2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章常用邏輯用語課時(shí)作業(yè)51.2.2充要條件含解析新人教A版選修2-1

PAGEPAGE4課時(shí)作業(yè)5充要條件時(shí)間：45分鐘——基礎(chǔ)鞏固類——一、選擇題1．下列p是q的充要條件的是(C)A．p：a>b，q：ac>bcB．p：x＝1，q：x2－x＝0C．p：b＝0，q：函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函數(shù)D．p：x>0，y>0，q：xy>0解析：選項(xiàng)A中c可為0，不充要；選項(xiàng)B中x2－x＝0解得x＝0或x＝1，也不充要；選項(xiàng)D中，xy>0解得x>0，y>0或x<0，y<0，也不充要，只有C正確．2．“α＝eq\f(π,6)＋2kπ(k∈Z)”是“cos2α＝eq\f(1,2)”的(A)A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件解析：∵當(dāng)α＝eq\f(π,6)＋2kπ(k∈Z)時(shí)，cos2α＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋4kπ))＝eq\f(1,2)，∴“α＝eq\f(π,6)＋2kπ(k∈Z)”是“cos2α＝eq\f(1,2)”的充分條件．而當(dāng)α＝－eq\f(π,6)時(shí)，cos2α＝eq\f(1,2)，但－eq\f(π,6)≠eq\f(π,6)＋2kπ(k∈Z)，∴“α＝eq\f(π,6)＋2kπ(k∈Z)”不是“cos2α＝eq\f(1,2)”的必要條件．3．“a＝－1”是“l(fā)1：x＋ay＋6＝0與l2：(3－a)x＋2(a－1)y＋6＝0平行”的(A)A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件解析：若直線l1：x＋ay＋6＝0與l2：(3－a)x＋2(a－1)y＋6＝0平行，則需滿意1×2(a－1)－a×(3－a)＝0，化簡(jiǎn)整理得a2－a－2＝0，解得a＝－1或a＝2，閱歷證得當(dāng)a＝－1時(shí)兩直線平行，當(dāng)a＝2時(shí)，兩直線重合，故“a＝－1”是“l(fā)1：x＋ay＋6＝0與l2：(3－a)x＋2(a－1)y＋6＝0平行”的充要條件．故選A.4．函數(shù)f(x)＝x2＋mx＋1的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱的充要條件是(A)A．m＝－2 B．m＝2C．m＝－1 D．m＝1解析：函數(shù)f(x)＝x2＋mx＋1的對(duì)稱軸為直線x＝－eq\f(m,2)，于是－eq\f(m,2)＝1?m＝－2.故選A.5．設(shè)全集為U，在下列條件中，是B?A的充要條件的有(D)①A∪B＝A②(?UA)∩B＝?③(?UA)?(?UB)④A∪(?UB)＝UA．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)解析：由韋恩圖可知，①②③④都是充要條件．6．“2a>2b”是“l(fā)og2a>log2b”的(B)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：若2a>2b，則只能得到a>b，但不能確定a，b的正負(fù)，當(dāng)0>a>b時(shí)，log2a，log2b均無意義，更不能比較其大?。蝗鬺og2a>log2b，則a>b>0，從而有2a>2b成立．綜上，“2a>2b”是“l(fā)og2a>log2b”的必要不充分條件．7．已知a，b是實(shí)數(shù)，則“|a＋b|＝|a|＋|b|”是“ab>0”的(B)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：因?yàn)閨a＋b|＝|a|＋|b|?a2＋2ab＋b2＝a2＋2|ab|＋b2?|ab|＝ab?ab≥0，而由ab≥0不能推出ab>0，由ab>0能推出ab≥0，所以由|a＋b|＝|a|＋|b|不能推出ab>0，由ab>0能推出|a＋b|＝|a|＋|b|，故選B.8．“λ<1”是“數(shù)列{n2－2λn}(n∈N*)為遞增數(shù)列”的(A)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：記an＝n2－2λn，若數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，則有an＋1－an>0，即2n＋1>2λ對(duì)隨意n∈N*都成立，于是有3>2λ，λ<eq\f(3,2).因?yàn)橛搔?lt;1可推出λ<eq\f(3,2)，由λ<eq\f(3,2)不能推出λ<1，所以“λ<1”是“數(shù)列{n2－2λn}(n∈N*)為遞增數(shù)列”的充分不必要條件，選A.二、填空題9．m＝1是函數(shù)y＝xm2－4m＋5為二次函數(shù)的充分不必要條件．解析：m＝1時(shí)，函數(shù)y＝x2，為二次函數(shù)．反之，當(dāng)函數(shù)為二次函數(shù)時(shí)，m2－4m＋5＝2，即m＝3或m＝1，所以m＝3也能保證函數(shù)為二次函數(shù)．10．若“x2＋ax＋b＝0”是“x＝1”的充要條件，則a＋b的值為－1.解析：易得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋a＋b＝0,a2－4b＝0))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2,b＝1))，所以a＋b＝－1.11．設(shè)函數(shù)f(x)＝|x－a|－ax，其中a為常數(shù)，則函數(shù)f(x)存在最小值的充要條件是a∈[－1,1]．解析：當(dāng)x≥a時(shí)，f(x)＝(1－a)x－a；當(dāng)x<a時(shí)，f(x)＝a－(1＋a)x.要使f(x)存在最小值，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－a≥0,－1＋a≤0))，解得－1≤a≤1，所以a∈[－1,1]．三、解答題12．(1)已知A，B∈(0，π)，則“A>B”是“sinA>sinB”的什么條件？并說明理由．(2)在△ABC中，“A>B”是“sinA>sinB”的什么條件？并說明理由．解：(1)既不充分也不必要條件．理由如下：當(dāng)A＝eq\f(2π,3)，B＝eq\f(π,2)時(shí)，A>B，但sinA＝eq\f(\r(3),2)，sinB＝1，sinA<sinB；當(dāng)A＝eq\f(π,2)，B＝eq\f(2π,3)時(shí)，sinA>sinB，A<B.故“A>B”是“sinA>sinB”的既不充分也不必要條件．(2)充要條件．理由如下：當(dāng)A，B∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))時(shí)，由正弦函數(shù)的單調(diào)性，可知“A>B”?“sinA>sinB”．當(dāng)A，B中有鈍角時(shí)，若A>B，則A為鈍角，由A＋B<π，知B<π－A<eq\f(π,2)，所以sinB<sinA；若sinA>sinB，假設(shè)B為鈍角，由sinA>sinB＝sin(π－B)及正弦函數(shù)的單調(diào)性，可知A>π－B，即A＋B>π，與三角形內(nèi)角和為π沖突，所以A為鈍角，即A>B.所以在△ABC中，“A>B”是“sinA>sinB”的充要條件．13．求函數(shù)f(x)＝ax2＋2(a－1)x＋2在區(qū)間(－∞，4]上為減函數(shù)的充要條件．解：當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝－2x＋2，明顯在(－∞，4]上是減函數(shù)，當(dāng)a≠0時(shí)，f(x)為二次函數(shù)，其圖象是拋物線，對(duì)稱軸方程為x＝eq\f(1－a,a)＝eq\f(1,a)－1，若f(x)在(－∞，4]上為減函數(shù)，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,\f(1,a)－1≥4，))即0<a≤eq\f(1,5)，明顯，f(x)在(－∞，4]上是減函數(shù)時(shí)，也有a＝0.綜上可知，當(dāng)0≤a≤eq\f(1,5)時(shí)，f(x)在(－∞，4]上為減函數(shù)，反之，當(dāng)f(x)在(－∞，4]單調(diào)遞減時(shí)，0≤a≤eq\f(1,5).所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，4]上為減函數(shù)的充要條件是0≤a≤eq\f(1,5).——實(shí)力提升類——14．記實(shí)數(shù)x1，x2，…，xn中的最大數(shù)為max{x1，x2，…，xn}，最小數(shù)為min{x1，x2，…，xn}．已知△ABC的三邊邊長(zhǎng)分別為a，b，c(a≤b≤c)，定義它的傾斜度為l＝maxeq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)，\f(b,c)，\f(c,a)))·mineq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)，\f(b,c)，\f(c,a)))，則“l(fā)＝1”是“△ABC為等邊三角形”的(A)A．必要不充分條件B．充分不必要條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：當(dāng)△ABC是等邊三角形時(shí)，a＝b＝c，∴l(xiāng)＝max{eq\f(a,b)，eq\f(b,c)，eq\f(c,a)}·min{eq\f(a,b)，eq\f(b,c)，eq\f(c,a)}＝1×1＝1，∴“l(fā)＝1”是“△ABC為等邊三角形”的必要條件．∵a≤b≤c，令a＝b＝2，c＝3，∴max{1，eq\f(2,3)，eq\f(3,2)}＝eq\f(3,2)，min{1，eq\f(2,3)，eq\f(3,2)}＝eq\f(2,3)，此時(shí)l＝eq\f(3,2)×eq\f(2,3)＝1，△ABC為等腰三角形，故不能推出△ABC為等邊三角形，∴“l(fā)＝1”不是“△ABC為等邊三角形”的充分條件．綜上，故選A.15．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x≥a,0，x<a))，函數(shù)g(x)＝x2－x＋1，求函數(shù)h(x)＝g(x)－f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)的充要條件．解：函數(shù)h(x)＝g(x)－f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4