2024-2025學(xué)年浙教版七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)復(fù)習(xí)：有理數(shù)的運(yùn)算知識(shí)歸納與題型訓(xùn)練（6題型清單）解析版

有理數(shù)的運(yùn)算知識(shí)歸納與題型訓(xùn)練（6類題型清單）

01思維導(dǎo)圖

K同號(hào)兩數(shù)相加）

、-（異號(hào)兩數(shù)相加）

一（有理數(shù)的加法）Y互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相加得零；一個(gè)數(shù)同零相加，仍得這個(gè)數(shù)）

加法交換律）

（有理則法的簡(jiǎn)便運(yùn)算律

L加法結(jié)合律）

減去一個(gè)數(shù)，等于加±?個(gè)數(shù)的相反數(shù)

有理數(shù)的減法遇減化加

有sifcb口減混辮算步驟

根據(jù)加法法則運(yùn)算

廠兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘J

T［任何數(shù)與零相乘，積為零］）

有理數(shù)的乘法倒數(shù)〕「如果購個(gè)直理蟹贊空,則稱這兩個(gè)有理數(shù)互為倒數(shù)：,；

武第去交換律」

L」乘法運(yùn)算律1乘法結(jié)合律.

彳乘法分配律］

有理數(shù)運(yùn)算有理數(shù)除法法則.

有理數(shù)的除法零除以眄T不等于零的數(shù)都彳舞

有理數(shù)除法與乘法的關(guān)素1除以一個(gè)數(shù)（不等于零），等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)

nfiF）〔求幾個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算：；

「幕「「乘方的結(jié)果」

K基本定義〉

-<S）

T晟：

有理數(shù)的乘方

乘除與乘方的混合運(yùn)算，應(yīng)先算乘方，后算乘除；如果遇到括號(hào),

進(jìn)行括號(hào)里的運(yùn)算

X科學(xué)記數(shù)法)(Oxl0"(l<|a|<10)^)

有理數(shù)的混合運(yùn)算）一「：駕先算乘方,再算乘除,最后算加減;如有括號(hào),先進(jìn)行括號(hào)里的

準(zhǔn)確數(shù)與實(shí)際完全符合的數(shù)稱為準(zhǔn)確數(shù)

近似數(shù)

近似數(shù)與實(shí)際接近的數(shù)稱為近似數(shù)

02知識(shí)速記

一、有理數(shù)的加法

同號(hào)兩數(shù)相加的法則：同號(hào)兩數(shù)相加，取與加數(shù)相同的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加.

異號(hào)兩數(shù)相加的法則：異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕

對(duì)值.

其他特例法則：互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相加得0；一個(gè)數(shù)同0相加，仍得這個(gè)數(shù)

有理數(shù)加法的簡(jiǎn)便運(yùn)算律：

加法交換律：兩個(gè)數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變；

字母表達(dá)式：a+b=b+a

加法結(jié)合律：三個(gè)數(shù)相加，先把前兩個(gè)數(shù)相加，或者先把后兩個(gè)數(shù)相加，和不變；

字母表達(dá)式：(a+6)+c=a+(6+c)

要點(diǎn)詮釋：

1、有理數(shù)的加法，第一步先確定和的符號(hào)，第二步才是將絕對(duì)值相加或相減；

2、加法法則及運(yùn)算律不僅適應(yīng)與兩數(shù)相加，三個(gè)及以上的有理數(shù)相加也同樣適用;

二、有理數(shù)的減法

有理數(shù)的減法法則：減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)

要點(diǎn)詮釋：

1、有理數(shù)減法的計(jì)算步驟：

①將減號(hào)變成加號(hào)，把減數(shù)變成它的相反數(shù)

②按照加法運(yùn)算的步驟去做。

☆特別注意：①減法法則不能與加法法則中的異號(hào)兩數(shù)相加相混淆

②減法沒有交換律

2、有理數(shù)加減混合運(yùn)算的步驟：

①遇減化加

②運(yùn)用加法交換律和結(jié)合律，簡(jiǎn)化運(yùn)算

③求出結(jié)果

三、有理數(shù)的乘法

有理數(shù)的乘法法則：兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘

任何數(shù)與0相乘，積為0。

有理數(shù)乘法的簡(jiǎn)便運(yùn)算律:

乘法交換律：兩個(gè)數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積不變；

字母表達(dá)式：axb=bxa

乘法結(jié)合律：三個(gè)數(shù)相乘，先把前兩個(gè)數(shù)相乘，或者先把后兩個(gè)數(shù)相乘，積不變；

字母表達(dá)式：(axb)xc=qx(bxc)

分配律：一個(gè)數(shù)與兩個(gè)數(shù)的和相乘，等于把這個(gè)數(shù)分別與這兩個(gè)數(shù)相乘，再把積相加。

字母表達(dá)式：ax(b+c)=axb+axc

要點(diǎn)詮釋：

(I)幾個(gè)非0有理數(shù)相乘，當(dāng)負(fù)數(shù)有奇數(shù)個(gè)時(shí)，積為負(fù)；當(dāng)負(fù)數(shù)有偶數(shù)個(gè)時(shí)，積為正；

(2)幾個(gè)數(shù)相乘，有一個(gè)因數(shù)為0,則積為0；如果積為0,則至少有一個(gè)因數(shù)為0；

(3)若兩個(gè)數(shù)的乘積為1,則稱這兩個(gè)有理數(shù)互為倒數(shù)；

特別地：0沒有倒數(shù)，互為倒數(shù)的兩個(gè)數(shù)同號(hào)，倒數(shù)是其本身的數(shù)有1和T;

四、有理數(shù)的除法

有理數(shù)的除法法則：兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除；

0除以任何一個(gè)不等于0的數(shù)都得0

有理數(shù)乘法與除法的關(guān)系：除以一個(gè)數(shù)(不等于0),等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。

要點(diǎn)詮釋：

(1)0不能作為除數(shù)；

(2)多個(gè)有理數(shù)相除時(shí)，如果能整除，則直接相除，如果不能整除，通常把除法轉(zhuǎn)化為乘法，統(tǒng)一為

乘法再運(yùn)算；

(3)除法沒有交換律、結(jié)合律、分配律；

五、有理數(shù)的乘方

求幾個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做幕，在中，。叫做底數(shù)，〃叫做指數(shù)，/讀

作％的欹方”或％的〃次嘉”;

科學(xué)記數(shù)法：把一個(gè)數(shù)表示成a與10的嘉相乘的形式叫做科學(xué)記數(shù)法

符號(hào)表達(dá)式：訓(xùn)＜10)

要點(diǎn)詮釋：

(1)一般地：10的n次嘉，在1的后面就有n個(gè)0；

(2)n的值的兩種確定方法：1.將這個(gè)數(shù)的整數(shù)部分的位數(shù)-1就是n

2.將這個(gè)數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)的位數(shù)就是n；

六、有理數(shù)的混合運(yùn)算

有理數(shù)的混合運(yùn)算法則：先算乘方，再算乘除，最后算加減。如有括號(hào)，先進(jìn)行括號(hào)里面的運(yùn)算

要點(diǎn)詮釋：

有理數(shù)的混合運(yùn)算中，也要特別注意計(jì)算中的正負(fù)號(hào)；

七、近似數(shù)

近似數(shù)：與實(shí)際接近的數(shù)稱為近似數(shù)

要點(diǎn)詮釋：

(1)近似數(shù)一般根據(jù)要求四舍五入即可；

(2)近似數(shù)四舍五入到哪一位，就說這個(gè)近似數(shù)精確到哪一位。

03題型歸納

題型一有理數(shù)的加減法運(yùn)算

例題：

1.(2023秋?臺(tái)州期中)把算式：(-5)-(-4)+(-7)-(+2)寫成省略括號(hào)的形式，結(jié)果正確的是

()

A.-5-4+7-2B.-5+4-7-2C.5+4-7-2D.-5+4+7-2

【分析】根據(jù)有理數(shù)加減法的運(yùn)算方法，判斷出把算式：(-5)-(-4)+(-7)-(+2)寫成省略括

號(hào)的形式，結(jié)果正確的是哪個(gè)即可.

【解答】解：(-5)-(-4)+(-7)-(+2)

=-5+4-7-2

=-10

故選：B.

2.(2023秋?柯橋區(qū)月考)王博在做課外習(xí)題時(shí)遇到如圖所示一道題，其中一是被污損而看不清的一個(gè)數(shù),

它翻看答案后得知該題的計(jì)算結(jié)果為15,則一表示的數(shù)是()

計(jì)算：

1(-3)+.■卜(-8)

A.10B.-4C.-10D.10或-4

【分析】根據(jù)題意列出算式，計(jì)算即可得到結(jié)果.

【解答】解：設(shè)“一”表示的數(shù)是X,

根據(jù)題意得：|-3+R-（-8）=15,

整理得：\x-3|=7,即x-3=7或-7,

解得：％=10或-4,

故選：D.

3.（2023秋?蕭山區(qū)期中）計(jì)算：

（1）（_7）-（-13）；

⑵（得）+（一得）-15一（-^>

【分析】（1）減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)，由此計(jì)算即可；

（2）先把減法運(yùn)算統(tǒng)一成加法運(yùn)算，然后根據(jù)有理數(shù)的加法運(yùn)算法則計(jì)算即可.

【解答】解：（1）（-7）-（-13）

=-7+13

=6；

⑵（得）+（號(hào)）一年（一

=（得）+（-*）+（-電卑

=【（4）+（晶］+口

DD

=-2+（-2）

=-4.

4.(2023秋?臨海市校級(jí)月考)閱讀下列解題過程:

-0.25-(-33.)+0.5

4

解：原式=-0,25+(-3注)+0.5…①

4

=-0.25-3.75+0.5…②

=-4+0.5…③

=-3.5.

(1)上面解題過程在第①步出現(xiàn)錯(cuò)誤;

（2）請(qǐng)寫出正確的解題過程.

【分析】（1）觀察已知條件中的算式，找出出現(xiàn)錯(cuò)誤的步驟即可；

（2）按照混合運(yùn)算法則，把減法化成加法，寫成省略加號(hào)和的形式進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算即可.

【解答】解：(1)：-0.25-(-3.1)+0.5=-0.25+33+0.5①，

44

，上面解題過程在第①步出現(xiàn)錯(cuò)誤，

故答案為：①；

(2)正確的解題過程如下：

-0.25-(-3.2)+0.5

4

=-0.25+33+0.5

4

=-0.25+3.75+0.5

=3.75+0.5-0.25

=4.25-0.25

=4.

5.(2023秋?義烏市月考)出租車司機(jī)小王某天下午營運(yùn)全是在南北走向的公路上進(jìn)行的.如果向南記作

“+”，向北記作“-他這天下午行車情況如下：(單位：千米)

-2,+5,-8,-3,+6,-6.

(1)小王將最后一名乘客送到目的地時(shí)，在下午出車的出發(fā)地的什么方向？距下午出車的出發(fā)地多遠(yuǎn)？

(2)若出租車每公里耗油0.3升，求小王回到出發(fā)地共耗油多少升？

(3)若規(guī)定每趟車的起步價(jià)是10元，且每趟車3千米以內(nèi)(含3千米)只收起步價(jià)；若超過3千米，

除收起步價(jià)外，超過的每千米(不足1千米按1千米計(jì)算)還需收4元錢，小王今天是收入是多少元？

【分析】(1)根據(jù)有理數(shù)的加法進(jìn)行計(jì)算即可得到答案；

(2)將這些數(shù)的絕對(duì)值相加，求出總路程，再根據(jù)出租車每公里耗油0.3升，可得答案；

(3)根據(jù)行車記錄和收費(fèi)方法列出算式，計(jì)算即可得解.

【解答】解：(1)-2+5-8-3+6-6=-8(千米)，

???小王將最后一名乘客送到目的地時(shí)，小王在下午出車的出發(fā)地的北方，距下午出車的出發(fā)地8千米.

(2)|-2|+|5|+|-8|+|-3|+|6|+|-6|=30(千米),

30X0.3=9(升)，

8X0.3=24(升)，

9+2.4=11.4(升)，

...小王回到出發(fā)地共耗油11.4升.

(3)根據(jù)出租車收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)，可知小王今天的收入是10+[10+(5-3)X4]+[10+(8-3)X4]+10+[10+

(6-3)X4]+[10+(6-3)X4]=112(元)，

，小王今天的收入是112元.

鞏固訓(xùn)練

6.(2023秋?海曙區(qū)期中)若()-(-30+10)=-5,則括號(hào)內(nèi)的數(shù)是()

A.15B.-15C.-25D.-45

【分析】利用被減數(shù)=減數(shù)+差列出算式計(jì)算即可得出結(jié)論.

【解答】解：(-5)+(-30+10)=-5+(-20)=-25,

故選：C.

7.(2023秋?江山市期中)一天早晨的氣溫是-3℃,中午上升了11℃,半夜又下降了9℃,半夜的氣溫是-

1℃.

【分析】根據(jù)題意列出算式，然后根據(jù)有理數(shù)加減法運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算求解.

【解答】解：半夜的氣溫是-3+11-9=8-9=-1℃,

故答案為：-1.

8.(2023秋?竦州市校級(jí)月考)設(shè)a是最小的自然數(shù)，6是最小的正整數(shù)，c是絕對(duì)值最小的數(shù)，d是最大

的負(fù)整數(shù)，則a+b+c-d=2.

【分析】根據(jù)最小的正整數(shù)為1，最小的自然數(shù)為0,絕對(duì)值最小的有理數(shù)為0,以及最大的負(fù)整數(shù)為-

1,確定出a,b,c,d的值，即可求出a+b+c-d的值.

【解答】解：是最小的自然數(shù)，6是最小的正整數(shù)，c是絕對(duì)值最小的數(shù)，d是最大的負(fù)整數(shù)，

.?.Q=0,b=\,c=0,d=-1,

則a+b+c-d—2.

故答案為：2.

9.(2023秋?竦州市校級(jí)月考)計(jì)算題：

(1)23+(-17)；

(2)7-(-4)+(~5)；

(3)反+(至)1+/)；

⑷(-2.125)+(蔣)++(-0.8)?

【分析】依據(jù)四則運(yùn)算法則，計(jì)算即可.

【解答】解：(1)23+(-17)

=23-17

=6；

（2）7-（-4）+（-5）

=7+4-5

=11-5

=6；

（3）包+（肯）]+（苴）

7k626、7'

=5__5__5__2

不G飛飛

=-1

⑷（-2.125）+（蔣）$+（-0.8）

=嗎*0.2-0.8

=-2-1

=-3.

10.(2023秋?衢江區(qū)校級(jí)月考)設(shè)⑷表示取。的整數(shù)部分，例如：[2,3]=2,[5]=5,[-4—]=-5-

3

⑴求嗎]+[-3.6]-[-7]的值;

(2)令｛a｝=a-⑷，求｛吟｝_[_2.4]+｛4｝.

【分析】(1)根據(jù)題意⑷表示取。的整數(shù)部分即可求解；

(2)先根據(jù)｛a｝=a-⑷，將｛爵｝-[-2.4]+｛-卓化成21-2-[-2.4]+(-61)-(-7),再

根據(jù)⑷表示取a的整數(shù)部分即可求解.

【解答】解:(1)[21]+[-3.6]-[-7]

=2+(-4)-(-7)

=2+(-4)+7

=5；

⑵｛吟｝-[-2.4]+｛-耳｝

=2^.-2-（-3）+（-6工）-（-7）

44

=23.-2+3+（-6工）+7

44

=41.

2

題型二有理數(shù)的乘法運(yùn)算

例題:

1.（2024?黃巖區(qū)校級(jí)模擬）2義（-3）的計(jì)算結(jié)果是（）

A.6B.-6C.-5D.5

【分析】根據(jù)有理數(shù)乘法的運(yùn)算法則，求出2X（-3）的計(jì)算結(jié)果即可.

【解答】解：2*（-3）=-6.

故選：B.

2.（2023秋?金東區(qū)期末）如果4個(gè)數(shù)的乘積為負(fù)數(shù)，那么這4個(gè)數(shù)中正數(shù)有（）

A.1個(gè)或2個(gè)B.1個(gè)或3個(gè)C.2個(gè)或4個(gè)D.3個(gè)或4個(gè)

【分析】根據(jù)同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，結(jié)合4個(gè)數(shù)的乘積為負(fù)數(shù)，則有奇數(shù)個(gè)負(fù)數(shù)，據(jù)此即可作答.

【解答】解：：同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，結(jié)合4個(gè)數(shù)的乘積為負(fù)數(shù)，

則這4個(gè)數(shù)中負(fù)數(shù)有1個(gè)或3個(gè)，

.,.這4個(gè)數(shù)中正數(shù)有3個(gè)或1個(gè).

故選：B.

3.（2023秋?內(nèi)江期末）下列說法中正確的個(gè)數(shù)有（）

①最大的負(fù)整數(shù)是-1;

②相反數(shù)是本身的數(shù)是正數(shù)；

③有理數(shù)分為正有理數(shù)和負(fù)有理數(shù)；

④數(shù)軸上表示-a的點(diǎn)一定在原點(diǎn)的左邊；

⑤幾個(gè)有理數(shù)相乘，負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)個(gè)時(shí)，積為負(fù)數(shù).

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【分析】由有理數(shù)的含義與分類可判斷①，③，由相反數(shù)的含義可判斷②，由不一定是負(fù)數(shù)可判

斷④，由有理數(shù)的乘法的符號(hào)確定的方法可判斷⑤，從而可得答案.

【解答】解：最大的負(fù)整數(shù)是-1,說法正確，故①符合題意；

相反數(shù)是本身的數(shù)是0,原說法錯(cuò)誤，故②不符合題意；

有理數(shù)分為正有理數(shù)和負(fù)有理數(shù)和0,原說法錯(cuò)誤，故③不符合題意；

數(shù)軸上表示-a的點(diǎn)不一定在原點(diǎn)的左邊，原說法錯(cuò)誤，故④不符合題意；

幾個(gè)非零有理數(shù)相乘，負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)個(gè)時(shí)，積為負(fù)數(shù)，原說法錯(cuò)誤，故⑤不符合題意；

故選：A.

4.（2023秋?德清縣期末）若x,y,z都是有理數(shù)，且x+y+z=0,xyz<0,則號(hào)號(hào)孑1__曄的值是二

IZIIX||y|

或-1.

【分析】由x+y+z=0變形可得：y+z=-x,z+x=-y,x+y=-z,從而原式可化為：

~z.一——^―；再由x+y+2=0,孫2Vo可知：在x、y、z中必有一負(fù)兩正，分情況討論就可求得原

IzIIx||y|

式的值.

【解答】解：9.x+y+z=0,

??y+z=-X9z+x=-y9~一z,

?百#=-z-x-y_-z.x.y

IzIlxlRlzI「IxlE

x+y+z=0,xyz<0f

???在x、z中必為兩正一負(fù)，

???當(dāng)x為負(fù)時(shí)，原式=二~_^-+￡=_1_1+1=_1，

z-xy

當(dāng)》為負(fù)時(shí)，原式=二洛_^匕=_1+1_]=_1，

zx-y

當(dāng)z為負(fù)時(shí)，原式=二_二_+二=1+1+1=3，

-zxy

故答案為：3或-1.

5.(2021秋?余杭區(qū)月考)計(jì)算：

(1)(-0.25)X3.14X40；

(2)-25^X8.

32

【分析】(1)根據(jù)乘法分配律和結(jié)合律計(jì)算可求解；

(2)將-252。轉(zhuǎn)化為-25-X再利用乘法分配律計(jì)算可求解.

3232

【解答】解：(1)原式=4乂314X40

4,

=-4-X40X3.14

4

=-10X3.14

=-31.4；

(2)原式=(-25-4)X8

=-200-1

4

=-200.25.

6.(2023秋?堇B州區(qū)校級(jí)月考)在學(xué)習(xí)有理數(shù)的乘法時(shí)，李老師和同學(xué)們做了這樣一個(gè)游戲：將2023這個(gè)

數(shù)說給第一名同學(xué)，第一名同學(xué)將它減去它的工的結(jié)果告訴第二名同學(xué)，第二名同學(xué)再將聽到的結(jié)果減

2

去它的工的結(jié)果告訴第三名同學(xué)，第三名同學(xué)再將聽到的結(jié)果減去它的工的結(jié)果告訴第四名同學(xué)，…照這

34

樣的方法直到全班40名同學(xué)全部傳完，最后一名同學(xué)將聽到的結(jié)果告訴李老師.你知道最后的結(jié)果嗎？

【分析】根據(jù)題意可得2023X(1-1)X(1-1)X(1-1)X-X(1--L),再運(yùn)算即可.

23440

【解答】解：2023X(1-J-)X(1-A)X(1-A)X-X(1-_L)

23440

=2023XAx2x3x…X型

23440

=2023

40

鞏固訓(xùn)練

7.(2023秋?嘉興期末)已知且加-a=〃+b,則a,6一定滿足的關(guān)系式是()

A.ab=0B.ab=\C.a-b=0D.a+b=0

【分析】根據(jù)有理數(shù)的加減法法則和有理數(shù)的乘法法則進(jìn)行解題即可.

【解答】解：'-m-n=O,且加-a=〃+6,

..m-ii~~a+60?

故選：D.

8.(2023秋?義烏市月考)計(jì)算機(jī)中常用的十六進(jìn)制是一種逢16進(jìn)1的計(jì)數(shù)制，采用數(shù)字0?9和字母/?尸

共16個(gè)計(jì)數(shù)符號(hào)，這些符號(hào)與十進(jìn)制的數(shù)字的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表：

十六進(jìn)制0123456789ABCDEF

十進(jìn)制0123456789101112131415

例如，用十六進(jìn)制表示。+E=12,用十進(jìn)制表示也就是13+14=1X16+1.1,則用十六進(jìn)制表示4X8=

()

A.6EB.72C.5FD.B0

【分析】在表格中找出/和8所對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)字，然后根據(jù)十進(jìn)制表示出NX2,根據(jù)表格中E對(duì)應(yīng)

的十進(jìn)制數(shù)字可把ZX2用十六進(jìn)制表示.

【解答】解：：表格中N對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)為10,8對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)為11,???NX8=10Xll,

由十進(jìn)制表示為：10X11=6X16+14,

又表格中E對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制為14,

...用十六進(jìn)制表示AXB=6E.

故選：A.

9.（2023秋?南潺區(qū)期末）“格子乘法”作為兩個(gè)數(shù)相乘的一種計(jì)算方法最早在15世紀(jì)由意大利數(shù)學(xué)家帕喬

利提出，在明代的《算法統(tǒng)宗》一書中被稱為“鋪地錦”，如圖1,計(jì)算47X51,將乘數(shù)47計(jì)入上行，

乘數(shù)51計(jì)入右行，然后以乘數(shù)47的每位數(shù)字乘以乘數(shù)51的每位數(shù)字，將結(jié)果計(jì)入相應(yīng)的格子中，最后

按斜行加起來（斜行的和均小于10）,得2397.如圖2,用“鋪地錦”的方法表示兩個(gè)兩位數(shù)相乘，這

兩個(gè)兩位數(shù)相乘的結(jié)果為615或645或675或705或735.

【分析】根據(jù)示例求出6,再根據(jù)已知判斷。應(yīng)為奇數(shù)，從而求出結(jié)果即可.

【解答】解：由圖得，1X4=4,5X4=20,\-a=a,

如圖,

.,.b=6,

：.如圖,

圖2

有圖得，a應(yīng)為奇數(shù)1,3,5,7,9.

所以兩個(gè)兩位數(shù)可以為15X41；15X43；15X45；15X47；15X49,

二相乘結(jié)果為615或645或675或705或735.

故答案為：615或645或675或705或735.

10.（2023秋?奉化區(qū)期末）四個(gè)各不相等的整數(shù)a,b,c,d,它們的積。出小公％那么a+6+c+d的值是

0.

【分析】由于Mcd=9,且a,b,c,1是整數(shù)，所以把9分解成四個(gè)不相等的整數(shù)的積，從而可確定a,

b,c,d的值，進(jìn)而求其和.

【解答】解：：9=1X（-1）X3X（-3）,

a+b+c+d—1+（-1）+3+（-3）=0.

故答案為：0.

11.（2024春?浙江期中）對(duì)于任意有理數(shù)a,b,c,d,我們規(guī)定符號(hào)（a,b）（8）（c，d）—ad+bc.例如：

（2,3）因（1,-4）=2X（-4）+3X1=-5.

求（-2,1）⑤（-4,-5）的值；

【分析】根據(jù)新定義寫出算式再進(jìn)行計(jì)算即可；

【解答】解：原式=（-2）X（-5）+1X（-4）

=10-4=6.

題型三有理數(shù)的除法運(yùn)算

例題：

1.（2023秋?浙江期中）.一L_的倒數(shù)是（）

2024

A.-2024B.2024C.1D.一」

20242024

【分析】乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)，由此計(jì)算即可.

【解答】解：一的倒數(shù)是-2024,

2024

故選：A.

2.（2023秋?杭州月考）已知慟=4,卜|=2,且x<y,則x+v的值為-2或2.

【分析】根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)求出x、y的值，再根據(jù)有理數(shù)的大小比較判斷出x、y的對(duì)應(yīng)情況，然后根

據(jù)有理數(shù)的除法法則進(jìn)行計(jì)算即可得解.

【解答】解：：慟=4,.=2,且xVy,

?4,y=2~2，

故■產(chǎn)-2或2,

故答案為：-2或2.

3.(2022秋?瑞安市期中)計(jì)算：-5+(-6)X16-l=13-1L

6—36'

【分析】利用有理數(shù)的除法、乘法運(yùn)算法則計(jì)算即可.

【解答】解：算：-5+(-6)X161

6

=-5X(->!■)X星

66

66

=485

-36-

=13里

36

故答案為：13工L

36

4.(2023秋?浙江期中)閱讀下題解答：

計(jì)算：(侏)

分析：利用倒數(shù)的意義，先求出原式的倒數(shù)，再得原式的值.

解：玲名心…”心區(qū)義(-24)=-16+18-21=-19.

匕48J.'24'匕4

所以原式=-2一

19

2

根據(jù)閱讀材料提供的方法，完成下面的計(jì)算：(弓?)+[/W+iV)X(-6)1.

【分析】原式根據(jù)閱讀材料中的計(jì)算方法變形，計(jì)算即可即可得到結(jié)果.

【解答】解：根據(jù)題意得：[工-工+$+(-2)2*(-6)]-(-J-)

237342

=[A-A+A+Ax(-6)]X(-42)

2379

=-21+14-30+112

=75,

則原式=].

75

鞏固訓(xùn)練

5.(2023秋?衢江區(qū)期末)下列運(yùn)算，結(jié)果正確的是()

A.-7+7=1B.7-C-)=—

、7/49

C.-364-(-9)=4D.(10)二,(5

【分析】根據(jù)有理數(shù)的兩個(gè)除法法則進(jìn)行計(jì)算即可作出判斷.

【解答】解：4、-74-7=-17^1,故計(jì)算錯(cuò)誤；

B、7+（十）=-494-4'故計(jì)算錯(cuò)誤；

C、-364-（-9）=4,故計(jì)算正確；

D、（工故計(jì)算錯(cuò)誤；

k10715J1032尸

故選：C.

6.（2022秋?余杭區(qū)校級(jí)月考）（1）工+（-?）+（-0.25）；

123

（2）-99-1^X34.

17

【分析】（1）先確定最后結(jié)果的符號(hào)，并變除法運(yùn)算為乘法進(jìn)行求解;

（2）先確定結(jié)果的符號(hào)，再運(yùn)用乘法分配律進(jìn)行計(jì)算.

【解答】解：（1）工+（-$）+（-0.25）

123

=-l-X—X4

125

=—1.，

5

（2）-99型義34

17

=-（100-2）X34

17

=-（100X34-2x34）

17

=-（3400-4）

=-3396.

7.（2023秋?海曙區(qū)期中）類比乘方運(yùn)算，我們規(guī)定：求〃個(gè)相同有理數(shù)（均不為0）的商的運(yùn)算叫做除

方.例如2+2+2+2,記作“2”，讀作“2的引4次商”.一般的，把a(bǔ)+a。a+a（。*。，心2,且

,^'

為整數(shù)）記作讀作“a的引n次商”.

（1）直接寫出計(jì)算結(jié)果：“（工）4”=4,“（-3）3"

2—3―

（2）歸納：負(fù)數(shù)的引正奇數(shù)次商是負(fù)數(shù),負(fù)數(shù)的引正偶數(shù)次商是正數(shù)（填“正或負(fù)”）；

（3）計(jì)算：（-8）+“23”+11X“（-!_）4”.

4

【分析】（1）根據(jù)除方的定義計(jì)算即可;

(2)由除方的定義即可得到結(jié)論;

(3)根據(jù)除方的定義計(jì)算即可.

【解答】解：(1)"(1)”=工+工+工+工=4,“(-3)3"=(-3)4-(-3)4-(-3)=-

222223

故答案為：4,-1.

3

(2)根據(jù)除方的定義可知，負(fù)數(shù)的引正奇數(shù)次商是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的引正偶數(shù)次商是正數(shù).

故答案為：負(fù)，正.

(3)(-8)+“23”+11X“(-1)4”

4

=(-8)+(24-24-2)+11X[(工)+(」+(」+(」]

4444

=(-8)4-A+HX16

2

=-16+176

=160.

題型四有理數(shù)的乘方運(yùn)算

例題：

1.(2024?寧波模擬)(-2)3=()

A.-6B.6C.-8D.8

【分析】原式利用乘方的意義計(jì)算即可得到結(jié)果.

【解答】解：原式=-8,

故選：C.

2.(2023秋?杭州期末)下列各數(shù)［-2|,(-2)2,-32,(-2)3中，負(fù)數(shù)有()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【分析】先根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)，有理數(shù)的乘方法則計(jì)算，再根據(jù)負(fù)數(shù)的定義判斷即可.

【解答】解：|-2|=2,(-2)2=4,-32=-9,(-2)3=-8,

負(fù)數(shù)有：-32,(-2)3,共2個(gè)，

故選：B.

3.(2023秋?竦州市期末)將一張長方形的紙按如圖對(duì)折，對(duì)折時(shí)每次折痕與上次的折痕保持平行，第一次

對(duì)折后可得到1條折痕(圖中虛線)，第二次對(duì)折后可得到3條折痕，第三次對(duì)折后得到7條折痕，那么

第7次對(duì)折后得到的折痕共有127條.

第一次對(duì)折第二次對(duì)折第三次對(duì)折

【分析】根據(jù)前三次對(duì)折結(jié)果對(duì)第〃次對(duì)折后得到的折痕條數(shù)進(jìn)行猜想、歸納.

【解答】解：..?第一次對(duì)折后可得到的折痕條數(shù)為：1=2-1；

第二次對(duì)折后可得到的折痕條數(shù)為：3=22-1；

第三次對(duì)折后可得到的折痕條數(shù)為：7=23_1;

第n次對(duì)折后可得到的折痕條數(shù)為：2〃-1；

.??第7次對(duì)折后可得到的折痕條數(shù)為：27-1=128-1=127,

故答案為：127.

4.（2023秋?余姚市校級(jí)期中）己知慟=5,爐=16,且砂＜0.則x+v的值為1或-1.

【分析】先根據(jù)絕對(duì)值和平方的意義求出X、乃再根據(jù)孫＜0確定x、h最后代入求值.

【解答】解：：網(wǎng)=5,聲=16,

.*.x=±5,y=±4.

?.?孫VO,

.*.x=5,產(chǎn)-4或1=-5,y=4.

.\x+y=5-4=1,

x+y=-5+4=-1.

故答案為：1或-L

5.（2023秋?西湖區(qū)校級(jí)期中）方方與圓圓兩位同學(xué)計(jì)算一42.（-2）3X（_L）的過程如下:

8

方方：圓圓：

-42-(-2)3X(-1)-42-(-2)3X(3)

OO

=-164-(-8)X(-_1)①=(-8)+(-6)X(-1)①

88

=-16+[(-8)X(T)]②=-48X(4)②

O

=-16+1③=-6③

=-16(4)

（1）以上計(jì)算過程中，方方開始出錯(cuò)的是第②步,圓圓開始出錯(cuò)的是第①步（填序號(hào)）;

(2)寫出你的計(jì)算過程.

【分析】(1)由有理數(shù)乘方的運(yùn)算法則，同級(jí)運(yùn)算法則，即可判斷；

(2)由有理數(shù)混合運(yùn)算的運(yùn)算法則，即可計(jì)算.

【解答】解：(1)方方開始出錯(cuò)的是第②步，圓圓開始出錯(cuò)的是第①步,

故答案為：②，①；

⑵-42-(-2)3X(3)

O

=-164-(-8)X(-A)

8

=2X(-A)

8

=_工

T

鞏固訓(xùn)練

6.(2023秋?紹興期中)下列對(duì)于-34,敘述正確的是()

A.讀作-3的4次哥

B.底數(shù)是-3,指數(shù)是4

C.表示4個(gè)3相乘的積的相反數(shù)

D.表示4個(gè)-3相乘的積

【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方的含義，以及各部分的名稱，逐一判斷即可.

【解答】解：：-34讀作：負(fù)的3的4次累，

.,?選項(xiàng)/不正確；

-34的底數(shù)是3,指數(shù)是4,

選項(xiàng)B不正確；

：-3,表示4個(gè)3相乘的積的相反數(shù)，

選項(xiàng)C正確；

???-34表示4個(gè)3相乘的積的相反數(shù)，

.,.選項(xiàng)D不正確.

故選：C.

7.（2023秋?西湖區(qū)月考）下列兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)的是（）

A.3和工B.-（-3）和|-3|

3

C.（-3）2和-32D.（-3）3和-33

【分析】利用有理數(shù)的乘方運(yùn)算，絕對(duì)值的定義，相反數(shù)的定義計(jì)算并判斷.

【解答】解：3與工互為倒數(shù)，/選項(xiàng)不符合題意；

3

-（-3）=3和|-3|=3相等，8選項(xiàng)不符合題意；

（-3）2=9和-32=-9互為相反數(shù)，C選項(xiàng)符合題意；

（-3尸=-27和-3』-27相等，。不符合題意，

故選：C.

8.（2023秋?海曙區(qū)校級(jí)期中）某種細(xì)菌在培養(yǎng)過程中，每半個(gè)小時(shí)分裂1次，每次一分為二，若這種細(xì)菌

由1個(gè)分裂到8個(gè)，那么這個(gè)過程要經(jīng)過（）

A.3小時(shí)B.1.5小時(shí)C.2小時(shí)D.8小時(shí)

【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方的定義可得，正確記憶相關(guān)內(nèi)容是解題關(guān)鍵.

【解答】解:由題意可得：2"=8=23,

?.?每半小時(shí)分裂1次，

這個(gè)過程要經(jīng)過：3X0.5=16（小時(shí)）.

故選：B.

9.（2023秋?洞頭區(qū)期中）把2x2x2寫成屋的形式為—（2）3,暴的結(jié)果是—且

333—3—27—

【分析】運(yùn)用乘方的定義和運(yùn)算方法進(jìn)行求解.

【解答】解：由題意得，

222

x-=-xW

333

=（2）3

3

=*，

27

故答案為：（2）3,_8_.

327

10.（2023秋?西湖區(qū)校級(jí)期中）已知同=5,廬=4,c3=-8.

（1）若aVb,求的值；

（2）若求Q-3b-2c的值.

【分析】(1)利用絕對(duì)值的定義求出。的值，利用平方根的定義求出6的值，利用立方根的定義求c的

值，代入即可求出a+b的值；

(2)根據(jù)仍小于0,得到a、b異號(hào)，求出。與6的值，代入所求式子中計(jì)算即可求出值.

【解答】解：(1),：\a\=5,y=4,c3=-8.

；.a=±5,b—+2,c--2,

a<b,

.".a--5,b—±2,

/.a+b=-5+2=-3或a+b=-5-2=-7,

HPa+b的值為-3或-7；

(2),：ab<0,

'.a,b異號(hào)，

.,.a=5,6=-2或。=-5,b=2,

當(dāng)。=5,b=-2,c=-2時(shí)，a-3b-2c=5-3X(-2)-2X(-2)=15,

當(dāng)a=-5,b=2,c=-2時(shí)，a-3b-2c=-5-3X2-2X(-2)=-7,

：.a-3b-2c=15或-7.

題型五科學(xué)記數(shù)法與近似數(shù)

例題：

1.(2024?寧波模擬)2023年中秋節(jié)與國慶節(jié)假期恰逢杭州亞運(yùn)會(huì)，西湖景區(qū)共接待游客約3689100人

次.數(shù)據(jù)3689100用科學(xué)記數(shù)法表示為()

A.0.36891X107B.3.6891X106

C.36.891X105D.368.91X104

【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為。義io”的形式，其中IWIMCIO,"為整數(shù).確定〃的值時(shí)，要看把

原數(shù)變成。時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，〃的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同.當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值210時(shí)，"

是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值<1時(shí)，"是負(fù)數(shù).

【解答】解：3689100=3.6891X106.

故選：B.

2.(2023秋?吳興區(qū)期中)近似數(shù)65.07萬精確到()

A.百位B.百分位C.萬位D.個(gè)位

【分析】先把65.07萬化為650700,進(jìn)而可得出結(jié)論.

【解答】解：65.07萬U650700,

數(shù)字7在百位，故精確到百位.

故選：A.

3.（2023秋?東陽市期中）已知a=12.3是由四舍五入得到的近似數(shù)，則°的可能取值范圍是（）

A.12.25WaW12.35B.12.25Wa<12.35

C.12.25<aW12.35D.12.25<a<12.35

【分析】根據(jù)四舍五入得到近似數(shù)的法則，可以確定近似數(shù)12.3是由一個(gè)兩位小數(shù)進(jìn)1或舍去得到的;

根據(jù)四舍五入，結(jié)合12.3可以得到原來的必然在12.25與12.35之間，且不能取大數(shù)只能取小數(shù)，至此

本題易解.

【解答】解：因?yàn)?2.35七12.4,故4C錯(cuò).

因?yàn)?2.25^12.3,故。錯(cuò)，

8是對(duì)的.符合題意.

故選：B.

鞏固訓(xùn)練

4.（2024?鹿城區(qū)校級(jí)開學(xué)）截止2023年底，我國森林面積約為3465000000畝，森林覆蓋率達(dá)到

24.02%.將數(shù)字3465000000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.0.3465X109B.3.465XI09

C.3.465X108D.34.65X108

【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為aX10"的形式，其中1W同<10,〃為整數(shù).確定"的值時(shí)，要看把

原數(shù)變成。時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，〃的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同.

【解答】解：3465000000=3.465X109,

故選：B.

5.（2023秋?吳興區(qū)期中）2023年2月10日，神舟十五號(hào)航天員乘組圓滿完成了他們的