2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章圓錐曲線與方程2.1橢圓2.1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程作業(yè)含解析新人教A版選修1-1

PAGE其次章2.12.1.1A級(jí)基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．已知橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,b2)＝1過點(diǎn)(－2，eq\r(3))，則其焦距為(D)A．8 B．12C．2eq\r(3) D．4eq\r(3)[解析]把點(diǎn)(－2，eq\r(3))代入eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,b2)＝1，得b2＝4，∴c2＝a2－b2＝12.∴c＝2eq\r(3)，∴2c＝4eq\r(3).2．已知橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,m2)＝1(m＞0)的左焦點(diǎn)為F1(－4,0)，則m＝(B)A．2 B．3C．4 D．9[解析]∵橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,m2)＝1(m>0)的左焦點(diǎn)為F1(－4，0)，∴c＝4＝eq\r(25－m2)，∴m2＝9，∴m＝3，選B．3．已知F1、F2是橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，過點(diǎn)F2的直線交橢圓于點(diǎn)A、B，若|AB|＝5，則|AF1|＋|BF1|＝(A)A．11 B．10C．9 D．16[解析]由方程知a2＝16，∴2a＝8，由橢圓定義知，|AF1|＋|AF2|＝8，|BF1|＋|BF2|＝8，∴|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝16，∴|AF1|＋|BF1|＝11，故選A．4．設(shè)P是橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1上一點(diǎn)，P到兩焦點(diǎn)F1、F2的距離之差為2，則△PF1F2是(B)A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形[解析]由橢圓定義，知|PF1|＋|PF2|＝2a＝8.又|PF1|－|PF2|＝2，∴|PF1|＝5，|PF2|＝3.又|F1F2|＝2c＝2eq\r(16－12)＝4，∴△PF1F2為直角三角形．5．方程eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,2m－1)＝1為橢圓方程的一個(gè)充分不必要條件是(C)A．m>eq\f(1,2) B．m>eq\f(1,2)且m≠1C．m>1 D．m>0[解析]方程eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,2m－1)＝1表示橢圓的充要條件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>0,2m－1>0,m≠2m－1))，即m>eq\f(1,2)且m≠1，所以方程eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,2m－1)＝1為橢圓方程的一個(gè)充分不必要條件是m>1，故選C．6．以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，兩焦點(diǎn)的距離是2，且過點(diǎn)(0,2)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(C)A．eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1B．eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,4)＝1C．eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1或eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,4)＝1D．eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1或eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,4)＝1[解析]若橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，則c＝1，b＝2，得a2＝5，此時(shí)橢圓方程是eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1；若焦點(diǎn)在y軸上，則a＝2，c＝1，則b2＝3，此時(shí)橢圓方程是eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,4)＝1.二、填空題7．已知橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓與x軸的一個(gè)交點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離分別為4和2，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為__eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,8)＝1__.[解析]由題意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋c＝4,a－c＝2))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3,c＝1))，∴b2＝a2－c2＝9－1＝8，∴橢圓方程為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,8)＝1.8．已知橢圓過點(diǎn)A(1,2)和點(diǎn)B(－2，eq\r(3))，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是__eq\f(x2,13)＋eq\f(y2,\f(13,3))＝1__.[解析]設(shè)方程是ax2＋by2＝1(a＞0，b＞0，a≠b)，則a＋4b＝1，且4a＋3b＝1，解得a＝eq\f(1,13)，b＝eq\f(3,13)，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是eq\f(x2,13)＋eq\f(y2,\f(13,3))＝1.三、解答題9．已知橢圓的中心在原點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)P(3,0)，a＝3b，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．[解析]當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)其方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)．由橢圓過點(diǎn)P(3,0)，知eq\f(9,a2)＋eq\f(0,b2)＝1，又a＝3b，解得b2＝1，a2＝9，故橢圓的方程為eq\f(x2,9)＋y2＝1.當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)其方程為eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)．由橢圓過點(diǎn)P(3,0)，知eq\f(0,a2)＋eq\f(9,b2)＝1，又a＝3b，聯(lián)立解得a2＝81，b2＝9，故橢圓的方程為eq\f(y2,81)＋eq\f(x2,9)＝1.故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,81)＋eq\f(x2,9)＝1或eq\f(x2,9)＋y2＝1.B級(jí)素養(yǎng)提升一、選擇題1．F1、F2是橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,7)＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，A為橢圓上一點(diǎn)，且∠AF1F2＝45°，則△AF1F2的面積為(C)A．7 B．eq\f(7,4)C．eq\f(7,2) D．eq\f(7\r(5),2)[解析]由已知得a＝3，c＝eq\r(2).設(shè)|AF1|＝m，則|AF2|＝6－m，∴(6－m)2＝m2＋(2eq\r(2))2－2m·2eq\r(2)cos45°，解得m＝eq\f(7,2).∴6－m＝eq\f(5,2).∴S△AF1F2＝eq\f(1,2)×eq\f(7,2)×2eq\r(2)sin45°＝eq\f(7,2)，故選C．2．設(shè)橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P是橢圓上的一動(dòng)點(diǎn)，若△PF1F2是直角三角形，則△PF1F2的面積為(C)A．3 B．3或eq\f(3,2)C．eq\f(3,2) D．6或3[解析]由題意可得該橢圓短軸頂點(diǎn)與兩焦點(diǎn)的連線的夾角是60°，所以該點(diǎn)P不行能是直角頂點(diǎn)，則只能是焦點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，此時(shí)△PF1F2的面積為eq\f(1,2)×2c×eq\f(b2,a)＝eq\f(3,2).3．(多選題)下列實(shí)數(shù)k的值，能使方程x2＋ky2＝2表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的有(AB)A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,2)C．4 D．2[解析]方程x2＋ky2＝2可化為eq\f(x2,2)＋eq\f(y2,\f(2,k))＝1，若焦點(diǎn)在y軸上，則必有eq\f(2,k)>2，且k>0，即0<k<1，故選AB．4．(多選題)若方程eq\f(x2,k－3)＋eq\f(y2,5－k)＝1表示橢圓，則以下關(guān)于k的說法正確的是(BC)A．當(dāng)k∈(3,4)時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓B．當(dāng)k∈(3,4)時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓C．當(dāng)k∈(4,5)時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓D．當(dāng)k∈(4,5)時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓[解析]依題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k－3>0，,5－k>0，,k－3≠5－k.))解得3<k<5且k≠4.所以k的取值范圍是(3,4)∪(4,5)．且當(dāng)k∈(3,4)時(shí)，k－3<5－k，焦點(diǎn)在y軸上；當(dāng)k∈(4,5)時(shí)，k－3>5－k，焦點(diǎn)在x軸上，故選BC．二、填空題5．若橢圓eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,m)＝1的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1)，則實(shí)數(shù)m的值為__6__.[解析]由題意知，c＝1，∴m－5＝1，∴m＝6.6．橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,2)＝1的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在橢圓上，若|PF1|＝4，則∠F1PF2的大小為__eq\f(2π,3)__.[解析]因?yàn)橛蓹E圓的定義，我們可知|PF1|＋|PF2|＝2a，∴|PF2|＝2a－|PF1|＝6－4＝2.在△PF1F2中，∵cos∠F1PF2＝eq\f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|×|PF2|)＝eq\f(16＋4－28,2×4×2)＝－eq\f(1,2)，∴∠F1PF2＝eq\f(2π,3).三、解答題7．依據(jù)下列條件，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)經(jīng)過兩點(diǎn)A(0,2)、B(eq\f(1,2)，eq\r(3))；(2)經(jīng)過點(diǎn)(2，－3)且與橢圓9x2＋4y2＝36有共同的焦點(diǎn)．[解析](1)設(shè)所求橢圓的方程為eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1(m>0，n>0，且m≠n)，∵橢圓過A(0,2)、Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\r(3))).∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(0,m)＋\f(4,n)＝1,\f(1,4m)＋\f(3,n)＝1))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝1,n＝4)).即所求橢圓方程為x2＋eq\f(y2,4)＝1.(2)∵橢圓9x2＋4y2＝36的焦點(diǎn)為(0，±eq\r(5))，則可設(shè)所求橢圓方程為eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,m＋5)＝1(m>0)，又橢圓經(jīng)過點(diǎn)(2，－3)，則有eq\f(4,m)＋eq\f(9,m＋5)＝1，解得m＝10或m＝－2(舍去)，即所求橢圓的方程為eq\f(x2,10)＋eq\f(y2,15)＝1.8．如圖，橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若|PF1|＝2＋eq\r(2)，|PF2|＝2－eq\r(2)，且PF1⊥