2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第5章函數(shù)應(yīng)用2實(shí)際問題中的函數(shù)模型2.2用函數(shù)模型解決實(shí)際問題學(xué)案含解析北師大版必修第一冊(cè)

PAGE8-2.2用函數(shù)模型解決實(shí)際問題學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.能利用已知函數(shù)模型求解實(shí)際問題．(重點(diǎn))2．能自建確定性函數(shù)模型解決實(shí)際問題．(重點(diǎn)、難點(diǎn))1.通過把實(shí)際應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，培育數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．2．通過利用函數(shù)模型解決實(shí)際問題，培育數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)．1．常見的函數(shù)模型(1)正比例函數(shù)模型：f(x)＝kx(k為常數(shù)，k≠0)；(2)反比例函數(shù)模型：f(x)＝eq\f(k,x)(k為常數(shù)，k≠0)；(3)一次函數(shù)模型：f(x)＝kx＋b(k，b為常數(shù)，k≠0)；(4)二次函數(shù)模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)；(5)指數(shù)函數(shù)模型：f(x)＝abx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0，b>0，b≠1)；(6)對(duì)數(shù)函數(shù)模型：f(x)＝mlogax＋n(m，n，a為常數(shù)，m≠0，a>0，a≠1)；(7)冪函數(shù)模型：f(x)＝axn＋b(a，b，n為常數(shù)，a≠0，n≠1).2．應(yīng)用函數(shù)模型解決問題的基本過程用函數(shù)模型解應(yīng)用題的四個(gè)步驟：(1)審題——弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇模型；(2)建?！獙⒆匀徽Z言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言，利用數(shù)學(xué)學(xué)問建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；(3)求?！蠼鈹?shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)模型；(4)還原——將數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實(shí)際問題．思索：1.對(duì)于解決實(shí)際應(yīng)用問題時(shí)得到的函數(shù)，如何確定其定義域？提示：在實(shí)際問題中，除了要使函數(shù)式有意義外，還要考慮變量的實(shí)際含義，如人必需為自然數(shù)等．2．求函數(shù)最大值或最小值的方法一般有哪些？提示：利用函數(shù)的單調(diào)性，利用基本不等式，利用基本初等函數(shù)的值域等．1．某電視新產(chǎn)品投放市場后第一個(gè)月銷售100臺(tái)，其次個(gè)月銷售200臺(tái)，第三個(gè)月銷售400臺(tái)，第四個(gè)月銷售790臺(tái)，則下列函數(shù)模型中能較好地反映銷量y與投放市場的月數(shù)x(1≤x≤4，x∈N*)之間關(guān)系的是()A．y＝100x B．y＝50x2－50x＋100C．y＝50×2x D．y＝100xC[當(dāng)x＝4時(shí)，A中，y＝400；B中，y＝700；C中，y＝800；D中，y＝1004.故選C.]2．據(jù)統(tǒng)計(jì)，每年到鄱陽湖國家濕地公園越冬的白鶴數(shù)量y(只)與時(shí)間x(年)近似滿意關(guān)系y＝alog3(x＋2)，觀測發(fā)覺2013年冬(作為第1年)有越冬白鶴3000只，估計(jì)到2024年冬有越冬白鶴()A．4000只 B．5000只C．6000只 D．7000只C[當(dāng)x＝1時(shí)，由3000＝alog3(1＋2)，得a＝3000，所以到2024年冬，即第7年，y＝3000×log3(7＋2)＝6000.故選C.]3．新能源汽車包括純電動(dòng)汽車、增程式電動(dòng)汽車、混合動(dòng)力汽車、燃料電池電動(dòng)汽車、氫發(fā)動(dòng)機(jī)汽車、其他新能源汽車等．它是將來汽車的發(fā)展方向．一個(gè)新能源汽車制造廠引進(jìn)了一條新能源汽車整車裝配流水線，這條流水線生產(chǎn)的新能源汽車數(shù)量x(輛)與創(chuàng)建的價(jià)值y(萬元)之間滿意二次函數(shù)關(guān)系．已知產(chǎn)量為0時(shí)，創(chuàng)建的價(jià)值也為0；當(dāng)產(chǎn)量為40000輛時(shí)，創(chuàng)建的價(jià)值達(dá)到最大6000萬元．若這家工廠希望利用這條流水線創(chuàng)收達(dá)到5625萬元，則它可能生產(chǎn)的新能源汽車數(shù)量是________輛．30000或50000[設(shè)二次函數(shù)關(guān)系為y＝ax2＋bx＋c(a≠0)則依據(jù)題意得：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(c＝0,－\f(b,2a)＝40000,\f(4ac－b2,4a)＝6000))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(3,8)×10－5,b＝\f(3,10),c＝0))故y＝－eq\f(3,8)×10－5·x2＋eq\f(3,10)x，令y＝5625，解得x＝30000或x＝50000.故答案為30000或50000.]利用二次函數(shù)模型解決實(shí)際問題【例1】已知某種商品漲價(jià)x成(1成＝10%)時(shí)，每天的銷售量削減eq\f(4,5)x(其中x>0)成．(1)應(yīng)當(dāng)漲價(jià)多少，才能使每天的營業(yè)額(售出的總金額)最大？(2)假如適當(dāng)漲價(jià)，能使每天的營業(yè)額增加，求x的取值范圍．[解]設(shè)商品原價(jià)格為m，每天的原銷售量為n，則每天的原營業(yè)額為m·n，漲價(jià)后每天的營業(yè)額為y＝m·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(x,10)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(4,5)·\f(x,10)))·n，(1)y＝m·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(x,10)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(4,5)·\f(x,10)))·n＝[－eq\f(1,125)(x－eq\f(5,4))2＋eq\f(81,80)]·m·n.當(dāng)x＝eq\f(5,4)，即漲價(jià)12.5%時(shí)，每天的營業(yè)額最大．(2)要使?jié)q價(jià)后每天的營業(yè)額比原來增加，則需m·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(x,10)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(4,5)·\f(x,10)))·n＞m·n，即2x2－5x＜0，變形得x(2x－5)<0.又x>0，故0＜x＜eq\f(5,2).∴x的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,2))).利用二次函數(shù)求最值的方法及留意點(diǎn)(1)方法：依據(jù)實(shí)際問題建立函數(shù)模型解析式后，可利用配方法、判別式法、換元法、函數(shù)的單調(diào)性等方法求最值，從而解決實(shí)際問題中的利潤最大、用料最省等最值問題．(2)留意：取得最值時(shí)的自變量與實(shí)際意義是否相符．eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．某水廠的蓄水池中有400噸水，每天零點(diǎn)起先由池中放水向居民供水，同時(shí)以每小時(shí)60噸的速度向池中注水，若t小時(shí)內(nèi)向居民供水總量為100eq\r(6t)(0≤t≤24)，則每天何時(shí)蓄水池中的存水量最少．[解]設(shè)t小時(shí)后，蓄水池中的存水量為y噸，則y＝400＋60t－100eq\r(6t)(0≤t≤24).設(shè)u＝eq\r(t)，則u∈[0，2eq\r(6)]，y＝60u2－100eq\r(6)u＋400＝60eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(u－\f(5\r(6),6)))eq\s\up8(2)＋150，∴當(dāng)u＝eq\f(5\r(6),6)即t＝eq\f(25,6)小時(shí)時(shí)，蓄水池中的存水量最少．利用指數(shù)、對(duì)數(shù)型函數(shù)模型解決實(shí)際問題【例2】一片森林原來面積為a，安排每年砍伐一些樹，且使森林面積每年比上一年削減p%，10年后森林面積變?yōu)閑q\f(a,2).為愛護(hù)生態(tài)環(huán)境，所剩森林面積至少要為原面積的eq\f(1,4).已知到今年為止，森林面積為eq\f(\r(2),2)a.(1)求p%的值；(2)到今年為止，該森林已砍伐了多少年？(3)該森林今后最多還能砍伐多少年？[解](1)由題意得a(1－p%)10＝eq\f(a,2)，即(1－p%)10＝eq\f(1,2)，解得p%＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up8(\f(1,10))．(2)設(shè)經(jīng)過m年森林面積為eq\f(\r(2),2)a，則a(1－p%)m＝eq\f(\r(2),2)a，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up8(\f(m,10))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up8(\f(1,2))，eq\f(m,10)＝eq\f(1,2)，解得m＝5.故到今年為止，已砍伐了5年．(3)設(shè)從今年起先，n年后森林面積為eq\f(\r(2),2)a·(1－p%)n.令eq\f(\r(2),2)a(1－p%)n≥eq\f(1,4)a，即(1－p%)n≥eq\f(\r(2),4)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up8(\f(m,10))≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up8(\f(3,2))，得eq\f(n,10)≤eq\f(3,2)，解得n≤15，故今后最多還能砍伐15年．指數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用在實(shí)際問題中，有關(guān)人口增長、銀行利率、細(xì)胞分裂等增長率問題?？梢杂弥笖?shù)函數(shù)模型表示．通?？梢员硎緸閥＝N(1＋p)x(其中N為基礎(chǔ)數(shù)，p為增長率，x為時(shí)間)的形式．eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])2．某化工廠生產(chǎn)一種溶液，按市場要求，雜質(zhì)含量不能超過0.1%，若最初時(shí)含雜質(zhì)2%，每過濾一次可使雜質(zhì)含量削減eq\f(1,3)，問：至少應(yīng)過濾幾次才能使產(chǎn)品達(dá)到市場要求？(已知：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)[解]依題意，得eq\f(2,100)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up8(n)≤eq\f(1,1000)，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up8(n)≤eq\f(1,20).則n(lg2－lg3)≤－(1＋lg2)，故n≥eq\f(1＋lg2,lg3－lg2)≈7.4，考慮到n∈N，即至少要過濾8次才能達(dá)到市場要求．利用分段函數(shù)模型解決實(shí)際問題[探究問題]1．在解決實(shí)際問題時(shí)，對(duì)于自變量x的不同的取值范圍，不能用一個(gè)統(tǒng)一的解析式來表達(dá)，應(yīng)當(dāng)如何解決？提示：寫成分段函數(shù)的形式．2．如何求分段函數(shù)的定義域和值域？提示：把分段函數(shù)中各段函數(shù)的定義域求并集，就是分段函數(shù)的定義域，先求出各段函數(shù)的值域，分段函數(shù)的值域就是各段函數(shù)值域的并集．【例3】某車間生產(chǎn)一種儀器的固定成本為10000元，每生產(chǎn)一臺(tái)該儀器須要增加投入100元，已知總收入滿意函數(shù)：H(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(400x－x2，0≤x≤200，x∈N，,40000，x>200，x∈N，))其中x是儀器的月產(chǎn)量．(1)將利潤表示為月產(chǎn)量的函數(shù)(用f(x)表示)；(2)當(dāng)月產(chǎn)量為何值時(shí)，車間所獲利潤最大？最大利潤為多少元？(總收入＝總成本＋利潤)[思路點(diǎn)撥](1)依據(jù)“利潤＝收入－成本”求解，因?yàn)槭杖霝樵庐a(chǎn)量x的分段函數(shù)，所以利潤也應(yīng)為月產(chǎn)量x的分段函數(shù)；(2)由(1)中得到的函數(shù)，分別求出各段函數(shù)的最大值，其中的最大值就是分段函數(shù)的最大值．[解](1)設(shè)每月產(chǎn)量為x臺(tái)，則總成本為t＝10000＋100x.又f(x)＝H(x)－t，∴f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2＋300x－10000，0≤x≤200，x∈N，,30000－100x，x>200，x∈N.))(2)當(dāng)0≤x≤200時(shí)，f(x)＝－(x－150)2＋12500，所以當(dāng)x＝150時(shí)，有最大值12500；當(dāng)x>200時(shí)，f(x)＝30000－100x是減函數(shù)，f(x)<30000－100×200<12500.所以當(dāng)x＝150時(shí)，f(x)取最大值，最大值為12500.所以每月生產(chǎn)150臺(tái)儀器時(shí)，利潤最大，最大利潤為12500元．在本例中，若總收入滿意函數(shù)：H(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(99x－\f(100,x)＋11000，0≤x＜200，x∈N，,90000，x≥200，x∈N，))其中x是儀器的月產(chǎn)量，其余條件不變，(1)將利潤表示為月產(chǎn)量的函數(shù)(用f(x)表示)；(2)當(dāng)月產(chǎn)量為何值時(shí)，車間所獲利潤最大？最大利潤為多少元？(總收入＝總成本＋利潤)[解](1)設(shè)每月產(chǎn)量為x臺(tái)，則總成本為t＝10000＋100x.又f(x)＝H(x)－t，所以f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(100,x)))＋1000，0≤x＜200，x∈N，,80000－100x，x≥200，x∈N.))(2)當(dāng)0≤x＜200時(shí)，f(x)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(100,x)))＋1000，因?yàn)閤＋eq\f(100,x)≥2eq\r(x×\f(100,x))＝20，所以f(x)≤－20＋1000＝980，當(dāng)x＝10時(shí)等號(hào)成立；當(dāng)x≥200時(shí)，f(x)＝80000－100x是減函數(shù)，f(x)≤80000－100×200＝60000，所以當(dāng)x＝200時(shí)，f(x)取最大值，最大值為60000.所以每月生產(chǎn)200臺(tái)儀器時(shí)，利潤最大，最大利潤為60000元．應(yīng)用分段函數(shù)時(shí)的三個(gè)留意點(diǎn)(1)分段函數(shù)的“段”肯定要分得合理，不重不漏．(2)分段函數(shù)的定義域?yàn)閷?duì)應(yīng)每一段自變量取值范圍的并集．(3)分段函數(shù)的值域求法為：逐段求函數(shù)值的范圍，最終比較再下結(jié)論．1．利用函數(shù)模型解決實(shí)際問題時(shí)，一般按以下幾個(gè)步驟進(jìn)行：(1)審題；(2)建模；(3)求模；(4)還原．2．在引入自變量建立目標(biāo)函數(shù)解決函數(shù)應(yīng)用題時(shí)，一是要留意自變量的取值范圍，二是要檢驗(yàn)所得結(jié)果，必要時(shí)運(yùn)用估算和近似計(jì)算，以使結(jié)果符合實(shí)際問題的要求．3．在實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化過程中，要充分運(yùn)用數(shù)學(xué)語言，如引入字母，列表，畫圖等使實(shí)際問題數(shù)學(xué)符號(hào)化．1．思索辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)實(shí)際問題中兩個(gè)變量之間肯定有確定的函數(shù)關(guān)系． ()(2)函數(shù)模型中，要求定義域只需使函數(shù)式有意義． ()(3)用函數(shù)模型預(yù)料的結(jié)果和實(shí)際結(jié)果必需相等，否則函數(shù)模型就無存在意義了． ()[提示](1)錯(cuò)誤．實(shí)際問題中的兩個(gè)變量之間不肯定有確定的函數(shù)關(guān)系．(2)錯(cuò)誤．在函數(shù)模型中，函數(shù)的定義域除了使函數(shù)式有意義，還要滿意實(shí)際問題的要求．(3)錯(cuò)誤．用函數(shù)模型預(yù)料結(jié)果和實(shí)際結(jié)果可能不完全相等，但是函數(shù)模型也有意義．[答案](1)×(2)×(3)×2．某廠日產(chǎn)手套總成本y(元)與手套日產(chǎn)量x(副)的函數(shù)解析式為y＝5x＋4000，而手套出廠價(jià)格為每副10元，則該廠為了不虧本，日產(chǎn)手套至少為()A．200副 B．400副C．600副 D．800副D[由5x＋4000≤10x，解得x≥800，即日產(chǎn)手套至少800副時(shí)才不虧本．]3．隨著我國經(jīng)濟(jì)的不斷發(fā)展，2024年年