2024年初高數(shù)學(xué)暑假銜接：全稱量詞與存在量詞

暑假銜接第五講全稱量詞與存在量詞(含答案)

1.全稱量詞與存在量詞概念

(1)短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“V”表示.含有全稱量詞

的命題，叫做全稱量詞命題.(全稱量詞命題的形式：VxeM,7?(%))

(2)短語“存在”“至少一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號“三”表示.含有存在量詞的

命題，叫做存在量詞命題.(存在量詞命題的形式：玉eM,p(尤))

2.全稱量詞命題和存在量詞命題的否定

(1)假設(shè)全稱量詞命題為，則它的否定為“并非任意一個，也就是

(2)假設(shè)存在量詞命題為“女，則它的否定為“不存在xeM,p(x)”，也就是

"\/尤€麗,「0(尤)”.

例1.判斷下列全稱量詞命題的真假.

(D所有的素數(shù)都是奇數(shù)；

(2)VxeR,|x|+l>l；

(3)對任意一個無理數(shù)無，/也是無理數(shù).

例2.判斷下列存在量詞命題的真假.

(1)有一個實數(shù)x,使?fàn)t+2尤+3=0;

(2)平面內(nèi)存在兩條相交直線垂直于同一條直線；

(3)有些平行四邊形是菱形.

例3.寫出下列命題的否定，并判斷真假.

(1)所有能被3整除的整數(shù)都是奇數(shù)；

(2)對任意xeZ,f的個位數(shù)字不等于3；

(3)存在一個實數(shù)的絕對值是正數(shù)；

(4)有些平行四邊形是菱形；

(5)3.xe-2%+3=0;

(6)3xe7?,x+2<0；

(7)任意兩個等邊三角形都相似；

(8)JxeR,x2-%+1=0.

例4.由下列四個命題：

?Vxe7?,2x2-3x+4>0;②Vxe{l,T,0},2x+l>0；③*④女eN*,x為29的約數(shù).

其中真命題的個數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

例5.

⑴命題/?:V-l<x<L——ivo的否定是（)

A.—V-l<x<l,x2-l>0B.—1/2：V-l<x<l,x2-l>0

B.-n/?：3-1<X<1,!-l>0D.―\p:%?-1>0

⑵命題p:Bx^R,x2-》>。的否定力是（)

A.Gi?,x2-x<0B.VXG!?,x2-x<0

C.VXGl?,x2-x>0D.3xeR,x2-x>0

例6.已知y=2ax2+6x-1（a￡R）,對于YXGR,不等式y(tǒng)44恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

例7.

（1）若使得尤2一彳尤+1<0成立”是假命題，則實數(shù)4的取值范圍是.

（2）若使得儲一2尤+1<0成立”是假命題，則實數(shù)2的取值范圍是.

跟蹤訓(xùn)練

1.下列四個命題中真命題是（）

A.\/neR,n2>nB.mnsR,\/meR,m-n=m

C.<nD.X/neR,n2<n

2.將“％2+產(chǎn)22孫”改寫成全稱量詞命題，下列說法正確的是（）

A.Vx,yER,x2+y2>2xyB.3x,yeR,x2+y2>2xy

C.Vx,y>0,x2+y2>2xyD.<0,j<0,x2+<2xy

3.命題“3金R,使％>1”的百足是（）

A.VXG7?,X>1B.不存在?！瓿?，使％<1

B.VXG7?,X<1D,3XG7?,X<1

4.命題“VN￡H,I2〉O，，的否定為（）

A.Vxex2<0B.不存在xeR,使f<0

C.HreR,尤2NOD.3xeR,x2<0

5,若11BXER,OX2+2x+a<0，'為真命題，則實數(shù)"應(yīng)滿足（）

A.fl<lB,?<1C.-1<?<1D.-l<a<l

6.若三%€氏》2+2》一。<0是真命題，則實數(shù)。的取值范圍是.

7.已知命題l'p：3x>3,使得2x-1<一'是假命題，則實數(shù)機的最大值是.

8.若命題“HxeR,使得Y+7蛆+2〃?-3<0”是假命題，則實數(shù)加的取值范圍是

第五講全稱量詞與存在量詞答案

1.全稱量詞與存在量詞概念

(3)短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“V”表示.含有全稱量詞

的命題，叫做全稱量詞命題.(全稱量詞命題的形式：VxeM,p(x))

(4)短語“存在”“至少一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號“三”表示.含有存在量詞的

命題，叫做存在量詞命題.(存在量詞命題的形式：3xeM,p(x))

2.全稱量詞命題和存在量詞命題的否定

(3)假設(shè)全稱量詞命題為，則它的否定為“并非任意一個xeM,p(x)”，也就是

“土”,旬龍)”.

(4)假設(shè)存在量詞命題為“女eM,p(x)”，則它的否定為“不存在，也就是

例1.判斷下列全稱量詞命題的真假.

(4)所有的素數(shù)都是奇數(shù)；

(5)Vxe7?,|x|+l>l；

(6)對任意一個無理數(shù)x,/也是無理數(shù).

【答案】(1)假命題；(2)真命題；(3)假命題.

例2.判斷下列存在量詞命題的真假.

(4)有一個實數(shù)x,使x'+2x+3=0;

(5)平面內(nèi)存在兩條相交直線垂直于同一條直線；

(6)有些平行四邊形是菱形.

【答案】(1)假命題；(2)假命題；(3)真命題.

例3.寫出下列命題的否定，并判斷真假.

(9)所有能被3整除的整數(shù)都是奇數(shù)；

(10)對任意xeZ,/的個位數(shù)字不等于3；

(11)存在一個實數(shù)的絕對值是正數(shù)；

(12)有些平行四邊形是菱形；

(13)三無€尺,％2—2元+3=0；

(14)3xe7?,.r+2<0；

(15)任意兩個等邊三角形都相似；

(16)HreH,尤2-尤+1=0.

【答案】

(1)存在能被3整除的整數(shù)不是奇數(shù)，真命題；

(2)存在xeZ,V的個位數(shù)字等于3,假命題；

(3)所有實數(shù)的絕對值都是非正數(shù)，假命題;

(4)所有的平行四邊形都不是菱形，假命題；

(5)VxeR,尤2—2尤+3*0,真命題；

(6)Vxe7?,x+2>0,假命題；

(7)存在兩個等邊三角形不相似，假命題；

(8)-尤+1*0,真命題.

例4.由下列四個命題：

①VxeR,2d-3尤+4>0;②Vxe｛1,-1,。｝,2尤+1>0；③*eMYwx;④土eN*,了為29的約數(shù).

其中真命題的個數(shù)為()

A.1B,20.3D,4

【答案】C

【解析】①正確，VxeR,2/-3x+4=21x—：1+1>。；②錯誤，3x=-l,2x+l<0；③正確，

a=0或1,^4尤；④正確，士=1或29,為29的約數(shù).故真命題個數(shù)為3,選C.

例5.

⑴命題p:V-lWl,Y_lwo的否定是()

A.-nj7：V-l<X<l,X2-l>0B.—I/2：V-1<X<1,X2-1>0

C.―：m—1WxW1,尤2—120D.—：三一1WxW1,兀？一1>0

⑵命題P：*￡R,/一1〉。的否定r?是()

B.3xeR,x2-x<0B.VXG-x<0

C.VXG7?,X2-X>0D.JxeR,x2-x>0

【答案】(1)D；(2)B.

例6.已知y=2—+6元-1(〃￡R),對于Vx￡H,不等式”4恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

【答案】

【解析】由y=2ax2+6x-l<4^2ax1+6i一5<0對于心￡氏恒成立，

[d<09

若a=O,不等式為6%-540,不恒成立，所以awO；若awO,則｛欠久/o/二。八，解得々(一

[△=36-4?2〃?(-5)<010

綜上所述，a的取值范圍為

例7.

(1)若使得*一彳尤+1<。成立”是假命題，則實數(shù)4的取值范圍是.

(2)若“V：WxW2,使得/一彳》+1<0成立”是假命題，則實數(shù)2的取值范圍是.

【解析】（1）依題意，使得三一幾X+120,即2成立”是真命題，

2x

貝【J44（X+L）,由對勾函數(shù)y=x+^的圖象可知，當(dāng)x=l時，。+口=2,所以4W2,即4的

\X/minX\盯min

取值范圍為｛引力（2｝；

（2）依題意，使得三一4》+120,即彳4》+」成立”是真命題，

2x

則,由對勾函數(shù)y=x+^■的圖象結(jié)合計算可知，當(dāng)x=:或x=2時，G+U=|,

I-?JmaxX21X）mm2

所以即4的取值范圍為

跟蹤訓(xùn)練

1.下列四個命題中真命題是（）

A.\/neR.n2>nB.mneRRmsR,m?n=m

C.VnGR,3mG!?,m2<nD.\/neR,n2<n

【答案】B

【解析】A錯誤，當(dāng)〃二g時，〃2〈幾；B正確，曲=1'機￡尺根?幾=根；C錯誤，當(dāng)九=-1時，m2>n;

D錯誤，當(dāng)〃=2時，n2>n,故選B.

2.將“f+y2N2盯”改寫成全稱量詞命題，下列說法正確的是（）

B.Vx,yeR,x2+y2>2xyB.3x,yeR,x2+y2>2xy

C.Vx,y>0,x2-hy2>2xyD.3x<0,<0,x2+<2xy

【答案】A

3.命題“土￡尺，使龍>1”的百足是（）

C.VXG7?,X>1B.不存在工￡火，使％工1

C.VXG7?,X<1D.3XG7?,X<1

【答案】C

4.命題"VXEH./N。，，的否定為（）

B.VXG7?,x2<0B.不存在xwH,使不<0

C.BxeR,x2>0D.3xeR,x2<0

【答案】D

5.若“三元￡凡0？+2%+々<0”為真命題，則實數(shù)〃應(yīng)滿足（）

K.a<1B.a<lC.—l<a<lD.—l<a<l

【答案】A

【解析】解法一：“玉:￡氏6a?+2X+Q<0”為真命題，若1<。，顯然存在光V。使得加+2%+々<0,

滿足題意；若1>。，貝I]A=4-4a2>0,解得Ovavl,綜上所述，a<l,選A.

解法二：原命題”3x€R,ax2+2x+a<0”的否定為“Vx￡R,/+2x+a>0”,

若原命題為真命題，則否命題為假命題，先求否命題為真命題時4的取值范圍：

若a=。，不等式為2%之0,即九20,不符合題設(shè)；若aw。，則二））2八，解得。之1,

[A=4-W<0

綜上，a>l,所以，原命題為真命題時。的取值范圍為a