，求/。的度數(shù).

【答案】(l)4cm

(2)30°

【分析】本題主要考查垂徑定理，勾股定理以及圓周角定理，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

(1)由垂徑定理求出DE的長，再根據(jù)勾股定理求出答案即可；

⑵根據(jù)圓周角定理求得；4。。，再根據(jù)兩銳角互余的性質(zhì)得到答案.

【解析】(1)解：弦C0L48,CD=16cm,

:.CE^DE^-CD=Scm,

2

在RtZ\OEQ中，0E=yj0D2-DE2=-V102-82=6cm，

BE=OB—OE=10—6=4cm；

(2)解：;NM=ND,NM=g/BOD,

：.ND,NBOD,

2

ZD+ZBOD=90°,

ZD=30°.

37.(23-24九年級上?江蘇無錫?階段練習(xí))如圖，A48C的頂點(diǎn)/、B、C均在0。上，ZABC=ZOAC,

則//OC的大小是()

AC

A.90°B.45°C.70°D.60°

【答案】A

【分析】此題考查了圓周角定理以及等腰三角形的性質(zhì).由圓周角定理可得//OC=2/23C,又由

ZABC=ZOAC,可得N4OC=2/O/C,然后由O/=OC,得至!J/CMC=/OC/,則可求得乙40c的度

數(shù)..

【解析】解：■.ZAOC=2ZABC,ZABC=ZOAC,

■.ZAOC=2ZOAC,

???OA=OC,

.-.ZOAC=NOCA,

ZAOC=2ZOAC=2NOCA,

又???NAOC+ZOAC+NOCA=90°,

.-.ZAOC=90o.

故選：A.

38.（23-24九年級下?江蘇蘇州?階段練習(xí)）如圖，4B是。。的直徑，弦CD交于點(diǎn)￡,連接/C、4D,

若/8/C=28。，則ND的度數(shù)是（）

D

A.56°B.58°C.60°D.62°

【答案】D

【分析】本題考查了圓周角定理，連接2。，證明N/C5=90。，利用直角三角形的兩銳角互余求出然

后由同弧所對的圓周角相等即可求解，解題的關(guān)鍵是熟練掌握圓周角定理得應(yīng)用.

【解析】解：如圖，連接2。，

；.NACB=90°,

ZCAB+ZB=90°,

4=90°-28°=62°,

；.ND=NB=62°

故選：D.

39.（22-23九年級下?江蘇宿遷?階段練習(xí)）如圖，48是。。的弦，半徑于點(diǎn)。，/尸=28。，點(diǎn)、P

在圓周上，則//等于（）

A.26°B.30°C.34°D.38°

【答案】C

【分析】本題考查了圓周角定理，垂徑定理，熟練掌握定理是解題的關(guān)鍵.由垂徑定理得到公=前，根

據(jù)圓周角定理得到N/OC=2NP,由半徑。。，科于點(diǎn)。推出是直角三角形，即可求得

【解析】解：???半徑于點(diǎn)。，

AC=BC</尸=28°

ZAOC=2ZP=56°,

.'.AAOD是直角三角形,

ZA=90°-ZAOC=34°.

故選：C.

40.（23-24九年級上?江蘇南通?階段練習(xí)）如圖，四邊形是。。的內(nèi)接四邊形，點(diǎn)D是就的中點(diǎn),

點(diǎn)E是部上一點(diǎn)，ZCED=35°,則44DC=（）

C

A.100°B.110°C.140°D.145°

【答案】B

【分析】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的

圓心角的一半.也考查了圓內(nèi)接四邊形性質(zhì).點(diǎn)。是就的中點(diǎn)，貝=通過圓內(nèi)接四邊形

對角互補(bǔ)求出即可.

【解析】解：,?,/CED=35。，點(diǎn)。是就的中點(diǎn)，

AC=2DC，

ZABC=70°,

:.ZADC=U0°,

故選：B.

模塊7：點(diǎn)、直線與圓的位置關(guān)系

41.（23-24九年級下?江蘇無錫?階段練習(xí)）已知圓的半徑為3,某直線到圓心的距離是2,則此直線與圓的

位置關(guān)系為（）

A.相離B.相切C.相離或相切D.相交

【答案】D

【分析】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系：設(shè)。。的半徑為「，圓心。到直線/的距離為d,則直線/和

相交=d<r；直線/和。。相切od=r；直線/和。。相離根據(jù)題意，圓心到直線的距離2小于

3,然后根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法得到直線與圓的位置關(guān)系.

【解析】圓的半徑為3,某直線到圓心的距離是2,則圓心到直線的距2離小于3,所以直線與圓相交.

故選：D.

42.（23-24九年級上?江蘇淮安?階段練習(xí)）若。。的半徑為3cm,點(diǎn)/到圓心。的距離為5cm,那么點(diǎn)/

與O。的位置關(guān)系是（）

A.點(diǎn)/在圓外B.點(diǎn)N在圓上C.點(diǎn)/在圓內(nèi)D.不能確定

【答案】A

【分析】

本題考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，根據(jù)點(diǎn)到圓心的距離大于圓的半徑即可得到點(diǎn)在圓外.

【解析】解:：的半徑為3cm，點(diǎn)/到圓心。的距離為5cm,5>3,

點(diǎn)/在圓外；

故選：A.

43.（24-25九年級上?江蘇南京?階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)/在上，射線C2切。。于點(diǎn)C,若//C3=25。,

【答案】65

【分析】本題考查切線的性質(zhì)，等邊對等角，根據(jù)切線的性質(zhì)，角的和差關(guān)系求出再根據(jù)等邊對

等角，得至IJa4=NOG4,即可.

【解析】解：???射線C8切。。于點(diǎn)C,

OC1BC,

???ZACB=25°,

ZOCA=90°-25°=65°,

,點(diǎn)A在。。上，

OA=OC,

：.AA=ZOCA=65°；

故答案為：65.

44.（22-23九年級上?江蘇泰州?階段練習(xí)）如圖，在△/2C中，ZABC=90°.

（1）作—NC3的平分線交48邊于點(diǎn)。，再以點(diǎn)。為圓心，。3的長為半徑作G）。；（要求：不寫作法，保留

作圖痕跡）

⑵判斷（1）中/C與。。的位置關(guān)系，并說明理由.

【答案】（1）見詳解

（2）NC與。。相切，理由見詳解

【分析】（1）首先利用角平分線的作法得出CO,進(jìn)而以點(diǎn)。為圓心，02為半徑作。。即可；

（2）利用角平分線的性質(zhì)以及直線與圓的位置關(guān)系進(jìn)而求出即可.

此題考查了復(fù)雜作圖以及角平分線的性質(zhì)與作法和直線與圓的位置關(guān)系，正確利用角平分線的性質(zhì)求出

是解題關(guān)鍵.

【解析】（1）解：如圖所示：

（2）解：相切；過。點(diǎn)作于。點(diǎn)；

CO平分NNC3,

OB=OD,即"=r,

。。與直線/C相切.

45.（22-23九年級上?江蘇泰州?階段練習(xí)）如圖，居是。。的直徑，點(diǎn)。是N3延長線上的一點(diǎn)，DC與OO

相切于點(diǎn)C.連接BC,AC.

(1)求證：NA=NBCD；

⑵若40=45。，OO的半徑為2,求線段3的長.

【答案】(1)證明過程見詳解

(2)272+2

【分析】本題主要考查的是切線的性質(zhì)以及圓的基本性質(zhì)，掌握圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑是解題的

關(guān)鍵.

(1)連接OC,根據(jù)切線的性質(zhì)得到4BCD+NOC8=90。，根據(jù)48是。。的直徑，得到

ZA+ZOBC=90°,根據(jù)NOC3=NO8C,證明N/=NBCZ)；

(2)根據(jù)ZD=45。，OO的半徑為2,求出OD,進(jìn)而求出3.

【解析】(1)證明：連接OC,

ZOCD=90°,即NBCD+NOC8=90°,

?.YB是。。的直徑，

.\ZACB=90°,

ZA+ZOBC=90°,

:OC=OB,

ZOCB=ZOBC■

(2)解：在RtAOCD中，ZD=45°,OC=2,

OC=CD=2,

OD=y/2OC=2V2，

:.AD^OA+OD=2+2-j2.

46.(22-23九年級上?江蘇連云港?階段練習(xí))如圖，48為。。的直徑，是圓的切線，切點(diǎn)為8,0c平

行于弦

⑴求證：是。。的切線；

(2)直線48與CD交于點(diǎn)尸，且。尸=4,AF=2,求。。的半徑.

【答案】(1)見解析

(2)3

【分析】(1)連接根據(jù)切線的性質(zhì)得到0313C,證明△OOC四△30C,根據(jù)切線的性質(zhì)得到

NODC=ZOBC=90°,根據(jù)切線的判定定理證明結(jié)論;

(2)設(shè)。。的半徑為「，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程求出。。的半徑.

【解析】(1)證明：連接。

3。是。。的切線,

?1-0C〃AD,

ZBOC=ZOAD,ZDOC=NODA,

VOA=OD,

NODA=ZOAD,

ZDOC=ZBOC,

在△OOC和ASOC中,

OD=OB

<ADOC=ABOC,

oc=oc

ADOC空ABOC(SAS),

:.ZODC=ZOBC=90°,

ODA.CD,

???OD是。。的半徑，

，DC是。。的切線；

（2）解：設(shè)。。的半徑為,，貝！JO尸=CM+4F=r+4,

在RL^O。尸中，0。？+。尸2=o尸2,即r+42=&+2）2,

解得：r=3,

。。的半徑為3.

【點(diǎn)睛】本題考查的是切線的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，勾股定理的，熟記

經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線是解題的關(guān)鍵.

47.（22-23九年級上?江蘇淮安?期末）如圖，CD是。O的直徑，點(diǎn)5在。。上，點(diǎn)A為。C延長線上一點(diǎn),

過點(diǎn)。作OE〃BC交力的延長線于點(diǎn)E,且

⑴求證：4E1是。。的切線；

（2）若線段OE與。。的交點(diǎn)尸是OE的中點(diǎn)，。。的半徑為3,求陰影部分的面積.

【答案】（1）證明見解析

3萬973

）

--2----------8---

【分析】（1）連接08,根據(jù)圓周角定理得到8CL8。，根據(jù)平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得到

ZOBE=9Q°,根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論；

（2）連接時(shí)，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到8尸=。尸，推出是等邊三角形，得到/80尸=60。，根據(jù)

扇形和三角形的面積公式即可得到結(jié)論.

【解析】（1）證明：連接

???CQ是。。的直徑，

BCVBD,即NC5O=90。，

??.OE//BC,

ZDGO=ZCBD=90°,

；,/BGE=/DGO=900,ZD+ZDOG=90°,

???/D=NE,

???/DOE=/DBE,

???OD=OB,

??./D=AOBD,

"OBD+ZDBE=ND+ZDOG=90°,

；./OBE=9。。,

???05是。。的半徑，

???4E是。。的切線；

(2)解：連接昉，

???/OBE=90。,廠是OE的中點(diǎn)，

：.BF=OF,

???OO的半徑為3,ZDGO=90°,

:.BF=OF=OB=3,ZBGO=180°-ZDGO=90°,

??.AOBF是等邊三角形，

ZBOF=60°,

/OBG=90°-ZBOF=30°,

：.OG=；OB卷BG=一OG?=卜[I]=手,

???陰影部分的面積為：

_60XTCX3213733_3K973

-一一=‘

???陰影部分的面積為四-28.

28

【點(diǎn)睛】本題考查切線的判定，直徑所對的圓周角是直角，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì),

扇形的面積的計(jì)算等知識點(diǎn).正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

48.（23-24九年級上?江蘇宿遷?階段練習(xí)）如圖，在矩形4BCD中，48=4,40=3,以頂點(diǎn)。為圓心作

半徑為「的圓，若要求另外三個(gè)頂點(diǎn)A、3、C中至少有一個(gè)點(diǎn)在圓內(nèi)，且至少有一個(gè)點(diǎn)在圓外，貝卜的取

C.3<r<5D.r>4

【答案】B

【分析】此題主要考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.要確定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，主要根據(jù)點(diǎn)與圓心的距離與半徑

的大小關(guān)系來進(jìn)行判斷.當(dāng)d>井時(shí)，點(diǎn)在圓外；當(dāng)，=廠時(shí)，點(diǎn)在圓上；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi).

【解析】解：連接班,

在直角中，CD=AB=4,AD=3,

貝！JBD=V32+42=5.

由圖可知3<r<5.

故選：B.

49.（23-24九年級上?江蘇無錫?階段練習(xí)）如圖，E是。。的直徑4B上一點(diǎn)，AB=\0,BE=2,過點(diǎn)E作

弦尸是加上一動(dòng)點(diǎn)，連接。尸，過點(diǎn)4作/。，尸D,垂足為0,則。。的最小值